La construction du nombre au Cycle 1

La construction du nombre au Cycle 1 Chaumont, le 10 octobre 2012 Frédéric CASTEL Université de Reims Site IUFM de Chaumont Avec l appui de travaux de recherche en didactique des mathématiques

Au programme PARTIE A : Généralités sur la construction du nombre en maternelle et après! PARTIE B : Quelles activités autour de la construction du nombre en maternelle? PARTIE C : Le travail sur l énumération PARTIE D : Et aussi

PARTIE A La construction du concept de nombre à l école primaire 1. Qu est-ce qu un nombre? 2. De façon générale, et quel que soit le niveau de classe, qu est-il important de faire comprendre aux élèves concernant le nombre? 3. Quelques remarques concernant la construction du concept de nombre en maternelle 4. L introduction de notre système de numération (cycle 2) 5. L introduction de nouveaux nombres (cycle 3) 6. Un exemple d une même notion travaillée du C1 au C3 : l addition

1 ) Qu est-ce qu un nombre? La construction du concept de nombre Le concept de base est le concept de nombre entier. Ce concept a été introduit comme outil pour résoudre des problèmes («Tous les animaux du troupeau sont-ils toujours là?», par exemple) A l école, on étudie d abord les entiers naturels (entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, ) La notion de nombre entier n est pas facile à définir : Ces ensembles qu on peut mettre en correspondance terme à terme ont quelque chose d abstrait en commun : il ont le même nombre d objets. Le nombre entier permet d indiquer une quantité (aspect cardinal du nombre)

Le nombre entier a aussi un aspect ordinal : lundi est le premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc. Au cycle 3, on introduit de nouveaux nombres : Nombres rationnels 5 7 1 2 = 0,5 3 4 = 0,75 0 1 67 56 2 3 Nombres décimaux 34 10 = 3,4 Remarque : savoir que comme un nombre. 5 4 de 200g vaut 250 g ne veut pas nécessairement dire qu on considère 5 4

L idée qui permet d arriver aux décimaux est, devant la difficulté des calculs avec les fractions, de privilégier les fractions ayant pour dénominateurs des puissances de 10 (en écrivant par exemple que 3/8 = 3/10 + 7/100 + 5/1000). On peut alors prolonger notre système de numération et arriver aux écritures du type 0,375 qui sont bien plus faciles à utiliser que les fractions pour effectuer des opérations dans notre système de numération. Il y a quand même une difficulté : on ne peut pas faire correspondre une écriture à virgule finie à chaque fraction (certains nombres rationnels comme 2/3 ou 3/7 ne sont pas des décimaux). Remarque importante : Pour chacun de ces ensembles de nombres on définit des relations (exemple : 3 < 4) et des opérations (exemple : 3 + 1 = 4) qui lient les nombres entre eux. On ne peut concevoir la notion de nombre sans considérer les liens qui unissent les nombres. Conclusion : Il est difficile de définir la notion de nombre qui, comme toutes les notions mathématiques, fait appel à l abstraction. Les différents ensembles de nombres ont été inventés (découverts?) par l homme pour modéliser «le monde réel» et résoudre des problèmes de quantités posés dans «ce monde réel».

2 ) Qu est-il important de faire comprendre aux élèves concernant le nombre? a) Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre des problèmes (ayant du sens pour l élève ) Exemples au cycle 1 (GS) : Premier exemple (inspiré d une proposition de Dominique Valentin) : Dortoir Salle de jeu

Dortoir Salle de jeu Combien d enfants sont encore en train de dormir? Deuxième exemple : On est le 17. 1 ) Combien de jours se sont passés depuis le 14? 2 ) La maîtresse Aline revient dans combien de jours? 3 ) «Combien de jours jusqu à l anniversaire de Pierre?

Exemple au cycle 2 (CP) : Dans mon porte-monnaie, j ai trois pièces de 1 et trois pièces de 2. Est-ce que je peux acheter ce livre qui coûte 7? Exemple au cycle 3 (CM1) : Si quatre enfants se partagent deux pizzas, combien en auront-ils chacun? Si quatre enfants se partagent trois pizzas, combien en auront-ils chacun? b) Faire comprendre qu un nombre a plusieurs représentations et qu il faut savoir passer d une représentation à une autre

c) Faire comprendre le fonctionnement de notre système de numération décimale (mais cela ne concerne pas la maternelle) 384 billes c est trois paquets de cent billes, huit paquets de dix billes et quatre billes d) Faire comprendre que les nombres sont «liés les uns aux autres» Exemples en PS : Idées et illustration extraites de l ouvrage de Rémi Brissiaud «Premiers pas vers les maths Les chemins de la réussite à l école maternelle» Un, un, un, et un Quatre En utilisant les doigts, on peut aussi montrer que : -"Deux et encore un. Ca fait trois"

