Introduction au traitement du signal application à la sismique UM II C. Champollion d'après F. Masson
Plan Introduction Transformée de Fourier Convolution Corrélation / Autocorrélation Echantillonnage Transformée de Fourier numérique / Convolution numérique / Corrélation numérique Applications Le filtrage Qu est ce qu une trace sismique? Le sweep
Introduction Le signal sismique est enregistré sous forme de séries temporelles numériques. Le traitement sismique implique la connaissance de quelques bases de traitement du signal.
Transformée de Fourier La transformée de Fourier consiste à décomposer une série temporelle en une suite d ondes monofréquentielles. Fourier (1822) a montré qu une série de données peut être regardée comme la somme d une série de fonctions sinusoïdales avec : Une amplitude Une phase Une fréquence
Transformée de Fourier Une amplitude Une phase Une fréquence
Transformée de Fourier L analyse de Fourier calcule l amplitude et la phase pour chaque fréquence
Transformée de Fourier On peut calculer la transformée de Fourier pour la plupart des fonctions mathématiques et pour l ensemble des signaux «physiques». On peut définir X(ν) la TF de la fonction x(t) (ν, la fréquence en Hertz) : X υ =TF x t = x t e i2πνt dt On peut aussi définir la TF inverse : x t =TF X ν = X ν e 1 i2πνt dν
Transformée de Fourier On peut aussi utiliser la notation en pulsation ω = 2 π ν : X ω =TF x t = x t e iωt dt 1 iωt x t =TF X ω = X ω e dω 2π 1 Problème : On perd la symétrie des formules
Transformée de Fourier Amplitude / Phase X ν =R ν +ii ν R ν Partie réelle I ν Partie imaginaire S ν = R ν +I ν Spectre d'amplitude I ν Φ ν =arctan Spectre de phase R ν 2 2
Spectres
Transformée de Fourier Condition d existence de la TF : il faut que la fonction x(t) soit bornée l intégrale de x(t) entre -α et + α ait une valeur finie les discontinuités de x(t) soient en nombre fini <=> x(t) à carré sommable <=> énergie finie Cette condition est toujours respectée dans le cas des fonctions qui représentent un processus physique
Transformée de Fourier Théorèmes importants Théorème de l addition Si Alors TF x t =X ν TF y t =Y ν TF x t +y t =X ν +Y ν
Transformée de Fourier Théorèmes importants Théorème de similarité Si Alors TF x t =X ν 1 ν TF x at = X a a
Transformée de Fourier Théorèmes importants Théorème du décalage Si Alors TF x t =X ν TF x t a =e 2πiυa X ν
Transformée de Fourier Théorèmes importants Théorème de la dérivée Si Alors TF x t =X ν TF x' t =2πiνX ν
Transformée de Fourier Quelques calculs simples La fonction Porte (Créneau) La fonction Double Porte Symétrique La fonction de Gauss Le Dirac Le Cosinus Le Sinus
Transformée de Fourier La fonction Porte (Créneau)
Transformée de Fourier La fonction Porte (Créneau) sin πνt G ν =T =T sin c πνt πνt eix e ix sin x= 2i
Transformée de Fourier La fonction Porte Symétrique
Transformée de Fourier La fonction Porte Symétrique G ν =2Tcos 2 πνt m sin c πνt e ix +e ix cos x= 2
Transformée de Fourier La fonction de Gauss g t =e πt 2 => G υ =e πυ 2 La TF d une fonction de Gauss est aussi une fonction de Gauss. C est un exemple de fonction dont le spectre contient toutes les composantes spectrales : C est un spectre continu depuis la fréquence nulle jusqu aux très hautes fréquences, celles-ci ayant des amplitudes quasi nulles
Transformée de Fourier La fonction de Gauss g t =e πt 2 => G υ =e πυ 2
Transformée de Fourier Les Ricker s 0 t =e πk 2 t 2 1 => S 0 ν = e k π ν2 k2 On calcule les dérivées première et seconde de cette fonction s 1 t = 2πk 2 t exp πk 2 t 2 2πiν ν2 S1 ν =2πiνS 0 ν = exp π 2 k k 4π 2 ν 2 ν2 S2 ν =2πiνS 1 ν = exp π 2 k k
Transformée de Fourier Les Ricker
Transformée de Fourier Le Dirac On appelle Dirac la fonction δ (x) (en fait, c est une distribution ) définie par : δ x =0 si x 0 et par δ x dx=1
Transformée de Fourier Le Dirac TF δ x =1
