Effets de voûte dans les milieux granulaires

Effets de voûte dans les milieux granulaires S. Lherminier - N. Vitrant L3 - Semestre 2 Résumé Nous avons cherché à mettre en évidence et quantifier les effets de voûte dans les milieux granulaires, c est-à-dire l existence de contraintes internes qui répartissent le poids d une couche de milieu granulaire sur les côtés plutôt que sur la couche immédiatement en dessous. Introduction - Position de l étude Les milieux granulaires sont des milieux complexes et difficiles à étudier : en effet, le grand nombre de particules rend prohibitif l approche par la mécanique du solide. À l échelle macroscopique, un milieu granulaire à un comportement proche d un fluide visqueux. Pourtant, certaines caractéristiques leur sont propres, comme par exemple l existence de contraintes internes qui redistribuent le poids d une colonne ou d un tas d un simple milieu. Nous avons essayer de quantifier ces effets de voûtes en les étudiant dans deux situations bien distinctes : le silo et la tas de sable. 1 Étude des voûtes en milieu confiné - Modèle de Janssen 1.1 Modèle de Janssen Ce modèle a été introduit par Janssen en 1895 pour expliquer la loi de pression dans les silos remplis de grains ([1]). On le décrira en utilisant le tenseur des contraintes moyenné en coordonées cylindriques σ. On note ρ la masse volumique du milieu granulaire considéré. L existence des voûtes est traduit par un facteur de proportionnalité K : σ rr (z) = Kσ zz (z) (1) Si l on suppose que les voûtes internes font un angle φ avec la verticale, on obtient : K = tan φ. Le modèle de Janssen nécessite également l hypothèse que le matériau est au seuil de glissement en tout point de contact avec le cylindre : σ rz = µ s σ rr = Kµ s σ zz où µ s est le coefficient de frottement statique. (2) On réalise un bilan de forces sur une couche cylindique de hauteur dz : les forces sont indiquées sur la figure 1.1. P = ρgπr 2 dz, F frottement = σ rz 2πRdz = Kµ s σ zz 2πRdz, F zz (z) = σ zz (z)πr 2 (3) 1

Figure 1.1 Forces s exerçant sur une couche cylindrique Au final, on obtient : σ zz z 2Kµ s R σ zz = ρg (4) Les conditions aux limites sont : σ zz (z = h) = et un fond en z =. Au final, on obtient la relation : σ zz (z) = ρgr 2Kµ s et l on en déduit la masse pesée au fond : M pesée = M sat [1 exp [ ( 1 exp 2Kµ )] s(h z) R ( M )] versée M sat (5) (6) où M sat = ρπr3 2Kµ s (7) 1.2 Configuration du silo à grains Notre premier montage expérimental est celui présenté sur la figure 1.2. On utilise un piston pour transmettre le poids de la colonne de grains à la balance. Nos premiers essais avaient été réalisés sans piston, mais celui-ci permet de maintenir les grains dans la colonne tout en glissant contre le cylindre, et donc de ne transmettre que le poids des grains et pas du cylindre. Ce dernier est tenu par une potence la plus rigide possible afin de minimiser ses déplacements. L entonnoir nous permet de réaliser un tas aéré et homogène en versant les grains à faible débit. Nous avons également essayés deux autres montages : ils sont représentés sur les figures annexe 1 et annexe 2. Le montage 3 a l avantage de peser à la fois la masse soutenue par le piston et celle soutenue par le cylindre. On vérifie en permanence que la masse totale est bien la masse de grains versée. Le montage 2 permet de conserver la balance de mesure fixe lorsque l on déplace le piston 1. L utilisation de milieu granulaires fait beaucoup intervenir le frottement solide et les contraintes internes, ainsi nous avons eu des difficultés à obtenir des mesures stables. En effet, deux tas se ressemblent de l extérieur mais leurs arrangements internes peuvent être complètement différents. La rigidité des statifs et les vibrations dans la pièce sont autant de facteurs perturbants. Pour cela, la mesure faite à la balance souffre d une grande imprécision et d une mauvaise reproductibilité. 1. La raison pour laquelle on déplace le piston lors de la mesure est expliquée plus loin. 2

