Cours 6 Reponse en frequence
Revision: nombres complexes L analyse en frequences nous force a utiliser les nombres complexes Ces notions ont ete couvertes dans les cours prealables Passons quelques acetates pour se mettre a jour Commencons par definir des termes: Il existe les nombres reels et imaginaires La combinaison des deux: complexes
Revision: nombres complexes Format conventionnel: x + jy Partie reelle: x Partie imaginaire: y Par definition: j Autre definition: conjugues complexes nombres complexes qui ont la meme partie reelle, mais la partie imaginaire inverse ( a + jb) ( a jb) 3
Revision: Graphiquement Parfois c est interessant de tracer des graphiques On peut faire ca avec les nombres complexes: On definit un plan complexe Axe des X: Reel Axe des Y: Imaginaire Imaginaire (+j) Dans cet exemple, on a trace: ) +j ) -3-j (-3-j) Reel Allons voir les proprietes differentes des nombres complexes 4
Revision: Arithmetique Multiplication par scalaire: Multiplie les parties imaginaires et reelles c ( a + jb) ( ac + jbc) Addition de nombres complexes: Additionner les parties reelles ensemble Additionner les parties imaginaires ensemble ( a + jb) + ( c + jd ) ( a + c) + j( b + d ) 5
Revision: Arithmetique Multiplication de nombres complexes ( a + jb)( c + jd ) Comme multiplication de polynomes Produit de tous les elements et on en fait la somme ac + adj cbj bd On regroupe les reels et imaginaires + ( ac bd ) + j( ad + cb) Rappel: j * j - 6
Revision: Arithmetique Propriete interessante: Multiplication de conjugues complexes donne nombre reel Preuve: On prend deux conjugues ( a + jb )( a jb ) On les multiplie (Les imaginaires disparaissent) ( aa + jab jab + jb( jb) ) Resultat ( a + b ) 7
Revision: Arithmetique Division nombres complexes (cartesien) ( a jb) ( c + jd ) + Notre job: enlever l imaginaire au denominateur On multiplie par la conjuguee du denominateur ( a + jb) ( c jd ) ( c + jd ) ( c jd ) Ca se simplifie ( ac + bd ) + j( bc ad ) ( c + d ) Voyons pourquoi c est utile 8
Revision: Graphiquement On sait comment mettre (+j) et (-3-j) dans un plan complexe: ( + j) Comment fait-on pour mettre ( + 3 j) dans le plan complexe? 9
Revision: Graphiquement Le probleme est qu on ne sait pas quoi faire avec le denominateur complexe Division pour mettre denominateur reel ( + j) ( 3 j) ( + 3 j) ( 3 j) Imaginaire Resultat 8 j + 3 3 (8/3)+(j/3) Reel On peut maintenant le placer dans le plan 0
Revision: Polaire On a vu coordonnees cartesiennes ) X: Distance sur l axe horizontal ) Y: Distance sur l axe vertical Autre notation: coordonnees polaires ) Amplitude ) Phase (angle vs. l axe reel positif) Imaginaire Amplitude Reel + Imaginaire (+j) Phase tan Imaginaire Reel (-3-j) Reel On s exprime differemment pour dire la meme chose
Revision: Polaire Transformons les donnees precedentes du cartesien au polaire: +j Imaginaire + j 5 6. 5-3-j 3 j 3 3. 7 (-3-j) (+j) Reel Note: Ne PAS inclure la lettre j dans le calcul des phases et amplitudes
Revision: Polaire Pourquoi polaire? Manipulation facile pour multiplication et division Multiplication: Amplitude: Multiplication d amplitudes Phase: Addition de phases Division: Amplitude: Division d amplitudes Phase: Soustraction de phases 3
Revision: Polaire Revenons a notre exemple precedent Avec coordonnees cartesiennes on a obtenu ceci ( + j) ( + 3 j ) Refaisons ca en polaire: Numerateur: Denominateur: Resultat: 8 j 5 + 7. 3 3 3 ( + j) 5 63. 4 ( + 3 j) 3 56. 3 5 63.4 56.7 7. 3 4
Exemple (seul) Faites la division de nombres complexes 3+ j 40 Faites-le de facons: En utilisant les coordonnees cartesiennes j (en multipliant par le conjugue du denominateur) En utilisant les coordonnees polaires 5