Transformée de Fourier Le Dirac 1 TF δ ν =1 (car si f(t)=1, la seule fréquence dans le signal est la fréquence nulle)
Transformée de Fourier Le Cosinus TF 1 δ ν =1 alors 1 1 1 TF δ ν ν0 = exp 2πiν 0 t et 2 2 1 1 TF 1 δ ν+ν0 = exp 2πiν 0 t 2 2 En regroupant : 1 1 TF δ ν+ν0 +δ ν ν 0 = 2 1 exp 2πiν 0 t exp 2πiν 0 t =cos 2 πν0 t 2
Transformée de Fourier Le Cosinus Si : 1 TF δ ν+ν0 +δ ν ν 0 = 2 1 exp 2πiν 0 t exp 2πiν 0 t =cos 2 πν0 t 2 Alors en prenant la TF 1 TF cos 2πν0 t = δ ν+ν0 +δ ν ν 0 2 1
Transformée de Fourier Le Cosinus 1 TF cos 2πν0 t = δ ν+ν0 +δ ν ν 0 2
Transformée de Fourier Le Sinus On peut calculer la TF de la fonction Sinus par 2 méthodes, en partant de la TF de la fonction cosinus : Théorème du décalage : sin 2πν0 t =cos 2 πν0 t π/ 2 Théorème de la dérivée : 1 sin 2πν0 t = 2 πν0 cos 2 πν0 t ' 1 TF sin 2πν0 t = δ ν-ν 0 -δ ν+ν0 2i
Applications - le filtrage Le filtrage consiste à supprimer certaines fréquences d un signal. Pour augmenter le rapport signal/bruit Pour extraire l information intéressant un problème particulier
Applications - le filtrage Le spectre d amplitude Hertz Secondes Le signal d origine
Applications - le filtrage Le signal filtré Secondes Hertz Le spectre coupé
Applications - le filtrage Le signal filtré Secondes Hertz Le spectre coupé
Applications - le filtrage Le signal filtré Secondes Hertz Le spectre coupé
Applications - le filtrage Le signal filtré Secondes Hertz Le spectre coupé
Convolution Définition : On appelle produit de convolution de deux fonctions f et g la fonction h telle que : h u = f t g u t dt h u =f t g t
Convolution Propriétés : Associative : f*(g*h)=(f*g)*h Commutative : f*g=g*f Distributive par rapport à l addition : f*(g+h)=f*g+f*h Exemples : Convolution de deux créneaux centrés sur 0 de largeur 2T Convolution d un Dirac et d une fonction quelconque Convolution d un peigne de Dirac et d un segment de cosinus
Convolution Exemples : Convolution d un peigne de Dirac et d un segment de cosinus
Exemple?
Convolution TF d un cosinus multiplié par une porte g t =cos 2πν0 t P 2T t => G ν =TF cos 2 πν0 t TF P 2T t 1 G ν = δ ν+ν0 +δ ν ν 0 2Tsin c 2πνT 2 Si T petit, 1/T est grand Si ν0 est petit => Les 2 pics s emmêlent
Convolution
Applications - Qu est ce qu une trace sismique? Une trace sismique est le résultat de la convolution d une source sismique par le log impulsionnel du terrain sousjacent. Le log impulsionnel est une suite de Dirac espacés dans le temps et d amplitudes variables Espacement : espacement inter-couche (AR) Amplitude : coefficient de réflexion
Applications - Qu est ce qu une trace sismique?
Applications - Qu est ce qu une trace sismique? Problèmes : Si les réflexions sont très resserrées. Si la source est longue
Applications - Qu est ce qu une trace sismique? Le problème des fantômes * = Une source Ricker d ordre 1, du fait des fantômes de la source et du récepteur, apparaît comme un Ricker d ordre 2
Applications - Qu est ce qu une trace sismique? Le problème des fantômes (suite) * =
Applications - Qu est ce qu une trace sismique? Le problème des multiples * =
Corrélation / Autocorrélation Définition : On appelle produit de corrélation de deux fonctions f et g la fonction h telle que : h u = f t g u+t dt h u =f t g t La fonction de corrélation est caractéristique du degré de ressemblance de deux fonctions.
Corrélation / Autocorrélation Définition : Normalisation de la fonction de corrélation : On normalise souvent la fonction de corrélation par le dénominateur [ D= f 2 τ dτ g2 τ dτ 1/ 2 ] Si f et g sont deux fonctions identiques, alors h(0)/d=1.
Corrélation / Autocorrélation Autocorrélation : On appelle autocorrélation d une fonction f la corrélation d une fonction par elle-même : h u = f t f u+t dt h u =f t f t La fonction d autocorrélation permet de mettre en évidence les cyclicités d une fonction.
