Collection Technique... Cahier technique n 8 Analyse des réseaux triphasés en régime perturbé à l aide des composantes symétriques B. de Metz-Noblat
Les Cahiers Techniques constituent une collection d une centaine de titres édités à l intention des ingénieurs et techniciens qui recherchent une information plus approfondie, complémentaire à celle des guides, catalogues et notices techniques. Les Cahiers Techniques apportent des connaissances sur les nouvelles techniques et technologies électrotechniques et électroniques. Ils permettent également de mieux comprendre les phénomènes rencontrés dans les installations, les systèmes et les équipements. Chaque Cahier Technique traite en profondeur un thème précis dans les domaines des réseaux électriques, protections, contrôle-commande et des automatismes industriels. Les derniers ouvrages parus peuvent être téléchargés sur Internet à partir du site Schneider lectric. Code : http://www.schneider-electric.com Rubrique : Le rendez-vous des experts Pour obtenir un Cahier Technique ou la liste des titres disponibles contactez votre agent Schneider lectric. La collection des Cahiers Techniques s insère dans la «Collection Technique» de Schneider lectric. Avertissement L'auteur dégage toute responsabilité consécutive à l'utilisation incorrecte des informations et schémas reproduits dans le présent ouvrage, et ne saurait être tenu responsable ni d'éventuelles erreurs ou omissions, ni de conséquences liées à la mise en œuvre des informations et schémas contenus dans cet ouvrage. La reproduction de tout ou partie d un Cahier Technique est autorisée après accord de la Direction Scientifique et Technique, avec la mention obligatoire : «xtrait du Cahier Technique Schneider lectric n (à préciser)».
n 8 Analyse des réseaux triphasés en régime perturbé à l aide des composantes symétriques Benoît de MTZ-NOBLAT Ingénieur S, il a travaillé dans le Groupe Saint-Gobain puis est entré chez Merlin Gerin en 986. Il a la responsabilité du Service lectrotechnique et Réseaux, dans lequel sont étudiés les phénomènes électriques concernant le fonctionnement des réseaux et leur interaction avec les matériels et équipements. CT 8(e) édition décembre 00
Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.
Analyse des réseaux triphasés en régime perturbé à l aide des composantes symétriques Le dimensionnement d une installation et des matériels à mettre en œuvre, le réglage des protections, comme l analyse de phénomènes électriques, nécessitent souvent des calculs de courants et de tensions dans des réseaux. Le développement de ce Cahier Technique a pour but de présenter ou rappeler une méthode simple de calcul - à l aide des composantes symétriques - de tous ces paramètres dans des réseaux triphasés en régime perturbé. Sommaire Présentation p. 4 Rappel mathématique sur les vecteurs. Représentation vectorielle d un phénomène physique p. 5. Définition de base p. 5. Représentation vectorielle p. 6.4 Composantes symétriques p. 7.5 Décomposition d un système triphasé en ses composantes p. 8 symétriques.6 Calcul mathématique des composantes symétriques p. 9.7 Conclusion : application à l électrotechnique p. 0 Applications élémentaires. Méthode de calcul des régimes déséquilibrés p.. Défaut phase terre (dit défaut homopolaire) p.. Défaut biphasé p. 4.4 Défaut triphasé p. 5.5 Réseau à charge déséquilibrée p. 6.6 lmpédances associées aux composantes symétriques p. 7.7 Formulaire récapitulatif p. 8 4 xemples chiffrés 4. xemple p. 9 4. xemple p. 0 4. xemple p. 4 4.4 xemple 4 p. 5 Annexe p. 7 Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.
Présentation n fonctionnement normal équilibré symétrique, l étude des réseaux triphasés peut se ramener à l étude d un réseau monophasé équivalent de tensions égales aux tensions simples du réseau, de courants égaux à ceux du réseau et d impédances égales à celles du réseau appelées impédances cycliques. Dès qu apparaît une dissymétrie significative dans la configuration du réseau, la simplification n est plus possible, car on ne peut établir les relations dans les différents conducteurs à l aide d une impédance cyclique par élément de réseau. La méthode générale faisant appel aux lois d Ohm et de Kirchhoff est possible mais complexe et lourde. La méthode, dite des composantes symétriques, décrite dans ce document simplifie les calculs et permet une résolution beaucoup plus facile en se ramenant à la superposition de trois réseaux monophasés indépendants. Après un rappel de notions vectorielles, cette méthode est développée à partir d applications élémentaires sur différents types de court-circuit, suivis d exemples chiffrés de cas réels. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.4
