Les nombres entiers Durée suggérée: 3 semaines
Aperçu du module Orientation et contexte Pourquoi est-ce important? Dans le présent module, les élèves multiplieront et diviseront des nombres entiers concrètement, à l aide d images et symboliquement. On peut considérer la multiplication d un nombre entier comme une addition répétée, et la division d un nombre entier, comme le contraire de la multiplication. Les deux opérations seront modélisées à l aide de carreaux de couleur de nombres entiers, et de droites numériques. À mesure que ces modèles seront assimilés, les élèves effectueront ces opérations de façon symbolique, sans utiliser de matériel de manipulation. Les élèves généraliseront et appliqueront les règles de détermination des signes de produits et de quotients. Le produit ou le quotient de deux nombres entiers ayant le même signe est positif et le produit ou le quotient de deux nombres entiers de signes opposés est négatif. Les élèves verront que les nombres entiers possèdent la propriété zéro, l identité multiplicative, la commutativité et la distributivité. Il est possible de trouver le produit de nombres entiers à deux chiffres à l aide de la distributivité. La combinaison de ces nouvelles compétences et de l addition et de la soustraction de nombres entiers auxquelles ils ont été exposés en 7 e année d études permettra aux élèves de résoudre des problèmes en se servant des quatre opérations mathématiques. Finalement, ils appliqueront l ordre des opérations avec les nombres entiers. L acquisition d une bonne compréhension des nombres entiers permettra aux élèves de représenter des situations réelles faisant intervenir des dimensions et une direction. Les nombres entiers sont importants pour la science et l ingénierie. On en a besoin pour décrire les taux de variation et on les utilise dans les situations qui font intervenir le temps, la position, l élévation (au dessus ou au dessous du niveau de la mer, par exemple), la température, l énergie et les concepts fi n anciers, tels que la valeur nette, les bilans et les résultats. La compétence en nombres entiers est cruciale pour les futurs travaux d algèbre. Elle est nécessaire lorsqu on évalue les expressions algébriques ou qu on résout des équations. Elle permet aux élèves d établir des graphiques de relations en se servant des quatre quadrants. Le travail avec les nombres entiers servira aux études futures d expressions rationnelles et sera étendu aux nombres irrationnels ou réels. Il continue de construire la notion des nombres tout en préparant les élèves à un grand nombre d activités de résolution de problèmes. 54
Processus mathématiques [C] Communication [RP] Résolution de problèmes [L] Liens [R] Raisonnement [CE] Calcul mental et estimation [T] Technologie [V] Visualisation Résultats d apprentissage DOMAINE RÉSULTAT D APPRENTISSAGE PROCESSUS MATHÉMATIQUES Le nombre Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [8N7] C, L, RP, R, V 55
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] Indicateur de rendement: 8N7.1 Modéliser la multiplication de deux nombres entiers donnés à l aide de matériel de manipulation ou de représentations imagées et noter le processus. Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves ont découvert l addition et la soustraction de nombres entiers au cours des années d études précédentes. Ils ont modélisé des nombres entiers concrètement, à l aide d images et symboliquement. On suppose que les élèves peuvent comparer et ordonner des nombres entiers, placer des nombres entiers sur une droite numérique ainsi qu additionner ou soustraire des nombres entiers. Comme l ordre des opérations est traité plus loin dans le présent module, il se peut qu une certaine révision des règles d addition et de soustraction soit nécessaire. La recherche a révélé que l utilisation de modèles concrets est essentielle en mathématiques parce que la plupart des idées mathématiques sont abstraites. Les élèves doivent absolument passer du concret au symbolique et une partie de la préparation des programmes d instruction nécessite de prendre des décisions éclairées au sujet de la position des élèves sur le continuum du passage de la pensée concrète à la pensée symbolique. L addition de nombres entiers peut contribuer à établir une partie du travail préparatoire initial relatif à la multiplication de nombres entiers. Les élèves devraient voir un rapport entre la multiplication de nombres entiers et + peut également s exprimer sous la forme de 3 ensembles de 5 5 5 5. l addition répétée. Par exemple, ( 3) ( 5) ou ( + + ) ( ) ( ) Bien que les règles de la multiplication de nombres entiers soient faciles à apprendre pour les élèves, il est plus difficile d expliquer les raisons pour lesquelles ces règles ont du sens. Les jetons de nombres entiers et les droites numériques sont deux modèles qui peuvent aider à donner cette explication. On devrait d abord donner aux élèves la possibilité d étudier l addition répétée à l aide de jetons de nombres entiers. Ce modèle représente (-2) + (-2) + (-2)de même que 3 groupes de -2, ou ( + 3) ( 2). À suivre 56
