X7TU100 : Traitement du signal

X7TU100 : Traitement du signal Éric Beucler Laboratoire de Planétologie et Géodynamique UFR des Sciences et Techniques eric.beucler@univ-nantes.fr http://lpgnantes.fr/beucler-e M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 1 / 56

Introduction 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 2 / 56

Introduction Quelques livres J. Max & J.-L. Lacoume (1996), Méthodes et techniques de traitement du signal (2004-5 ème éd.), Dunod M. Bellanger (1995), Traitement numérique du signal (2012-9 ème éd.), Dunod F. Cottet (1997), Traitement des signaux et acquisition de données - Cours et exercices résolus, Dunod F. Coppens, J.-L. Mari & F. Glangeaud (2000), Traitement du signal pour géologues et géophysiciens, Technip M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 3 / 56

Introduction Introduction Électronique M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 4 / 56

Introduction Introduction Acoustique M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 5 / 56

Introduction Introduction Géologie, Géochimie M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 6 / 56

Introduction Introduction Géomorphologie Analyse et traitement d images (lissage, réduction de bruit, détection de formes...) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 7 / 56

PY49 PY48 BREST PY47 2012 Sep 05 12:24:03 PY46 CEA/DASE (LB+CP) RÉSoNANSS RESIF LB (A/A+) PYROPE LORIENT PY45A VANNES SAINT BRIEUC PY45 PY44 PY43 RENNES NANTES LA ROCHE/YON PY42 LA ROCHELLE PY41 SAINTES CAEN ANGERS NIORT Introduction Introduction Gravimétrie, Géomagnétisme... Sismologie 50 N 4 W 2 W 0 400 350 300 49 N 250 200 150 100 48 N 47 N 50 0 50 100 150 Altitude (m) 200 250 46 N 300 350 4 W 2 W 0 400 M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 8 / 56

Introduction Introduction Attention Le signal lié à un phénomène peut être du bruit pour un autre, et réciproquement. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 9 / 56

Introduction Introduction Objectif Le traitement du signal sert à séparer le message du bruit (signal perturbateur), dans un signal brut qui contient les deux (pas nécessairement de façon additive). M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 10 / 56

Introduction Introduction À retenir Sans théorie sous-jacente (physique, chimique ou géologique), le traitement du signal ne sert à rien. Le signal s observe dans plusieurs espaces : Domaine temporel (t) ou spatial (x) Domaine fréquentiel (ou de Fourier) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 11 / 56

Introduction Introduction Acquisition du signal Nous ne comprenons les phénomènes qui nous entourent qu à la lueur des appareils qui nous permettent de les enregistrer (observer). M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 12 / 56

Signaux en général 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 13 / 56

Signaux en général Ondes spatio-temporelles Rappels sur les ondes M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 14 / 56

Signaux en général Ondes spatio-temporelles Rappels sur les ondes M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 15 / 56

Signaux en général Caractéristiques d une onde Rappels sur les ondes M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 16 / 56

Signaux en général Caractéristiques d une onde Rappels sur les ondes À 1D, u(x 1, t) = A exp[i(ωt ± kx 1 )]. À 3D, u(r, t) = A exp[i(ωt ± k r)], r = (r 1, r 2, r 3 ). Fréquence : ν = 1 T ; Période : T = 1 ν ; Fréquence angulaire (pulsation) : ω = 2πν = 2π T ; Nombre d onde (ou vecteur d onde à 3D, k) : k = 2π λ ; Longueur d onde : λ = CT = C ν ; Vitesse de phase : C = λ T. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 17 / 56

Signaux en général Fonctions utiles Sinus et cosinus Théorème Tout signal peut se décomposer sur une base de fonctions sinusoïdales. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 18 / 56

Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 19 / 56

Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage Tout signal réel doit être tronqué pour être étudié. Π(t) = { 0 t > 1 2 1 t 1 2, (1) ce qui est équivalent à Π(t) = { 1 si 1 2 t 1 2 0 sinon. (2) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 23 / 56

Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage À retenir Pour qu un signal soit perçu (donc modélisable) il faut qu il puisse se répéter au moins deux fois dans la fenêtre considérée. La plus grande des périodes (ou des longueurs d onde) est égale à la moitié de la taille de la fenêtre. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 24 / 56

Signaux en général Distribution de Dirac (photo) Fonctions utiles Échantillonnage ponctuel δ(x) = { +, x = 0 0, x 0 et + δ(x)dx = 1. (3) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 25 / 56