Rappel mathématique sur les vecteurs. Représentation vectorielle d un phénomène physique Un phénomène physique vibratoire est sinusoïdal quand l élongation d un point vibrant est une fonction sinusoïdale du temps : x = a cos(ωt + ϕ). L application à l électrotechnique, dans laquelle tensions et courants sont des phénomènes sinusoïdaux, est bien connue. c Considérons un vecteur OM de module a, tournant dans le plan (Ox, Oy) autour de son origine O avec une vitesse angulaire constante ω (cf. fig. ). Si à l instant initial t = 0, l angle (Ox, OM) a la valeur ϕ, à l instant t il aura la valeur (ωt + ϕ). Projetons le vecteur courant OM sur l axe Ox. Fig. La valeur algébrique de sa projection est, à l instant t : x = a cos(ωt + ϕ). Ainsi : v le mouvement de la projection de l extrémité du vecteur tournant sur l axe Ox est un mouvement sinusoïdal d amplitude a égale au module de ce vecteur, v la pulsation ω du mouvement sinusoïdal est égale à la vitesse angulaire du vecteur tournant, v la phase initiale ϕ est égale à l angle que fait le vecteur tournant avec l axe Ox à l instant initial t= 0. c Réciproquement on peut faire correspondre un vecteur tournant à toute fonction sinusoïdale x=a cos(ωt + ϕ). Par convention on représente la fonction x par le vecteur OM dans la position qu il occupe à l instant initial t = 0 ; le module du vecteur représente l amplitude a de la fonction sinusoïdale et l angle (Ox, OM)représente sa phase initiale. c Donc l étude d un phénomène physique sinusoïdal peut se ramener à l étude du vecteur qui lui correspond. Ceci est intéressant car la manipulation mathématique sur les vecteurs est assez aisée. Cela s applique en particulier au domaine des phénomènes électriques triphasés dans lesquels tensions et courants sont représentés par des vecteurs tournants.. Définition de base c soit un phénomène électrique vibratoire sinusoïdal représenté par un vecteur tournant V (cf. fig. ). On se donne a priori dans le plan : c Un axe de référence Ox de vecteur unitaire x : x =. c Un sens de rotation conventionnellement défini comme positif dans le sens anti-horaire +. c Le vecteur V dont on ramène l origine en O est essentiellement caractérisé par : v une amplitude V : à un instant donné, la longueur du vecteur est égale numériquement au module de la grandeur du phénomène, v une phase ϕ : c est à un instant donné, l angle (Ox, V), que fait V avec l axe de référence Ox, compte tenu du sens de rotation adopté, v une pulsation : c est la vitesse constante de rotation du vecteur en radians par seconde. Fig. On l exprime très fréquemment en tours par secondes, il s agit alors de la fréquence du phénomène donnée en Hz ( Hz = π rd/s). c Un système triphasé est un ensemble de vecteurs V, V, V, de même origine, de même pulsation et ayant chacun une amplitude constante. c Un système électrique est linéaire quand il y a proportionnalité des relations de causes à effets. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.5
. Représentation vectorielle Le vecteur V est représenté classiquement dans un système d axes de coordonnées rectangulaires (cf. fig. ). V = OM = OX + OY = OX x + OY y c Opérateur «j» Pour faciliter les opérations sur les vecteurs, V peut être représenté de façon équivalente par un nombre complexe en utilisant l opérateur «j». «j» est un opérateur vectoriel qui consiste à faire tourner de + π/ le vecteur auquel l opération est appliquée, donc jx= y. On voit alors que : π j = - (rotation de = π ) π π j = - (rotation de = ) 4 π j = + (rotation de 4 = π) ( ) d où : V= OX x+ OY j x= x OX+ j OY c Opérateur «a» «a» est un opérateur vectoriel qui consiste à faire tourner de + π/ le vecteur auquel l opération est appliquée (cf. fig. 4 ). On voit alors que : v a fait tourner un vecteur de : π 4 π π = (équivalent à - ) v a fait tourner un vecteur de : π = π (équivalent à 0) a= - 0,5 + j a = - 0,5 - j d où a 0 = a = a 6 = a = a 4 = a 7 a = a - = a -5 a - a = je et + a + a =0 Fig. Fig. 4 Cette dernière relation se vérifie graphiquement en constatant sur la figure que la somme des vecteurs représentés est nulle : V+ av+ a V= 0 d où V ( + a + a ) = 0 donc + a + a = 0 Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.6
.4 Composantes symétriques Soit un ensemble de trois vecteurs triphasés sinusoïdaux tournant à la même vitesse. Ils sont donc fixes les uns par rapport aux autres. Il existe trois dispositions particulières présentant une symétrie des vecteurs entre eux et pour cela qualifiées de «composantes symétriques» : c le «système direct» encore appelé par les anglo-saxons «séquence positive» (cf. fig. 5 ), dans lequel V, V, V v ont même amplitude, v sont décalés de 0, v sont disposés de telle façon qu un observateur au repos voit défiler les vecteurs dans l ordre V, V, V ; V V = a V = a V V = a V c le «système inverse» encore appelé par les anglo-saxons «séquence négative» (cf. fig. 6 ), dans lequel V, V, V v ont même amplitude, v sont décalés de 0, v sont disposés de telle façon qu un observateur au repos voit défiler les vecteurs dans l ordre V, V, V ; V V = a V V = a V = a V c le «système homopolaire» encore appelé par les anglo-saxons «séquence nulle» (cf. fig. 7 ), dans lequel V, V, V v ont même amplitude, v sont en phase et donc colinéaires, ainsi un observateur au repos peut les voir passer en même temps. Fig. 6 Fig. 5 Fig. 7 Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.7