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Écrivez chaque addition répétée sous forme de multiplication. (i) (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-6) (ii) (+4) + (+4) + (+4) + (+4) (8N7.1) Écrivez chaque multiplication sous forme d addition répétée. (i) ( + + 7) ( 2) (ii)( + 7) ( 2) (8N7.1) Performance Remettez aux élèves un bocal vide et un assortiment de billes ou de jetons. (i) Demandez aux élèves de mettre 4 groupes de -2 dans le bocal. Demandez leur d esquisser le diagramme qui illustre la situation, puis d écrire une phrase numérique qui représente la situation. (ii) Demandez aux élèves de retirer 3 groupes de -2 du bocal vide. Demandez combien il faudrait de paires de zéros pour exécuter la tâche. Ajoutez assez de paires de zéros, puis retirez les groupes. Demandez aux élèves d esquisser le diagramme qui illustre la situation, puis d écrire une phrase numérique qui représente la situation. (8N7.1) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.1: Multiplier des nombres entiers à l aide de modèles GE: ProGuide: p. 4-9 CD-ROM: FR 2.18 ME: p. 64-69 57
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateur de rendement: 8N7.1 Modéliser la multiplication de deux nombres entiers donnés à l aide de matériel de manipulation ou de représentations imagées et noter le processus. (suite) Les élèves devraient être en mesure de modéliser sans trop de difficulté la multiplication de deux entiers positifs ou d un entier positif et d un entier négatif. Une des façons de modéliser la multiplication d un entier positif et d un entier négatif est illustrée ci dessous. (+2) x (-3) Commencez à zéro Puisque le premier facteur est positif, "ajoutez" 2 ensembles de -3. Le résultat est -6 Il est plus difficile de modéliser une situation dans laquelle le premier nombre entier est négatif puisqu on ne sait pas avec certitude ce qui représente un nombre négatif de groupes. On trouvera ci-après un modèle de multiplication de deux entiers négatifs. Il se peut que les élèves aient de la difficulté à déterminer le nombre de paires de zéros à ajouter lorsqu ils utilisent un modèle à jetons. Pour les aider à prendre cette décision, établissez un rapport entre le nombre de paires de zéros et le nombre de jetons qu il faut enlever. À suivre 58
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Portfolio Nicolas a emprunté 6 $ à chacun de ses deux amis, Marc et Charles. Parce que c était l anniversaire de Nicolas, chacun de ses amis lui a fait grâce de la dette. Demandez aux élèves d expliquer à l aide d images et de mots la façon dont cela a modifié la valeur nette de Nicolas. (8N7.1) Journal Dites aux élèves qu un de leurs condisciples a manqué le cours le jour où il a été question pour la première fois de la multiplication de nombres entiers. Demandez leur de rédiger une explication détaillée pour aider l ami à comprendre comment calculer 2 + ( 5) et + 2 ( 5). (8N7.1) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.1: Multiplier des nombres entiers à l aide de modèles GE: ProGuide: p. 4-9 CD-ROM: FR 2.18 ME: p. 64-69 59
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage (-2) x (-3) Commencez à zéro Puisque le premier facteur est négatif, "enlevez" 2 ensembles de -3. Indicateur de rendement: - - - - - - + + + + + + Il faut 6 paires de zéro 8N7.1 Modéliser la multiplication de deux nombres entiers donnés à l aide de matériel de manipulation ou de représentations imagées et noter le processus. (suite) - - - - - - + + + + + + + + + + + + Enlevez 2 ensembles de -3 Le résultat est +6 La création d une suite numérique peut alors servir à justifier le résultat de la multiplication de deux entiers négatifs. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = 2 3 6 + = 1 3 3 0 3 = 0 = 1 3? = 2 3? Les élèves devraient observer qu à mesure que le premier facteur diminue de 1, le produit augmente de 3. + à l aide des jetons, les élèves devraient constater qu il est possible de multiplier des nombres entiers dans n importe quel ordre sans modifier le produit. C est-à-dire que, tout comme dans le cas des entiers naturels, la multiplication de nombres entiers est commutative. En comparant ( + 3) ( 2) et ( 2) ( 3) À suivre 60
