STMG - Maths - Correction du bac blanc 2016

STMG - Maths - Correction du bac blanc 2016 8 février 2016 EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,75 une réponse fausse ou l absence de réponse n enlève pas de point. Les deux parties sont indépendantes. Partie A La courbe C ci-dessous est la représentation d une fonction f définie sur l intervalle [0 ; 36]. 1400 B T B 1200 1000 800 600 400 T D T A A 200 0 0 5 10 15 20 25 30 35 D A est le point de la courbe C d abscisse 5, B celui d abscisse 12 et D celui d abscisse 33,5. T A est la tangente à la courbe C au point A, T B celle au point B et T D celle au point D. 1. L image de 12 par la fonction f est environ a. 0 b. 760 c. 1 410 d. 1 900 STMG - correction du bac blanc - Page 1/ 11

2. f (5) est environ égal à a. 30 b. 125 c. 125 d. 1,25 3. L une des quatre courbes suivantes représente la fonction dérivée de f. Laquelle? a. Courbe 1 b. Courbe 2 300 300 200 200 100 100 0 100 5 10 15 20 25 30 35 0 100 5 10 15 20 25 30 35 c. Courbe 3 d. Courbe 4 300 300 200 200 100 100 0 100 5 10 15 20 25 30 35 0 100 r 5 10 15 20 25 30 35 Partie B Soit g la fonction définie sur [0 ; 36] par : g (x)=0,2x 3 14,4x 2 + 259,2x+ 295,2. 1. La fonction dérivée g de g sur [0 ; 36] est définie par : a. g (x)=0,5x 2 28,8x+ 259,2 b. g (x)=0,6x 2 28,8x+ 259,2 c. g (x)=0,6x 2 28,8x+ 554,4 d. g (x)=0,2x 2 144x+ 554,4 2. Le maximum de g sur [0 ; 36] est : a. 295,2 b. 1 677,6 c. 12 d. 36 STMG - correction du bac blanc - Page 2/ 11

EXERCICE 2 5 points Une entreprise fabrique un modèle de meuble en bois. Elle peut produire au maximum 100 meubles par jour. Pour x meubles fabriqués et vendus, le coût de production journalier (exprimé en euros), noté C (x), est donné par : C (x)=2,25x 2 6x+ 20 Chaque meuble est vendu 299. L entreprise est ouverte cinq jours par semaine. Le chef d entreprise a réalisé la feuille de calcul suivante : A B C D 1 x Recette Coût Bénéfice 2 0 0 20 20 3 10 2 990 185 2805 4 20 5 30 6 40 7 50 8 60 9 70 10 80 11 90 12 100 1. a. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B2, permet d obtenir par recopie vers le bas, la recette en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour. La formule à saisir en B2 est : =299*A2. b. Donner une formule qui, saisie dans la cellule C2, permet d obtenir, par recopie vers le bas, le coût en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour. La formule à saisir en C2 est : =2,25*A2ˆ2-6*A2+20. c. Calculer les valeurs associées aux cellules B7, C7 et D7. On trouve B7= 299 50= 14 950, C 7=2,25 50 2 6 50+20= 5 345 et D7=14950 5345= 9 605. 2. Montrer que le bénéfice journalier correspondant à la production et la vente de x meubles (x [0 ; 100]) est donné par B(x)= 2,25x 2 + 305x 20. Le bénéfice est égal à la recette (299x) moins le coût C (x). Ce qui donne : B(x)=299x (2,25x 2 6x+ 20)= 2,25x 2 + 305x 20. STMG - correction du bac blanc - Page 3/ 11

3. Calculer B (x) et donner le tableau de variations de B sur [0 ; 100]. B est dérivable sur [0 ; 100] comme polynôme : B (x)= 2,25 2x+ 305 1 0 B (x)= 4,5x+ 305. On étudie le signe : 4,5x+ 305> 0 305>4,5x 305 4,5 > x 610 9 > x x 0 610 9 100 B (x) + 0 B 4. Combien de meubles faut-il produire et vendre pour réaliser un bénéfice journalier maximal? D après le tableau il faut produire environ 610 68 meubles pour réaliser un bénéfice journalier 9 maximal. Déterminer le bénéfice maximal que peut réaliser l entreprise sur une période de quatre semaines. Le bénéfice maximal sur quatre semaines, correspond au bénéfice sur 20 jours à vendre 68 meubles par jour : 20 B(68) = 206 320 euros. STMG - correction du bac blanc - Page 4/ 11