.5 Décomposition d un système triphasé en ses composantes symétriques Soit un système triphasé quelconque formé de trois vecteurs V, V, V (cf. définitions de base) ; on montre que ce système est la somme de systèmes triphasés équilibrés : direct, inverse et homopolaire. c système direct : Vd, Vd, Vd c système inverse : Vi, Vi, Vi c système homopolaire : Vo, Vo, Vo On aura : V= Vd+ Vi+ Vo V = Vd + Vi + Vo V = Vd + Vi + Vo Si on choisit les vecteurs indicés comme vecteurs d origine, et que l on fait intervenir l opérateur «a» on trouve les équations suivantes : V = Vd+ Vi+ Vo V = a Vd+ a Vi+ Vo V = a Vd+ a Vi+ Vo On peut calculer les composantes symétriques : ( ) Vd = V + a V + a V Vi = ( V + a V + a V ) Vo = ( V + V + V ) Leur construction géométrique est aisée en tenant compte de la signification de l opérateur «a» (rotation de π/) (cf. fig. 8 ). Système donné ( ) Vd = V + a V + a V ( ) Vi = V + a V + a V ( ) Vo = V + V + V Fig. 8 : construction géométrique des composantes symétriques avec l opérateur «a». Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.8
De façon plus pratique on peut construire les composantes symétriques directement sur la figure sans avoir à faire des reports de vecteurs (cf. fig. 9 ). n effet, soient les points D et tels que BDC soit un losange composé de deux triangles équilatéraux BDC et BC, et avec O le barycentre du triangle ABC ; un simple calcul ( suivant) montre que : Vd A DA = Vi = Vo = OO' Système donné Fig. 9 : construction géométrique des composantes symétriques sur le système triphasé..6 Calcul mathématique des composantes symétriques Soit les points D et tels que (BDC) soit un losange composé de deux triangles équilatéraux (BDC) et (BC). A = B + BA, or B = a BC d'où A = a BC + BA = a BO+ a OC+ BO + OA = OA + OB( -a -) + a OC = OA + a OB + a OC = V + av + a V = Vd Vd = A DA = DB + BA, or DB = a BC d'où DA = a BC + BA = abo+ aoc+ BO + OA = OA + OB( -a -) + a OC DA = OA + a OB + a OC = V + a V + a V = Vi DA Vi = Soit O le barycentre du triangle ABC, alors OA ' + OB ' + OC ' = 0 V + V + V = Vo = OA + OB + OC = OO' + O' A + OO' + O' B + OO' + O' C = OO' + O' A + O' B + O' C = OO' Vo = OO' Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.9
.7 Conclusion : application à l électrotechnique L intérêt de la méthode exposée au paragraphe précédent est immédiat en électricité dans le cas de réseaux triphasés linéaires et à fréquence unique. n effet, les systèmes triphasés appliqués aux réseaux électriques peuvent être déséquilibrés par des dissymétries de charges ou de défauts. Aussi, la simplicité offerte par des calculs se ramenant à la superposition de trois systèmes indépendants, qui se traitent séparément en les ramenant chacun au cas simple monophasé, est évidente. Notons que ces manipulations mathématiques correspondent bien en fait à une réalité physique des phénomènes : les impédances symétriques des matériels électriques peuvent se mesurer (cf. chapitre ) ainsi que les composantes symétriques d un système de tensions ou courants (cf. chapitre 4, exemple n 4). Remarques c dans la suite du texte, les vecteurs tension et courant seront notés, par simplification, sans flèche. c les composantes symétriques des tensions et courants choisies pour représenter simplement le système sont celles de la phase : Vi = Vd + Vi + Vo Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.0
Applications élémentaires. Méthode de calcul des régimes déséquilibrés Principe de superposition Nous allons examiner le comportement d un réseau triphasé linéaire et symétrique, c est-àdire composé d impédances constantes et identiques pour les phases (c est le cas en pratique) ne comportant que des forces électromotrices équilibrées mais dont les courants et tensions peuvent se trouver déséquilibrés du fait de la connexion à une zone dissymétrique D. Les forces électromotrices (f.e.m.) constituent par nature des systèmes directs, les f.e.m. des systèmes inverses et homopolaires étant nulles. Le fonctionnement du réseau est interprété en considérant la superposition de trois régimes correspondant chacun à l un des systèmes direct, inverse et homopolaire. n effet dans ce réseau linéaire et symétrique, les courants de chaque système sont liés uniquement aux tensions du même système, et réciproquement, par l intermédiaire des impédances du système considéré. Notons que ces impédances Zd, Zi, Zo sont fonction des impédances réelles, notamment des inductances mutuelles. Pour un réseau comportant une seule f.e.m., les composantes symétriques de tension et de courant étant respectivement, à l endroit D de la dissymétrie Vd, Vi, Vo, Id, Ii, Io, les relations définissant les régimes sont : = Vd + Zd Id 0 = Vi + Zi Ii 0 = Vo + Zo Io schématisées par la figure 0. Pour les réseaux comportant plusieurs sources, ces équations restent valables à condition de considérer et Zd, Zi, Zo, respectivement comme la f.e.m. et comme les impédances internes du générateur équivalent de Thévenin. Fig. 0 Méthode de résolution pratique La méthode résumée ci-dessous sera développée en détail sur l exemple du paragraphe suivant (défaut monophasé terre). c Le réseau est divisé en zones : v une zone dissymétrique D (réseau déséquilibré), v une zone symétrique S (réseau équilibré). c On écrit les équations liant courants et tensions : v dans la zone D (composantes réelles), v dans la zone S (composantes symétriques), v continuité à la frontière D-S, v fonctionnement dans la zone S. c La résolution mathématique des équations permet de calculer les valeurs des composantes symétriques et des composantes réelles des courants et tensions des zones D et S. Il est à noter que les schémas représentatifs des systèmes symétriques offrent la possibilité de calculer directement les valeurs des composantes symétriques. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.
