2 Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle

Leçon n o 2 Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle 9 Niveau Lycée Prérequis théorie des ensembles Références [7], [8] 2.1 Expérience aléatoire, événements 2.1.1 Expérience aléatoire Définition 2.1 Expérience aléatoire. On dit qu on fait une expérience de type aléatoire si on ne peut pas prévoir le résultat final de cette expérience. Exemples 2.2 1. On lance une pièce et on observe le côté exposé (pile ou face). Il y a deux issues possibles sur cette expérience. 2. On dispose d une urne avec 100 boules, on tire une d entre elles et on note le numéro. Cette expérience aléatoire a 100 issues possibles. Définition 2.3 Univers. L ensemble de toutes les issues d une expérience aléatoire est appelé univers. On note généralement cet ensemble Ω. R 2.4 Dans cette leçon, on se limitera au cas où Ω est un ensemble fini. Exemple 2.5 On reprend les expériences de l exemple précédent. 1. Si on lance une pièce de monnaie, on obtient Ω = {P, F }. 2. Si on tire une boule numérotée dans une urne où il en contient 100 alors Ω = {1, 2,..., 100}. 2.1.2 Evénement associé à une expérience aléatoire Dans ce qui suit, nous allons décrire ce qu est un événement : Définition 2.6 Vocabulaire des événements. Un événement élémentaire (qu on note ω) est ce qui constitue l une des issues de la situation étudiée (un élément de Ω). Un événement est un ensemble de plusieurs issues. L événement «A et B» (qu on note A B) est l événement constitué des issues communes aux deux événements. L événement «A ou B» (qu on note A B) est l événement constitué des toutes les issues des deux événements. Deux événements incompatibles A et B (qu on note A B = ) sont deux événements qui n ont pas d éléments en commun. L événement est dit contraire de A (qu on note A) si A et A sont incompatibles et A A forme la totalité des issues. Exemples 2.7 1. Obtenir un 7 est un événement élémentaire : ω = {7}.

10 Leçon n o 2 Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle 2. Obtenir un nombre pair est un événement : A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. 3. Obtenir un multiple de trois est un événement : B = {3, 6, 9, 12}. 4. A B = {6, 12}. 5. A B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}. 6. Si et C = {10, 11, 12} D = {2, 3, 4, 5, 6} alors C D = donc C et D sont incompatibles. 7. Ici, A représente l événement «obtenir une somme impaire». On a alors : A A =, A A = Ω. 2.2 Probabilités 2.2.1 Loi de probabilités sur un univers Ω Définition 2.8 Soit Ω l univers d une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité P sur Ω, c est associer, à chaque événement élémentaire ω i, des nombres p i [0, 1] tels que : p i = 1. i On appelle les nombres p i, les probabilités (qu on peut noter p i = P (ω i )). Proposition 2.9 Principe fondamental. La probabilité P (E) d un événement E est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. R 2.11 Corollaire 2.10 P (Ω) = 1 Dans le corollaire 2.10, on sous-entend qu il y a n (n N) événements élémentaires dans Ω et on fait l hypothèse d équiprobabilité. Preuve Démonstration du corollaire 2.10. P (Ω) = P ( ω i ) = P (ω i ) = i i i 1 n = 1.

2.2 Probabilités 11 Exemple 2.12 On se donne les probabilités d apparition des faces d un dé truqué : Issue ω 1 2 3 4 5 6 Probabilités P (ω) 0,05 0,05 0,1 0,1 0,2 inconnue 1. On veut calculer la probabilité de l événement A = «obtenir un résultat inférieur ou égal à 4». D après le principe, P (A) = P (1) + P (2) + P (3) + P (4) = 0,05 + 0,05 + 0,1 + 0,1. 2. On veut calculer la probabilité d obtenir 6. Le corollaire 2.10 nous donne : P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1 donc P (6) = 0,5. Définition 2.13 Autre définition. Soit Ω un univers et P(Ω) = A l ensemble des parties de Ω (c est-à-dire l ensemble de tous les événements associé à cette expérience aléatoire). On appelle probabilité P toute application de P(Ω) dans R + qui vérifie : 1. P (Ω) = 1 2. Soit (A i ) i N, I N une famille d événements de P(Ω) deux à deux disjoints (si i j alors A i A j = ) alors : ( ) P A i = P (A i ). i I i I 2.2.2 Propriétés de calcul de probabilités Propriétés 2.14 Soient A, B Ω. Alors : 1. P ( ) = 0 2. P (A) = 1 P (A) 3. P (A \ B) = P (A) P (A B) 4. A B P (A) P (B) 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Preuve 1. On applique la propriété 2 de la définition 2.13 à A et (ils sont disjoints car A = ) d où P (A ) = P (A) + P ( ) P (A) = P (A) + P ( )

