Imagerie interférométrique avec des données bruitées Josselin Garnier (Université Paris Diderot) But de l imagerie : sonder un milieu inconnu avec des ondes pour en extraire de l information. Une méthode d imagerie consiste en deux étapes : - acquisition des données : des ondes sont émises par une source (ou un réseau de sources) et enregistrées par un réseau de récepteurs. - traitement des données : les signaux enregistrés sont traités pour identifier les aspects qui sont intéressants (positions de réflecteurs, etc). Tendance récente : big data. Mais pas toujours de bonne qualité. Que se passe-t-il en présence de bruit de mesure, de bruit de milieu, de sources bruitées?
Imagerie d un réflecteur dans un milieu homogène x s x r y ref Imagerie d un réflecteur localisé en y ref. x s est une source, x r est un récepteur. Données : {u(t, x r ; x s ),r = 1,...,N r,s = 1,...,N s }. Modèle mathématique : ( 1 c 2 0 + 1 ) 2 u 1 c 2 Bref ( x y ref ) ref t (t, x; x s) 2 x u(t, x; x s ) = f(t)δ( x x s ) But : à partir des données, construire une fonction I( y) ressemblant au mieux à 1 c 2 ref 1 Bref ( y y ref ), afin d extraire l information ( y ref,b ref,c ref ) sur le réflecteur.
Fonctions d imagerie classiques : 1) Imagerie par Moindres Carrés : on minimise l erreur quadratique entre les données mesurées et les données synthétiques obtenues en résolvant l équation des ondes avec un candidat ( y test,b test,c test ). 2) Imagerie par Retournement Temporel : on simplifie l imagerie par Moindres Carrés en linéarisant le problème direct. 3) Migration de Kirchhoff : on simplifie l imagerie par Retournement Temporel en remplaçant la résolution de l équation des ondes par une migration par temps de trajet.
Fonctions d imagerie classiques : 1) Imagerie par Moindres Carrés : on minimise l erreur quadratique entre les données mesurées et les données synthétiques obtenues en résolvant l équation des ondes avec un candidat ( y test,b test,c test ). 2) Imagerie par Retournement Temporel : on simplifie l imagerie par Moindres Carrés en linéarisant le problème direct. 3) Migration de Kirchhoff : on simplifie l imagerie par Retournement Temporel en remplaçant la résolution de l équation des ondes par une migration par temps de trajet. Migration de Kirchhoff : I KM ( y) = N r N s r=1 s=1 u ( T ( x s, y)+t ( y, x r ), x r ; x s ) Cette fonction construit une image en rétropageant les signaux enregistrés. T ( y, x) est le temps de trajet de x à y, i.e. T ( y, x) = y x /c 0. - Robuste vis-à-vis du bruit de mesure (additif). - Sensible au bruit de milieu : Si le milieu est hétérogène (diffusant), alors la Migration de Kirchhoff ne marche pas.
Imagerie à travers un milieu hétérogène x s x r Imagerie d un réflecteur localisé en y ref. x s est une source, x r est un récepteur. Données : {u(t, x r ; x s ),r = 1,...,N r,s = 1,...,N s }. ( 1 c 2 ( x) + 1 ) 2 u 1 c 2 Bref ( x y ref ) ref t (t, x; x s) 2 x u(t, x; x s ) = f(t)δ( x x s ) Modèle de milieu hétérogène : 1 c 2 ( x) = 1 ( ) 1+µ( x) c 2 0 c 0 est la vitesse de référence, µ( x) est un processus aléatoire. y ref
Imagerie à travers un milieu aléatoire : analyse On peut mener à bien une analyse multi-échelles (il y a plusieurs échelles : longueur d onde, distance de propagation, longueur de corrélation,...). Résultats généraux : Le champ d onde moyen (champ cohérent) est petit. = La Migration de Kirchhoff (ou par Retournement Temporel) ne peut pas marcher. Les fluctuations des ondes (champ incohérent) en des points proches et à des fréquences proches sont corrélées. Ces corrélations portent l information sur le milieu. = Il faut utiliser les corrélations des signaux enregistrés plutôt que les signaux pour faire de l imagerie en présence de bruit de milieu.