Signaux en général Peigne de Dirac (caméra) Fonctions utiles Impulsions de Dirac se succédant à la cadence 1 T e d échantillonnage), (ou fréquence Ø(t) + n= δ(t nt e ). (4) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 26 / 56

Auto- et intercorrélation 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 27 / 56

Auto- et intercorrélation Auto- et intercorrélation À la recherche des similarités entre signaux (ou au sein d un même signal) par translation (temporelle ou spatiale) - Notion de causalité. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 28 / 56

Autocorrélation Auto- et intercorrélation Comparaison d un signal avec ses copies retardées informations sur des événements répétés C uu (τ) = + u(t + τ)u (t) dt = + u(t)u (t τ) dt (5) f est le conjugué complexe, pour un signal réel f = f Valeur de la corrélation positive, nulle ou négative Détection de battements dans un signal bruité M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 29 / 56

Auto- et intercorrélation Intercorrélation (cross-correlation) Recherche d un éventuel décalage capable de repositionner les signaux en phase ou de la similarité entre deux signaux C uv (τ) = + u(t)v (t τ) dt = + u (t)v(t + τ) dt (6) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 30 / 56

Auto- et intercorrélation Intercorrélation (cross-correlation) Corrélation normalisée C uv (τ) = C uv (τ) Cuu (0)C vv (0). (7) L intercorrélation n est pas commutative (C uv est ni paire, ni impaire). M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 31 / 56

Convolution 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 32 / 56

Convolution Convolution La convolution de deux fonctions u(t) et v(t) se note u(t) v(t) et est définie par + s(t) = u(t) v(t) = u(τ)v(t τ) dτ. (8) La convolution (ou produit de convolution) exprime la quantité de recouvrement d une fonction u lorsqu on la déplace sur une autre fonction v : c est un mélangeur de fonctions. Systèmes d acquistion du signal (réponse impulsionnelle, fonction de transfert) ; convolution temporelle : recherche des systèmes linéaires et invariants (e.g. exploration géophysique) ; fonction de Green M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 33 / 56

Convolution Propriétés de la convolution Changement de variable τ = t x : u(τ) = u(t x), v(t τ) = v(x) et dτ = dx ; τ = + x = et τ = x = +. + s(t) = u(τ)v(t τ) dτ = u(t x)v(x) dx, s(t) = s(t) = + u(t x)v(x) dx + u(t τ)v(τ) dτ. + soit u v = v u (u v) w = u (v w) u (v + w) = (u v) + (u w) (9) (10) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 34 / 56

Dirac et convolution Convolution Dirac (élément neutre) : δ(t) f (t) = f (t), soit par translation δ(t t 0 ) f (t) = f (t t 0 ). (11) Somme pondérée de deux Diracs : superposition de deux courbes décalées M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 35 / 56

Convolution Convolution discrète étape par étape s(t) = x(t) h(t) = + x(τ)h(t τ) dτ. (12) 1 Replier h(t) par rapport à l origine pour obtenir h( τ) ; 2 choisir une première valeur, t = t 1 ; 3 s(t 1 ) = aire sous la courbe définie par x(τ)h(t 1 τ). s(t 1 ) = 0 (surface verte inexistante, principe de causalité) ; 4 puis avec t = t 2, t 3... M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 36 / 56

Convolution Convolution discrète avec les mains M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 37 / 56

Convolution Corrélation et convolution C uv (τ) = C uv (τ) = + + u (t)v(t + τ) dt, u (t τ)v(t) dt, C uv (τ) = u ( t) v(t). L intercorrélation peut être interprétée comme une convolution où l on ne retourne pas l une des deux fonctions. (13) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 38 / 56

Convolution Corrélation et convolution M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 39 / 56

Transformée de Fourier 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 40 / 56

Temps vs fréquence Transformée de Fourier Espace temporel f (t) = A sin(ωt + φ). (14) Espace fréquentiel Ici A = 2.8, ω 0.5 rad.s 1 (ν 0.08 Hz) et φ = 0. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 41 / 56

Temps vs fréquence Transformée de Fourier Espace temporel Espace fréquentiel M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 42 / 56

Transformée de Fourier Séries de Fourier Théorème Tout signal se décompose en une série de fonctions périodiques élémentaires (sinusoïdes). Objectif Quantifier le poids respectif de chaque sinusoïde cachée dans le signal total. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 43 / 56