Revision: Polaire Multiplication par conjugue 3 40 + j ( j) ( 40 + j) ( 40 + j) Etape intermediaire ( 0 + 63 j) + ( 40 j ) 40 + Resultat Amplitude 99 + 03 j 04 Phase 99 + 03 04 040 04 0 04 03 tan 99 46. Faisons-le maitenant de l autre facon 6
Revision: Polaire Convertir numerateur et denominateur en polaire: Resultat: 3 + j 40 jj 3 + tan 3 40 + tan 40 Amplitude Phase 3 40 + + 0 04 ( 7.7) 46. 8.4 7
Rappel: types de reponse Quand on stimule un systeme, il reagit d une certaine maniere Il y a plusieurs facon de decrire les reponses: Reponse forcee Reponse naturelle Regime transitoire Regime permanent Ca veut dire quoi? 8
Rappel: types de reponse Reponse forcee: Reponse determinee par l input Apres le changement initiale, c est la reponse forcee Ex: J applique 5v a 3 filtres passe-bas A la fin, j ai toujours 5v 5v c est la reponse FORCEE parce que ca depend de l input 9
Reponses Reponse naturelle: Caracteristiques du systeme. Independant de l entrée. Exemple: Filtre passe bas. Monte plus ou moins lentement en reponse a un echelon. «Comment il reagit AVANT de se stabiliser» 0
Reponses La reaction initiale s appelle aussi le regime transitoire C est determine par la reponse naturelle La reaction eventuelle s appelle le regime permanent C est determine par l input Regime Transitoire (reponse naturelle) Regime Permanent (reponse forcee) En regime permanant, il ne reste que la reponse forcee t
Reponses Depuis le debut du cours, on s interesse aux regimes transitoires et permanents: On trouve vout(t) qui englobe les Souvent, les regimes vont nous interesser Une fois de temps en temps, c est le regime permanent qui nous interesse Je veux savoir comment le systeme se comporte une fois stabilise
Reponses Je veux savoir comment ma suspension se comporte: Je teste pour savoir sa reaction apres un input Je teste pour savoir comment il se comporte en regime permenant: Transitoire Permanent
Reponses Dans cette partie du cours, on s interesse a la e situation: On s interesse au regime permanent Et on s interesse a lui quand le stimulus est un sinus (on imagine que les bosses sont des sinus) On appelle ca: regime sinusoidal etabli Considerons un autre exemple 4
Reponse Imaginez un reseau electrique On envoie un signal electrique de 60Hz On veut savoir si ca se rend bien aux maisons Le reseau electrique est un gros circuit: L entrée du circuit est une sinusoide de 60Hz. La sortie va aussi etre une sinusoide une fois stabilisee Il manque beaucoup de details en passant.. 5
Reponses Comment faire une analyse en regime sinusoidal etabli? On stimule avec un sinus On neglige des effets transitoires On n observe QUE lorsque c est stable 6
Reponse Reprenons le reseau electrique de tantot On pourrait l analyser avec Laplace et trouver V OUT (s) On l inverse, ca donne v out (t) 7
Reponses Vout(t) avec Laplace donne les regimes transitoire et permanent Vert En regime sinusoidal etabli, on va ignorer le regime transitoire Bleu 3 4 3 0 0 3 4 3 Laplace Regime sinusoidal etabli Les deux On va faire semblant que le regime transitoire n existe pas 8
C est quoi l idee de base? Comment analyser un systeme en regime sinusoidal etabli? On commence par une analyse en s En analysant le systeme, on trouve sa fonction de transfert: T ( s) OUTPUT ( s) INPUT ( s) On pourrait rearranger l equation: OUTPUT ( s) T ( s) INPUT ( s) 9
C est quoi l idee de base? On s interesse au regime sinusoidal etabli Notre input sera donc une sinusoide C est quoi un sinus dans Laplace? On regarde la tableau: INPUT ( s) On met ca dans l autre equation A ω in s + ωin OUTPUT ( s) T ( s) INPUT ( s) OUTPUT ( s) Maintenant, pour T(s) T ( s) s Aω + ω in in 30