3 ) Quelques remarques concernant la construction du concept de nombre en maternelle a) La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est importante (si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre aspect ordinal et aspect cardinal du nombre) b) Il est souhaitable de varier les types de dénombrement : dénombrement par comptage : on utilise la comptine numérique dénombrement en utilisant des "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses, configurations digitales, etc.) Remarque concernant le dénombrement par comptage : Ce qui est difficile c est de faire comprendre que le dernier mot-nombre prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. Pour cela, on peut travailler les décompositions: «Un, un, un et encore un ça fait quatre» «Trois et un ça fait quatre» On peut aussi procéder ainsi :

Si les objets sont déplaçables : Si les objets ne sont pas déplaçables :

c) Les activités permettant de de faire comprendre le lien entre "aspect cardinal" et "aspect ordinal" du nombre sont intéressantes (exemple avec le calendrier : faire comprendre qu'un numéro de jour représente aussi une quantité de jours écoulés) d) Les activités mises en place doivent être signifiantes pour les élèves : il s'agit de mettre en place des problèmes ayant du sens pour les élèves et les amenant à comprendre que les nombres sont utiles. Voir, par exemple, les ouvrages de Dominique Valentin (un pour PS/MS et un pour GS) et l ouvrage de l équipe Ermel pour la GS : e) On peut utiliser le matériel proposé par Brissiaud (PS, MS et GS)

4 ) L introduction de notre système de numération au cycle 2 Ce qui est important ce n'est pas seulement que l'élève fasse des paquets de dix puis des paquets de cent puis mais surtout qu'il comprenne l'intérêt de faire de tels paquets L utilisation d une file numérique (collective ou individuelle) puis d'un tableau de nombres aide à la compréhension de la numération L'utilisation d'un compteur est également une aide précieuse. Les activités où on est amené à comparer deux entiers permettent de travailler sur la signification des différents chiffres intervenant dans les écritures des nombres. Au début de l'apprentissage de la numération au CP, il est souhaitable de privilégier les activités de groupement («on met dix jetons dans une boîte») par rapport aux activités d'échanges («1 jeton rouge vaut 10 jetons jaunes» ). Au moment de l apprentissage, l enseignant ne peut se permettre un langage approximatif (ne pas confondre les mots «chiffre» et «nombre» par exemple). Il faut faire en sorte que peu à peu l enfant arrive à comprendre que, dans 623, le chiffre des dizaines vaut 2 mais que le nombre de dizaines vaut 62 mais c'est un objectif à "long" terme et il faut faire attention à ne pas aller trop vite avec des élèves en difficulté.

On peut utiliser un matériel de numération construit par les élèves et auquel on donne du sens en le construisant. L utilisation systématique de couleurs pour les différents chiffres (le chiffre des unités est écrit en utilisant toujours la même couleur, le chiffre des dizaines en utilisant toujours une autre couleur, etc.) est-il à déconseiller? Il s agit d un surcodage qui risque d amener l élève à ne pas s intéresser à la position des différents chiffres. Pourtant, si les couleurs utilisées sont en rapport avec le matériel utilisé (ce qui leur donne du sens) ce peut être, éventuellement, une aide provisoire pour des élèves en difficulté Enfin, et c'est peut-être le plus important, il faut être conscient qu'une grande partie des difficultés rencontrées par les élèves sont dues aux irrégularités de notre numération orale : en français, les règles de lecture des nombres sont complexes et souffrent de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas "dix-trois" ; on dit on "soixante-douze" et pas "septante-deux" ; on dit "cent" et "mille" mais "un million", etc.).

5 ) L introduction de nouveaux nombres au cycle 3 Quoi qu on fasse il y a une rupture au moment de l introduction des écritures à virgule. Certaines propriétés, certaines techniques de calcul qui étaient valables avec les entiers restent valables, d autres ne le ont plus : Le nombre qui a l écriture la plus longue n est pas nécessairement le plus grand (2,123 < 2,45) mais ça arrive (2,456 > 2,3). Pour multiplier par 10, on n ajoute pas un 0 à la fin : 1,6 x 10 ne vaut pas 1,60 Remarque : au cycle 2, il semble important de donner du sens à la multiplication par 10 (25 10 c est 25 «paquets de dix» et 25 «paquets de dix» ça s écrit 250) Une écriture à virgule ce n est pas «la juxtaposition de deux entiers» et, pourtant de nombreux élèves font comme si c était le cas : 2,17 < 2,125 car 17 < 125 2,95 2 = 4, 190 «Il n y a pas de nombre entre 1,16 et 1,17» (car il n y a pas d entiers entre 16 et 17) etc.

