Première S Chapitre III : Suites numériques Année scolaire 01/013 I) Notion de suite numérique 1) Notion intuitive de suite : On peut construire des suites quelconques de nombres, comme par exemple : 1,5,4,-3,8,9,etc... Cependant, on ne peut effectuer aucun calcul car il n'y a pas de lien logique entre les termes de cette suite. On peut par exemple considérer la suite suivante :,4,6,8,10,1,14,etc... Chaque terme est un nombre pair et on passe de l'un au suivant en ajoutant. Contrairement au premier exemple, il y a bien un lien logique entre les différents termes de cette suite. Chaque terme pourra être nommé en fonction de l'ordre qu'il occupe dans la suite : - le premier terme est :. On pourra l'appeler : u 1 - le deuxième terme est : 4. On pourra l'appeler : u Et ainsi de suite... le septième terme u 7 = 14,etc... Exemple classique : la suite de Fibonacci Fibonacci (Léonard de Pise,1175-150) a étudié le problème suivant : «Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence?» On fait l'hypothèse que les lapins de meurent pas... Si on construit une suite donnant le nombre total de couples de lapins obtenus à chaque mois, au premier et au deuxième mois, il n'y a qu'un seul couple, et au début du troisième mois, il y a deux couples de lapins, puis au quatrième mois, trois couples de lapins, etc... A chaque mois, à partir du troisième, le nombre de couples de lapins est égal à la somme des couples de lapins des deux mois précédents. Ce que l'on peut noter de la sorte : 1,1,,3,5,8,13,1,34,55,89, 144 On verra plus loin dans ce chapitre que cette suite présente une curiosité quand on regarde les quotients successifs de termes consécutifs... ) Définition : Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels N à valeurs dans R. u : N R n u(n) que l'on note u n Notation : La suite u se note (u n ) n 0 (ce qui se lit : «suite de terme général u indice n pour n positif ou nul») Exemples : a) Considérons la suite u définie par son terme général : u n = n Pour n = 0, u 0 = x0 = 0
Pour n = 1, u 1 = x1 = On peut calculer pour n = 15, u 15 = x15 = 304 Remarques importantes : - si u commence à u 0, alors u 15 est le 153 ième terme! - Une suite peut n'être définie qu'à partir d'un certain rang. b) Reprenons notre exemple précédent concernant la suite de Fibonacci : Si on note u 1 = 1 et u = 1, le troisième terme u 3 = u 1 + u = 1+1 = De manière générale, u 1 et u étant donnés, u n = u n-1 + u n- Remarque : Le calcul d'un terme nécessite la connaissance des deux qui le précédent. 3) Représentation graphique : Deux représentations sont possibles : soit en plaçant les termes sur une droite graduée, soit en plaçant dans le plan les points M n de coordonnées (n;u n ) représentation de la suite u définie par son terme général u n = n + 1 (suite des entiers impairs) pour n allant de 0 à 5 : Remarque : il ne faut surtout pas relier les ponts car n ne prend que des valeurs entières. II) Modes de génération d'une suite Deux manières de «fabriquer» des suites numériques : 1) Suites du type u n = f(n) où f est une fonction : On dit que ces suites sont définies par une formule explicite. Il suffit de remplacer n par la valeur cherchée. On considère la suite u définie par la formule donnant son terme général : u n = n+1 pour n N
u 5 = 5+1 = 6, u 100 = 100+1 = 101 On peut calculer u n pour n entier naturel quelconque. ) Suites du type u n+1 = f(u n ) où f est une fonction : On dit que u est définie par récurrence. Il faut donner le premier terme, et ensuite, chaque terme se calcule à partir du précédent en appliquant la fonction f. 3) Utilisation des outils logiciels pour programmer des suites a) A l'aide d'un tableur : (OpenOffice Calc) On souhaite programmer la suite de Fibonacci vue précédemment. On veut calculer le 30 ième terme : - Dans la cellule A1, on tape 1 (c'est le premier terme de la suite : u 1 ) - Dans la cellule A, on tape 1 également (u =1) - A partir du troisième terme, on obtient chaque terme en ajoutant les deux précédents. On tape dans la cellule A3 =A1+A - Ensuite, on tire la molette en bas à droite de la cellule jusqu'à la ligne 30 pour obtenir u 30 Voici ce que l'on obtient : Donc u 30 = 83 040 b) Avec Algobox : Exemple1 : Calcul d'un terme d'une suite définie explicitement en fonction de n On considère la suite (u n ) définie par : u n = n + n + 1 On demande à l'utilisateur l'indice du terme souhaité, on effectue le calcul et on fait afficher le résultat.
