MAT-4072-2 Mathématiques d appoint pour l électromécanique Section 5 Système métrique et préfixes Site web CSPO : http://revimathfp.weebly.com/ http://phys-chimie.voila.net Adaptation et conception : Sylvie Leblond Gilles Coulombe CSPO
Mise en situation Lors d un travail en électronique, un technicien a besoin de connaître la résistance (R) d un fil d aluminium qu il intégrera dans un appareil. La formule pour calculer la résistance du fil est la suivante : où ρ représente le coefficient de résistivité de l aluminium (Ω m) L représente la longueur du fil (m) A représente l aire de la section du composant (m²) r A L Le coefficient de résistivité du fil est de 2,82 10-8 Ω m. Le fil mesure 1 m et a un diamètre de 1 mm. L aire de la section du fil est calculée avec la formule suivante le rayon de la section. où r est Bien sûr, avant de placer les données concernant la longueur et le diamètre dans la formule, il doit s assurer que les unités de ces mesures sont les mêmes 2
1. CONVERSION D UNE MESURE DE LONGUEUR EN UNE AUTRE 1. Le mètre, unité de mesure de longueur (origine et définition) Les échanges commerciaux entre les pays ont nécessité l'adoption d'unités de mesures communes. En 1790 l'académie des sciences a défini le mètre comme étant la dix-millionième partie d'un quart de méridien terrestre. Sur cette base a été créé le mètre en platine qui est conservé à Paris. Dans le système international (SI) de mesure, l'unité de longueur est le mètre (m). Deux capsules vidéo Conversion de longueur avec multiples de 10 Conversion de longueur à l aide d un tableau http://revimathfp.weebly.com/capsules-sur-la-conversion-de-longueur.html 2. Tableau de conversion de mesures 10 10 10 10 10 10 Unité kilomètre hectomètre décamètre Mètre Décimètre Centimètre Millimètre 10 10 10 10 10 10 3
Conversion d une mesure à l autre dans le système métrique Note : La démarche pour faire des conversions de longueur est la même que celle pour faire des conversions d autres unités (masse, etc.) 1. Nombre entier Je veux savoir ce que 235 m représente en km. kilomètre hectomètre décamètre Mètre Décimètre Centimètre Millimètre 0, 2 3 5 1- Je prends l unité du nombre (5) et je le place dans la mesure donnée, soit les mètres. 2- Je place les autres chiffres en suivant l ordre (de droite à gauche). 3- Je mets la virgule dans la colonne de la mesure demandée (ici le km). Si la case est vide, je mets un zéro. 4- La réponse est 0,235 km. 2. Nombre décimal Si je veux convertir 365,2 km en mètres km hm dam m dm 3 6 5 2 0 0, 1- Je prends l unité du nombre (5) et le mets dans la mesure donnée (km). 2- Je place les autres chiffres du nombre à gauche et à droite de l unité sans virgule. 3- Je place la virgule à la droite de la mesure demandée (ici les mètres). 4- Si la case est vide, je mets un zéro. 5- La réponse est 365 200 m. Méthode animée : Convertir des mesures dans un tableau http://mep-col.sesamath.net/dev/aides/fr/aide182.swf 4
Exercice 1 1) Transforme les longueurs suivantes dans l unité de mesure demandée. 23 km = m 2 m = km 345 m = km 4 342 km = m 16 km = hm 500 m = km 2) Place les longueurs suivantes de la plus petite à la plus grande. 2 km 250 m 2 450 m 25 hm,,, D autres exemples Exemple 1 : Je veux convertir 76,2 m en mm. 7 6 2 0 0, 1- Je prends l unité du nombre (6) et je le place dans la mesure donnée, soit les mètres. 2- Je place les autres chiffres du nombre à gauche et à droite de l unité, sans virgule. 3- Je mets la virgule à la droite de la mesure demandée (ici le mm). Si la case est vide, je mets un zéro. 4- La réponse est donc 76 200 mm. 5
Exemple 2 : Je veux convertir 150 mm en m. 0, 1 5 0 1- Je prends l unité du nombre (0) et je le place dans la mesure donnée, soit les mm. 2- Je place les autres chiffres en suivant l ordre (de droite à gauche) 3- Je mets la virgule dans la colonne de la mesure demandée (ici le m). Si la case est vide, je mets un zéro. 4- La réponse est donc 0,150 m. Exercice 2 Transforme les longueurs suivantes dans l unité de mesure demandée. 1. 62 m en mm Réponse : 2. 4,58 m en mm Réponse : 6