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Performance Écrivez une phrase numérique pour chacun des problèmes qui suivent et utilisez un diagramme pour modéliser chaque situation. (i) Catherine a perdu 3 points dans chaque partie de carte qui a été jouée. Si elle a joué 4 parties, quel était son score à la fin? (ii) Jérémie devait 5 $ à chacun de 3 de ses amis. Quel nombre entier pourrait servir à représenter la dette totale de Jérémie? (8N7.1) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.1: Multiplier des nombres entiers à l aide de modèles GE: ProGuide: p. 4-9 CD-ROM: FR 2.18 ME: p. 64-69 61
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateur de rendement: Stratégies d enseignement et d apprentissage La droite numérique est un autre modèle. Elle offre une bonne méthode pour visualiser la multiplication de nombres entiers une fois que les élèves ont bien compris le procédé. Ceux ci devront prendre conscience du fait que le premier nombre entier indique la direction dans laquelle se tourner et le nombre de pas à faire, tandis que le second nombre entier indique dans quelle direction se déplacer, de même que la grandeur des pas. Prenons ( 3) ( 2) + +. En commençant à zéro, faites face à l extrémité positive de la ligne. Faites 3 pas de grandeur 2 vers l avant et arrêtez + 6. 8N7.1 Modéliser la multiplication de deux nombres entiers donnés à l aide de matériel de manipulation ou de représentations imagées et noter le processus. (suite) Pour multiplier ( + 2) ( 4), faites face à l extrémité positive de la ligne, faites 2 pas de grandeur 4 vers l arrière et arrêtez à 8. Pour multiplier ( 2) ( 4) +, faites face à l extrémité négative de la ligne, faites 2 pas de grandeur 4 vers l avant et arrêtez à 8. À suivre 62
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Performance Quel énoncé de multiplication chaque diagramme représente-t-il? (i) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.1: Multiplier des nombres entiers à l aide de modèles (ii) GE: ProGuide: p. 4-9 CD-ROM: FR 2.18 (8N7.1) ME: p. 64-69 63
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement: 8N7.1 Modéliser la multiplication de deux nombres entiers donnés à l aide de matériel de manipulation ou de représentations imagées et noter le processus. (suite) 8N7.2 Énoncer et appliquer une règle générale pour déterminer le signe du produit de nombres entiers. Stratégies d enseignement et d apprentissage Pour multiplier ( 2) ( 4) faites face à l extrémité négative de la ligne, faites 2 pas de grandeur 4 vers l arrière et arrêtez à 8. En faisant fond sur les modèles qui ont été utilisés, les élèves doivent élaborer les «règles des signes» générales relatives à la multiplication de nombres entiers : Lorsque les deux signes sont les mêmes, le produit est positif. Lorsque les deux signes sont différents, le produit est négatif. Il est possible d utiliser les suites numériques pour illustrer encore mieux les schémas de produits de nombres entiers : 3 x (+2) = 6 2 x (+2) = 4 produits positifs 1 x (+2) = 2 0 x (+2) = 0 produit de zéro -1 x (+2) = -2-2 x (+2) = -4 produits négatifs -3 x (+2) = -6 3 x (-2) = -6 2 x (-2) = -4 produits négatifs 1 x (-2) = -2 0 x (-2) = 0 produit de zéro -1 x (-2) = 2-2 x (-2) = 4 produits positifs -3 x (-2) = 6 Il est possible d employer les stratégies utilisées pour multiplier des entiers naturels de deux chiffres ou plus pour multiplier des nombres entiers de deux chiffres ou plus. Les «règles des signes» sont appliquées une fois la multiplication terminée. À suivre 64
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Trouvez les produits. (i) ( + 4) ( 3) (ii) ( + 5) ( 2) (iii) ( 4) ( 3) (iv) ( + 4) ( 22) (v) ( 13) ( 28) Complétez chaque énoncé de multiplication. (i) ( 4) = 28 (ii) ( 2 ) = 24 (8N7.2) (8N7.2) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.2: Des règles pour multiplier les nombres entiers Jeu: Quel est mon produit? GE: ProGuide: p. 10-15 CD-ROM: FR 2.19 ME: p. 70-76 Complétez chaque énoncé du plus grand nombre de façons possible à l aide de nombres entiers. (8N7.2) (i) = -12 (ii) = 16 Présentation/Portfolio La somme de deux nombres entiers est -2. Le produit des mêmes deux entiers est -24. Quels sont les deux entiers? Expliquez votre raisonnement. (8N7.2) Sans calculer les produits, trouvez le plus petit produit. Expliquez votre raisonnement. (8N7.2) ( 199) + ( 87) ( 199) ( 87) ( + 199) + ( 87) Expliquez pourquoi le produit de deux entiers négatifs doit être plus grand que la somme des deux entiers. (8N7.2) 65