Figure 1.2 Montage expérimental 1 Le principe de l étude est de mesurer la masse pesée par la balance et de la comparer à la masse totale versée dans le cylindre. L existence de voûtes nous assure que la masse mesurée doit être inférieure. La principale difficulté expérimentale est de se placer effectivement au seuil de glissement. Pour résoudre ce problème, on déplace le piston grâce au support à croisillon : en se déplaçant à vitesse constante et très faible devant le temps de réorganisation du milieu, le système est maintenu en équilibre quasi-statique. Le déplacement du piston étant réalisé à la main, les mesures souffrent d une imprécision de l ordre du demi-gramme. Les courbes obtenues restent tout de même compatibles avec le modèle proposé. 1.3 Résultat expérimentaux Nous avons réalisé des mesures sur plusieurs types de grains : des billes de verre de diamètres de l ordre du millimètre ainsi que des grains de sucre et des billes en acier. 1.3.1 Billes de verre L étude des billes de verre a été la plus complète : en effet, nous disposions de plusieurs diamètres de billes en quantité suffisante pour remplir notre cylindre. Les diamètres étudiés sont (en mm) :.75-1, 2., 4. et 5.. Billes de.75-1 mm figure 1.3. Les résultats donnent une masse de saturation d environ 19.3 g, comme le montre la Sachant que le coefficient de frottement verre-verre est environ.7, on peut calculer la constante de Janssen K dans le modèle : K = ρπr3.24 2µ s M sat soit un angle moyen des voûtes de φ = arctan K.25 rad. Billes de 2. mm On obtient une masse de saturation de 2.2 g, comme le montre la figure annexe 3. On trouve donc φ.4 rad pour K.42. Billes de 4. mm La courbe est donnée sur la figure annexe 4. On mesure une masse de saturation de 12.2 g. La constante de Janssen vaut donc K =.69 soit un angle entre la verticale et les voûtes de φ =.61 rad. 3

2 M pesee = f(m versee ) 15 1 5 2 4 6 8 1 12 M versee (g) Figure 1.3 Masses mesurées pour des billes de verre de diamètre.9 mm, M sat 19.3 g Billes de 5. mm La masse de saturation obtenue est ici de 27.5 g environ. Les résultats sont présentés sur la figure annexe 5. On trouve K =.31 soit φ =.3 rad. 1.3.2 Autres matériaux Acier Les résultats de mesure sur des billes d acier de diamètre 4 mm sont présentés sur la figure 1.4. Les mesures sont présentées en parallèle des masses obtenues par le modèle de Janssen, en adaptant la masse de saturation. Ici, nous avons pris M sat = 13 g. Sachant que le coefficient de frottement verre-acier est environ.6, on trouve K =.24 soit un angle moyen des voûtes de φ = arctan K.24 rad. M pesee = f(m versee ) 1 8 6 4 2 5 1 15 2 25 3 35 4 M versee (g) Figure 1.4 Masse mesurée pour des billes d acier, M sat = 13 g Grains de sucre Les résultas sur les grains de sucre sont plus discutables : en effet, les grains n étant pas calibrés, le tas peut ne pas être homogène. De plus, il peut y avoir des interactions électrostatiques entre les grains les plus petits. Les résultats sont présentés sur la figure annexe 6. De la même façon, M sat = 6.2 g et µ s =.35 soit au final K 1.67 et donc φ 1.3 rad. 4

Farine Pour la farine, on obtient des résultats similaires (figure annexe 7). On trouve une masse de saturation de 9.1 g. On ne peut calculer la constante de Janssen car on ne connaît pas le coefficient de frottement verrefarine. 1.4 Conclusion En utilisant le montage 2, on voit directement quelle est la masse portée par le cylindre. Nous avons essayer d apporter des perturbations au tas sous la forme de vibrations : lorsque les vibrations étaient de faible intensité (petits coups contre la potence par exemple), on observait une stabilisation des voûtes et la masse supportée par le cylindre augmentait. Si l on donnait un coup violent dans la table, le phénomène inverse se produisait et la masse supportée diminuait. Nous sommes même descendus à des masses virtuellement négatives, ce qui pourrait s interprêter par un retournement des voûtes dans le milieu (le tas de sable porte le tube). Nos résultats expérimentaux montrent bien que la masse supportée par le fond du silo sature lorsque l on le remplit, et le modèle de Janssen décrit bien le phénomène. Nous avons été confrontés à des difficultés expérimentales liées à la nature des milieux granulaires. 2 Étude des voûtes dans le tas de sable - Carte de pression 2.1 Présentation de l expérience Nous cherchons à établir la carte de pression ressentie sous un tas de sable, formé par avalanches successives à partir d un point source, comme décrit sur la figure 2.5. Figure 2.5 Formation d un tas de sable par un point source L existence de voûtes doit déplacer le maximum de pression du centre vers l extérieur, ce qui devrait donner un profil comparable à celui présenté sur la figure 2.6 ([2]). 2.2 Résultats expérimentaux 2.2.1 Montage et protocole Notre première tentative a été d utiliser des capteurs de pression résistifs ultraplats. Le problème est que ces capteurs avait une résistance (théorique à vide) de l ordre de 2 MΩ, donc la mesure de la résistance a été impossible malgré nos efforts (ohmmètre, pont de Wheatstone, montages série). Nous avons finalement opté pour une autre méthode : nous avons utilisée une plaque percée et un piston. La figure 2.7 représente notre montage expérimental. 5