3. 7 mm en dm Réponse : 4. 2,2 m en cm Réponse : 5. 658 mm en cm Réponse : 6. 15 km en m Réponse : 7
7. 38,6 m en mm Réponse : 8. 453 dam en km Réponse : 9. 2,045 m en mm Réponse : 10. 0,0075 m en mm Réponse : 8
Exercice 3 Faites les conversions de longueurs suivantes. Servez-vous des tableaux vierges en annexe (à la fin du document), au besoin. 9
Note Nous venons de faire des conversions de longueurs. Le même principe s applique avec d autres unités de mesure. Par exemple, on peut utiliser le même tableau de conversion pour transformer des unités de masse. L unité de base est, à ce moment, le gramme (g) au lieu du mètre (m). kg hg dag g dg cg mg Exemple Si la masse est un nombre entier, par exemple, 235 g de farine, et que je veux savoir combien cela représente de kilos. kilogramme hectogramme décagramme gramme décigramme centigramme 0, 2 3 5 milligramme 1- Je prends l unité du nombre (5) et je le place dans la mesure donnée, soit les grammes. 2- Je place les autres chiffres en suivant l ordre (de droite à gauche). 3- Je mets la virgule dans la colonne de la mesure demandée (ici le kilo). Si la case est vide, je mets un zéro. 4- La réponse est 0,235 kg de farine. 10
Exercice 4 Faites les conversions de masses suivantes. Servez-vous des tableaux vierges en annexe (à la fin du document), au besoin. 11
2. LES DISTANCES DANS L UNIVERS : DE L ATOME AUX GALAXIES 1. Multiples et sous multiples du mètre Voici un tableau de mesures plus petites que le mètre, avec leur équivalence en mètres. décimètre (dm) 1 dm = 10-1 m = 0,1 m centimètre (cm) 1 cm = 10-2 m = 0,01 m millimètre (mm) 1 mm = 10-3 m = 0,001 m micromètre (µm) 1 µm = 10-6 m = 0,000 001 m nanomètre (ηm) 1 ηm = 10-9 m = 0,000 000 001 m picomètre (ρm) 1 ρm = 10-12 m = 0,000 000 000 001 m Voici un tableau de mesures plus grandes que le mètre, avec leur équivalence en mètres. décamètre (dam) 1 dam = 10 1 m = 10 m hectomètre (hm) 1 hm = 10 2 m = 100 m kilomètre (km) 1 km = 10 3 m = 1 000 m mégamètre (Mm) 1 Mm = 10 6 m = 1 000 000 m gigamètre (Gm) 1 Gm = 10 9 m = 1 000 000 000 m téramètre (Tm) 1 Tm = 10 12 m = 1 000 000 000 000 m 12
2. Conversion de valeurs Pour convertir des valeurs, nous pouvons utiliser les équivalences des tableaux, et appliquer la règle du produit croisé. Exemple 1 : Convertir la longueur 30,8 µm en mètre. 30,8 µm = x m 1 µm = 10-6 m On peut écrire la proportion suivante : x = 30,8 x 10-6 m x = 3,08 x 10-5 m Exemple 2 : Convertir la longueur 52,4 Mm en mètre. 52,4 Mm = x m 1 Mm = 106 m On peut écrire la proportion suivante : x = 52,4 x 106 m x = 5,24 x 107 m Exemple 3 : Convertir la longueur 118 000 000 m en Gm. 118 000 000 m = x Gm 109 m = 1 Gm On peut écrire la proportion suivante : x = 118 000 000 = 1,18 x 108 = 1,18 x 108-9 = 1,18 x 10-1 Gm 109 109 13
3. Méthode rapide pour convertir des unités de mesure en mètre Il est très facile de ramener n importe quelle unité de mesure (autre que le mètre) en mètre. Il suffit de remplacer l unité de mesure (qui n est pas en mètre) par sa valeur d équivalence (en mètre), donnée dans le tableau de la page 12, et de la multiplier avec le nombre. Reprenons l exemple 1 de la page précédente et appliquons cette méthode : 30,8 µm =? m 30,8 µm = 30,8 x 10-6 m = 3,08 x 10-5 m On peut également utiliser cette méthode pour l exemple 2 : 52,4 Mm =? m 52,4 Mm = 52,4 x 106 m = 5,24 x 107 m 4. Méthode rapide pour convertir des mètres en n importe quelle autre unité de mesure Il est très facile aussi de convertir des mètres en n importe quelle unité de mesure autre que le mètre. Il suffit d utiliser l unité de mesure (qui n est pas en mètre) et de multiplier avec le nombre l inverse de sa valeur d équivalence (en mètre), donnée dans le tableau de la page 12. Reprenons l exemple 3 de la page précédente et appliquons cette méthode : 118 000 000 m =? Gm 118 000 000 m = 118 000 000 x 10-9 Gm = 1,18 x 10-1 Gm Avec le tableau de conversion nous savons que: 1 Gm = 109 m Nous devons donc multiplier le nombre avec 10-9 (l inverse de 109) Pourquoi l inverse de la valeur en mètre? Voici l explication : 109 m = 1 Gm 1 m = x Gm On peut aussi écrire la proportion sous la forme suivante : 14