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateur de rendement: 8N7.2 Énoncer et appliquer une règle générale pour déterminer le signe du produit de nombres entiers. (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Le modèle des aires, allié à la distributivité, peut servir à illustrer la multiplication de nombres entiers. Pour trouver le produit de 8 26 les élèves peuvent utiliser la distributivité pour représenter la situation de la façon indiquée ci-après. Comme les dimensions d un rectangle doivent être positives, prenons d abord 8 26. Cela peut être réécrit sous la forme 8x(20+6) et représenté par : 20 6 8 8 x 20 8 x 6 L aire de ce rectangle est 820 ( 6) donne : ( ) + ( ) 820 86 = 160+ 48 = 208 +. Si on utilise la distributivité, cela Rappelez maintenant qu à l origine les nombres entiers avaient des signes différents, ce qui a donné un produit négatif. Par conséquent, 8 26= 208. L utilisation du modèle des aires est une partie importante du travail avec les fractions et l algèbre. Il est également possible d appliquer la distributivité sans le modèle des aires. 8 26 ( ) 8 20+ 6 8 20+ 8 6 160+ 48 208 On devrait offrir aux élèves la possibilité d appliquer ces règles dans diverses situations de résolution de problèmes. 66
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Utilisez les nombres entiers pour illustrer chaque énoncé. (i) Le produit de deux nombres entiers est égal à l un des entiers. (ii) Le produit de deux nombres entiers est égal au contraire de l un des entiers. (iii) Le produit de deux nombres entiers est plus petit que les deux entiers. (iv) Le produit de deux nombres entiers est plus grand que les deux entiers. (8N7.2) Rédigez une règle des signes relative aux produits de chacun des éléments suivants : (i) Un nombre pair d entiers positifs (ii) Un nombre impair d entiers positifs (iii) Un nombre pair d entiers négatifs (iv) Un nombre impair d entiers négatifs (8N7.2) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.2: Des règles pour multiplier les nombres entiers Jeu: Quel est mon produit? GE: ProGuide: p. 10-15 CD-ROM: FR 2.19 ME: p. 70-76 Journal Supposez le cas d un ami qui sait comment multiplier des entiers positifs, mais qui n a jamais multiplié d entiers négatifs. (8N7.2) (i) Comment pourriez-vous utiliser la suite numérique ci-après pour montrer à votre ami comment calculer ( + 6) ( 4)? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + +=+ 6 3 18 + +=+ 6 2 12 + +=+ 6 1 6 6 0 0 + = 6 1 6 + = 6 2? + = 6 3? + = 6 4? (ii) Créez une suite numérique pour montrer à votre ami comment calculer ( + 5) ( 3). (8N7.2) 67
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement: 8N7.3 Fournir un contexte comportant la multiplication de deux nombres entiers. 8N7.4 Résoudre un problème donné comportant la multiplication de nombres entiers. Stratégies d enseignement et d apprentissage Parmi les situations utiles pour le travail sur les nombres entiers fait par les élèves, mentionnons : la température, les dépôts et les retraits, les scores au golf qui sont au dessous ou au-dessus de la normale, les étages qui sont au-dessus ou au dessous du rez-de-chaussée. Pour établir des rapports significatifs entre les situations du monde réel et la multiplication de nombres entiers, les élèves doivent comprendre la façon d utiliser les entiers positifs et les entiers négatifs pour représenter les quantités qui sont multipliées. Au moment de résoudre des problèmes, soulignez l importance d un énoncé sommaire destiné à expliquer la signification du produit de nombres entiers. Prenons l exemple suivant : Mathieu s est engagé à soutenir une organisation caritative pendant 2 ans. Si un montant de 25 $ est déduit automatiquement de son compte bancaire chaque mois, quel est le total de ses déductions? Les élèves doivent d abord décider quels sont les nombres entiers à multiplier. -25 représente la déduction mensuelle de 25 $; +24 représente le nombre de mois dans deux années. ( 25) + ( 24) = 600 La solution complète requiert l explication du signe négatif dans le contexte du problème. Dans le présent cas, les déductions totales de Mathieu seront de 600 $. 68
