TRAVAUX DIRIGÉS DE S 4

Travaux Dirigés S 4 Correction PCSI 6 7 TAVAUX DIIGÉS DE S 4 Exercice : Constructions de Fresnel En utilisant une construction de Fresnel si nécessaire, calculer l amplitude S m du signal sinusoïdal s(t) = s (t) + s (t) avec s (t) = S cos(ωt) et s (t) = S cos(ωt + ϕ) dans les cas suivants :. S = S = et ϕ =. S = S = et ϕ = π. S = S = et ϕ = π 4. S = S = et ϕ = π On représente chaque grandeur sinusoïdale s (t) = S cos(ωt + ) et s (t) = S cos(ωt + ϕ) par un vecteur de Fresnel associé à l instant t =. Ainsi le vecteur S fait un angle nul avec l axe de référence des phases horizontal et a la norme S S fait un angle ϕ avec l axe de référence des phases horizontal et a la norme S On trace le vecteur S = S + S et il ne reste plus qu à mesurer ou à calculer sa norme, S m. On pourrait aussi déterminer la phase à l origine de s(t) puisqu il s agit de l angle que fait ce vecteur fait avec l axe de référence.. S = S = et ϕ =. S S S 5 5 Signaux en phase S = S + S = 5.. S = S = et ϕ = π S S S 5 5 Signaux en opposition de phase S = S S = 5.. S = S = et ϕ = π 5 S S π S 5 J π 4 S 5 Signaux en quadrature sin π = 4 S I 5 S S 4 (ci-dessus à gauche). S

Travaux Dirigés S 4 Correction PCSI 6 7 4. S = S = et ϕ = π, figure ci-dessus à droite. On peut mesurer directement S ou calculer S = OI + OH avec OI = S sin π OH = S + S cos π = +,5 =,5 soit finalement S m,. 4, et Exercice : Mesure d un déphasage à l oscilloscope À l aide d un oscilloscope, on acquiert les signaux suivants : v(t) (V) v v t (ms) -8-7 -6-5 -4 - - - 4 5 6 7 8 - - Mesurez graphiquement. L amplitude, la valeur moyenne, la période et la fréquence de chaque signal. Ces signaux sont-ils synchrones?. v est-il en avance ou en retard par rapport à v? Quel est le décalage temporel? En déduire la phase de v par rapport à v.. Quelle est la phase à l origine de chacun de ces deux signaux?. pour v : le signal monte est symétrique par rapport à l axe des abscisses, il est donc de valeur moyenne nulle. On lit graphiquement V,max, V donc l amplitude est, V (ne pas oublier l unité). Pour la période, on remarque que le signal coupe v = V en descendant à -6,-,,... ms. La période est donc, ms (attention à l unité) et la fréquence de,. Hz (attention au nombre de chiffres significatifs). pour v, V max = V et V min =,6 V. Le signal étant sinusoïdal, on peut faire simplement la valeur moyenne de ces deux valeurs pour avoir la valeur moyenne du signal et il n est pas nécessaire de calculer l intégrale, d où v offset =, V et l amplitude est V pp / =,8 V. La fréquence et la période sont les mêmes (par exemple coupe v =,8 V en descendant toutes les s). La fréquence étant la même, les signaux sont synchrones.. v atteint son maximum avant v, il est donc en avance. Pour le décalage temporel, il vaut mieux regarder le moment où le signal coupe sa valeur moyenne plutôt que le maximum pour les incertitudes. Par exemple en -, ms pour v et en -, ms pour v (attention v, on a donc un décalage de ms. Par une règle de trois, on a donc φ / π ( chiffres significatifs même si l écriture laisse ici un doute sur le e) Il reste à trouver LE SIGNE du déphasage : ici, on est en avance donc le déphasage est positif (regarder par exemple cos(x) et cos(x+,), cos(x+.) atteint son maximum lorsque x +, = donc x =,, il est donc en avance et son déphasage est positif) φ / = + π. On considère un signal de la forme a sin(πft + φ. On voir que le sinus est décalé de, ms vers la gauche, donc un déphasage de π, =, rad (la valeur exacte est en fait