PARTIE B Quelles activités à caractère mathématiques en maternelle? Travaux de Y. Girmens et F. André

Les savoirs liés au comptage La collection L énumération La désignation L ordre

La situation par adaptation (Broussaud) Identifier un obstacle Constituer un milieu Assurer la dévolution du problème Mettre sur pied un scénario : Phase d entrée Phase de recherche Phase de mise en commun Nouvelle phase d action Institutionnalisation

Présentation des travaux 1. Sur la collection : les cartes à jouer 2. Sur l énumération : les polydrons 3. Sur l ordre : les empilements

PARTIE C Enseignement de l énumération D après les travaux de Joël Briand

1. Introduction : existence d une connaissance nécessaire au comptage

Pour compter le nombre d arbres 1. Distinguer les éléments différents 2. Choisir un élément 3. Énoncer un nombre 4. Conserver la mémoire des éléments déjà choisis 5. Concevoir la collection des objets non choisis 6. Recommencer 2-3-4-5 7. Savoir qu on a choisi le dernier 8. Énoncer le dernier nombre

2. La situation fondamentale d énumération

3. Analyse du jeu 1

4. Analyse du jeu 5

Les situations de partage Le travail sur les doubles, triples, moitiés Les livres à compter Les situations problèmes Le rôle et la place du jeu à l école maternelle PARTIE D : ET AUSSI

Les situations de partage - Leur place - Procédures observées - distribution - visualisation

Les situations de partage - Leur place - Procédures observées - distribution - visualisation - comptage - Rôle des dispositions géométriques

Variable matériel

Variable matériel

Variable matériel

Variable support

Nombre d objets

Nombre d objets

Doubles, triples et moitié

Les livres à compter Le domaine numérique exploré Le contexte : cardinal, ordinal, mesure Croissance ou décroissance Désignations utilisées Proposition d activités d ordre mathématiques Qualités «mathématiques» Existence d un fil conducteur, d un récit Qualités esthétiques Fabrication?

Les situations problèmes Lien entre construction du concept de nombre et problèmes «pour chercher» à l école maternelle.

Les situations problèmes Résultat non accessible directement Peut-être déconnectée des apprentissage en cours Réponse non immédiate pour l adulte Dans l idéal auto-validante

Résoudre des problèmes «pour chercher» à l école maternelle Quelques situations pour chercher

a- Les jetons Situation But Variables didactiques Une boîte rouge une boîte bleue 12 jetons Distribuer les jetons de manière équitable dans les deux boîtes (situations de partage). Placer les 12 jetons dans les deux boîtes mais il doit y avoir 2 jetons de plus dans la boîte rouge. le nombre de jetons (les procédures d essais et d ajustement seront plus difficiles à mettre en œuvre si le nombre est plus important) l écart entre les nombres de jetons (ex : 4 jetons de plus dans la boîte rouge) la nature des boîtes (ex : au lieu de donner une simple boîte, proposer une boîte à compartiments pour faciliter le travail et la recherche) les dimensions de la boîte

b- Les boites à œufs Situation But Variables didactiques Une boite à œuf et des jetons rouges et bleus Remplir la boîte (un jeton dans chacune des 12 alvéoles). Il doit y avoir 2 jetons rouges de plus que de jetons bleus. l écart entre les nombres de jetons. «dimensions» de la boîte.

c- Tous différents (ou rechercher tous les possibles) Les acromaths Situation But Variables Des acromaths : une seule taille, 3 couleurs. Des «tambours» : 3 couleurs. Trouver toutes les associations possibles : un acromath sur un tambour didactiques le nombre de propriétés en jeu, les propriétés en jeu, le nombre de valeurs pour chaque propriété, les valeurs de chaque propriété.

c- Tous différents (ou rechercher tous les possibles) Les disques Situation But Variables didactiques Des disques de 3 tailles et de 3 couleurs Rechercher tous les empilements (grand, moyen, petit) de 3 disques de 3 couleurs différentes. Nombre disques Nombre couleurs de de

c- Tous différents (ou rechercher tous les possibles) Les disques Au départ, les enfants créent librement des superpositions. Les solutions pourront ensuite être organisées et mise en valeur. En effet, mathématiques et sens artistique ne sont pas opposés!

c- Tous différents (ou rechercher tous les possibles) Les carrés Situation But Variables didactiques Des carrés de 2 tailles et de 4 couleurs Rechercher toutes les associations (petit / grand) de 2 carrés. Nombre carrés Nombre couleurs de de

c- Tous différents (ou rechercher tous les possibles) Les carrés Là aussi, on fait des empilements à la recherche de toutes les solutions. Lorsque les 16 solutions ont été trouvées, elles peuvent être organisées dans une structure quadrillée.