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Papier et crayon Vous n avez pas d argent et empruntez 2 $ chaque jour pendant 3 jours. Quelle est votre dette totale à la fin du troisième jour? (8N7.2, 8N7.4) Expliquez votre réflexion à l aide de mots ou de diagrammes à mesure que vous résolvez le problème suivant : Monique a 16 $ et dépense 3 $ par jour. Jean a 20 $ et dépense 4 $ par jour. Qui aura plus d argent ou une dette moindre au bout de sept jours? (8N7.1, 8N7.2, 8N7.4) Performance Jeu : «Opération nombres entiers» Joueurs : de deux à quatre. Matériel didactique : un jeu de cartes (sans les figures) Description: (8N7.2, 8N7.6) Distribuez toutes les cartes face en dessous sur la table. Les suites de couleur noire sont positives et celles de couleur rouge, négatives. Chaque joueur retourne deux cartes et décide d additionner, de soustraire, de multiplier ou de diviser les valeurs inscrites sur les cartes. Le joueur qui obtient le résultat le plus élevé gagne toutes les cartes qui sont face en dessus. Objectif : Variantes Le jeu continue jusqu à ce qu une seule personne (le gagnant) détienne toutes les cartes. Utilisez moins de cartes ou seulement les cartes affichant certaines valeurs. Utilisez moins d opérations (limitez celles-ci à la multiplication et à la division). Chaque joueur retourne trois ou quatre cartes au lieu de deux cartes. Le joueur qui obtient la plus petite somme ou différence, ou le plus petit produit ou quotient, gagne toutes les cartes qui sont face en dessus. Chaque joueur lance deux dés (ou plus) comportant un nombre entier sur chaque face plutôt que d utiliser des cartes à jouer. Le joueur qui obtient le plus grand (ou le plus petit) nombre après avoir effectué les opérations marque un point. Le gagnant est le joueur qui obtient le plus grand nombre de points. Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.2: Des règles pour multiplier les nombres entiers GE: ProGuide: p. 10-15 ME: p. 70-75 Il se peut que l enseignant préfère attendre d avoir vu la division de nombres entiers avant d utiliser cette activité avec les élèves. 69
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateur de rendement: 8N7.5 Modéliser la division d un nombre entier par un nombre entier à l aide de matériel de manipulation ou de représentations imagées et noter le processus. Stratégies d enseignement et d apprentissage La comparaison entre une situation de multiplication et une situation de division peut être très utile pour aider les élèves à comprendre la division de nombres entiers. Après avoir développé complètement la multiplication, il est possible d utiliser le fait que la multiplication et la division sont des opérations inverses. Les élèves devraient être exposés au rapport entre la multiplication et la division de nombres entiers, de même qu à la division et au regroupement ou partage. L utilisation de la droite numérique peut être étendue à la modélisation de la division de nombres entiers. Pour établir le rapport, il peut être avantageux d écrire un énoncé de multiplication correspondant. Par exemple, Phrase de division Phrase de multiplication correspondante ( + 8 ) ( 4) =?? ( 4) = + 8 Retournez au modèle de droite numérique utilisé pour la multiplication dans lequel le premier nombre entier indiquait la direction vers laquelle se tourner et le nombre de pas à faire, et le second entier, la direction dans laquelle se déplacer et la grandeur des pas. Lorsqu on divise, la direction à laquelle on finit par faire face détermine le signe du quotient. Les élèves doivent déterminer le nombre de pas de 4 qui les amènerait à + 8. La grandeur des pas, 4, est négative; marchez donc de reculons. En commençant à zéro, faites 2 pas pour atteindre + 8 et vous retrouver faisant face à la direction négative. + ( 8) = ( 4) 2. 70
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Performance Écrivez une phrase numérique pour chacun des problèmes qui suivent et utilisez un diagramme pour modéliser chaque situation. (i) Christian et ses trois amis doivent ensemble 12 $. Ils acceptent de partager la dette en parts égales. Quelle est la part de la dette de chaque personne? (ii) La température à Nain tombait de 2 C à chaque heure. Combien d heures a-t-il fallu pour que la température chute de 10 C? (8N7.5) Remettez aux élèves un bocal vide et un assortiment de billes ou de jetons. (i) Demandez aux élèves de mettre 10 jetons rouges dans le bocal en utilisant des groupes de deux jetons. Demandez-leur d esquisser le diagramme qui illustre la situation, puis d écrire une phrase numérique qui représente la situation. (ii) Demandez aux élèves de laisser six jetons rouges dans le bocal en enlevant des groupes de trois jetons jaunes. Demandez combien il faudrait de paires de zéros pour exécuter la tâche. Ajoutez le nombre suffisant de paires de zéros, puis retirez les groupes. Demandez aux élèves d esquisser le diagramme qui illustre la situation, puis d écrire une phrase numérique qui représente la situation. (8N7.5) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.3: Diviser des nombres entiers à l aide de modèles GE: ProGuide: p. 17-22 CD-ROM: FR 2.20 ME: p. 77-82 71