Travaux Dirigés S 4 Correction PCSI 6 7,56 = π/4 : notre mesure est plutôt bonne). Pour l autre, il suffit de faire la somme : 4,4 ou -,9. Exercice : Station de radio Un émetteur E et un récepteur M d ondes radio se trouvent au sol à la distance D l un de l autre. Une couche atmosphérique réfléchissante horizontale se comporte comme un miroir plan vis-àvis des ondes radio. Lorsque l altitude de la couche réfléchissante est H, l onde directe et l onde réfléchie sont en phase; quand l altitude devient H + h, Mne reçoit aucun signal.. Établir la relation liant D, H, h et la longueur d onde λ, en supposant que h est petit devant D et H. On rappelle pour les approximations que ( + ǫ) α + αǫ si ǫ. On donne H = 8, km, D = km et λ = 4 m. Calculer h.. Avec un schéma, la distance parcourue par l onde dans le premier cas est d = D D 4 + H et dans le e cas d = + (H + 4 h). Dans le premier cas, les interférences entre le trajet direct et le trajet réfléchie sont constructives, dans le deuxième cas, elles sont destructives, il y a donc eu une demi longueur d onde de plus. D où d d = λ D + (H + 4 h) D + 4 H = λ D + 4 H ( + h H ) D + 4 H = λ On utilise la formule fournie pour le carré : D + 4 4 H ( + h ) D + H 4 H = λ 4 D + 4 H + hh) D + 4 H = λ 4 puis pour la racine on factorise D + 4 H h + ( ) D + H + D 4 H = λ 4 4H on réutilise la formule D + 4 H + ( h ) H + D 4H On simplifie avec le moins D + 4 H ( h ) = λ H + D 4 4H + D 4H h = λ + D 4 4H d où h = λ 4. h = 6m. h + D 4H = λ 4 + D /4H. D 4 + H = λ 4 Exercice 4 : adar outier Pour mesurer la vitesse d un véhicule, un radar émet dans sa direction une onde électromagnétique sinusoïdale de fréquence ν. Après réflexion sur le véhicule, l onde revient en présentant un retard τ dont nous admettrons qu il ne dépend que du trajet parcouru par l onde dans l air.. À quelle vitesse (valeur numérique) les ondes électromagnétiques se déplacent elles dans l air?. Dans le cas où le véhicule est immobile à une distance d du radar, l onde reçue et l onde émise ont-elles même fréquence? Quel est leur déphasage au niveau de l émetteur? Préciser la nature de l onde résultante dans l espace séparant le radar du véhicule cible.