On souhaite calculer u 500. Voici l'affichage obtenu : Exemple : Calcul d'un terme d'une suite définie par une formule de récurrence du type u n+1 =f(u n ) : On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = et u n+1 = 1+u n On demande à l'utilisateur l'indice souhaité, on calcule le terme puis on affiche le résultat. Calcul de u 15 :
4) Utilisation de la calculatrice : (Casio graph35+) - Dans le menu prinicipal, choisir RECUR - Dans les icônes du bas, choisir TYPE et sélectionner F1 pour une suite définie explicitement en fonction de n ou F pour une suite définie par récurrence. (F3 permet d'écrire des suites à récurrence linéaire comme la suite de Fibonacci par exemple, c'est-à-dire on donne les deux premiers termes et on calcule les suivants par une formule nécessitant la connaissance de ce deux termes) On peut obtenir un tableau de valeurs en paramétrant via SET l'indice de début (start) et celui de fin (end) Voir exemples plus loin III) Deux cas particuliers : suites arithmétiques et suites géométriques A) Suites arithmétiques : 1) Définitions : Soit (u n ) une suite de nombres réels. On dit que cette suite est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que : Pour tout n N, u n+1 = u n + r Le réel r est appelé la raison de la suite. On considère la suite suivante : 4;7;10;13;16;19;;5;8;31 On pose u 1 = 4, u = 7, u 3 = 10, etc... Cette suite comporte 10 termes et chacun (sauf le premier) s'obtient en ajoutant 3 au précédent. Donc (u n ) est une suite arithmétique de raison 3. ) Expression du terme général : a) Dans un premier temps, on va chercher à exprimer u n en fonction de u 0 : Propriété : Si (u n ) n 0 est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout n N, u n = u 0 + nr Remarque : La démonstration rigoureuse de ce résultat sera faite en Terminale quand les raisonnements par récurrence auront été étudiés. Illustration (pour comprendre le mécanisme) : (u n ) n 0 est une suite arithmétique de raison r. On écrit la définition à tous les ordres : u n = u n-1 + r u n-1 = u n- + r u n- = u n-3 + r... u 3 =u + r u = u 1 + r u 1 =u 0 + r Ensuite, on ajoute toutes les lignes précédentes :
u n = u n-1 + r u n-1 = u n- + r u n- = u n-3 + r... u 3 =u + r u = u 1 + r u 1 =u 0 + r Dans le membre de gauche, il va rester u n et dans celui de droite u o + r + r + r + r +...+r En fait, il y a n lignes donc n fois le nombre r. D'où la formule : u n = u 0 + nr b) Parfois, on ne connaît pas u 0, et il serait pratique d'avoir u n en fonction d'un autre terme de la suite. Propriété : Si (u n ) n 0 est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout n N et tout p N u n = u p + (n-p)r Démonstration : D'après la propriété vue dans le a), u n = u 0 + nr et u p = u 0 + pr D'où : u n nr = u p pr c'est-à-dire u n = u p + nr pr = u p + (n p)r Calculer u 30 sachant que (u n ) est une suite arithmétique telle que u 3 = 11 et u 10 = 4 On commence par calculer la raison en écrivant u 10 en fonction de u 3 : u 10 = u 3 + (10 3) x r 4 = 11 + 7r - 7 = 7r Donc r = - 1 Ensuite, on calcule u 30 = u 10 + (30 10) x (-1) = 4 0 = - 16 3) Somme des n premiers entiers : Soit n N, alors 1 + + 3 + 4 + + n = n (n +1) Remarque «historique» : On raconte que le grand mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aurait eu une punition quand il était enfant qui consistait à écrire la somme des 100 premiers entiers. Il a répondu à la question avec une très grand rapidité : 5050. La méthode qu'il a utilisée va nous permettre de montrer la formule à l'ordre n. Démonstration : On écrit la somme dans un sens puis en-dessous dans l'autre : 1 + + 3 + 4 + + (n-1) + n + n + (n-1)+ (n-) +... + + 1 On ajoute les termes les uns en-dessous des autres : On obtient : S = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) Il y a n termes en tout : Donc S = n(n + 1) n (n +1) Par conséquent : S = 4) Somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique :
Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0, on note : S n = u 0 + u 1 + u + + u n Alors : S n = (n + 1) x u 0 +u n De manière générale : S n = (nombre de termes) x Exemple d'application : Calculer S = 159 + 164 + 169 + 174 + 179 + + 479 Premier terme +Dernier terme Tout d'abord, on pose u 0 = 159, u 1 = 164, u = 169, u n = 479 On passe d'un terme suivant en ajoutant 5, donc la suite (u n ) est arithmétique de raison 5. Déterminons le rang n correspondant au terme valant 479 D'après la formule vue précédemment, u n = 159 + nx5 D'où : 479 = 5n + 159 479 159 D'où : n = = 64 5 Pour calculer le nombre de termes de cette suite on fait : 64 0 + 1 = 65 Il y a 65 termes. Donc : S = 65 x 159+479 = 0 735 B) Suites géométriques : 1) Définitions : Soit (u n ) une suite de nombres réels. On dit que (u n ) est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que : Pour tout n N, u n+1 = qu n Le nombre q est appelé la raison de la suite. On considère la suite suivante : 40-10-60-30-15-7,5-3,75 On pose u 1 = 40, u = 10, u 3 = 60, u 4 = 30, u 5 = 7,5 et u 6 = 3,75 Chaque terme sauf le premier s'obtient en multipliant le précédent par 1 donc : (u n ) est une suite géométrique de raison 1 ) Expression du terme général : a) Dans un premier temps, on va chercher à exprimer u n en fonction de u 0 : Propriété : Si (u n ) n 0 est une suite géométrique de raison q, alors, pour tout n N, u n = u 0 x q n Remarque : même chose que pour les suites arithmétiques : la démonstration rigoureuse se fera par récurrence Illustration (pour comprendre le mécanisme) :
Soit (u n ) n 0 une suite géométrique de raison q : On écrit la définition à tous les ordres : u n = qu n-1 u n-1 = qu n- u n- = qu n-3... u =qu 1 u 1 =qu 0 On multiplie ces égalités entre elles : u n = qu n-1 u n-1 = qu n- u n- = qu n-3... u = qu 1 u 1 = qu 0 Après simplifications, il reste : u n = u 0 xqxqxqxqx...xq = u 0 xq n n facteurs tous égaux à q b) Parfois, on ne connaît pas u 0, et il serait pratique d'avoir u n en fonction d'un autre terme de la suite. Propriété : Si (u n ) n 0 est une suite géométrique de raison q, alors pour tout n N et tout p N u n = u p x q n-p Démonstration : D'après la propriété vue dans le a), u n = u 0 xq n et u p = u 0 x q p D'où : u n = u p q p xqn = u p x q n-p Calculer u 15 sachant que (u n ) est une suite géométrique de raison strictement positive telle que u 8 = 6 et u 10 = On calcule la raison : u 10 = u 8 xq d'où : = 6 xq 1 Comme q >0, q = 3 1 On a u 15 = u 10 x( = x( 3 )5 1 D'où : q = 1 3 3 )5 = 3 7 0,13 3) Somme des n+1 premières puissances d'un réel q :
Soit q un nombre réel différent de 0 et de 1 : 1 + q + q + q 3 + + q n = n+1 Démonstration : On pose S n = 1 + q + q + q 3 + + q n On écrit (1 q)xs n = (1 q) x (1 + q + q + q 3 + + q n ) = 1 q + q q + q q 3 +... + q n-1 q n + q n q n+1 Donc : S n = n+1 = 1 q n+1 4) Somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique : On considère (u n ) suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. On pose S n = u 0 + u 1 + u + +u n Alors S n = u 0 x n+1 De manière générale : S n = Premier terme x Exemple d'application : Calculer la somme suivante : S = 7 + 7 3 + 7 9 + 7 7 + + 7 59 049 1 raison nombre de termes 1 raison On pose u 0 = 7, u 1 = 7 3,u = 7 9, etc... Chaque terme sauf le premier s'obtient en multipliant le précédent par 1 3 u 0 = 7 3 0, u 1 = 7 3 1, u = 7 3,etc... D'où : (u n ) est une suite géométrique de raison 1 3 Il faut maintenant savoir quel est l'indice du dernier terme. En fait 3 10 = 59 049 Donc le dernier indice est 10 car l'exposant du 3 correspond à chaque fois à l'indice du terme. Alors le nombre de termes est 10 0 + 1 = 11 D'où : 1 ( 3)11 1 S = 7 x 1 1 3 = 1 x (1 ( 1 3 )11 10,5