. Défaut phase-terre (dit défaut homopolaire) Le circuit est supposé non chargé. criture des équations c Isolement de la zone dissymétrique (cf. fig. ) c quations des composantes réelles dans (D) I = I =0 V = Z I Ces équations décrivent le cas examiné. Ce sont les seules qui soient propres à ce cas de figure. c quations des composantes symétriques dans (S) I = Id+ Ii+ Io I = a Id+ aii+ Io I = aid+ a Ii+ Io V = Vd+ Vi+ Vo V = a Vd+ avi + Vo V = avd + a Vi + Vo Ces équations lient respectivement les courants réels et les tensions réelles à leurs composantes symétriques. On les retrouvera à l identique dans tous les calculs de régimes déséquilibrés. lles résultent des définitions précédentes (cf. chap. ). c Continuité à la frontière D-S n combinant entre elles les équations des composantes réelles dans (D) et les équations des composantes symétriques dans (S) on obtient : a Id+ aii+ Io= 0 aid+ a Ii+ Io= 0 Vd + Vi + Vo = Z I I Id Ii Io = = = Vd + Vi + Vo = Z Io c quations de fonctionnement de S = Vd+ Zd Id 0 = Vi + Zi Ii 0 = Vo + Zo Io Ces trois équations se retrouveront systématiquement dans tous les calculs de régimes déséquilibrés ne comportant qu une seule source de tension. Fig. Résolution des équations c Valeurs des composantes symétriques des courants et des tensions + 0 + 0 = Vd + Vi + Vo + Zd Id + Zi Ii + Zo Io = Z Io + (Zd + Zi + Zo) Io soit : Io= Id= Ii= Zd + Zi + Zo +Z Vd = -Zd Id = -Zd Zd + Zi + Zo + Z Zi + Zo + Z Vd = Zd + Zi + Zo + Z Vi = -Zi Ii Vi = -Zi Zd + Zi + Zo + Z Vo = -Zo Io Vo = -Zo Zd + Zi + Zo + Z Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.
c Schéma du réseau selon les composantes symétriques (cf. fig. ) c Valeurs des tensions et des courants réels I = Id + Ii + Io I = Zd + Zi + Zo + Z I = 0 I = 0 V = Z x I V = Z Zd + Zi + Zo + Z Fig. V = a Vd+ avi + Vo Zi + Zo + Z a Zd Zi Zo Z a Zi Zd Zi Zo Z Zo = - - + + + + + + Zd + Zi + Zo + Z Zi ( a - a) + Zo ( a - ) + a Z = Zd + Zi + Zo + Z Zd + a Zi + azo V = a - Zd + Zi + Zo + Z V = avd + a Vi + Vo Zi + Zo + Z a Zd Zi Zo Z a Zi Zd Zi Zo Z Zo = - - + + + + + + Zd + Zi + Zo + Z Zi ( a -a ) + Zo ( a -) + az = Zd + Zi + Zo + Z Zd+ azi+ azo V = a - Zd + Zi + Zo + Z Nota : Le terme - Zd+ azi+ a Zo Zd + Zi + Zo + Z est appelé facteur de «défaut à la terre», sa valeur varie entre et,8. Cas particuliers c Défaut franc Soit Z = 0, le courant de défaut phase-terre prend la valeur : I = Zd + Zi + Zo c Défaut de terre impédant Soit Z >> Zd + Zi + Zo, le courant de défaut phase-terre est défini par l impédance de défaut : I = Z Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.
. Défaut biphasé terre (cf. fig. ) criture des équations c Dans la zone (D) I = 0 V = V = Z ( I+ I ) c Dans la zone (S) I = Id+ Ii+ Io I = a Id+ aii+ Io I = aid+ a Ii+ Io V = Vd+ Vi+ Vo V = a Vd+ avi + Vo V = avd + a Vi + Vo c Continuité à la frontière (D) - (S) Id+ Ii+ Io= 0 Vd = Vi Vo = Vd + Z Io c Fonctionnement de (S) = Vd+ Zd Id 0 = Vi + Zi Ii 0 = Vo + Zo Io Résolution des équations Id = Zi ( Zo + Z) Zd + Zi + Zo + Z Id= Zi + Zo + Z Zd Zi + ( Zo + Z)( Zd + Zi) - Zo + Z Ii = Zi (Zo + Z) Zd + Zi + Zo + Z Zi + Zo + Z - (Zo + Z) Ii = Zd Zi + ( Zd + Zi)( Zo + Z) Fig. I = 0 I I = - j = j V = V = V = Zo + Z - azi Zd Zi + (Zd + Zi)(Zo + Z) Zo + Z - a Zi Zd Zi + (Zd + Zi)(Zo + Z) Zi ( Zo + Z) Zd Zi + (Zd + Zi)(Zo + Z) - Z Zi Zd Zi + (Zd + Zi)(Zo + Z) c Schéma du réseau selon les composantes symétriques (cf. fig. 4 ) - Zi Io = Zi (Zo + Z) Zd + Zi + Zo + Z Zi + Zo + Z - Zi Io = Zd Zi + ( Zd + Zi)( Zo + Z) Zi (Zo + Z) Vd = Vi = Zd + Zi Zo + Z ( ) Zi + Zo + Z Zi + Zo + Z Zo x Zi Vo = Zd + Zi Zo + Z ( ) Zi + Zo + Z Zi + Zo + Z Fig. 4 Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.4
Cas particuliers c Défaut franc Soit Z = 0, le courant de défaut phase-terre Zi prend la valeur : I+ I = - Zd Zi + Zi Zo + Zd Zo c Défaut biphasé Soit Z =, le courant de défaut phase vaut alors : I = -I = (a - a) = -j Zd + Zi Zd + Zi.4 Défaut triphasé (cf. fig. 5 ) criture des équations c Dans la zone (D) V = V = V = Z ( I+ I+ I) c Dans la zone (S) I = Id+ Ii+ Io I = a Id+ aii+ Io I = aid+ a Ii+ Io V = Vd+ Vi+ Vo V = a Vd+ avi + Vo V = avd + a Vi + Vo c Continuité à la frontière (D) - (S) I + I + I = I = Vo o Z Vd = Vi = 0 V = = = V V Vo c Fonctionnement de (S) = Vd+ Zd Id 0 = Vi + Zi Ii 0 = Vo + Zo Io Fig. 5 Résolution des équations Id = et Ii= Io= 0 Zd Vd = Vi = Vo = 0 I = Zd I = a Zd Fig. 6 I a = Zd V = V = V = 0 Les résultats sont indépendants des valeurs Z, Zi et Zo. c Schéma du réseau selon les composantes symétriques (cf. fig. 6 ). Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.5
