ESSEC. Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le modèle de Merton

ESSEC Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le modèle de Merton

Les hypothèses du modèle Dérivation du modèle Les extensions du modèle Le modèle de Merton

Les hypothèses du modèle Marché parfait : absence de coûts de transaction, ni impôts ni taxes Marché complet : le nombre d actifs risqués (non dépendants) est égal au nombre de sources de risque. Absence d opportunités d arbitrage : il n y a pas de profits sans risque. Validité du théorème de Modigliani Miller : indépendance de la valeur de l entreprise par rapport à sa structure de capital (en l absence de coûts de faillite et d impôts sur les bénéfices) Taux d intér êt constant (noté r)

Le modèle de Merton Valeur des actifs de l entreprise (notée V) donnée par un processus d Ito : dv t = (µ d) V t dt + σ V t dz t où µ représente l espérance du taux de rendement instantané des actifs, d le taux de dividendes versés aux actionnaires et σ la volatilité du rendement instantané. Dette: obligation zéro coupon de nominal B et de maturité T. Fonds propres: la responsabilité des actionnaires est limitée à leurs apports (limited liability rule). Exercice: représenter graphiquement l évolution de la valeur de l entreprise, la distribution de cette variable à maturité et le risque de crédit. Dans quels cas, y a t il un risque de crédit?

Analyse du bilan de l entreprise A l actif: les actifs industriels (valeur V) Au passif : la dette des créanciers (valeur D comme debt) et les fonds propres des actionnaires (valeur E comme equity) Fonds propres Actifs Dette L égalité entre l actif et le passif se traduit par: V = D + E.

Interprétation du passif de l entreprise A la date T, deux cas sont possibles : Si V T > B, la valeur des actifs est suffisante pour rembourser les créanciers : l entreprise rembourse B aux créanciers et donne V T B aux actionnaires. Si V T < B, la valeur des actifs est insuffisante pour rembourser les créanciers : l entreprise donne V T aux créanciers et rien aux actionnaires. Exercice : représenter le contrat entre l entreprise et les actionnaires sous la forme d un contrat d option. Décomposer de même le contrat entre l entreprise et les créanciers. Comment mesurer le coût du risque de crédit pour les cr éancier s?

Evaluation des fonds propres Valeur financière des fonds propres A la date 0, la valeur financière des fonds propres notée E 0 peut être évaluée à partir de la formule Black Scholes : E0 = V0 N(d 1 ) B exp ( r T) N(d 2 ) A la date T, la valeur des fonds propres est égale à : Max(V T B, 0).

Evaluation de la dette (1) Valeur financière de la dette A la date 0, la valeur financière de la dette notée B 0 peut être évaluée à partir de l égalité : B 0 = V 0 E 0 A la date T, la valeur de la dette est égale à : min(b T, V T ). Elle se décompose comme la valeur d une obligation zéro coupon sans risque et d un put. B 0 = B e r T + N( d 1 ) V 0 B e r T N( d 2 )

Evaluation de la dette (2) Interprétation du coût du risque A la date 0, la valeur du put notée P 0 peut se décomposer comme le produit de la perte moyenne en cas de défaut (expected shortfall) par la probabilité de défaut : P 0 = (N( d 1 )/N( d 2 ) V 0 B e r T ) N( d 2 )

Mesure de l endettement Evaluation de la dette (3) Si la dette n était pas risquée, le ratio d endettement (leverage ratio) serait égal à : B e r T /V 0 Comme la dette est risquée, à maturité les créanciers ne récupèrent pas B T, mais min(b T, V T ). Le ratio d endettement ci dessus est donc surestimé.

Evaluation de la dette (4) Taux de rendement de la dette A partir de la valeur de la dette, le taux de rendement de la dette se calcule comme suit : (, ) ln B T V B Y ( T, V ) = T = ln ( B e ). rt T B P T

Spread Evaluation de la dette (5) Le spread, noté S, est défini par la différence entre le taux de rendement de l obligation de l entreprise qui est risquée et le taux sans risque (taux de rendement des obligations d Etat) : S 1 T 0 ( T, V ) Y ( T, V ) r = ln N ( d ) + N ( d ) Le modèle de Merton permet d obtenir la structure par terme des spreads (le risque de défaut n est pas le même pour une dette à 1 an ou une dette à 10 ans). Exercice : représenter graphiquement la structure par terme des spreads pour des entreprises de qualité de crédit différentes (faible et forte). = 2 rt 1 V B e

Analyse du modèle de Merton Influence de la volatilité des actifs Une augmentation de la volatilité des actifs entraîne une augmentation du spread. Influence du taux de dividende Une augmentation du taux de dividende entraîne une augmentation du spread. Influence du taux d intérêt Une augmentation du taux d intérêt entraîne une diminution du spread. Influence de la maturité de la dette Une augmentation de la maturité de la dette entraîne une diminution du spread. Exer cice : inter pr éter ces r ésultats.

Limites du modèle de Merton (1) Le modèle repose sur l hypothèse d efficience du marché des actions. Le prix coté reflète la valeur de l entreprise. Exercice : de quel type d efficience s agit il dans le modèle Merton? La structure des taux sans risque est plate. La structure par terme des spreads observée est différente de celle prédite par le modèle. Pour de faibles maturités, les spreads donnés par le modèle tendent vers zéro.