Application : Imagerie à travers un overburden van der Neut et Bakulin (2009)
Imagerie à travers un overburden x s x r y ref Imagerie d un réflecteur localisé en y. x s est une source, x r est un récepteur. Données : {u(t, x r ; x s ),r = 1,...,N r,s = 1,...,N s }. Si l overburden est hétérogène, alors la Migration de Kirchhoff ne marche pas : I KM ( y) = N r N s r=1 s=1 u ( T ( x s, y)+t ( y, x r ), x r ; x s )
Simulations numériques Configuration Migration de Kirchhoff
Imagerie à travers un overburden x s x r Imagerie d un réflecteur localisé en y. x s est une source, x r est un récepteur. Données : {u(t, x r ; x s ),r = 1,...,N r,s = 1,...,N s }. On image par une migration de la matrice des corrélations croisées : y ref I( y) = N r C ( T ( x r, y)+t ( y, x r ), x r, x r ), avec C(τ, x r, x r ) = N s r,r =1 u(t, x r ; x s )u(t+τ, x r ; x s )dt, r,r = 1,...,N r s=1
Simulations numériques Migration de Kirchhoff Migration des Corrélations Croisées
Extension : Imagerie avec le bruit ambiant On peut employer des techniques d imagerie par corrélations croisées sur des signaux émis par des sources de bruit ambiant. Première application en géophysique : Estimation de temps de trajet (pour estimer ensuite la vitesse de propagation par tomographie). Méthode 1 : Utiliser des signaux sismiques issus de tremblements de terre. Méthode 2 : Utiliser le bruit de fond sismique et les techniques de corrélations croisées.
Estimation de temps de trajet par corrélation croisée du bruit ambiant Des sources de bruit ambiant ( ) émettent des signaux aléatoires stationnaires. Les ondes se propagent dans le milieu. Les signaux u(t, x 1 ) et u(t, x 2 ) sont enregistrés par les deux récepteurs x 1 et x 2. piece of signal recorded at x 1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t x 1 x 2 piece of signal recorded at x 2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t Quelle information (sur le milieu) peut-on extraire de ces signaux?
Estimation de temps de trajet par corrélation croisée du bruit ambiant Des sources de bruit ambiant ( ) émettent des signaux aléatoires stationnaires. Les ondes se propagent dans le milieu. Les signaux u(t, x 1 ) et u(t, x 2 ) sont enregistrés par les deux récepteurs x 1 et x 2. piece of signal recorded at x 1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t x 1 x 2 piece of signal recorded at x 2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 t cross correlation x 1 x 2 τ 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 On calcule la corrélation croisée : C(τ, x 1, x 2 ) = 1 T T 0 u(t, x 1 )u(t+τ, x 2 )dt C(τ, x 1, x 2 ) possède deux pseudo-pics qui donnent (deux fois) le temps de trajet x 1 à x 2.
Estimation de temps de trajet entre sismomètres Les temps de trajet sont estimés par corrélation croisée des signaux (de bruit) enregistrés pendant un mois!
Estimation de la vitesse de propagation à partir des temps de trajet estimés [Shapiro et al, Science 307 (2005), 1615]
Imagerie avec le bruit ambiant Applications principales : Estimation de la vitesse de propagation des ondes sismiques de la croûte terrestre (à des échelles globales, régionales ou locales). Surveillance de volcans (première prédiction d une éruption du Piton de la Fournaise, à La Réunion, en 2010). Imagerie 4D de réservoirs pétroliers. Imagerie de réflecteurs.
Imagerie d un réflecteur par utilisation du bruit ambiant Des sources de bruit ambiant ( ) émettent des signaux aléatoires stationnaires. Les signaux (u(t, x r )) r=1,...,nr sont enregistrés par les récepteurs ( x r ) r=1,...,nr ( ). La matrice des corrélations croisées est calculée et migrée : I( y) = N r r,r =1 C ( ) T ( x r, y)+t ( x r, y), x r, x r avec C(τ, x r, x r ) = 1 T T 0 u(t+τ, x r )u(t, x r )dt x 50 0 x 5 x 1 50 0 50 100 z 1 0.5 signal recorded at x 1 0 0.5 0 100 200 300 400 t 1 0.5 0 signal recorded at x 5 0.5 0 100 200 300 400 t 1 0.5 0 0.5 coda correlation x 1 x 5 150 100 50 0 50 100 150 τ
Conclusions Dans des milieux hétérogènes il vaut mieux utiliser des corrélations croisées des signaux enregistrés plutôt que les signaux eux-mêmes pour faire de l imagerie. Les techniques d imagerie par corrélations croisées peuvent être utilisées avec des sources de bruit ambiant au lieu de sources contrôlées. Déplacement de la frontière traditionnelle entre signal et bruit.