Travaux Dirigés S 4 Correction PCSI 6 7. Le véhicule se déplace désormais à vitesse constante, notée V, en s éloignant de l émmeteur. Quelle est l évolution du déphasage? montrer que l onde réfléchie n a plus la même fréquence que l onde émise. 4. La fréquence d émission est de l ordre de ν =. Hz, en déduire l ordre de grandeur de la différence de fréquence ν pour un véhicule respectant les limitations de vitesse. 5. Quel phénomène apparait sur l onde résultante entre l émetteur et le récepteur? 6. La différence ν étant très faible par rapport à ν, on ne peut pas mesurer directement la fréquence reçue pour en déduire la vitesse. Combien de chiffres significatifs seraient nécessaire pour mesurer ν avec une précision suffisante pour verbaliser le conducteur lorsqu il dépasse de 5 km/h la vitesse autorisée? 7. Pour mesurer ν précisément malgré les variations éventuelles de ν, on se propose de réaliser la multiplication entre le signal reçu et le signal émis (en supposant qu ils ont été traités pour avoir la même amplitude). On applique ensuite un filtre passe bas de fréquence de coupure 4 Hz, c est-à-dire un dispositif qui élimine les fréquences au delà de 4 Hz et laisse invariante les fréquence en deçà de 4 Hz, quel est le signal résultant? Ce signal est-il sensible au variation éventuelle de ν?. à la vitesse de la lumière, qui est presque la même dans l air est dans le vide, soit c. 8 m/s. le véhicule étant immobile et le déphasage n étant du qu à la propagation d après l énoncé, le déphasage est constant, et donc la fréquence est la même (cf la question suivante). En écrivant le signal sous la forme A cos(ωt kx), le déphasage du à la propagation est ϕ = k d = πν d. On a une onde stationnaire entre les deux objets c. On remplace cette fois d par d(t) = d + vt Le déphasage varie donc au cours du temps, ce qui revient à avoir une fréquence reçue différentes. En effet, le signal reçu est : s(t) = A cos(ωt + ϕ(t)) = A cos(ωt k(d + vt)) = A cos((ω kv)t kd ), la fréquence reçue est = ν( v/c) car k = ω/c donc ω kv π 4. La différence de fréquence ν est donc ν = f( v/c) Si on considère un véhicule à km/h=6 m/s, alors on trouve ν = 4,8. Hz 5. On a donc un phénomène de battements 6. Si l on considère un conducteur à 5 km/h=7,5 m/s 5-48= Hz il faut donc être capable de mesurer. ±. Hz soit 9 chiffres significatifs! (et pas 8, prendre un exemple avec une différence moins grande entre les ordres de grandeurs pour s en convaincre) 7. On a donc cos νt cos((ν + ν)t + ϕ ) On utilise la formule avec les produits de cosinus : cos a cos b = (cos(a b) + cos(a + b)) donc le signal après multiplication est : (cos( νt + ϕ ) + cos((ν + ν)t + ϕ )) Le deuxième cosinus est éliminé par le filtre et il reste simplement à mesurer ν comme étant la fréquence du signal restant. Cette méthode s appelle détection synchrone (mais je ne garantis pas que ça soit exactement celle là qui est employée pour les radars) Exercice 5 : Interférence ultrasonores 4

Travaux Dirigés S 4 Correction PCSI 6 7 Une expérience d interférences d ondes ultra-sonores est réalisée en plaçant deux émetteurs E et E cote à cote relié à un même générateur. La fréquence d émission est égale à 4 khz, ce qui correspond à une longueur d onde λ = 8,5 mm. A part à la question, les sources émettent des ondes en phase. On note O le point milieu du segment délimité par les émetteurs distants de a = 4 cm, et Ox l axe situé sur la médiatrice de ce segment. On déplace le microphone sur un grand cercle de rayon =,5 m et on relève l évolution de l amplitue mesurée en fonction de l angle θ que fait la direction OM avec l axe x.. Distance interfrange (a) Faire une figure pour un angle θ faible mais non nul. ajouter sur la figure l arc de cercle de centre M passant par E, on note H son intersection avec la droite (E M). Que représente E H? (b) Montrer que les distances E M et E M peuvent s écrire : E M = a sin θ E M = + a sin θ E O E + a 4 + a 4 (c) On admet la formule suivante : si ǫ, alors + ǫ + ǫ (On pourra essayer avec quelques valeurs à la calculatrice). On se place dans le cas où a, montrez que E H a sin θ puis en déduire le déphasage entre les ondes reçues en M en fonction de θ,a,λ. (d) Quelles sont, dans l intervalle [, ], les valeurs de θ où on observe un maximum d amplitude résultante?. Minima d amplitude (a) Sur l intervalle d étude précédent, quelles sont les positions où un minimum d amplitude est attendu? (b) Si les ondes reçues ont même amplitude, quelle valeur d amplitude minimale est prévue par la théorie? (c) Quels défauts peuvent expliquer un écart entre prévision et observation?. Inversion de phase Le dispositif permet d inverser le signal émis par l un des émetteurs (ce qui revient à le déphaser de π). (a) Quel est l état d interférence sur l axe Ox? (b) Quelles sont les positions des nouveaux points de maximum et de minimum d amplitude? (c) Qu advient-il si l on inverse également l autre signal? θ M x 5