C est quoi l idee de base? On va dire que T(s) a la forme suivante: T ( s) La sortie serait: K ( s + a)( s + b)...( s + c) OUTPUT ( s) T ( s) s Aω + ω in in OUTPUT ( s) K Aω in ( s + a)( s + b)...( s + c) ( s + ω ) in Pour trouver output(t), il faut l inverse: On fait les fractions partielles: OUTPUT ( s) M N k k + +... + 3 + + in in + ( s + jω ) ( s jω ) ( s + a) ( s + b) ( s c) On peut maintenant faire l inverse Laplace k 3
C est quoi l idee de base? Regardons la forme de de output(s): OUTPUT ( s) Reponse forcee M N k k + +... + 3 + + in in + ( s + jω ) ( s jω ) ( s + a) ( s + b) ( s c) e jωt : Sinusoides de frequence ω in Reponse naturelle e -σt: Exponentielles decroissantes Apres un certain temps, les exponentielles tombent a 0: La sortie sera une sinusoide de meme frequence que l entree k Avec une sinusoide a l entrée, on aura une sinusoide de MEME frequence a la sortie 3
C est quoi l idee de base? On resume: Je mets un sinus dans un systeme Il reagit d une maniere au debut (on l ignore) Apres un temps, les reponses naturelles disparaissent Il ne reste que la reponse forcee La sortie est donc une sinusoide de meme frequence que l entrée 33
C est quoi l idee de base? Il est IMPOSSIBLE d avoir des frequences differentes a l entree et a la sortie Vrai pour les systemes lineaires en regime sinusoidal etabli (permanent) Quand l entree est un sinus, choses peuvent changer en regime permanent: L amplitude: peut sortir plus gros ou plus petit La phase: peut sortir en retard ou en avance Comment est-ce que ca affecte notre analyse? 34
C est quoi l idee de base? Avec Laplace, s est une frequence complexe Frequence complexeimaginaire + reelle Reelles: oscillations d amplitudes constantes Imaginaires: attenuation ou agrandissement 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0 500 000 500 000 500 3000 3500 4000 4500 0 0 500 000 500 000 500 3000 3500 4000 4500-0.8 0 500 000 500 000 500 3000 3500 4000 4500 Frequence reelle Frequence imaginaire Frequence complexe 35
0. 8 0. 6 0. 4 0. 0-0. -0. 4-0. 6-0. 8-0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0 4 0 0 0 4 5 0 0 C est quoi l idee de base? Avec Laplace, on utilise sσ+jω Input Frequences imaginaires (σ):attenuation ou agrandissement Frequences reelles (ω): oscillations a amplitude constante En regime transitoire, il y a les deux types En regime permanent, il ne reste que les frequences reelles... Transitoire Permanent 0. 8 0. 6 0. 4 0. 0-0. - 0. 4-0. 6-0. 8 Systeme 36-0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0 4 0 0 0 4 5 0 0
C est quoi l idee de base? Donc, pour une analyse complete, on utilise Laplace: On a des frequences imaginaires et reelles Traduction mathematique: sσ+jω En regime sinusoidal etabli: Il n y a plus d attenuation ou d agrandissement Il n y aura plus de frequences imaginaires Donc σ0 Il reste seulement les frequences reelles: jω. 37
C est quoi l idee de base? Si on veut analyser le comportement complet, on considere sσ+jω Signal en VERT Si on ne veut voir le signal QUE lorsqu il est stabilise, on peut mettre sjω Signal en ROUGE 0.5 0 En regime permanent, les sont pareils -0.5 Passons aux mathematiques - 0 0 0 30 40 50 60 70 38
Passons aux mathematiques Pour l analyse, mon input est un sinus INPUT ( s) s Aω + ω in in En regime sinusoidal, les frequences sont reelles sjω INPUT( jω) ω A ω Ca pourrait etre un nombre complexe Si on le voulait, on pourrait l exprimer en forme polaire in + ω in INPUT ( jω) INPUT ( jω) INPUT ( jω) On pourrait faire la meme chose avec le systeme 39