.5 Réseau à charge déséquilibrée (cf. fig. 7 ) criture des équations c Dans la zone (D) I = 0 V -V = I Zc= I Zc c Dans la zone (S) I = Id+ Ii+ Io I = a Id+ aii+ Io I = aid+ a Ii+ Io V = Vd+ Vi+ Vo V = a Vd+ avi + Vo V = avd + a Vi + Vo c Continuité à la frontière (D) - (S) Io = 0 Id= Ii Vd Vi = Zc Id c Fonctionnement de (S) = Vd+ Zd Id 0 = Vi + Zi Ii 0 = Vo + Zo Io Fig. 7 c Schéma du réseau selon les composantes symétriques (cf. fig. 8 ). Résolution des équations Id = Zd + Zi + Zc Ii = - Zd + Zi + Zc Io = 0 ( Zi+ Zc) Vd = Zd + Zi + Zc Zi Vi = Zd + Zi + Zc Vo = 0 I = 0 I = - j Zd + Zi + Zc I = j Zd + Zi + Zc ( Zi+ Zc) V = Zd + Zi + Zc (a Zc- Zi) V = Zd + Zi + Zc (a Zc- Zi) V = Zd + Zi + Zc Fig. 8 Cas particuliers c Charge de puissance faible Soit : Zc d où I et I 0 et V, V, V tendent vers les valeurs du réseau symétrique, c est-à-dire vers, a, a. c Court-circuit biphasé isolé Soit : Zc = 0. Le courant de défaut égale alors I = - I = j Zd + Zi Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.6
.6 Impédances associées aux composantes symétriques Dans ce paragraphe, sont passés en revue les principaux éléments pouvant intervenir dans un réseau électrique. Pour les machines tournantes et les transformateurs, les ordres de grandeurs des impédances sont indiquées en pourcentage : z % = 00Z Un S n Machines synchrones Les génératrices donnent naissance à la composante directe de la puissance. Les défauts sont créateurs des composantes inverse et homopolaire qui se dirigent du lieu du défaut vers les éléments équilibrés en s atténuant progressivement. c Lors d une perturbation, la réactance directe d une machine varie de sa valeur subtransitoire à sa valeur synchrone. Dans un calcul de défaut on peut retenir les valeurs suivantes en % : Réactance % Pôles saillants ntrefer constant Subtransitoire 0 0 Transitoire 40 5 Synchrone 0 00 c La réactance inverse est inférieure à la réactance directe transitoire. c La réactance homopolaire n est prise en compte que lorsque le neutre de l alternateur est réuni à la terre directement ou à travers une bobine/résistance. Sa valeur est de l ordre de la moitié de la réactance subtransitoire. Machines asynchrones La composante directe engendre dans les moteurs des champs tournants dans le sens direct (couple utile). La composante inverse engendre des champs tournants générateurs de couples de freinage. c Usuellement on peut considérer la réactance directe comme une impédance passive : U / (P- jq) c La réactance inverse varie entre 5 % et 0 %. lle est approximativement égale à la réactance de démarrage. c La réactance homopolaire est très faible. Transformateurs La circulation d un courant homopolaire dans les enroulements d un transformateur nécessite un couplage ayant un point neutre relié à la terre ou à un conducteur de neutre. c Ils présentent aux courants des systèmes direct et inverse une impédance égale à leur impédance de court-circuit, soit 4 % à 5 %. c La réactance homopolaire -Rh- dépend du mode de couplage des enroulements et de la nature du circuit magnétique. Le tableau de la figure 9 indique des ordres de grandeur de cette réactance et présente différents couplages possibles. n annexe, un tableau précise la grandeur ou le mode de calcul de Rh pour chaque mode de couplage. Transformateur Réactance (vu du secondaire) homopolaire Pas de neutre Yyn ou Zyn Flux libre Flux forcé 0 à 5 Xd Dyn ou YNyn Xd Primaire zn 0, à 0, Xd C C Le montage zig-zag n est utilisé que du côté secondaire des transformateurs de distribution. Fig. 9 A A Montage en étoile (symbole ) B B A C B Montage en triangle (symbole ) Montage en zig-zag (symbole Z) Un couplage est désigné par un groupe de deux symboles : c le premier (en majuscule) est affecté à la tension la plus haute, c le second (en minuscule) est affecté à la tension la plus basse. Cette désignation est complétée par la valeur de déphasage angulaire (indice horaire). Pour des raisons économiques et pour une tolérance suffisante au déséquilibrage de charge entre phases, les couplages usuels en distribution HT/BT sont : c Yzn pour 50 kva, c Dyn de 00 à 50 kva. Avec : D : couplage triangle en HT d : couplage triangle en BT Y : couplage étoile en HT y : couplage étoile en BT Z : couplage zig-zag en HT z : couplage zig-zag en BT N : neutre sorti en HT n : neutre sorti en BT : indice horaire qui définit le déphasage entre la HT et la BT. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.7
