Christiane Cocozza-Thivent Processus stochastiques et fiabilité des systèmes Springer
Table des Matières Avant-Propos Terminologie et notations VI XIV 1 Introduction à la fiabilité 1 1.1 Mesures de performances 1 1.2 Taux de hasard, de défaillance, de réparation 3 1.2.1 Les formules de base 3 1.2.2 Taux de défaillance monotone 6 1.2.3 Loi NBU 8 1.2.4 Deux familles de lois classiques en fiabilité 10 1.2.5 Généralisation de la notion de taux de hasard 14 1.3 Simulation 14 1.3.1 Simulation d'une variable aléatoire de densité donnée.. 14 1.3.2 Simulation d'une variable aléatoire de taux de hasard donné 16 1.4 Ordre stochastique 17 1.5 Exercices 18 1 Analyse statistique 21 2 Processus de Poisson > 23 2.1 Processus de Poisson homogène sur R + 24 2.1.1 Définition et propriétés 24 2.1.2 Conséquences pour la loi de Poisson 27 2.1.3 Résultats asymptotiques 29 2.2 Processus de Poisson non homogène sur R + 30 2.2.1 Définitions 30 2.2.2 Constructions 33 2.2.3 Propriétés générales 35 2.3 Cas d'une intensité diffuse 39 2.3.1 Lois des instants d'occurrence 39 2.3.2 Retour sur le changement de temps 42 2.3.3 Nouvelles caractérisations du processus de Poisson... 43 2.4 Processus de Poisson sur R k 54 2.5 Exercices 58
TABLE DES MATIERES IX 3 Processus de Poisson et fiabilité 61 3.1 Pourquoi le processus de Poisson 61 3.2 Observation sur [0,t] 62 3.2.1 Cas d'un processus de Poisson homogène 62 3.2.2 Une estimation de la fiabilité dans le cas général 63 3.2.3 Cas d'un processus de Weibull 64 3.2.4 Cas de p processus de Weibull indépendants 73 3.3 Observation des n premiers points 74 3.3.1 Cas d'un processus de Poisson homogène 74 3.3.2 Cas d'un processus de Weibull 76 3.4 Tests 80 3.4.1 Un test d'homogénéité non paramétrique 80 3.4.2 Un test paramétrique 81 3.4.3 Test de Laplace 83 3.5 Exercices 85 4 Processus ponctuels et martingales 89 4.1 Introduction 89 4.2 Compensateur d'un processus de comptage 92 4.2.1 Cas d'un processus ponctuel réduit à un point 92 4.2.2 Cas d'un processus ponctuel simple 94 4.2.3 Changement de temps 96 4.3 Vraisemblance 97 4.4 Convergence vers un processus de Poisson 99 4.5 Convergence vers un processus gaussien 104 4.5.1 Convergence vers une variable gaussienne 104 4.5.2 Convergence d'une suite de processus 110 4.6 Exercices 113 5 Processus ponctuels et fiabilité 114 5.1 Estimateur de Nelson-Aalen... / 114 5.1.1 Heuristique de sa construction 114 5.1.2 Quelques propriétés 116 5.1.3 Comportement asymptotique 118 5.1.4 Bibliographie succinte sur le lissage 123 5.2 Estimateur de Kaplan-Meier 123 5.2.1 Etude de quelques cas particuliers 123 5.2.2 Cas général 126 5.2.3 Comportement asymptotique 128 5.3 Estimation paramétrique 129 5.3.1 Consistance 130 5.3.2 Normalité asymptotique 133 5.3.3 Exemples 137 5.4 Modèle de Cox 151
X TABLE DES MATIÈRES II Analyse prévisionnelle 155 6 Processus de renouvellement 157 6.1 Renouvellement simple 157 6.2 Renouvellement à délai 162 6.2.1 Propriétés 163 6.2.2 Processus de renouvellement stationnaire 168 6.3 Quelques inégalités 170 6.3.1 Résultats généraux 170 6.3.2 Résultats complémentaires pour des lois particulières.. 171 6.4 Superposition 174 6.5 Processus de renouvellement alterné 178 6.6 Théorème de renouvellement 181 6.6.1 Théorème de Blackwell 181 6.6.2 Extension aux fonctions directement Riemann intégrables 185 6.7 Equations de renouvellement 187 6.7.1 Exemples 187 6.7.2 Propriétés 190 6.7.3 Applications 192 6.7.4 Cas où la loi est étalée 196 6.8 Nouvelle construction et applications 198 6.8.1 Construction N 198 6.8.2 Cas d'un taux de défaillance décroissant 200 6.8.3 Cas d'un taux de défaillance croissant 203 6.9 Processus régénératif 204 6.10 Exercices 207 7 Quelques modélisations de la structure d'un système 219 7.1 Diagramme de fiabilité 220 7.2 Représentations de la fonction de structure 222 7.2.1 Arbre de défaillance. 223 7.2.2 Coupes minimales > 225 7.2.3 Quelques mots sur les BDD 229 7.3 Calculs associés 229 7.3.1 Indisponibilité 229 7.3.2 Facteurs d'importance 232 7.3.3 Nombre moyen de défaillances et MTBF 235 7.3.4 Fiabilité 238 7.3.5 Factorisation 242 8 Processus markovien de sauts 244 8.1 Les propriétés de base 244 8.1.1 Définitions 244 8.1.2 Matrice génératrice 245 8.1.3 Equations de Chapman-Kolmogorov 248 8.2 Propriété de Markov 252
