Relation entre loi binomiale et loi normale centrée réduite Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : reconnaitre la loi binomiale Exercice 2 : calculer la probabilité d un événement avec la loi binomiale Exercice 3 : effectuer un changement de variable pour calculer l espérance et la variance d une variable Exercice 4 : passer d une variable aléatoire suivant la loi binomiale à une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite (théorème de De Moivre Laplace) Exercice 5 : calculer la probabilité d un événement avec la loi normale centrée réduite Exercice 6 : établir quelques propriétés de la loi normale centrée réduite Exercice 7 : calculer un seuil Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com 1
Exercice corrigé 1 (3 questions) Niveau : facile On lance 10 fois de suite un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On associe à la variable aléatoire le nombre d occurrences du chiffre 3. 1) Préciser la loi suivie par la variable aléatoire. 2) Calculer l espérance puis l écart-type de. Correction de l exercice 1 Retour au menu 1) Montrons que la loi suivie par la variable aléatoire est la loi binomiale. Rappel : Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l une appelée succès (notée ) et l autre appelée échec (notée ou plus communément ). Le lancer d un dé peut être modélisé par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l événement «la face du dé est le chiffre 3», de probabilité, et pour échec l événement «la face du dé n est pas le chiffre 3», de probabilité. Comme le dé est équilibré, chaque face est équiprobable. De plus, le dé étant cubique, à chaque lancer correspondent 6 issues, dont 1 seule favorable à la réalisation de l événement, si bien que. Rappel : Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli d ordre est une répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On lance 10 fois de suite ce dé donc il y a répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Autrement dit, l expérience décrite est un schéma de Bernoulli d ordre. Rappel : Loi binomiale de paramètres et Soit un schéma de Bernoulli d ordre, répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètre, et soit la variable aléatoire qui associe à cette répétition de épreuves le nombre de succès. La loi de probabilité de est alors appelée loi binomiale de paramètres et et est notée. La variable aléatoire prend pour valeur le nombre d occurrences du chiffre 3, c est-à-dire comptabilise le nombre de succès. suit donc la loi binomiale de paramètres et. On note alors. 2
2) Calculons l espérance, la variance puis l écart-type de. Rappel : Espérance mathématique d une variable aléatoire suivant la loi binomiale Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et, alors l espérance de, notée, est donnée par. Comme suit la loi binomiale de paramètres et, l espérance de est égale à. Rappel : Variance et écart-type d une variable aléatoire suivant la loi binomiale Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et, alors la variance de, notée, est donnée par. L écart-type de, noté est la racine carrée de la variance de ; elle est donc donnée par. Il vient en outre que la variance de est égale à. Enfin, comme l écart-type est la racine carrée de la variance, il s ensuit que l écart-type de est égal à, c est-à-dire à. 3
Exercice corrigé 2 (3 questions) Niveau : facile Une variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres et. 1) Afficher avec un tableur la loi de probabilité de. 2) Donner la probabilité de l évènement proposée par le tableur et affichée par une calculatrice. 3) Donner la probabilité de l évènement proposée par le tableur et affichée par une calculatrice. Correction de l exercice 2 Retour au menu 1) Utilisons le tableur Excel pour afficher la loi de probabilité de la variable aléatoire. A B C D E F G H 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0,046656 0,186624 0,31104 0,27648 0,13824 0,036864 0,004096 Dans la cellule B2 (en jaune dans le tableau ci-dessus), la formule «=LOI.BINOMIALE(B1; ;0,4;FAUX)» a été renseignée. Dans cette formule, «B1» correspond au nombre de succès indiqués dans la cellule B1, à savoir 0 succès correspond au nombre de tirages dans des conditions identiques et indépendantes, à savoir au paramètre «0,4» correspond à la probabilité du succès, à savoir au paramètre «FAUX» permet de ne pas afficher les probabilités cumulées croissantes Cette formule a été copiée puis collée de la cellule C2 à la cellule H2, si bien que dans la cellule H2 est renseignée la formule «=LOI.BINOMIALE(H1;6;0,4;FAUX)». Remarque : Les valeurs données par le tableur sont des valeurs arrondies. 