d- La carte aux étoiles Situation But Variables didactiques 3 cartes sur Placer les Le nombre de lesquelles sont déjà 12 étoiles. cartes collées 1, 2, 3 étoiles Sur les 3 Le nombre 12 étoiles à coller cartes il d étoiles déjà devra y collées sur avoir autant chacune des d étoiles. cartes les écarts entre ces nombres Le nombre d étoiles à placer

e- Un de plus Situation à présenter au préalable : 3 boîtes (petite, moyenne, grande). La moyenne a 1 jeton de plus que la petite. La grande a 1 jeton de plus que la moyenne.

e- Un de plus Situation But Variables didactiques 3 boîtes (petite, moyenne, grande) et 12 jetons La moyenne doit avoir 1 jeton de plus que la petite. La grande doit avoir 1 jeton de plus que la moyenne Le nombre de jetons Le nombre de boites

f- Devinez Situation But Variables didactiques 2 formes et 2 couleurs. Retrouver L ordre dans Une carte est proposée les formes lequel on aux enfants. Un codage indique quelle est la pièce à placer. donne les ou (à l aide des indications données) informations Augmenter les critères Introduction de la notion de négation à partir de la première propriété

g- Mastermind Situation But Variables didactiques Un ensemble bien défini de blocs logiques (ici, 3 formes 3 couleurs) mais on peut le faire, pour commencer, avec uniquement 2 formes et 2 couleurs (soit 4 blocs). Trouver le bloc logique choisi au préalable. le nombre de propriétés en jeu (donc le nombre de pièces) le nombre de valeurs pour chacune des propriétés

g- Mastermind L enfant a toutes les pièces disponibles au départ. Il les prend au fur et à mesure. S il propose une pièce qui a une des propriétés commune avec celle qui a été choisie, on place un sourire ; sinon rien. Une trace du cheminement est conservée. Une réflexion peut être conduite sur les procédures mises en place durant la recherche. Ces jeux permettent de développer l esprit logique et l esprit de déduction.

h- Le parking Situation But Variables didactiques Des voitures «2 passagers» et «3 passagers» (au moins 4 de chaque) et 9 passagers à transporter Les 9 passagers doivent être dans les voitures. Les voitures utilisées doivent être pleines : on peut mettre 2 passagers dans les bleues, 3 passagers dans les jaunes. Le nombre de passagers, Le nombre de passagers dans les voitures (l écart entre les 2 nombres).

h- Le parking Complexification Situation But Variables didactiques Le parking doit être plein (il doit y avoir 4 voitures). Les voitures utilisées doivent être pleines : 2 passagers dans les bleues, 3 passagers dans les jaunes. Les 9 passagers doivent être dans les voitures sur le parking Le nombre de places de parking Le nombre de passagers L écart entre ces 2 nombres.

i- Les chemins quadrillés Situation But Variables didactiques Des réglettes de 10 longueurs différentes, à chaque longueur est associée une couleur. Le matériel sera détourné pour recouvrir un chemin quadrillé. Recouvrir un chemin avec des réglettes Forme du chemin (surtout le nombre de changements de direction) Longueur des chemins Réglettes disponibles (leur nombre, leur couleur)

i- Les chemins quadrillés Situation 1 Situation 2 toutes les réglettes (1 à 5) sont disponibles les réglettes sont imposées

i- Les chemins quadrillés Situation 3 Situation 4 les réglettes sont imposées Seules les réglettes 2, 4 et 5 sont disponibles

j- Quatre couleurs à combiner Situation La dinette : 4 assiettes, 4 verres, 4 fourchettes, 4 couteaux de 4 couleurs différentes But Avoir 4 ensembles (1 ensemble de 4 couleurs.

k- Grille, jetons et nombres Activité préparatoire : Il faut que l enfant comprenne comment fonctionne cette grille. Situation But Variables didactiques Une grille et des jetons Trouver où sont les jetons Les «dimensions» de la grille.

l- les pavages Situation But Variables didactiques Paver la grille La dimension Une grille 6x6 et des avec des de la grille rectangles 3x2 rectangles (la (6x12, 6x8) recouvrir sans La dimension trou ni des recouvrement rectangles de pièces).

m- les Sudokus Situation But Variables didactiques Une grille, des jetons de couleur. Compléter la grille. Dans chaque ligne, dans chaque colonne, tous les jetons sont de couleurs différentes. - La taille de la grille: 4X4, 5X5? - Le nombre de jetons déjà placés, - La disposition initiale des jetons.

Merci pour votre attention et à vous de jouer! frederic.castel@univ-reims.fr