I- Exemples et définitions: AGRANDISSEMENT - REDUCTION Figure initiale: Reproduction: On a divisé les longueurs de la figure initiale par 3 (ou, ce qui revient au même on les a multipliées par 1/3) On dit que la reproduction est à l'échelle 1/3, ou encore que c'est une reproduction de rapport 1/3 La reproduction est plus petite que la figure initiale. On dit que l'échelle 1/3 est une échelle de réduction Figure initiale: Reproduction: On a multiplié les longueurs de la figure initiale par 2 On dit que la reproduction est à l'échelle 2, ou encore que c'est une reproduction de rapport 2 La reproduction est plus grande que la figure initiale. On dit que l'échelle 2 est une échelle d'agrandissement II- Calculs sur les longueurs: 1) Calcul de la longueur sur la reproduction: Le Transsibérien (ligne de chemin de fer de Moscou à Vladivostok) a une longueur de 9 290 km. Calculer la longueur, en cm, du tracé correspondant sur une carte à l'échelle 1/10 000 000 9 290 km = 929 000 000 cm 929 000 000 : 10 000 000 = 92,9 cm La longueur du tracé du Transsibérien sur une carte au 1/10 000 000 est 92,9 cm On photocopie un document en prenant comme rapport 150% Quelle est la longueur sur la photocopie d'un trait mesurant 12 cm sur le document d'origine. 1
Le rapport 150% signifie 150/100, ou encore 1,5 On a donc un agrandissement de rapport 1,5 12 x 1,5 = 18 La longueur du trait sur la photocopie est donc de 18 cm 2) Calcul de la longueur réelle: Exemple: Une maquette de la fusée Ariane 5, à l'échelle 1/300, a pour hauteur 19,1 cm. Quelle est la hauteur réelle, en m, de cette fusée? 19,1 x 300 = 5730 5 730 cm = 57,3 m La hauteur réelle de la fusée Ariane est donc 57,3 m 3) Calcul de l'échelle: Exemple: Le plus long paquebot du monde, le Queen Mary 2, a une longueur de 315 m Une maquette de ce bateau a une longueur de 63 cm. Quelle est l'échelle de cette maquette? 315 m = 31 500 cm 31 500 : 63 = 500 Le bateau est, dans la réalité, 500 fois plus grand que sur la maquette (ou, inversement, on a divisé la longueur réelle par 500 pour effectuer la maquette). L'échelle de cette maquette est donc 1/500 III- Effet d'une échelle sur les aires: 1) Découverte: La figure initiale est un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm On en fait une reproduction à l'échelle 4 Cette reproduction est donc un rectangle de longueur 20 cm et de largeur 12 cm L'aire du rectangle initial est 5 x 4 = 20 cm 2 L'aire de la reproduction est 20 x 12 = 240 cm 2 240 = 20 x 16 = 20 x 4 2 Dans un agrandissement de rapport 4, l'aire est multipliée par 4 2 La figure initiale est un disque de rayon 18 cm On en fait une reproduction à l'échelle 1/3 Cette reproduction est donc un disque de rayon 6 cm L'aire du disque initial est π x 18 2 = 324 π cm 2 L'aire de la reproduction est π x 6 2 = 36 π cm 2 36 π = 324 π : 9 = 324 π x 1/9 = 324 π x (1/3) 2 Dans une réduction de rapport 1/3, l'aire de la figure initiale est multipliée par (1/3) 2 2) Propriété: Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k 2 2
3) Exemple: Le quatre-mâts Esmeralda, navire-école de la marine chilienne, a une surface de voilure de 2870 m 2 Quelle est la surface des voiles, sur une maquette de ce bateau à l'échelle 1/200? 