TABLE DES MATIERES XI 8.2.1 Propriété de Markov faible 252 8.2.2 Propriété de Markov forte 253 8.3 Récurrence et transience 256 8.4 Loi stationnaire 257 8.4.1 Caractérisation 257 8.4.2 Autres propriétés 260 8.4.3 Théorèmes limites 263 8.5 Constructions 266 8.5.1 Constructions de base 266 8.5.2 Méthode d'uniformisation 267 8.6 Martingales associées 269 8.7 Agrégation d'états 274 8.8 Couplage et ordre stochastique 276 8.9 Exercices 279 9 Processus de Markov et fiabilité 282 9.1 Modélisation 282 9.1.1 Composant élémentaire 283 9.1.2 Sous-systèmes et composants indépendants 284 9.1.3 Dépendances fonctionnelles 287 9.1.4 Mode commun 289 9.1.5 Macro-états 290 9.1.6 Composants en série et en parallèle 295 9.2 Calcul des grandeurs de fiabilité 296 9.2.1 Disponibilité 297 9.2.2 Loi stationnaire et disponibilité asymptotique 299 9.2.3 Temps moyens de fonctionnement 299 9.2.4 Temps de séjour cumulé et nombres moyens de pannes et de réparations sur un intervalle donné 305 9.2.5 Fiabilité 306 9.2.6 Taux de défaillance 308 9.3 Comparaison de systèmes - 312 9.4 A propos du taux de Vesely 315 9.4.1 Différentes expressions du taux de défaillance 317 9.4.2 Majoration du taux de défaillance asymptotique 322 9.4.3 Majoration de l'erreur relative entre les deux taux... 323 9.5 Exercices 330 10 Processus semi-markovien 339 10.1 Définitions et premières propriétés 339 10.2 Processus de renouvellement markovien 341 10.3 Propriété de Markov 344 10.3.1 Propriété de Markov aux instants de saut 344 10.3.2 Propriété de Markov aux instants d'entrée 345 10.4 Lois marginales du processus semi-markovien 346 10.4.1 Equations d'états 346
XII TABLE DES MATIÈRES 10.4.2 Loi limite 347 10.4.3 A propos de stationnante 351 10.5 Equations de renouvellement markovien 351 10.5.1 Fonctions de renouvellement associées à un processus de renouvellement markovien 351 10.5.2 Les équations et leurs solutions 352 10.5.3 Convergence de la solution 353 10.5.4 Application à un problème de délai 354 10.6 Processus semi-régénératif 356 10.7 Grandeurs de fiabilité 359 10.7.1 Disponibilité 359 10.7.2 Durées moyennes 361 10.7.3 Fiabilité 362 10.7.4 Taux de défaillance asymptotique 362 10.8 Sur le produit de processus semi-markoviens 365 10.9 Exercices 366 III Appendices 369 A Intégrale de Stieltjés 371 A.l Définition dans le cas d'une fonction croissante.. 371 A.2 Quelques formules utiles 372 A.3 Fonctions à variation bornée 375 B Intervalles de confiance 377 B.l Introduction 377 B.2 Construction pratique 378 B.3 Exemples... 379 C Statistiques classiques 381 Cl Introduction ^ 381 C.2 Cas se ramenant à un échantillon 383 C.2.1 Plan sans censure ni réparation 383 C.2.2 Plan multicensuré de type 2 384 C.3 Plan de type 1 sans réparation 385 C.4 Plan de type 1 avec réparation 386 C.5 Plan de type 2 sans réparation 387 C.6 Plan de type 2 avec réparation 389 D Convergence de mesures 391 E Transformée de Laplace 394 ~ E.l Transformée de Laplace de mesures positives 394 E.l.l Cas des mesures bornées 394 E.l.2 Extension aux mesures non bornées 395
TABLE DES MATIERES XIII E.2 Transformée de Laplace de fonctions 396 E.3 Quelques transformées de Laplace usuelles 397 E.4 Inversion 397 E.5 Théorèmes taubériens 398 F Quelques résultats sur les martingales 401 F.l Martingales 401 F.2 Martingales à variation bornée 404 F.2.1 Processus prévisibles 404 F.2.2 Processus croissants associés 405 F.2.3 Sur la terminologie 406 F.2.4 Quelques propriétés 407 F.3 Quelques résultats généraux 409 F.4 Martingales locales 410 F.4.1 Localisation 410 F.4.2 Propriétés générales des martingales locales 412 F.4.3 Deux résultats de convergence 414 F.4.4 Martingale et martingale locale 415 F.5 Martingales locales à variation bornée 416 F.5.1 Quelques résultats généraux 416 F.5.2 Somme de sauts compensés 418 G Caractérisation par martingales 421 Bibliographie 425 Index 432