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage On peut aussi utiliser des jetons de nombres entiers lorsqu on divise des nombres de ce type. Voici l une des façons de modéliser ( 12) ( 4). ( -12 ) ( -4 ) Commencez à zéro Pour arriver à -12 avec des ensembles de -4, on peut "ajouter" des jetons. Combien d ensembles sont ajoutés? Indicateur de rendement: Il faut ajouter 3 ensembles de -4. 8N7.5 Modéliser la division d un nombre entier par un nombre entier à l aide de matériel de manipulation ou de représentations imagées et noter le processus. (suite) R ésultat: 3 ensembles de -4 ont été "ajoutés" pour arriver à -12 ainsi la réponse est "positive". ( -12 ) ( -4 ) = + 3 La création d une suite numérique est elle aussi utile dans la division. Par exemple ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = 6 3? ( ) = 9 = 3 3 9 3= 3 6 3 2 6 3 =2 3 3 1 3 3 =1 0 3 0 0 3 =0 3 3? 3 3? 6 3? 72
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Portfolio Olivier a modélisé ( 18) ( 6) + + en séparant 18 jetons positifs en groupes de 6 jetons. Charles a modélisé la même division en séparant 18 jetons positifs en 6 groupes égaux. Expliquez comment ils ont chacun déterminé le bon quotient. (8N7.5) L enseignant vous demande de calculer ( 2000) ( 500). Vous n avez que 20 jetons de nombres entiers. Expliquez, avec des diagrammes, comment vous modéliseriez la situation. (8N7.5) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.3: Diviser des nombres entiers à l aide de modèles GE: ProGuide: p. 17-22 CD-ROM: FR 2.20 La somme de deux nombres entiers est +15. En divisant l entier le plus grand par l entier le plus petit, on obtient un quotient de -4. Quels sont les deux nombres entiers? Expliquez votre raisonnement. (8N7.5, 8N7.6) ME: p. 77-82 Sans calculer les quotients, lequel aura la plus petite valeur? Expliquez votre raisonnement. (8N7.5, 8N7.6) ( 1428) + ( 84) ( + 1428) + ( 84) ( 1428) ( 84) 73
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement: 8N7.6 Énoncer et appliquer une règle générale pour déterminer le signe du quotient de nombres entiers. 8N7.7 Fournir un contexte comportant la division de deux nombres entiers. 8N7.8 Résoudre un problème donné comportant la division de nombres entiers (un nombre à deux chiffres divisé par un nombre à un chiffre) sans l aide de la technologie. 8N7.9 Résoudre un problème donné comportant la division de nombres entiers (un nombre à deux chiffres divisé par un nombre à 2 chiffres) avec l aide de la technologie. Tout comme dans le cas de la multiplication, les modèles qui ont été utilisés mèneraient aux «règles des signes» générales qui régissent la division de nombres entiers. Cela offre une autre occasion d étudier les opérations inverses. La comparaison entre la multiplication et la division peut être utile pour ce qui est d aider les élèves à comprendre la division. Par exemple, comme = 2 3 6, il doit être vrai que le produit divisé par l un ou l autre des facteurs est égal à l autre facteur. Par conséquent, ( = 6) ( 2) 3 et ( ) = 6 3 2. Les élèves devraient conclure que lorsque les deux signes sont identiques, le quotient est positif, et lorsqu ils sont différents, le quotient est négatif. On devrait offrir aux élèves la possibilité d appliquer ces règles dans diverses situations de résolution de problèmes. L utilisation de la terminologie appropriée, telle que les termes «dividende», «diviseur» et «quotient», est importante. Les élèves devraient être exposés aux différentes formes de notation d une division. Par exemple, un énoncé 6 de division peut s écrire sous la forme ( 6) ( 3), 3 6 ou. 3 Pour résoudre des problèmes de division d un nombre à 2 chiffres par un nombre à 1 chiffre, les élèves peuvent appliquer l algorithme de division non abrégée utilisé dans les années du cours primaire, puis appliquer les «règles des signes» de façon appropriée. La division de nombres entiers peut se faire dans de nombreux contextes. Un exemple est donné ici. Les profondeurs de plongée, en pieds, de 7 plongeurs autonomes qui étudient des bancs de poissons étaient -12, -9, -15, -8, -20, -17 et -10. Quelle est la profondeur de plongée moyenne? ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 12 9 15 8 20 17 10 91 = = 13 7 7 La profondeur de plongée moyenne est de 13 pieds sous la surface de l eau. Les questions de ce genre offrent l occasion d avoir une discussion en vue de s assurer que les élèves comprennent la signification du quotient négatif. 74