2870 m 2 = 28 700 000 cm 2 Pour avoir la surface des voiles sur la maquette, il faut multiplier cette surface par (1/200) 2, ou encore la diviser par 200 2 28 700 000 : 200 2 = 28 700 000 : 40 000 = 7 175 cm 2 La surface des voiles, sur une maquette de ce bateau à l'échelle 1/200 est 7 175 cm 2 IV- Effet d'une échelle sur les volumes: 1) Découverte: Le solide initial est une pyramide de hauteur 12 cm dont la base est un carré de côté 5 cm On en fait une reproduction à l'échelle 3 Cette reproduction est donc une pyramide de hauteur 36cm dont la base est un carré de côté 15 cm Le volume de la pyramide initiale est (5 x 5 x 12) : 3 = 100 cm 3 Le volume de la reproduction est (15 x 15 x 36) : 3 = 2700 cm 3 2700 = 100 x 27 = 100 x 3 3 Dans un agrandissement de rapport 3, le volume du solide initial est multiplié par 3 3 Le solide initial est un une boule de rayon 15cm On en fait une reproduction à l'échelle 1/5 Cette reproduction est donc une boule de rayon 3 cm Le volume de la boule initiale est (4 x π x 15 3 )/3 = 4500 π cm 3 Le volume de la reproduction est (4 x π x 3 3 )/3 = 36 π cm 2 36 π = 4500 π : 125 = 4500 π x 1/125 = 4500 π x (1/5) 3 Dans une réduction de rapport 1/5, le volume du solide initial est multiplié par (1/5) 3 2) Propriété: Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k 3 3) Exemple: La cathédrale d'amiens, a un volume intérieur de 200 000 m 3 Quel est le volume intérieur d'une maquette de cette cathédrale à l'échelle 1/500? 200 000 m 3 = 200 000 000 000 cm 3 Pour avoir le volume intérieur de la maquette, il faut multiplier ce volume par (1/500) 3, ou encore la diviser par 500 3 200 000 000 000 : 500 3 = 200 000 000 000 : 125 000 000 = 1 600 cm 3 Le volume intérieur de cette maquette est 1 600 cm 3 3
V- Exercices: Exercice 1: La cathédrale d'amiens a une longueur de 145 m. Quelle est la longueur d'une maquette de cette cathédrale à l'échelle 1/250? Exercice 2: On a mesuré, sur une carte au 1/5 000 000, la longueur de la frontière entre le Mexique et les Etats-Unis. le résultat de cette mesure est 62,3 cm. Quelle est la longueur réelle de cette frontière? Exercice 3: La hauteur du clocher neuf de la cathédrale de Chartres est de 115 m. La hauteur correspondante sur une maquette de cette cathédrale est 23 cm. Quelle est l'échelle de cette maquette? Exercice 4: La France a une superficie de 549 000 km 2. Quelle est, en cm 2, la surface correspondante sur une carte à l'échelle 1/1 000 000? Exercice 5: Un camion citerne a une capacité de 20 000 litres. Quelle est la capacité, en litres, de la citerne de ce camion sur une maquette à l'échelle 1/43? (arrondir au cl) 4
AGRANDISSEMENT - REDUCTION CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: La cathédrale d'amiens a une longueur de 145 m. Quelle est la longueur d'une maquette de cette cathédrale à l'échelle 1/250? 145 m = 14 500 cm 14 500 : 250 = 58 La longueur de cette maquette est 58 cm Exercice 2: On a mesuré, sur une carte au 1/5 000 000, la longueur de la frontière entre le Mexique et les Etats-Unis. le résultat de cette mesure est 62,3 cm. Quelle est la longueur réelle de cette frontière? 62,3 x 5 000 000 = 311 500 000 311 500 000 cm = 3 115 km La longueur réelle de cette frontière est 3 115 km Exercice 3: La hauteur du clocher neuf de la cathédrale de Chartres est de 115 m. la hauteur correspondante sur une maquette de cette cathédrale est 23 cm. Quelle est l'échelle de cette maquette? 115 m = 11 500 cm 11 500 : 23 = 500 L'échelle de cette maquette est 1/500 Exercice 4: La France a une superficie de 549 000 km 2. Quelle est, en cm 2, la surface correspondante sur une carte à l'échelle 1/1 000 000? Dans une réduction de rapport (1/1 000 000), les aires sont multipliées par (1/1 000 000) 2, ou encore sont divisées par 1 000 000 2, c'est à dire par 10 12 1 km 2 = 10 10 cm 2 549 000 x 10 10 / 10 12 = 549 000 x 10-2 = 5490 La superficie de la France sur cette carte est 5 490 cm 2 Exercice 5: Un camion citerne a une capacité de 20 000 litres. Quelle est la capacité, en litres, de la citerne de ce camion sur une maquette à l'échelle 1/43? (arrondir au cl) Dans une réduction de rapport 1/43, les volumes sont multipliés par (1/43) 3, ou encore sont divisées par 43 3 20 000 : 43 3 0,25 L (résultat arrondi au cl) La capacité de la citerne sur cette maquette est 0,25 L 5