2) D après le tableur,. Retrouvons ce résultat en utilisant une calculatrice. Si une variable suit la loi binomiale, pour calculer, il convient d effectuer les manipulations suivantes : Avec une calculatrice Casio (Casio Graph 35+, Graph 65 +, Graph 75, Graph 85 ): MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques) F5 pour accéder à DIST (distribution) F5 pour accéder à BINM (binomiale) F1 pour accéder à Bpd (binomial probability distribution) 4
Renseigner les différents champs : Data : Variable x : 5 Numtrial : 6 p : 0,4 EXE pour exécuter la commande La calculatrice affiche : «p=0.036864», résultat également obtenu avec le tableur. Avec une calculatrice Texas Instruments (TI 82, TI 83 Stats, TI 84 Plus ) : 2nde VARS pour accéder à distrib (distribution) sélectionner «A :binomfdp(» (binomiale Fonction de probabilité) (ou sélectionner «A :binompdf» si la calculatrice est en anglais) puis valider par ENTER compléter par les informations «6, 0.4, 5» pour renseigner successivement le nombre d essais, la probabilité de succès et la valeur de, puis valider par ENTER L affichage de la calculatrice confirme le résultat donné dans le tableur. 3) Le tableur ne donne pas directement le résultat de. Deux méthodes s offrent toutefois à nous. La première méthode consiste à exploiter le tableur en additionnant les probabilités contenues dans les cellules B2, C2, D2 et E2. En effet,. Cette méthode conduit au résultat. La seconde méthode consiste à modifier quelque peu la formule renseignée dans le tableur. En l occurrence, il convient de saisir la formule «=LOI.BINOMIALE(B1;6;0,4 ;VRAI)» dans la cellule B2 puis de la copier dans les cellules C2 à H2, si bien que dans la cellule H2 (par exemple) est renseignée la formule «=LOI.BINOMIALE(H1;6;0,4 ;VRAI)». Ainsi, on obtient les probabilités cumulées croissantes. Dans le tableau ci-dessous, la cellule E2 contient donc la probabilité. A B C D E F G H 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0,046656 0,23328 0,54432 0,8208 0,95904 0,995904 1 Retrouvons ce résultat en utilisant une calculatrice. Si une variable suit la loi binomiale, pour calculer, il convient d effectuer les manipulations suivantes : Avec une calculatrice Casio : MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques) F5 pour accéder à DIST (distribution) F5 pour accéder à BINM (binomiale) 5
F2 pour accéder à Bcd (binomial cumulative distribution) Renseigner les différents champs : Data : Variable x : 3 Numtrial : 6 p : 0,4 EXE pour exécuter la commande La calculatrice affiche le même résultat que celui contenu dans le tableur. Avec une calculatrice Texas Instruments (TI) : 2nde VARS pour accéder à distrib (distribution) sélectionner «B:binomFRép(» (binomiale Fonction de répartition) puis valider par ENTER compléter par les informations «6, 0.4, 3» pour renseigner successivement le nombre d essais, la probabilité de succès et la valeur de, puis valider par ENTER L affichage de la calculatrice confirme également le résultat donné dans le tableur. Rappel : Formules à saisir avec la calculatrice et astuces pour calculer certaines probabilités Formule Calculatrice Casio Calculatrice TI Bpd(k,n,p) BinomFdp(n,p,k) Bcd(k,n,p) BinomFRép(n,p,k) 1 Bcd(k-1,n,p) 1 BinomFRép(n,p,k-1) Bcd(k-1,n,p) BinomFRép(n,p,k-1) 1 Bcd(k,n,p) 1 BinomFRép(n,p,k) Bcd(b,n,p) Bcd(a-1,n,p) Bcd(b-1,n,p) Bcd(a,n,p) BinomFRép(n,p,b) BinomFRép(n,p,a-1) BinomFRép(n,p,b-1) BinomFRép(n,p,a) 6