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Papier et crayon Calculez les quotients. (i) 9 + ( 3) (ii) ( + 14) ( 7) 16 (iii) 2 42 (iv) 7 90 (v) 15 (8N7.6) Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.4: Des règles pour diviser les nombres entiers GE: ProGuide: p. 24-29 CD-ROM: FR 2.21 Complétez chaque énoncé de division. (i) ( ) 44 = ( + 11) (ii) ( 2) = ( 8) (8N7.6) Complétez chaque énoncé du plus grand nombre de façons possibles à l aide de nombres entiers. (i) +18 = (ii) 24 = (8N7.6) ME: p. 84-89 Si 14 fois un entier donne -84, quel est cet entier? (8N7.6) Une équipe de football a été pénalisée de 30 points sur 3 jeux. Supposez que l équipe a été pénalisée d un nombre égal de verges sur chaque jeu. Écrivez un énoncé de division à l aide de nombres entiers et résolvez-le pour trouver le nombre de verges de chaque pénalité. (8N7.7, 8N7.8) Anne et Sarah ont couru 5 tours de piste lors d une course. Lorsqu Anne a terminé, Sara était à 15 mètres derrière elle. Supposez que le retard pris par Sara durant chaque tour de piste était toujours du même nombre de mètres. Écrivez un énoncé de division à l aide de nombres entiers et résolvez-le pour déterminer le retard pris par Sarah à chaque tour. Jeu «Opération nombres entiers» (8N7.7, 8N7.8) On peut trouver la description du jeu à la page 69 de ce programme de mathématiques. (8N7.2, 8N7.6) 75
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateur de rendement: Les élèves devraient être en mesure de déterminer les opérations nécessaires pour résoudre des problèmes faisant intervenir des données telles que la température, la hauteur au-dessus ou au dessous du niveau de la mer, la valeur nette et les scores de jeux, pour ne nommer que celles là. Avant de vraiment résoudre les problèmes, les élèves devraient avoir la possibilité de déterminer les opérations requises à cette fin. L objectif ici n est pas la résolution des problèmes, mais l utilisation de mots clés, ou d idées, pour déterminer l opération qui serait utilisée. Les mots clés incluent, mais non de façon limitative, ceux indiqués dans le tableau. 8N7.10 Identifier l opération requise pour résoudre un problème donné comportant des nombres entiers. Addition Soustraction Multiplication Division ajouter enlever doubler partager plus moins tripler groupe somme différence produit quotient Il serait possible de créer cette liste en exposant les élèves à divers problèmes sous forme d énoncés et en déterminant les opérations nécessaires pour les résoudre. 76
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Présentation/Portfolio Expliquez la raison pour laquelle le quotient de deux entiers négatifs doit être plus grand que leur somme. (8N7.6) Sans faire de calcul, Chantal a dit que les quotients ( 468) ( 26) et( + 468) + ( 26) devaient être les mêmes. Comment le savait-elle? (8N7.6) Journal Michel a dit : «Lorsque je divise +12 par +4, +3, +2 ou +1, le quotient est inférieur ou égal à +12. Si je divise -12 par +4, +3, +2 ou +1, je pense que le quotient devrait être inférieur ou égal à -12». Êtesvous d accord avec lui? Expliquez. (8N7.6, 8N7.8) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.5: La priorité des opérations avec des nombres entiers GE: ProGuide: p. 30-35 ME: p. 90-93 Performance Donnez aux élèves des exemples de problèmes sous forme d énoncés. Les énoncés peuvent être écrits sur un bout de papier remis à chaque élève, ou présentés sur un document transparent. Demandez aux élèves d indiquer, en groupes ou individuellement, l opération qu ils utiliseraient et d expliquer comment il se fait qu ils la connaissent. Demandez-leur de dresser la liste des mots clés ou des phrases qui les ont aidés à déterminer l opération à utiliser. Dressez une liste de contrôle en demandant aux élèves de mettre en commun leurs listes. (8N7.10) Papier et crayon Écrivez la phrase numérique de nombres entiers qui peut servir à résoudre les problèmes suivants : (i) Une installation de forage pétrolier est en train de creuser un puits à la vitesse de 2 m par minute. Quelle est la profondeur du puits au bout des 8 premières minutes? (ii) La température a diminué de 16 C au cours d une période de 4 heures. Si on suppose que le taux de diminution était constant, de combien la température a t elle diminué à chaque heure? (8N7.10) 77
Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N7 Démontrer une compréhension de la multiplication et de la division de nombres entiers, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V] (suite) Indicateur de rendement: 8N7.11 Résoudre un problème donné comportant des nombres entiers en tenant compte de la priorité des opérations. Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves auront déjà utilisé l ordre des opérations, à l exclusion des exposants, celui-ci étant toutefois limité aux nombres naturels et aux décimales. L ordre inclura maintenant les calculs avec des nombres entiers. Il est important de noter que le travail avec les exposants n est pas un résultat d apprentissage déterminé avant la 9e année d études. Dans le cas du présent module de travail, les élèves effectueront des calculs selon l ordre des opérations suivant : parenthèses division et multiplication (dans l ordre dans lequel elles apparaissent) addition et soustraction (dans l ordre dans lequel elles apparaissent) Les règles relatives à l ordre des opérations sont nécessaires pour préserver l uniformité des résultats. Il est important de fournir aux élèves des situations dans lesquelles ils peuvent reconnaître le besoin d utiliser l ordre des opérations. La technologie est utile dans le cas des situations qui font intervenir des diviseurs de plus d un chiffre ou des multiplicateurs de plus de deux chiffres. Les élèves devraient comprendre la façon d utiliser la touche de la calculatrice et la façon dont les nombres négatifs sont traités différemment sur certaines calculatrices. On devrait donner des directives précises concernant l utilisation d une calculatrice en ce qui a trait à l ordre des opérations. Les élèves devraient reconnaître la nécessité de préparer les problèmes en vue de leur saisie dans la calculatrice. Ils devraient aussi être conscients du fait que différentes calculatrices traitent l ordre des opérations de différentes façons. Certaines calculatrices sont programmées pour aborder l ordre des opérations automatiquement et d autres ne le sont pas. L utilisation appropriée des parenthèses devra faire l objet d une discussion. Les parenthèses peuvent servir à montrer des entiers comme étant positifs ou négatifs, tels que (-3) ou (+4). Ces parenthèses ne requièrent aucune opération. Le nombre (-4) doit être entre parenthèses dans l expression -5 (-4), il n est toutefois pas nécessaire que le nombre -5 soit entre parenthèses. Dans le cas d un entier positif, le signe positif est souvent «sous entendu». Par exemple, on comprend que 4 est la même chose que (+4) et les parenthèses ne sont donc pas nécessaires dans ce cas. 78
Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Papier et crayon Calculez : (i) ( + + 4) ( 8) ( 2) ( 15) (ii) ( + + 3) ( 14) + ( 18) + ( 8) ( 4) (iii) [6 + ( 38)] 4( 2) ( + 2 4)(5 6) (8N7.11) À l aide de parenthèses, regroupez les termes dans l expression 40 6 3 4 5 pour obtenir le plus petit résultat possible. (8N7.11) Trouvez le signe d opération manquant dans chaque équation. (i) 36 (4 1) 2 = 24 Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 8 Leçon 2.5: La priorité des opérations avec des nombres entiers Comprendre le problème: ME: p. 94-95 GE: ProGuide: p. 30-35 CD-ROM: FR: 2.22 (ii) -12 4 (-3) = -24 (8N7.11) ME: p. 90-93 La formule servant à convertir les températures en degrés Fahrenheit (F) en températures en degrés Celsius (C) est C( F ) = 32 5 9. Utilisez la formule pour convertir -49 F en degrés Celsius. (8N7.11) Les températures minimums à La Scie pendant cinq jours en novembre étaient -4 C, +1 C, -2 C, +1 C et -6 C. Quelle est la moyenne des ces températures? (8N7.11) Portfolio Il y a des erreurs dans cette solution. 3 ( 8) ( 2 4) = 24 ( 2 4) = 12 4 = 8 Trouvez les erreurs et apportez les corrections nécessaires. (8N7.11) Journal Pour gagner un voyage gratuit, vous devez répondre correctement à la question réglementaire suivante : + 3 4( 18) 6( 5 ). Les organisateurs du concours disent que la réponse est +4. Écrivez une lettre à leur intention, dans laquelle vous expliquez la raison pour laquelle leur solution pose problème. (8N7.11) 79
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