EXERCICE 3 4 points Tous les ans, en août, Maïlys reçoit l échéancier (document indiquant le montant de sa cotisation annuelle) de sa mutuelle «complémentaire santé». Elle décide d étudier l évolution de sa cotisation de 2011 à 2014. Elle note dans une feuille automatisée de calcul le montant en euros de ses cotisations annuelles de 2011 à 2014. La ligne 4 est au format pourcentage à une décimale. A B C D E F G 1 2 Année 2011 2012 2013 2014 3 Cotisation (en euros) 868 976 1 072 1 177 4 Taux d évolution annuel (en %) 9,8 9,8 5 1. Calculer le taux d évolution global de sa cotisation entre 2011 et 2014, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1 %.. Le taux d évolution global de sa cotisation entre 2011 et 2014 est : 1177 868 868 35,6%. 2. Quelle formule Maïlys a-t-elle pu saisir dans la cellule C4 pour y obtenir le taux annuel d évolution de 2011 à 2012, puis par recopie vers la droite jusqu à la cellule E4, les taux d évolution annuels successifs jusqu en 2014? Maïlys a du saisir =(C3-B3)/B3. 3. Montrer que le taux d évolution moyen annuel de la cotisation de 2011 à 2014, arrondi à 0,1 %, est de 10,7 %. Le taux global de 2011 à 2014 est 1177 868 868. Le coefficient multiplicateur global est donc 1+ 1177 868 868. Le coefficient multiplicateur moyen annuel est alors (1+ 1177 868 868 ) 1/3. Le taux d évolution moyen annuel de la cotisation de 2011 à 2014 est ainsi : (1+ 1177 868 868 ) 1/3 1 10,7% 4. On fait l hypothèse que la cotisation annuelle augmentera chaque année de 10,7 % à partir de 2014. a. Estimer le montant, arrondi à l euro, de la cotisation annuelle prévue pour 2015. La cotisation annuelle prévue pour 2015 est alors environ 1177 1, 107 1303 euros. b. Déterminer en quelle année la cotisation annuelle aura doublé par rapport à celle de 2011. Justifier la réponse. Pour doubler par rapport à 2011 il faut que la cotisation annuelle dépasse 868 2=1736 euros. On calcule : Pour 2016 : 1177 1,107 2 1442 euros. Pour 2017 : 1177 1,107 3 1597 euros. STMG - correction du bac blanc - Page 5/ 11

Pour 2018 : 1177 1,107 4 1768 euros. La cotisation annuelle aura doublé en 2018. STMG - correction du bac blanc - Page 6/ 11

EXERCICE 4 :RÉSERVÉ AUX ÉLÈVES DE TSMTG1 ET TSTMG2 UNIQUEMENT Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. 6 points D après l INSEE, l espérance de vie à la naissance est passée pour les hommes de 59,9 ans en 1946 à 78,5 ans en 2012. Pour les femmes, elle est passée de 65,2 ans à 84,9 ans durant la même période. Première partie On se propose ici de modéliser l évolution de l espérance de vie pour les hommes par la suite arithmétique (U n ) de premier terme U 0 = 59,9 et de raison r = 0,25. 1. Calculer U 1,U 2 et U 3 qui correspondent aux années 1947, 1948 et 1949. On calcule : U 1 = U 0 + 0,25= 60,15, U 2 = U 1 + 0,25= 60,4 et U 3 = U 2 + 0,25= 60,65 2. Donner U n en fonction de n. Par théorème : U n = U 0 + r n= 59,9+0,25n 3. Déterminer U 66. On calcule : U 66 = 59,9+0,25 66= 76,4 4. Entre 1946 et 2012 les hommes ont-ils gagné, en réalité, plus de 3 mois d espérance de vie chaque année en moyenne? En réalité l espérance de vie des hommes est passée de 59,9 à 78,5, elle a donc augmenté de 78,5 59,9= 18,6 sur 2012 1946= 66 ans. En moyenne ils ont donc gagné 18,6 66 0,2818 années d espérance de vie par an. 3 mois représentant 0,25 années, ils ont gagné plus de 3 mois d espérance de vie chaque année en moyenne. Deuxième partie 1. Déterminer, à 10 2 près, le taux d évolution global de l espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012. Le taux d évolution global de l espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012 est 78,5 59,9 31,05% 59,9 2. Des hommes ou des femmes, qui a le taux d évolution global le plus élevé durant cette période? Pour les femmes le même taux est 84,9 65,2 65,2 30, 2% : ce sont donc les hommes qui ont le taux d évolution global le plus élevé durant cette période. 3. Calculer pour les hommes le taux annuel moyen, pour cette période, exprimé en pourcentage à 10 2 près. Le coefficient multiplicateur global est 1+ 78,5 59,9 59,9. Le coefficient multiplicateur moyen est donc (1+ 78,5 59,9 59,9 ) 1/66. Le taux annuel moyen est donc (1+ 78,5 59,9 59,9 ) 1/66 1 0,41% Troisième partie Soit l algorithme suivant : STMG - correction du bac blanc - Page 7/ 11