Séries de Fourier Transformée de Fourier Les signaux élémentaires sur lesquels se décompose tout signal sont périodiques et complexes. s e (t) = exp(2iπνt) = cos(2πνt) + i sin(2πνt), (15) où ν est la fréquence du signal élémentaire. La somme pondérée des signaux élémentaires forme ainsi le signal résultant, s(t) = k a k sin(2iπν k t + φ k ). (16) Passage de l espace temporel à l espace fréquentiel (ou spectral), (s, t) (a k, ν k, φ k ). (17) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 44 / 56

Transformée de Fourier Séries de Fourier Théorème de Fourier s(t) = A 0 + [A k cos(ω k t) + B k sin(ω k t)]. (18) Principe d orthogonalité k=1 k, l 2 T 2 T T 2 T 2 T 2 T 2 sin(ω k t) cos(ω l t)dt = 0, cos(ω k t) cos(ω l t)dt = δ kl. (19) Rappel : δ kl = { 0, si k l; 1, si k = l et ω k = 2kπ T. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 45 / 56

Séries de Fourier Transformée de Fourier La valeur A 0 représente la moyenne du signal dans la fenêtre considérée, A 0 = T 2 T 2 s(t)dt. (20) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 46 / 56

Transformée de Fourier Transformée de Fourier La transformée de Fourier (TF) permet de définir le spectre complexe S(ν) du signal temporel s(t). TF directe F[s(t)] = S(ν) = + s(t) exp( 2iπνt)dt. (21) La transformée de Fourier F est une application réversible, F 1 [F(s)] = s. TF inverse F 1 [S(ν)] = s(t) = + S(ν) exp(+2iπνt)dν. (22) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 47 / 56

Transformée de Fourier Transformée de Fourier (propriétés) Application linéaire α, β R, F[αu(t) + βv(t)] = αf[u(t)] + βf[v(t)]. (23) Similitude (dilatation) α R, F[s(αt)] = 1 α S( ν ). (24) α Plus le support temporel d une fonction est étroit, plus le support fréquentiel de sa TF est large (dualité temps-fréquence). M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 48 / 56

Transformée de Fourier Transformée de Fourier (propriétés) Translation temporelle (retard) t 0, F[s(t t 0 )] = exp( 2iπνt 0 )S(ν). (25) Translation fréquentielle (modulation) ν 0, exp(2iπν 0 t)s(t) = F 1 [S(ν ν 0 )]. (26) Dérivation [ ] ds(t) F = 2iπνS(ν), (27) dt une simple multiplication en domaine spectral. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 49 / 56

Transformée de Fourier Transformée de Fourier et convolution La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est le produit des transformées de Fourier (et réciproquement), F [u(t) v(t)] = F[u(t)]F[v(t)] = U(ν)V (ν), F [u(t)v(t)] = F[u(t)] F[v(t)] = U(ν) V (ν). (28) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 50 / 56

Échantillonnage 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 51 / 56

Échantillonnage Échantillonnage Quel doit être le pas d échantillonnage pour être certain de pouvoir enregistrer un signal à une fréquence donnée? M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 52 / 56

Échantillonnage Théorème d échantillonnage de Nyquist-Shannon La représentation discrète d un signal par des échantillons régulièrement espacés exige une fréquence d échantillonnage supérieure au double de la fréquence maximale présente dans ce signal. Fréquence de Nyquist Soit ν e, la fréquence d échantillonnage d un signal, ν N = ν e 2. (29) La plus petite des périodes possibles d un signal enregistré est le double de la période d échantillonnage. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 53 / 56

Échantillonnage Rééchantillonnage (repliement spectral, aliasing) Signal brut composé de 4 sinusoïdes. Pas d échantillonnage = 0.1 s f 1 = 0.08 Hz, f 2 = 0.92 Hz, f 3 = 2.1 Hz, f 4 = 3.95 Hz et ν e = 10 Hz Fréquence de repliement Valeur absolue de la différence entre la fréquence du signal d entrée et le multiple entier le plus proche de la fréquence d échantillonnage. M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 54 / 56

Échantillonnage Rééchantillonnage (repliement spectral, aliasing) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 55 / 56

Échantillonnage Rééchantillonnage (repliement spectral, aliasing) M1 TPE (STU 2016-2017) X7TU100 : Traitement du signal 12 septembre 2016(v2.3) 56 / 56