Travaux Dirigés S 4 Correction PCSI 6 7 E O θ M x E H. (a) deux ondes E H est la différence de distance parcourue par les (b) On utilise pour cela les coordonnées : E M = x + y, on développe ensuite en utilisant sin + cos =, puis on factorise par. (c) E H = E M E M = ( + a sin θ est donc πa sin θ/λ + ) ( a 8 a sin θ + ) a 8 = a sin θ. Le déphasage (d) Les interférences constructives sont obtenues lorsque l ordre d interférence est entier : p = a sin θ/λ c est-à-dire sin θ = pλ/a avec p entier. p ± ± θ ± ±5 (a) C est avec p demi-entier soit p = ±/ θ = ±6 et p = ±/ θ = ±9 (b) si l amplitude incidente est la même, alors l amplitude résultante s annule. (c) L état d amplitude nulle est particulièrement sensible à tout parasite, en particulier i. si l amplitude n est pas exactement la même, à cause du générateur ou de la distance parcourue ii. la présence de parasites qui viennent s ajouter en ce point iii. la taille du récepteur qui moyenne sur une zone où l intensité n est pas nulle.. sur l axe Ox, la distance est parcourue est la même et n est donc pas source de déphasage. Les interférences sont donc destructives.. on échange les lieux de max et de mini 4. on revient à l état d avant Exercice 6 : Exploitation de battement v(t) (V) t (µs) - - -6-5 -4 - - - 4 5 6 6

Travaux Dirigés S 4 Correction PCSI 6 7 Un étudiant patient compte le nombre de fois où le signal coupe l axe des abscisses sur le graphique ci-dessus et trouve. Quelles sont les fréquences des signaux originaux? Leur amplitude? Tracer le spectre en amplitude de v. Attention au facteur : un cosinus coupe l axe des abscisse fois par période. La pseudo période est donc,/6 =, µs et la fréquence moyenne est donc f = 5, MHz. On mesure 5, µs pour la période des battements, d où f f =, MHz. Les deux fréquences sont donc f = 5, MHz et f = 4,9 MHz. Pour les amplitudes, il est bon d avoir la représentation de Fresnel en tête. L amplitude maximale est atteinte lorsque les deux signaux sont en phases et faut A+A et elle est minimale lorsqu ils sont en opposition de phase et vaut A A. On ne peut pas déterminer quelle amplitude correspond à quelle fréquence mais ici la valeur maximale est,6 V et la valeur minimale est,6 V donc on a, V et,5 V. Le spectre contient deux pics, d amplitude différente (facteur presque entre les ) centré autour de 5 MHz et proche l un de l autre. On ne sait pas si c est celui de «gauche» le plus grand ou celui de «droite» donc les deux représentations sont possibles. Exercice 7 : Contrôle actif du bruit en conduite On s intéresse à un système conçu pour l élimination d un bruit indésirable transporté par une conduite. Le bruit est détecté par un premier micro dont le signal est reçu par un contrôleur électronique. Le contrôleur, qui est le centre du système, envoie sur un haut- parleur la tension adéquate pour générer une onde de signal exactement opposé à celui du bruit de manière à ce que l onde résultante au point A (voir figure) et en aval de A soit nulle.. Exprimer, en fonction de L, l et la célérité c du son, le temps disponible pour le calcul du signal envoyé sur le haut-parleur.. On suppose le bruit sinusoïdal de pulsation ω. On appelle ϕ la phase initiale du signal détecté par le micro et ϕ HP la phase initiale du signal émis par le haut-parleur. Exprimer, en fonction de ω, c, L et l, la valeur que doit avoir ϕ = ϕ HP ϕ.. L onde émise par le haut-parleur se propage dans la conduite dans les deux sens à partir de A. Expliquer l utilité du micro.. L onde reçue par le micro met un temps L/c à se propager jusqu en A, toutefois il faut que le son émis par le HP soit émis avant puisqu il doit parcourir une distance l. Cela lui prend un temps l/c, d où le temps disponible (L l)/c. en A, les deux ondes doivent être déphasées de π. au niveau de l onde incidente en A : s b = s cos(ωt kl + φ ) au niveau de l onde créée en A : s b = s cos(ωt kl + φ HP ) d où ( kl + φ HP ) ( kl + φ ) = ±π d où φ HP φ = k(l L) ± π = ω (l L) ± π c. L onde mesurée par le micro est en fait le bruit i+ l onde émise par le HP. Le e micro doit permettre en mesurant le résultat du contrôle actif d améliorer la réduction de bruit via une rétroaction. 7