Passons aux mathematiques Mon systeme de tantot avait T(s) de.. T ( s) ( s + a)( s + b)...( s + c) On fait l analyse en regime sinusoidal sjω T ( jω) C est un nombre complexe On pourrait l exprimer en forme polaire K K ( jω + a)( jω + b)...( jω + c) T ( jω) T ( jω) T ( jω) 40
Passons aux mathematiques On sait que OUTPUT ( s) T ( s) INPUT( s) En regime sinusoidal etabli, on aurait OUTPUT ( jω) T ( jω) INPUT ( jω) Output est une multiplication de nombres complexes : Amplitudes se multiplient OUTPUT ( jω) T ( jω) INPUT ( jω) Phases s additionnent OUTPUT ( jω) T ( jω) + INPUT ( jω) Rappel: frequence en entrée frequence en sortie 4
Passons aux mathematiques Recette magique. T(s) T(jω): Remplacer s par jω. Exprimer T(jω) en polaire 3. Exprimer INPUT(jω) en polaire 4. Multiplier les amplitudes 5. Additionner les phases x + jy Amplitude + Phase : tan : x y y x 4
Exemple # Trouvez T(jω) et T(jω) du circuit: Etapes ) Fonction de transfert Laplace T(s) ) Regime sinusoidal etabli: s jω 3) Trouver amplitude et phase 43
Exemple # Diviseur de tension (avec impedance): T ( s) + 0. 0. s 0.s + 0. s ( ) s ( ) 0. En regime sinusoidal etabli, on a sjω On n a que des frequences reelles T ( s) 0.s + ( ) s ( ) 0. s + T ( jω) j ω 0.+ On est encore en «cartesien»... Transformons ca en «polaire» 44
Exemple # En coordonnees polaires, on a l amplitude et la phase. L amplitude est T ( jω) jω0.+ ω 0. On peut la tracer: T ( jω) j ω 0.+ + Amplitude 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0 40 60 80 00 Frequence (ω) 45
Exemple # La phase est: T ( jω) 0 tan 0.ω tan 0. ω On peut la tracer: Phase 0-0.5 - -.5 0 0 40 60 80 00 Frequence 46
Exemple # Que veulent dire ces graphiques? Si l entree etait un sinus de 0 rad/s Le systeme aurait une amplitude a ~0.4 Le systeme aurait une phase de -0.8rads Amplitude 0 Phase 0.8 0.6-0.5 0.4-0. 0 0 0 40 60 80 00 Frequence -.5 0 0 40 60 80 00 Frequence 47
Exemple # Sachant que OUTPUT ( jω) T ( jω) INPUT( jω) En polaire, les amplitudes se multiplient et les phases s additionnent La sortie sera un sinus de la meme frequence que l entree (0rad/s): Qui est ~0.4 fois plus grand que l entree Et qui est decale et 0.8rads 0 Amplitude gain 0.8 0.6 0.4 0. Phase dephasage -0.5-48 0 0 0 40 60 80 00 -.5 0 0 40 60 80 00
Exemple # Voyons ce qu il se passe si on appliquait des sinus de frequence differentes ω ω0 ω00 0.5 0.5 0.5 0 0 0-0.5-0 4 6 8 0-0.5-0 4 6 8 0-0.5-0 4 6 8 0 Reponse en frequences (amplitude): 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0 40 60 80 00 Prenons maintenant un signal compose de plusieurs sinus 49
Exemple # Dans le temps Dans le temps 0.5 0 Basses frequences passent Hautes frequences sont attenuees 0.5 0-0.5-0 4 6 8 0 0.8 0.6-0.5-0 4 6 8 0 En frequence 0.4 En frequence 5000 0. 5000 4000 0 0 0 40 60 80 00 4000 3000 Circuit passe bas 3000 000 000 000 0 0 0 0 30 40 50 60 Remarquez le ratio des grandeurs 000 50 0 0 0 0 30 40 50 60
Exemple # (seul) Trouvez:. Fonction de transfert sinusoidale. Gain (amplitude) vs frequence 3. Trouvez les amplitudes pour ω, 0 et 00rad/s 4. Dephasage vs frequence V IN V OUT 0.F Ω 5
Exemple # (seul) On se rappelle des etapes: Trouver la fonction de transfert en s Substituer s par jω Trouver amplitude/phase du nombre complexe On trouve la fonction de transfert C est un diviseur de tension avec impedances T ( s) R R + sc V IN C V OUT R 5
Exemple # (seul) C est un peu laid... on l arrange: T ( s) R R + sc R R sc + sc sc scr scr + En regime sinusoidal etabli, sjω Pas changement d amplitude, donc σ0 T ( jω) jωcr jωcr + Avec les valeurs T ( jω) j0.ω j0.ω + 53