Exercice 5 1. Convertir les longueurs suivantes en mètres. Longueur Longueur (en m) 15 dm 500 µm 0,01 mm 47 hm 6 10 4 cm 20 000 km 2. Convertir à partir du mètre dans les unités demandées Longueur (en m) Longueur dans l'unité demandée 2,2 dm 10 6 hm 0,004 µm 3 10-9 mm 30 cm 0,000 056 ρm 15
DES UNITÉS DE MESURES EN ÉLECTRICITÉ Dans le monde de l électricité, les unités de mesure utilisées ne se limitent pas aux longueurs et aux masses. En voici quelques exemples. Tableau d unités de mesure en électricité l'intensité de courant ampère (A) la différence de potentiel, U : volt (V = W/A) la capacité électrique, C : la résistance électrique, R : l'inductance, L : la quantité électrique, Q : la puissance, P : l'énergie, W : l'induction magnétique, B : le champ électrique, E : le champ magnétique, H : farad (F = C/V) ohm (Ω = V/A) henri (H = Wb/A) coulomb (C = A.s) watt (W = J/s) joule (J = N.m) tesla (T = Wb/m2) volt par mètre (V/m) ampère par mètre (A/m) la conductance électrique, G : siemens (S = A/V) l'affaiblissement, η : décibel (db) Pour ces unités, il faut également savoir comment les convertir. Le tableau de conversion est encore utile, il faut simplement changer l unité de base. Par exemple, pour la puissance en watt (W) : kw hw daw W dw cw mw 16
UTILISATION DU BON PRÉFIXE EN ÉLECTRICITÉ Lorsqu on utilise des formules mathématiques pour faires des calculs, on ne peut pas remplacer les variables avec n importe quelles valeurs numériques; il faut absolument respecter les unités de mesure spécifiées par celles-ci. Examinons la formule U = RI. Celle-ci nous permet de calculer la tension en VOLT aux bornes d une résistance R, dont l unité de mesure est le OHM, qui est parcourue par un courant I, dont l unité de mesure est l AMPÈRE. Pour utiliser correctement cette formule, il faut absolument respecter ces unités de mesure. Dans le cas contraire, nous n obtiendrons pas la bonne réponse. Exemple : Quelle serait la tension aux bornes d une résistance de 33 kω parcourue par un courant de 2,3 μa? La valeur de la résistance nous est donnée en kilo-ohm et celle du courant en micro-ampère. Nous ne pouvons donc pas utiliser directement ces valeurs dans la formule. Il nous faut d abord les convertir dans les bonnes unités. 33 kω =? Ω 2,3 μa =? A Avec l aide d un tableau de conversion, ou du tableau d équivalence et du produit croisé, on trouve facilement que : 33 kω = 33 000 Ω 2,3 μa = 0,0000023A Nous pouvons maintenant calculer la valeur de la tension aux bornes de la résistance. U = 33 000 Ω X 0,0000023 A U = 0,0759 V Comparons cette valeur avec celle que nous aurions obtenue si nous n avions pas fait la conversion des unités. U = 33 X 2,3 U = 75,9 V 17
Nous nous serions trompés par un facteur de 1000 dans notre calcul. Toute une différence! La bonne réponse est donc 0,0759 V. Lorsque notre réponse est petite ou grande par rapport à l unité de mesure choisie, il est préférable de la convertir dans une unité plus appropriée. Considérons la réponse que nous avons obtenue, soit 0,0759 V. Il nous est possible de la convertir et de l exprimer plus facilement avec des millivolts. 