Chap 5 Suites arithmético-géométriques Terminale ES Chap 5 - Suites arithmético-géométriques I. Suite arithmético-géométrique (TES.230)...4 1) Etude d'un exemple...4 2) Définition...4 II. Représentation graphique d'une suite arithmético-géométriques...5 III. Exercices vers le bac (TES.231, TES.232, TES.233, TES.234)...5 A. Gniady 2015-2016 Chap 5 Suites arithmético-géométriques 1 / 5
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Activités : I-1 étude d'un exemple TES.23 Chap6 - Suites arimético-géométriques Exercices TES.230 TES.231 TES.232 TES.233 TES.234 Modéliser une situation par une suite arithméticogéométrique. Conjecturer le sens de variation et la limite d'une suite arithmético-géométrique. Déterminer la limite d'une suite arithmético-géométrique Mobiliser ses compétences sur les suites pour résoudre un problème. Algo : Recherche du n-ième terme d'une suite arithméticogéométrique Ex 36 p 24 Ex 69, 70 p 27 Feuille : 50, 51, 52, 54, 55 Calculatrice : 73 p 27, 74 p 27 (graphe donné) AP : 24 à 27 p 23 Ex 72 p 27 (à la main) Feuille : 56 Ex 76, 77 p 27 Feuille : 60 Seuil : 56, 57, 58 Exercices bilan Ex 75 p 27 Exercices bilan : Feuille : 73, 79, 80, 81, 83, 85 Algo : Tableur : 99 p 35 TP : 81 p 30 Une approche : parts de marché p 163 (conjecture de la limite à l'aide d'un algo boucle algobox) 4 p 164, 6 p 165 plus petit entier... A. Gniady 2015-2016 Chap 5 Suites arithmético-géométriques 3 / 5
I. Suite arithmético-géométrique (TES.230) 1) Etude d'un exemple Exercice 1 : Dans un journal, on considère que le nombre de nouveaux abonnés, chaque année, est de 3000 et que, d'une année sur l'autre, 85 % des abonnés prolongent leur abonnement. On suppose que le 1 er janvier 2011, il y a 60 000 abonnés. Si les perspectives décrites ci-dessus se poursuivent, on aimerait déterminer le nombre d'abonnés qu'il y aura le 1 er janvier 2021. a. Déterminer le nombre d'abonnés à ce journal le 1 er janvier 2012 et le 1 er janvier 2013. b. On décide de modéliser la situation décrite par une suite (u n ) où u n représente le nombre d'abonnés au journal au 1 er janvier de l'année 2011+ n. Préciser le premier terme de la suite (u n ). Justifier que la suite (u n ) suit le relation de récurrence : pour tout n N, u n+1 =0,85 u n +3000. Pour déterminer le nombre d'abonnés au 1 er janvier 2021, il nous faut calculer u 10. Pour cela, on utilise une nouvelle suite (v n ) appelée «suite auxiliaire». c. On considère la suite (v n ) définie sur N par v n =u n 20000. Exprimer v n +1 en fonction de v n. Que peut-on en déduire quant à la nature de la suite (v n )? En déduire l'expression de v n en fonction de n, puis l'expression de u n en fonction de n. Répondre à la question posée. 2) Définition On appelle suite arithmético-géométrique, toute suite (u n ) définie par son premier terme et par une relation de récurrence de la forme u n+1 =a u n +b où a et b sont deux réels. Cas particuliers: Si b=0, alors la suite (u n ) est géométrique de raison a ; Si a=1, alors la suite (u n ) est arithmétique de raison b. Remarque : Nous verrons dans plusieurs exemples (comme ci-dessus) que l'étude d'une suite arithméticogéométrique peut être ramenée à l'étude d'une suite géométrique. Exercice 2 : Une entreprise du secteur du BTP doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de 30 000 tonnes de déchets par an. En 2007, l'entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets. Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités. On note r n la quantité, en tonnes, des déchets rejetés pour l'année 2007+n. 1) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a r n+1 =0,95 r n +200. 2) Soit (s n ) la suite définie pour tout entier naturel n par s n =r n 4000. a. Démontrer que la suite (s n ) est une suite géométrique de raison 0,95. Donner son premier terme. En déduire l'expression de s n en fonction de n. b. Prouver que, pour tout entier naturel n, on a : r n =36000 0,95 n +4000. c. Le contexte restant le même, déterminer à l'aide de la calculatrice, l'année à partir de laquelle l'entreprise réussira à respecter son engagement. (Indice page 17) A. Gniady 2015-2016 Chap 5 Suites arithmético-géométriques 4 / 5
II. Représentation graphique d'une suite arithmético-géométriques (u n ) est une suite définie par u 0 et pour tout n de N, u n+1 = a u n + b. Pour représenter graphiquement cette suite dans un repère orthonormé : 1) On trace la droite D d'équation y = x. On trace la droite Δ d'équation y = a x + b 2) On place u 0 sur l'axe des abscisses 3) On utilise la droite Δ pour placer u 1 = au 0 + b sur l'axe des ordonnées On utilise la droite D pour placer u 1 sur l'axe des abscisses On recommence l'étape (3) pour placer u 2, u 3 sur l'axe des abscisses. Exemple : u 0 = 10 u n+1 = 0,5u n + 2 faire le tracé pour u 0 = 1 u n+1 = 0,5u n + 2 III. Exercices vers le bac (TES.231, TES.232, TES.233, TES.234) A. Gniady 2015-2016 Chap 5 Suites arithmético-géométriques 5 / 5