Exemple # (seul) On trouve son amplitude T ( jω) j0.ω j0.ω + T ( jω) 0.ω 0.0ω En meme temps on va trouver la phase T ( jω) tan 0.ω 0 Retournons a l amplitude.. 90 tan On voulait la gain pour ω, 0 et 00 + 0.ω 0.ω tan 54
Exemple # (seul) Avec l equation, c est une simple question de substituer les chiffres: 0.ω T ( jω) 0 0.0ω + jω 0. T ( ) 0. 00 0.0+ T ( jω) 0.707 + T ( jω) 0 00 + A basse frequences, le gain est faible A haute frequences, le gain tend vers 55
Exemple # (seul) On trace la courbe de gain vs frequence 0.8 0.6 0.4 Pouvez-vous relier ce graphique aux calculs precedents? (ω,0 et 00) 0. 0 40 60 80 00 0 Frequence ω ω0 ω00 0.5 0.5 0.5 0 0 0-0.5-0 4 6 8 0-0.5-0 4 6 8 0-0.5 56-0 4 6 8 0
Exemple # (seul) Qu est-ce qui se passerait si on passait un signal compose? (pas juste un sinus) 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0. 0. 0 40 60 80 00 0 0 40 60 80 00 0 Chaque composante est traitee separement Allons voir le cas d une onde carree 57
Exemple # (seul) Dans le temps Dans le temps 0.8 0.6 0.4 0. Basses frequences attenuees Hautes frequences passent.5 0.5 0 0-0. -0.4-0.5-0.6-0.8-0 3 4 5 6 x 0 5.5 En frequence x 0 5 0.8 0.6 0.4 0. - -.5 0 3 4 5 6 x 0 5.5 x 05 En frequence 0 40 60 80 00 0.5 Circuit passe haut.5 0.5 Remarquez le ratio des grandeurs 0.5 58 0 0 0 30 40 50 60 0 0 0 0 30 40 50 60
Exemple #3 (seul) Trouvez:. Fonction de transfert sinusoidale. Gain (amplitude) vs frequence 3. Dephasage vs frequence 59
Exemple #3 (seul) On va combiner L et C en parallele: + + s s s s Z 60 T(s): diviseur de tension entre Z et R: ) ( + + + + s s s s Z Z s T
Exemple #3 (seul) Fonction de transfert: ) ( + + + + s s s s Z Z s T ) ( + + s s s s T 6 Fonction de transfert sinusoidale: sjω Apres simplification + s ) ( + + ω ω ω ω j j j T ( ) ω ω ω ω j j j T + ) (
Exemple #3 (seul) T(jω) est un nombre complexe On peut trouver son amplitude: T ( jω) jω ( ω ) + j ω T ( jω) En developpant, on retrouve ceci: ω T ( jω) 4 ω ω + ω ( ω ) + ω 6
Exemple #3 (seul) Graphique de l amplitude vs frequence ω T ( jω) 4 ω ω + 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 4 6 8 0 63
Exemple #3 (seul) Dephasage T ( jω) jω ( ω ) + jω T ( jω) 90 tan ω ω 80 60 40 0 00 80 60 40 0 0 0 4 6 8 0 64
Exemple #4 Considerez le circuit suivant: Si l entrée etait cos(0000t+π/4), quelle serait la sortie? 65
Exemple #4 La question est differente, mais pas plus difficile On se rappelle des etapes: On trouve la fonction de transfert en s On met sjω pour le regime permanent en sinus On calcule le gain (amplitude) On calcule le dephasage (phase ) On multiplie les amplitudes On additionne les phases 66
Exemple #4 On utilise un diviseur de tension: T ( s) 0 0 + 0.00s En regime sinusoidal etabli, sjω: C est un nombre complexe. On trouve Son amplitude Sa phase 0 T ( jω) 0 + jω0.00 67
Exemple #4 L amplitude c est: T ( jω) 0 0 + ω 0.00 On connait l amplitude pour n importe quelle frequence Ici, on s interesse a ω0000 0 T ( j0000) 00 + 00 0.7 Un sinus de 0000rad/s qui entre ressortira 0.7 fois plus gros 68
Exemple #4 La phase est: T ( jω) tan 0 0 tan ω 0.00 0 On s interesse a ω0000 T ( jω) 0 tan 0 0 π 4 Un sinus de 0000rad/s qui entre ressortira decale de π/4 rads 69
Exemple #4 Sortie vout ( t).4 cos(0000t ) cos(0000t+π/4).5 0.5 0-0.5.4Cos(0000t) - -.5-0 3 4 5 x 0-3 70
Exemple #5 (Seul) Quel est le signal a la sortie si l entrée etait sin(5t) On vient tout juste de calculer ceci: T ( jω) jω ( ω ) + jω 7
Exemple #5 (Seul) Amplitude: Phase: ω T ( jω) 4 ω ω + Avec ω5, amplitude0.04 Avec ω5 T ( jω) 90 tan T ( jω) 90 tan 5 5 90 ω [ ] ω (.77 + 80) 78 Partie reelle negative 7
Exemple #5 (Seul) On trace la reponse a la sortie: sin(5t) 0.5 0-0.5 0.sin(5t-78 ) - 0 4 6 8 0 4 73