Figure 2.6 Profil théorique de pression sous un tas de sable Figure 2.7 Montage expérimental pour la mesure de pressions Le piston est en réalité une masse de 2 g. Nous avons été confrontés à des problèmes de frottement entre le piston et les parois du trou dans la plaque. Nous avons trouvé la solution en agrandissant un peu le trou et en utilisant un petit peu d huile de silicone pour lubrifier le trou. Le tube sur l entonnoir permet d assurer un débit constant une fois rempli. Pour un tas de 1 L de sable (soit 1.6 kg), il faut environ 14 min pour former le tas complet. 2.2.2 Résultats Pression statique Nous avons tout d abord testé le protocole avec un tas de sucre de 6 g, ce qui donne un tas d un diamètre D = 15 cm environ et d un volume V =.652. Nous obtenons la courbe de la figure 2.8. On reconnaît la tendance attendue, c est-à-dire que la pression n est pas maximale au centre du tas mais bien à l extérieur, ici à une distance d environ 2 cm. Nous avons ensuite effectué des mesures sur un tas de sable de 1.6 kg (soit 1 L). On obtient un tas d environ 12 cm de rayon. La figure 2.9 montre nos points de mesures : on reconnaît un minimum au centre et on obtient 6

P = f(r) 5 4 Pression (Pa) 3 2 1 1 2 3 4 5 Distance au centre (cm) Figure 2.8 Pression sous un tas de sucre 3 P = f(r) 25 2 Pression (Pa) 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 Distance au centre (cm) Figure 2.9 Pression sous un tas de sable un maximum autour de 6 cm. Nous n avons pas eu le temps d effectuer des mesures plus loin du centre du tas. Pression dynamique Nous avons pu enregistrer la pression subie sous le tas pendant sa formation : une balance reliée à un ordinateur nous permet de suivre l évolution de la pression. La figure 2.1 représente la masse pesée en fonction du temps. La construction du tas s est achevée au bout de 14 minutes soit 84 secondes. 2.3 Conclusion On vérifie que contrairement à l intuition, la pression est plus élevée sur le pourtour du centre et non pas au centre même du tas. De plus, la pression au centre semble constante quelquesoit la taille du tas : pour deux tas de 1 L et 3 ml de sable, on mesure la même pression au centre. Nous n avons pas pu approfondir l étude de ce phénomène par manque de temps. Pour ce qui est de la formation du tas, les effondrements successifs réorganisent l architecture interne et redistribuent les contraintes. On voit également que la structure interne continue d évoluer une fois que le tas est formé, alors que son allure extérieure semble figée. 7

25 M pesee = f(t) 2 15 1 5 2 4 6 8 1 t (s) Figure 2.1 Masse pesée à 2 cm du centre lors de la formation du tas et après Références [1] Guillaume Ovarlez. Statique et rhéologie d un milieu granulaire confiné. PhD thesis, Université Paris XI Orsay, 22. [2] Loïc Vanel. Étude expérimentale de l équilibre d un milieu granulaire : exemple du silo et du tas de sable. PhD thesis, Université Parsi VI, 1999. 8

Annexe - Figures Figure annexe 1 Montage expérimental 2 Figure annexe 2 Montage expérimental 3 25 M pesee = f(m versee ) 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 M versee (g) Figure annexe 3 Masses mesurées pour des billes de verre de diamètre 2. mm, M sat = 2.2 g 9

M pesee = f(m versee ) 14 12 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 M versee (g) Figure annexe 4 Masses mesurées pour des billes de verre de diamètre 4. mm, M sat = 12.2 g 3 M pesee = f(m versee ) 25 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 M versee (g) Figure annexe 5 Masses mesurées pour des billes de verre de diamètre 5. mm, M sat = 27.5 g 9 M pesee = f(m versee ) 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M versee (g) Figure annexe 6 Masses mesurées pour des grains de sucre, M sat = 6.2 g 1

Mpesee = f(mversee) 1 8 Mpesee (g) 6 4 2 1 2 3 Mversee (g) 4 5 6 Figure annexe 7 Masses mesurées pour de la farine, Msat = 9.1 g Figure annexe 8 Montage expérimental pour la mesure de pression sous un tas 11

Figure annexe 9 Balance et piston pour la mesure de pression 12