Lignes aériennes Considérons des lignes transposées. c L impédance et la capacité directes ou inverses dépendent de la géométrie de la ligne. v Lignes à conducteur par phase (6, 90, 50, 5 kv) Rd = Ri 0,6 /km Xd = Xi 0,4 /km Cd = Ci 9 nf/km v Lignes à conducteurs par phase (400 kv) Rd = Ri 0,04 /km Xd = Xi 0, /km Cd = Ci nf/km c L impédance homopolaire vaut environ trois fois l impédance directe. La capacité homopolaire vaut environ six fois la capacité directe. Câbles c La réactance et la capacité directes et inverses sont fonction de la géométrie des câbles. Rd = Ri Xd = Xi 0, à 0,5 /km Cd = Ci 0 à 0 nf/km c Les caractéristiques homopolaires d un câble ne se déduisent pas facilement de celles directe et inverse. lles sont en général négligeables devant celles des transformateurs qu il alimente..7 Formulaire récapitulatif Notation c tension efficace composée du réseau triphasé = U c tension efficace simple du réseau triphasé V = U/e c courant de court-circuit en module = Icc c courantde défaut terre en module = I terre c impédances symétriques = Zd, Zi, Zo, c impédance de court-circuit = Zc, c impédance de terre = Z. Le tableau ci-dessous récapitule les courants en module dans différentes dissymétries. Type de dissymétrie Dissymétrie impédante Dissymétrie franche (Z = 0 et/ou Zc = 0) Court-circuit monophasé Icc = U Zd + Zi + Zo + Z Icc = U Zd + Zi + Zo Court-circuit biphasé terre (Zc = 0) U Zi I terre = Zd x Zi (Zd + Zi)(Zo + Z) U Zi I terre = Zd x Zi + Zi x Zo + Zd x Zo Court-circuit biphasé isolé (Z = m) Icc = U Zd + Zi + Zc Icc = U Zd + Zi Court-circuit triphasé (Z quelconque) Icc = U Zd + Zc Icc = U Zd Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.8
4 xemples chiffrés 4. xemple (cf. fig. 0 ) Fig. 0 Problème Quel doit être le pouvoir de coupure du disjoncteur? Solution Quand le disjoncteur intervient, la composante apériodique est éteinte à l intérieur du réseau mais pas à l intérieur des enroulements de l alternateur. c Impédances v de l alternateur ramenées au secondaire transformateur : 5 6 Za directe = = j08, 00 500 5 6 Za inverse = = j0, 00 500 Za homopolaire = négligée v du transformateur ramenées au secondaire transformateur : 8 6 Zt directe = = j0, 4 00 00 Zt inverse = j,04 Zt homopolaire = j,04 v totales : Z directe = j, Z inverse = j,7 Zt homopolaire = jl,04 c Courants de court-circuit v triphasé U 6 Icc = = = 7 ka Zd, v monophasé U Icc = Zd + Zi + Zo 6 = = 8 ka, +,7 +,0 v biphasé isolé U 6 Icc = = = 5 ka Zd + Zi, +,7 v biphasé terre Icc = U Zo-a Zi Zd Zi + Zi Zo + Zo Zd 6,95 = = 7,6 ka,9 c Le disjoncteur devra donc couper un courant de court-circuit de8 ka, soit une puissance de coupure de : 8 x 6 e = MVA Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.9
4. xemple (cf. fig. ) Problème Dans un réseau 60 kv, déterminer le pouvoir de coupure des disjoncteurs des postes C et qui alimentent la ligne de 5 km. La réactance de court-circuit des transformateurs de groupe et de réseau est de 0 % et celle des autres transformateurs de 8 %. Pour une ligne de 60 kv, la réactance est de : c 0,40 /km en régime direct ou inverse, c 0,40 /km en régime homopolaire. Les groupes ont une réactance directe ou inverse de 5 %. Les charges de puissance active P ont une réactance équivalente estimée de j 0,6U /P. Fig. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.0
Solution c Schéma global direct ou inverse (réduction à 60 kv) (cf. fig. ) U 5 60 5 a= j = = j,5 Pcc 00 40 00 b= jucc U 0 60 = = j9 Pcc 00 400 C = j 0,40 60 = j 4 C = j 0,40 50 = j 0 C = j 0,40 40 = j 6 C 4 = j 0,40 40 = j 6 d= jucc U 8 60 = = j9, Pcc 00 5 U 60 e= j 0,6 = 0,6 = j6 P 0 f= jucc U 8 60 = = j4 Pcc 00 U 60 g= j 0,6 = 0,6 = j70 P 8 h= jucc U 8 60 = = j9, Pcc 00 5 U 60 i= j 0,6 = 0,6 = j6 P 0 j= jucc U 0 60 = = j8 Pcc 00 0 U 5 60 5 k = j = = j45 Pcc 00 0 00 l= jucc U 8 60 = = j7, Pcc 00 40 U 60 m= j 0,6 = 0,6 = j7 P 0 U 0 60 n= jucc = = j7, Pcc 00 50 U 60 o= j = = j,4 Pcc 500 p= j0,4 5 = j,4 q= jucc U 8 60 = = j4,4 Pcc 00 0 U 60 r = j 0,6 = 0,6 = j54 P 4 Fig. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.