0,0759 V =? mv 0,0759 V = 75,9 mv Nous pouvons donc aussi exprimer notre réponse par 75,9 mv. C est exactement la même chose que 0,0759 V mais plus facile à utiliser. Nous avons changé l unité de mesure une fois le calcul fait, pas avant de l obtenir. Exercice 6 Calculer les valeurs demandées en respectant les bonnes unités de mesure et exprimer votre réponse dans une unité de mesure adéquate. a) Calculer la tension aux bornes d une résistance de 1,2 kω parcourue par un courant de 4,3 μa. b) Calculer la valeur de la résistance qui est parcourue par un courant de 4,8 ma et qui présente une tension de 5,4 kv à ses bornes. c) Calculer la valeur du courant qui circule dans une résistance de 45,6 MΩ lorsqu une tension de 1,4 kv est appliquée à ses bornes. d) Calculer la tension aux bornes d une résistance de 3,5 kω parcourue par un courant de 8,2 μa. 18
e) Calculer la valeur d une résistance qui est parcourue par un courant de 9,8 ma et qui présente une tension de 3,4 kv à ses bornes. f) Calculer la valeur du courant qui circule dans une résistance de 73,6 MΩ lorsqu une tension de 3,4 kv est appliquée à ses bornes. PRÉFIXES ET PUISSANCES DE DIX Lorsque nous utilisons une formule, nous sommes forcés de respecter les unités de mesure spécifiées. Il nous arrive alors parfois de devoir remplacer les variables de la formule par de très grosses ou petites valeurs numériques. Dans ce cas, il est préférable, et souvent indispensable, d exprimer ces valeurs à l aide de puissances de 10 pour arriver à effectuer le calcul. Lorsque nous connaissons la valeur en puissance 10 des préfixes de nos unités de mesure (tableaux de la page 12), il nous est très facile d exprimer nos valeurs numériques dans les unités désirées et de conserver l expression en puissance 10 pour effectuer le calcul. Reprenons l exemple précédent et procédons à la conversion des unités en changeant les préfixes par des puissances de 10. 33 kω = 33 X Ω car 1 kω = Ω 2,3 μa = 2,3 X A car 1 μa = A Procédons au calcul de la tension avec les valeurs numériques exprimées en puissance de 10. U = (33 X Ω) X (2,3 X A) U = (33 X 2,3) X ( X ) X (Ω X A) U = 75,9 X V Puisque l on sait que 1 mv = V on peut aussi très facilement, avec la méthode des puissances de 10, convertir la réponse dans l unité de mesure appropriée qui est ici le millivolt plutôt que le volt. U = 75,9 mv 19
Exercice 7 À l aide de puissance 10, calculer les valeurs demandées en respectant les bonnes unités de mesure et exprimer votre réponse dans une unité de mesure adéquate. a) Calculer la tension aux bornes d une résistance de 1,8 kω parcourue par un courant de 35 ρa. b) Calculer la valeur d une résistance qui est parcourue par un courant de 68 ηa et qui présente une tension de 34 mv à ses bornes. c) Calculer la valeur du courant qui circule dans une résistance de 1,2 MΩ lorsqu une tension de 32 kv est appliquée à ses bornes. d) Calculer la tension aux bornes d une résistance de 4,8 kω parcourue par un courant de 65 ρa. e) Calculer la valeur de la résistance qui est parcourue par un courant de 58 ηa et qui présente une tension de 4 mv à ses bornes. f) Calculer la valeur du courant qui circule dans une résistance de 1,8 MΩ lorsqu une tension de 62 kv est appliquée à ses bornes. 20
3. CONVERSION DE MESURES D AIRE ET DE VOLUME Conversion de mesures d aire Quand nous voulons transformer des mesures de longueur dans le système métrique, nous multiplions ou divisons la mesure donnée par un ou plusieurs facteurs de 10. Par exemple, nous trouvons 1 m = 100 cm ou 1 cm = 10 mm. Qu en est-il pour la conversion de mesures d aire? Pour calculer l aire, on se sert généralement des unités de mesure suivantes : millimètre carré, centimètre carré, décimètre carré, mètre carré, décamètre carré, hectomètre carré ou kilomètre carré. 21