12 Leçon n o 2 Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle et donc on en déduit que P ( ) = 0. 2. Comme A A = et A A = Ω, on a : P (A A) = P (A) + P (A) P (Ω) = P (A) + P (A). Or P (Ω) = P (A A) = 1 d où P (A) = 1 P (A). 3. On a : A = (A \ B) (A B), de plus (A \ B) et A B sont disjoints donc on peut appliquer la définition : P (A) = P (A \ B) + P (A B). 4. A B implique que B = (B A) A donc P (B) = P (B \ A) + P (A) P (A). 5. On a : 2 à 2 disjoints donc : A B = (A \ B) (A B) (B \ A) P (A B) = P (A \ B) + P (A B) + P (B \ A) = P (A) P (A B) + P (A B) + P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 2.2.3 Équiprobabilité Définition 2.15 Équiprobabilité. Si tous les éléments de Ω (l univers d une expérience aléatoire) ont la même propriété d apparition alors Ω est dit équiprobable. Si Ω = {a 1,..., a n } alors : P ({a i }) = 1 n, a i Ω. Propriété 2.16 Si Ω est équiprobable, la probabilité d un événement A Ω contenant n A éléments est : P (A) = 1 n + 1 n + + 1 = n A }{{ n } n = card(a) card(ω). n A fois Exemples 2.17 On lance un dé (non truqué) ; Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On est dans le cas d une équiprobabilité. 1. La probabilité d avoir un 5 est P (5) = 1/6 (5 est un événement élémentaire) 2. La probabilité d obtenir un nombre pair est : P («obtention d un nombre pair») = 3 6 = 1 2.

2.3 Probabilités conditionnelles 13 2.3 Probabilités conditionnelles 2.3.1 Un exemple pour débuter Exemple 2.18 On considère une population de 500 individus parmi lesquels il y a 180 femmes et 90 des 500 individus ont l allèle du daltonisme. On choisit un individu au hasard dans cette population (c est une expérience aléatoire). On note : F = «l individu choisi est une femme» D = «l individu choisi possède l allèle du daltonisme». L univers Ω est l ensemble des individus, il est équiprobable. Chaque individu a la même probabilité d être choisi 1 500. Donc, P (D) = card(d) card(ω) = 90 500 = 0,18. Maintenant, on se restreint à la sous-population des femmes. On sait que 9 femmes possèdent l allèle du daltonisme. L univers Ω est l ensemble des femmes F. Il est équiprobable. Chaque femme a 1 180 chance d être choisie. On cherche la probabilité qu une femme choisie au hasard possède l allèle du daltonisme : card(d F ) card(ω ) = 9 180 = 0,05. On note cette probabilité : P F (D) = card(d F ) card(f ) = P (D F ). 2.3.2 Probabilité conditionnelle Définition 2.19 Soit F un événement de probabilité strictement positive (c est-à-dire F Ω et > 0). On appelle probabilité conditionnelle à F, l application P F ( ) de l ensemble des événements (P(Ω)) dans [0, 1] telle que : P F : P(Ω) [0, 1] A P F (A) = P (A F ). Proposition 2.20 L application P F ( ) est une probabilité. Preuve Démonstration de la proposition 2.20. On vérifie que P F ( ) prend ses valeurs dans