Corrélation / Autocorrélation Autocorrélation :
Applications - Le sweep Le Sweep et son autocorrélation
Applications - Le sweep Corrélation de signal long
Convolution numérique En numérique, la convolution de 2 fonctions numériques si et gi discrétisées avec un pas d échantillonnage τ s écrit : n c j =τ si g j i i= 0
Corrélation numérique En numérique, la corrélation de 2 fonctions numériques si et gi discrétisées avec un pas d échantillonnage τ s écrit : n r j =τ s i g j+i i=0
Autocorrélation numérique En numérique, l autocorrélation d une fonction numérique si discrétisée avec un pas d échantillonnage τ s écrit : n a j =τ si s j+i i=0
Echantillonnage Définition : Echantillonner une fonction (on dira souvent un signal ) consiste à la représenter par ses valeurs numériques obtenues à des instants infiniment brefs et régulièrement espacés. Le temps séparant deux échantillonnages est appelé Pas d échantillonnage, son inverse la fréquence d échantillonnage. Pour une fonction temporelle le pas est en secondes, la fréquence en Hertz.
Echantillonnage Définition : Mathématiquement, l échantillonnage d une fonction peut être décrit comme la multiplication d un signal s(t) par la fonction Wτ (t), peigne de Dirac de pas τ. W τ t = On appellera δ t nτ n= f t =f t.w t la fonction échantillonnée.
Echantillonnage TF de la fonction Wτ (t) : 1 TF W τ t = W 1 υ τ τ La transformée de Fourier d un peigne de Dirac de pas τ est un peigne de Dirac de pas 1/ τ.
Echantillonnage TF d une fonction échantillonnée : f t =f t.w τ t 1 =>TF f t =F υ W 1 υ τ τ Le spectre de la fonction échantillonnée est obtenu par la convolution entre la TF de la fonction continue et le peigne de Dirac de pas 1/ τ. La convolution autour d un Dirac centre la fonction convoluée autour du dirac Ici comme on a un peigne de Dirac, la fonction F(ν) est centrée autour de chaque dent du peigne. Il y a répétition à l infini de F(ν).
Echantillonnage TF d une fonction échantillonnée : Si F(ν) est à support borné entre [- νc, + νc] et si le pas τ est inférieur à 1/2νc, la TF de la fonction échantillonnée permet de retrouver F(ν) en isolant le motif central.
Echantillonnage TF d une fonction échantillonnée : Par contre si le pas d échantillonnage τ est plus grand que 1/2ν c, il y a recouvrement de spectre au voisinage de +-Nνc (N entier). C est le phénomène d aliasing (repliement de spectre). Alors il est impossible de retrouver F(ν). Il sera impossible de reconstituer f(t).
Echantillonnage Théorème de l échantillonnage (Shannon-Nyquist) : Le pas d échantillonnage maximum que l on peut retenir pour échantillonner un signal de contenu fréquentiel [- νc, + νc] est 1/2νc. (il faut au moins deux échantillons pour représenter correctement numériquement la plus courte période contenue dans le signal) La fréquence 2νc est la fréquence de Nyquist.
TF numérique 1 F υ =TF f t =F υ W 1 υ τ τ avec W 1 υ = δ υ n/ τ τ
TF numérique La TF numérique est donc une fonction périodique qui se répète tous les intervalles 1/τ. =F υ Si on suppose F(ν) à support borné [- νc, + νc], alors F υ sur cet intervalle de fréquence si τ <1/2 νc. Questions : A quelles fréquences ν i va-t-on évaluer Quel est le pas en fréquence dν? Quelle est la fréquence maximale νmax? F υ :
TF numérique Le pas en fréquence : La fonction f(t) étant à support borné [0, T], il est impossible d extraire des périodes plus grandes que T. Autrement dit, la plus grande période (ou la plus petite fréquence) accessible à l analyse spectrale doit être contenue au moins 1 fois dans la longueur du signal analysé. S T est la période maximale accessible, 1/T est la fréquence minimale accessible => 1/T=dν pas en fréquence (T longueur du signal)
TF numérique La fréquence maximale: entre - νc et + νc, mais aussi entre 0 et 2νc, On peut calculer F υ d après la périodicité de F υ (périodicité due à l échantillonnage). Pour des raisons pratiques d ordre numérique on choisit de calculer F υ entre 0 et + 2νc. On rappelle que νc est la fréquence de Nyquist (νc=1/2τ ).
TF numérique Nombre de points de la TF numérique: est évaluée entre 0 et 2νc=1/τ avec un pas dν=1/t F υ => Le nombre de points est : 2υc T = =N dυ τ N Nombre de points échantil onnés.
Au cas ou?