1. Que calcule cet algorithme? VARIABLES n EST DU TYPE NOMBRE A EST DU TYPE NOMBRE B EST DU TYPE NOMBRE T EST DU TYPE NOMBRE DÉBUT ALGORITHME AFFICHER «Entrez la valeur initiale». ENTRER A AFFICHER «Entrer le nombre d années» ENTRER n AFFICHER «Entrez la valeur finale» ENTRER B T PREND LA VALEUR (B A)/A T PREND LA VALEUR (1+T ) 1 n T PREND LA VALEUR (T 1) 100 AFFICHER T FIN ALGORITHME Cet algorithme calcule le taux annuel moyen correspondant à une évolution sur n années, à partir de la valeur initiale, de la valeur finale et de ce nombre d années. 2. Si on choisit : A= 65,2; B = 84,9; n= 66, quel sera le résultat affiché à 10 2 près? Le résultat affiché est 0,40 environ. STMG - correction du bac blanc - Page 8/ 11

EXERCICE 4 : RÉSERVÉ AUX ÉLÈVES DE TSMTG3 UNIQUEMENT 6 points Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A Un restaurateur ne sert au déjeuner que des plats du jour. Il cherche à estimer l effet du prix de ce plat sur le nombre de ses clients à partir du tableau suivant : Prix du plat du jour en euros x 7 9 11 13 15 Nombre de clients y 82 78 65 41 20 1. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement du nombre de clients y en fonction du prix x obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur exacte des coefficients. L équation de la droite d ajustement du nombre de clients y en fonction du prix x obtenue par la méthode des moindres carrés donnée par la calculatrice est y = 8, 05x + 145, 75. 2. Dans la suite du problème, on décide de modéliser le nombre y de clients en fonction du prix x par l expression y = 8x+ 146. a. D après ce modèle, calculer le nombre de clients si le restaurateur fixe le prix du plat du jour à 12. D après ce modèle si le prix x du plat est à 12. le nombre y de clients est y = 8x+ 16= 50. b. D après ce modèle, à combien le restaurateur doit-il fixer le prix du plat du jour pour espérer attirer 100 clients? Pour espérer attirer y = 100 clients on cherche : 100= 8x+ 16 100 146= 8x 46 8 = x 5,75= x Le prix à fixer est donc 5,75 euros. Partie B On s intéresse à l évolution du nombre de licences sportives en France. Le tableau ci-dessous indique le nombre de licences sportives, toutes pratiques confondues, entre 2004 et 2010. Année 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Rang de l année x i 0 1 2 3 4 5 6 Nombre de licences sportives (en millions) y i 15,23 15,78 15,91 16,25 16,78 17,27 17,42 Source : mission des études, de l observation et des statistiques (Meos) Le nuage de points de coordonnées ( x i ; y i ) pour i variant de 0 à 6 est représenté en annexe. STMG - correction du bac blanc - Page 9/ 11

1. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième). L équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés donnée par la calculatrice est y = 0, 372x + 15, 261. 2. On décide d ajuster le nuage avec la droite D d équation y = 0,37x+ 15,26. a. Tracer la droite D sur le graphique de l annexe à rendre avec la copie. Voir annexe. b. Calculer le nombre de licences sportives prévu par ce modèle d ajustement en 2013. Le nombre de licences sportives en 2013 correspond au rang x= 9, il serait donc suivant ce modèle égal à y = 0,37 9+15,26 18,59. c. Selon ce modèle, en quelle année le nombre de licences sportives sera-t-il pour la première fois supérieur à 20 millions? ON cherche quand le nombre y de licences va dépasser 20 : y > 20 0,37 x+ 15,26> 20 0,37 x> 20 15,26 x> 4,74 0,37 Ce qui donne x supérieur à environ 12,81. On dépassera donc les 20 millions de licences en 2017. STMG - correction du bac blanc - Page 10/ 11

Ý Ý Ý Ý Ý Annexe de l exercice 4 pour les TSTMG3 à rendre avec la copie Nombre de licences sportives en millions 18,6 18,4 18,2 18,0 17,8 17,6 17,4 17,2 Ý Ý 17,0 16,8 16,6 16,4 16,2 16,0 15,8 15,6 15,4 15,2 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rang de l année STMG - correction du bac blanc - Page 11/ 11