c Schéma global homopolaire (réduction à 60 kv) (cf. fig. ) Schéma direct / inverse C j6 j68,4 b' j6,45 A d' Schéma homopolaire C j8 c' 4 c' l' j6,09 f' B C p' q' Fig. 4 c' c' h' n' c Dimensionnement du disjoncteur de ligne côté C Cas : défaut côté barres (cf, fig. 5 ) Zd = j 6 + j 68,4 = j 74,4 Zo = v Icc triphasé est égal à : D j' U Zd 60 = = 0,95 ka 74, 4 d où Pcc = UI e = 0,7 MVA v Icc monophasé est égal à : Fig. U Zd + Zi + Zo d où Pcc = 0 = 0 Les transformateurs du poste arrêtent les courants homopolaires dans les enroulements en triangle. b = b = j 9 c = c = j 7 c = c = j 60 c = c = j 48 c 4 = c 4 = j 48 d = f = h = j = j = j 8 l = n = n = j 7, p = p = j 8 q = c Schémas réduits Pour l étude qui nous intéresse on peut réduire les schémas à ce qui se passe en C et (cf. fig. 4 ). Schéma direct C C j6 Schéma homopolaire Fig. 5 j8 j68,4 Cas : défaut côté ligne (cf. fig. 6 page suivante) Zd = j 6,45 Zo = j 6,09 v Icc triphasé est égal à : U 60 = = 5,7 ka Zd 6,45 d où Pcc = UI e = 558, MVA Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.
Schéma direct C ligne ouverte Schéma direct C j6 j6,45 j6,45 Schéma homopolaire C ligne ouverte Schéma homopolaire C j8 j6,09 j6,09 Fig. 6 Fig. 7 v Icc monophasé est égal à : U 60 = = 5,47 ka Zd + Zi + Zo 8,99 d où Pcc = UI e = 568,7 MVA Le disjoncteur de ligne au point C doit donc être dimensionné à 570 MVA. c Dimensionnement du disjoncteur de ligne côté Cas : défaut côté barres (cf. fig. 7 ) Zd = j 6 + j 6,45 = j,45 Zo = j 8 + j 6,09 = j 4,09 v Icc triphasé est égal à : U 60 = =,78 ka Zd,45 d où Pcc = UI e = 89, MVA v Icc monophasé est égal à : U 60 = =, ka Zd + Zi + Zo 48,99 d où Pcc = UI e = 0,5 MVA Cas : défaut côté ligne (cf. fig. 8 ) Zd = j 68,4 Zo = Schéma direct Schéma homopolaire Fig. 8 v Icc triphasé est égal à : j68,4 U 60 = = 0,06 ka Zd 68,4 d où Pcc = UI e =,4 MVA v Icc monophasé est égal à : U Zd + Zi + Zo = 0 d où Pcc = 0 Le disjoncteur de ligne au point doit donc être dimensionné à 90 MVA. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.