Limites du modèle de Merton (2) Le défaut ne peut se produire qu à une date unique: la maturité de la dette (frontière de défaut ponctuelle). Dans le modèle, la faillite est constatée à une date unique et à cette date, la valeur de l entreprise peut être très en dessous de la valeur nominale de la dette. Le défaut est prévisible. Dans le modèle, le défaut arrive petit à petit alors que dans la réalité, le défaut des entreprises arrive plutôt par surprise. Question : comment expliquer cette propriété du modèle de Merton?

Limites du modèle de Merton (3) Le défaut est endogène au modèle. Dans le modèle, on peut dire à l aide des variables du modèle si l entreprise se trouve en état de défaut ou non alors que dans la réalité, le défaut apparaît comme exogène (indépendant de certaines variables de l entreprise). Par exemple, on observe un défaut alors que la valeur de l entreprise est bien au dessus de la valeur nominale de la dette.

Difficultés de mise en œuvre du modèle de Merton (1) La structure financière des entreprises n est pas aussi simple : Dettes financières et dettes d exploitation Dettes de différentes maturités Titres hybrides La valeur financière de l entreprise n est pas observable. Du coté de l actif, la valeur financière des actifs n est pas observable (on ne connaît que leur valeur comptable). Du côté du passif, il n y a pas de valeur de marché pour certaines dettes comme les crédits bancaires.

Difficultés de mise en œuvre du modèle de Merton (2) La volatilité de la valeur financière des actifs n est pas observable. Théoriquement, la volatilité des actifs peut être obtenue à partir de la volatilité de l action (relation locale). Quelle volatilité utiliser en pratique?

Extensions du modèle de Merton (1) Modèle de Black et Cox (1976) Le défaut peut se produire pendant toute la durée de vie de la dette. Il est déclenché par les créanciers dès que la valeur des actifs de la firme passe en dessous d un certain niveau (exogène). La frontière de défaut a une forme exponentielle : K t = B exp ( γ (T t)). Le contrat entre l entreprise et les actionnaires s apparente à une option barrière. La dette est risquée. Les résultats du modèle de Black et Cox sont proches de ceux du modèle de Merton mais les spreads en niveau sont moins élevés.

Extensions du modèle de Merton (2) Modèle de Leland (1994) Le seuil de déclenchement de faillite est endogène: il résulte d un processus de décision des actionnaires. Des imperfections de marchés sont prises en compte : coûts de faillite et impôt sur les bénéfices. Dette à coupon continu et constant et de maturité infinie Paiement des coupons par émission de fonds propres Taux d intérêt sans risque constant

Extensions du modèle de Merton (3) Modèle de Zhou (1997) Au modèle de classique de diffusion pour la valeur des actifs de l entreprise, Zhou ajoute un processus à sauts : dv t = (µ d) V t d t + σ V t dz t + (Π 1) dy t où Π représente l amplitude des sauts distribuée selon une loi log normale et Y un processus à saut de Poisson. Y et Z sont deux processus indépendants. Le défaut est défini à partir d une frontière exogène.

Extensions du modèle de Merton (4) Le processus de saut Y a un double impact : Sur la valeur de l entreprise : elle décroît au moment du défaut. sur la probabilité de défaut à court terme: le risque de faillite est plus élevé que dans un modèle à diffusion. L amplitude Π a un impact sur le taux de recouvrement en cas de défaut : il diminue avec la moyenne et la volatilité de la variable Π. Le spread à court terme n est pas nul (contrairement au modèle avec diffusion simple). Exer cice : expliquer ce der nier r ésultat.

Mise en œuvre du modèle de Merton (1) Les paramètres à déterminer : Le nominal et la maturité de la dette La volatilité des actifs Le taux sans risque La valeur de marché des actifs Deux sources d information : Données comptables pour les caractéristiques de la dette Données de marché pour les caractéristiques de l actif

Mise en œuvre du modèle de Merton (2) La dette existante de l entreprise doit être transformée en l équivalent d une obligation zéro coupon : La maturité T de l obligation zéro coupon correspond à la duration de la dette de l entreprise. La valeur nominale B de l obligation zéro coupon correspond à la valeur faciale de la dette à long terme et de la valeur capitalisée du besoin en fonds de roulement et la trésorerie (dettes à court terme bancaire).

Mise en œuvre du modèle de Merton (3) La volatilité de l actif peut être estimée à partir de la volatilité observée des actions : La volatilité du prix des actions peut être historique (utilisation de cours passés) ou implicite (utilisation des produits dérivés). D après la modélisation, la volatilité du prix des actions est reliée à la volatilité de la valeur de l actif : σ S = η S,V σ où η représente l élasticité instantanée du prix de l action par rapport à la valeur de l entreprise : η S,V = N(d 1 ) V/S.

Etude empirique du modèle de Merton Le test porte sur des obligations (spreads observables). Un test empirique du modèle de Merton consiste à comparer le spread théorique donné par le modèle au spread observé sur le marché. S emp t = α + β S Cette régression montre que le R2 est faible (de 0% à 40%) et que le spread observé sur le marché est sous estimé par le modèle. the t + ε t En plus du risque de crédit propre à l entreprise, il y a d autres facteurs influençant le spread : Le risque de marché qui affecte tous les titres, La liquidité du marché ou du titre.