La conversion On sait que l aire d un carré est «côté x côté». Admettons que le carré ait comme mesure de côté 1 cm. Son aire est alors de 1cm x 1 cm = 1 cm² On peut convertir cette mesure en mm pour voir. On sait que 1 cm = 10 mm. Alors le même carré a comme mesure de côté 10 mm. Son aire est alors de 10 mm x 10 mm = 100 mm². On remarque alors que 1 cm² = 100 mm². Donc, pour passer d une unité de mesure à une autre, il faut utiliser la multiplication ou la division par facteur de 100. De cm 2 vers mm 2, on doit multiplier par 100. À l inverse, de mm 2 vers cm 2, on doit diviser par 100. Plus généralement, quand on se déplace vers des unités vers la droite, on multiplie par 100 pour chaque bond. Alors quand on se déplace vers des unités vers la gauche, on divise par 100 pour chaque bond. 22
LES UNITÉS DE VOLUME ET LEUR CONVERSION Les unités Quand on mesure le volume d un solide, on cherche à connaître l espace disponible à l intérieur du solide. Pour exprimer le volume, on ajoute l exposant 3 à l unité de mesure : mm 3, cm 3, m 3, km 3, etc. Cet exposant veut dire «cube» et ainsi, cm 3 signifie «centimètre cube». On peut utiliser un véritable cube pour expliquer la notion de volume. Ce cube représente une portion de l espace dans un solide. En découvrant combien de cubes peuvent former le solide, on trouvera le volume. Puisqu il y a 4 cubes qui composent ce prisme rectangulaire, son volume correspond à 4 unités cube. On pourrait également affirmer qu il y a 2 cubes formant la longueur du rectangle, 2 cubes formant la largeur et 1 cube formant la profondeur. En multipliant ces données, on obtient le même résultat : longueur x largeur x profondeur = 2 x 2 x 1 = 4 unités cubes. On répète la dernière démarche avec cette forme : 23
Ce prisme a 2 cubes de largeur, 4 cubes de longueur et 3 cubes de profondeur. Ainsi, on peut multiplier ces trois dimensions. De cette façon, on obtient le volume du prisme rectangulaire : Longueur x largeur x profondeur 2 x 4 x 3 = 24 unités cubes Si on compte les cubes, on obtient le même résultat (24 cubes). On aurait utilisé la même démarche si on avait eu la mesure des côtés de ce prisme plutôt que le nombre de cubes formant chaque côté. Longueur x largeur x profondeur = Volume 2 x 4 x 3 = 24 cm 3 Dans le cas du volume d un solide, on se sert généralement des unités de mesure suivantes : millimètre cube, centimètre cube, décimètre cube, mètre cube, décamètre cube, hectomètre cube et kilomètre cube. 24
La conversion On sait que le volume d un cube est côté x côté x côté. Admettons que le cube ait comme mesure de côté 1 cm. Son volume est alors de 1cm x 1 cm x 1 cm = 1 cm³ On peut convertir cette mesure en mm pour voir. On sait que 1 cm = 10 mm. Alors le même cube a comme mesure de côté 10 mm. Son volume est alors de 10 mm x 10 mm x 10 mm = 1000 mm³. On remarque alors que 1 cm³ = 1 000 mm³. Il existe deux méthodes pour convertir des mesures : utiliser la multiplication et la division ou utiliser un tableau. De cm 3 vers mm 3, on doit multiplier par 1000. À l inverse, de mm 3 vers cm 3, on doit diviser par 1000. Plus généralement, quand on se déplace vers des unités vers la droite, on multiplie par 1000 pour chaque bond. Alors que quand on se déplace vers des unités vers la gauche, on divise par 1000 pour chaque bond. 25
Exercice 8 1.Compléter les égalités suivantes. 4 200 m 2 8 hm 2 1 245 dam 2 9,6 hm 3 5 hm 3 42 m 3 0,45 cm 3 5,45 m 2 4 km 2 =... km² =... dam 2 =... km² =... dam 3 =... m 3 =... dm 3 =... mm 3 =... dm 2 =... dam 2 2. Classer les surfaces suivantes par ordre croissant : 16,5 m² ; 165 cm² ; 0,51 km² ; 12 500 000 mm² ; 3 450 dam² 3. Classer les volumes suivants par ordre croissant : 123 250 cm 3 ; 850 dm 3 ; 10 m 3 ; 0,001 dam 3 4. A = 689 856 mm 2. Donner la valeur de A en cm 2. Donner la valeur de A en m 2. Donner la valeur de A en dam 2. A = A = A = 5. V = 689 856,125 m 3. Donner la valeur de V en dam 3. Donner la valeur de V en km 3. V = V =..._... 26
Annexe : tableaux de conversions 27
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