14 Leçon n o 2 Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle [0, 1]. Si A F F alors P (A F ) et ainsi : P (A F ) = P F (A) 1 et P F (A) 0 comme quotient de deux probabilités. On vérifie la propriété 1 de la définition 2.13 : P F (Ω) = P (Ω F ) = = 1. On vérifie ensuite la propriété 2 de la définition 2.13. Soit (A i ) i I une famille d événements dans Ω deux à deux disjoints. ) A i P F ( i I = P (( i I A i) F ) Mais A i F A i donc tous les (A i F ) sont disjoints 2 à 2 et : P F ( i I A i ) = = P ( i I (A i F )). i I P (A i F ) = P (A i F ) = P F (A i ). i I i I Propriété 2.21 Probabilités composées. Soit Ω un univers, F et A deux événements tel que > 0. Alors, P (A F ) = P F (A) = P A (F ) P (A) 2.3.3 Formule des probabilités totales et de Bayes Propriété 2.22 Formule des propriétés totales. Soit {E 1, E 2,..., E n } une partition de Ω d événements non vides. Soit A Ω. Alors : n P (A) = P Ei (A) P (E i ). i=1 Exemple 2.23 On considère deux urnes U 1 et U 2. L urne U 1 contient 6 boules rouges et 4 boules vertes et l urne U 2 contient 7 boules vertes et 3 boules rouges. On lance un dé. S il indique le chiffre 1, on choisit l urne U 1 sinon on choisit l urne U 2. On effectue ensuite deux tirages avec remise. On cherche la probabilité d avoir tiré deux rouges en tout. On note : R = {rouge au 1 er tirage}, R = {rouge au 2 e tirage} On a ainsi : H 1 = {choix de l urne U 1 }, H 2 = H 1 = {choix de l urne H 2 }. P H1 (R) = 6 10 = 3 ( ) 3 2 5, P H 1 (R R ) =. 5 La formule de conditionnement donne : P H2 (R) = 3 10, P H 2 (R R ) = ( ) 3 2. 10 P (R) = P H1 (R)P (H 1 ) + P H2 (R)P (H 2 ) = 1 3 6 5 + 5 3 6 10 = 1 10 + 1 4 = 4 + 10 = 7 40 20.

2.3 Probabilités conditionnelles 15 et P (R R ) = P H1 (R R )P (H 1 ) + P H2 (R R )P (H 2 ) = 1 ( ) 3 2 + 5 ( ) 3 2 = 27 6 5 6 10 200. Propriété 2.24 Formule de Bayes. Soit {E 1, E 2,..., E n } une partition de Ω d événements non vides. Soit A Ω. Alors : P Ei (A) P (E i ) P A (E i ) = ni=1 P Ei (A) P (E i ). Exemple 2.25 Un test sanguin a une probabilité de 0,95 de détecter un certain virus lorsque celuici est effectivement présent. Il donne néanmoins un faux résultat positif pour 1% des personnes non infectées. On cherche la probabilité ait le virus sachant qu elle est positif (et on sait que 0,5% de la population est porteuse du virus). On note : On cherche P T (V ). Or, on sait que : On en déduit par la formule de Bayes, V = {la personne testée a le virus}, T = {la personne testée a un test positif}. P (V ) = 0,005, P V (T ) = 0,95, P V (T ) = 0,01. P T (V ) = P (T V ) P V (T )P (V ) = P (T ) P V (T )P (V ) + P V (T )P (V ) 0,95 0,005 = 0,95 0,005 + 0,01 0,995 0,323. 2.3.4 Indépendance R 2.27 Définition 2.26 Indépendance de deux événements. Deux événements E et F sont indépendants si : P (E F ) = P (E). D après la propriété des probabilités composées, P (E) = P F (E) (si > 0). Ce résultat correspond à l idée intuitive que si E et F sont indépendants alors la réalisation de F n apporte pas d information sur E. Exemple 2.28 On jette deux fois le même dé. Les événements A = {obtention d un chiffre pair au premier lancer}, B = {obtention du 1 au deuxième lancer}, sont indépendants. En effet, en prenant Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 et si on fait l hypothèse de l équiprobabilité dans Ω (P équiprobable), on vérifie que : P (A) = 3 6 36 = 1 2, P (B) = 6 1 36 = 1 6. P (A B) = 3 1 36 = 1 12, P (A)P (B) = 1 2 1 6 = 1 12.

16 Leçon n o 2 Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle 2.3.5 Schéma de Bernoulli Définition 2.29 Toute expérience aléatoire conduisant à deux issues possibles S (Succès) et S (Echec) est appelée épreuve de Bernoulli. Exemple 2.30 Si on appelle Succès lors d un lancé d un dé, l événement noté : S = «Le six sort». Le lancer du dé peut alors être considéré comme une épreuve de Bernoulli avec S = {6} et p = P (S) = 1/6. S = {1, 2, 3, 4, 5} avec q = 1 p = 5/6. Définition 2.31 Schéma de Bernoulli. Si on répète n fois et de façon indépendante une épreuve de Bernoulli, on obtient un schéma de Bernoulli. Propriété 2.32 Soit 0 k n, P («obtenir k succès») = ( ) n p k q n k. p Exemple 2.33 On lance 3 fois une pièce et on dit qu on fait «succès» si la pièce tombe sur pile. On cherche la probabilité de faire 2 succès. ( ) 3 1 1 P («obtenir 2 succès») = 2 4 2 = 3 8.

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