4. xemple : réglage de protections homopolaires dans un réseau M.T. à neutre à la terre (cf. fig. 9 ) Problème Quel doit être le réglage en intensité des relais homopolaires des différents départs? Solution On part des formules du paragraphe défaut phase-terre ; de plus on notera que l impédance de terre Rn est équivalente à trois impédances de valeur Rn placées chacune sur une phase du réseau mis à la terre directement. Le courant homopolaire à l endroit du défaut terre se partage en deux voies parallèles : c La première correspond à l impédance de neutre Rn en série avec l impédance homopolaire du transformateur et du tronçon de conducteur entre défaut et transformateur. Soit : Rn + ZOT + ZOL. c La seconde correspond à la mise en parallèle des circuits capacitifs de conducteur : n -j C oi ω n toute rigueur il faudrait prendre en compte les impédances du transformateur et des lignes qui sont de fait négligeables devant des impédances capacitives. Courant de défaut terre I (cf..) : = Zd + Zi + Zo + Z I avec : Fig. 9 -j Rn + ZOT + ZOL Zo = ( Rn + ZOT + ZOL) en parallèle avec d'où : Zo = n + ( + + ) n C oi ω j Rn ZOT ZOL C oi ω Par substitution : I = ( + + ) n + j Rn ZOT ZOL Coi ω ( ) n Zd+ Zi+ Z j Rn ZOT ZOL C oi ω + Rn + ZOT + ZOL ( ) + + + ( ) Si, ce qui est souvent le cas, Zd, Zi, ZOT, ZOL sont négligeables devant Rn et que le défaut est franc (Z = 0) alors : n I + Rn j C oi ω La contribution de chaque départ sain au courant de terre est donc de : C oi ω (en module). Le réglage du relais homopolaire de chacun de ces départs doit donc être supérieur à ce courant capacitif pour éviter les déclenchements intempestifs. Ce courant dépend de la nature et de la longueur des conducteurs. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.4
Par exemple : v pour une ligne 5 kv la capacité homopolaire est d environ 5 nf/km d où un courant de : x 5.0-9 x 4 x 5000/e = 0,04 A/km soit 4 A pour 00 km, v pour un câble tripolaire 5 kv la capacité homopolaire est d environ 00 nf/km d où un courant de : x 00.0-9 x 4 x 5000/e =,6 A/km soit près de A par kilomètre, v ces valeurs de courant capacitif sont à comparer à celles du courant traversant l impédance de neutre et qui atteignent couramment plusieurs dizaines à quelques centaines d ampères. Application numérique et représentation graphique (cf. fig. 0 ) Soit un défaut franc sur un réseau 5500 V - 50 Hz à neutre impédant, avec : Rn = 00, C o = µf, Z = Zd = Zi = ZOT = ZOL = 0 5500 = = 75 V Rn Zo = + j Rn C o ω Fig. 0 I I 75-6 = + j 75 0 4 00 ( + j ) ampères = I = 0 V = 0 V = ja = -75,5 + j volts V a - -75 -,5 j volts = ( ) = + 4.4 xemple 4 : mesure des composantes symétriques d un système de tensions et de courants Système de tensions c La composante homopolaire se mesure à l aide de transformateurs de tension (TT) dont les primaires sont entre phase et neutre, et les secondaires en série pour alimenter un voltmètre. (cf. fig. ). V = V o k avec k = rapport de transformation. c La composante directe se mesure à l aide de TT montés entre V et V, et, entre V et V (cf. fig. page suivante). Le premier TT est chargé par une résistance pure R. Le second TT est chargé par une inductance et par une résistance telles que : π j Z= -a R= R e Z comprend en série une résistance R et une réactance R ). Fig. Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.5
Fig. Fig. Les deux circuits sont en parallèle sur un ampèremètre qui mesure un courant proportionnel à : ( V -V) + [-a ( V -V)] = V -V( + a ) + a V = V + av + a V = V d c La composante inverse se mesure de la même manière que la composante directe mais en intervertissant les bornes et. [ ] = + ( + ) ( ) + ( ) V -V -a V -V V a V -V a = V + a V + av = V i Système de courants c La composante directe se mesure à l aide de transformateurs de courant (TC) selon le montage de la figure. Le transformateur auxiliaire T délivre un courant proportionnel à (I -I ) à travers R. Le transformateur auxiliaire T délivre un courant proportionnel à (I -I ) à travers Z égale à -a R. La tension aux bornes du voltmètre est proportionnelle à ( I-I) + ( I-I )(-a ) = I-I-a I+ a I = -a ( I+ ai+ a I) = a I d c La composante inverse se mesure aussi à l aide de TC, mais selon le montage de la figure 4. Un raisonnement identique au cas précédent montre que la tension aux bornes du voltmètre est proportionnelle à ( ) ( I-I ) + ( I-I)( -a ) = I+ a I-I a + = I+ a I+ ai = Ii c La composante homopolaire est égale au tiers du courant de neutre qui circule directement dans la connexion de mise à la terre (neutre distribué). Fig. 4 TC montés en parallèle permettent sa mesure dans l ampèremètre A : I + I + I = Ih (cf. fig. 5 ). Un transformateur tore entourant la totalité des conducteurs actifs permet aussi cette mesure par la somme vectorielle des courants de phase. Fig. 5 Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.6
Annexe : réactance homopolaire des transformateurs Groupement Schéma unifilaire équivalent Valeur de la réactance homopolaire du transformateur, vue Primaire Secondaire des bornes des bornes primaires secondaires x F. L. : infinie F. L. : infinie F. F. : F. F. : infinie X = 0 à 5 fois X cc X = X cc X = X cc x X = X cc x X = % de S n x F. L. : infinie F. L. : infinie Nota : F.L. : flux libre F.F. : flux forcé F. F. : F. F. : infinie X = 0 à 5 fois X cc Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.7
Groupement Schéma unifilaire équivalent Valeur de la réactance homopolaire du transformateur, vue Primaire Secondaire Tertiaire des bornes des bornes des bornes primaires secondaires tertiaires x X = % de Xn x x x F. L. : infinie F. L. : X = % de Xn F. F. : X = 0 à F. F. : 5 fois X cc X = % de Xn x F. L. : infinie F. F. : X = 0 à 5 fois X cc x x 0 x 0 x ( )( + ) X + X0 X X0 X + X + X0 + X + X0 ( )( + ) X+ X0 X X0 X + X+ X0+ X + X0 x x 0 ( )( + ) X+ X0 X X0 X + X+ X0+ X + X0 x x XX X + X + X x x x 0 x ( ) X X + X0 X + X + X + X0 ( ) X X+ X0 X + X + X + X0 x x0 x x X + X = X X = % de Xn x Nota : F.L. : flux libre F.F. : flux forcé Cahier Technique Schneider lectric n 8 / p.8
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