Exercice corrigé 3 (2 questions) Niveau : facile Une variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres et. On effectue les changements de variables : 1) Calculer l espérance de la variable aléatoire. 2) Calculer la variance de la variable aléatoire. Correction de l exercice 3 Retour au menu 1) Calculons l espérance de la variable aléatoire. Rappel : Propriété de l espérance mathématique Soient et deux variables aléatoires définies sur un même univers et soit une probabilité sur. Pour tous réels et, on a :. Remarque : Cette propriété est celle de la double linéarité (linéarité additive et linéarité multiplicative). Or, suit la loi binomiale de paramètres et donc d où : 2) Calculons désormais la variance de la variable aléatoire. Rappel : Propriété de la variance Soit une variable aléatoire définie sur un univers et soit une probabilité sur. Pour tous réels et, on a :. Remarque : Autrement dit, le déplacement d une distribution par ajout d une constante réelle ne modifie pas la variance de la variable aléatoire. En revanche, le changement d une distribution par multiplication d une constante réelle (non nulle) modifie quadratiquement la variance de la variable aléatoire. ( ) ( ) Or, suit la loi binomiale de paramètres et donc d où : 7
Remarque importante : et ne dépendent pas des paramètres et. On dit que est la variable aléatoire centrée réduite associée à ou encore que la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite notée. Autre remarque importante : Lorsqu on réalise une représentation graphique de la loi de probabilité de, on obtient une courbe en forme de cloche, symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Cette courbe reste très stable, même en faisant varier les valeurs des paramètres et. D autre part, lorsque est suffisamment grand, cette courbe est la représentation graphique de la fonction définie sur par : Courbe verte représentative de la fonction dans un repère orthonormé ( ). 8
Exercice corrigé 4 (3 questions) Niveau : facile est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale. On note son espérance et son écart-type. On pose enfin. 1) Calculer puis. 2) Sachant que, déterminer sans calculatrice ni tableur une valeur approchée de la probabilité. Correction de l exercice 4 Retour au menu 1) Calculons l espérance et l écart-type de la variable aléatoire. suit la loi binomiale. Par conséquent, il vient que : 2) Déterminons une valeur approchée de la probabilité. Si, alors et si, alors. Il en résulte que. Rappel : Théorème de De Moivre - Laplace Soit un nombre entier naturel. Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale. Soit la variable aléatoire centrée réduite associée à, définie par. Alors, pour tous nombres réels et tels que, on a : Remarque : Dans cet exercice, le paramètre est suffisamment grand pour justifier le changement de variable. Par conséquent, la probabilité tend vers : 9
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Exercice corrigé 5 (4 questions) Niveau : facile est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. 1) Donner un arrondi au millième de la probabilité. 2) Donner un arrondi au millième de la probabilité. 3) Donner un arrondi au millième de la probabilité. 4) Donner un arrondi au millième de la probabilité. Correction de l exercice 5 Retour au menu 1) Donnons un arrondi au millième de la probabilité. Rappel : Loi normale centrée réduite Toute variable aléatoire continue dont la loi a pour densité la fonction définie sur par suit la loi normale centrée réduite notée. Alors, pour tous nombres réels et tels que, la probabilité est donnée par : Avec un tableur de type Excel : On saisit la formule «=LOI.NORMALE(2;0;1;VRAI) LOI.NORMALE(0,5;0;1;VRAI)» dans l une des cellules du tableur. Le résultat affiché après exécution de la commande est alors «0,285787407». Autrement dit, (arrondi au millième près par excès). Quelques explications : La formule «=LOI.NORMALE(2;0;1;VRAI)» permet de calculer tandis que la formule «LOI.NORMALE(0,5;0;1;VRAI)» permet de calculer Dans chacune de ces deux formules, «0» correspond à l espérance de la variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et «1» correspond à l écart-type de cette variable aléatoire Avec une calculatrice Casio : On réalise les manipulations ci-après. 11
MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques) F5 pour accéder à DIST (distribution) F1 pour accéder à NORM (normale) F2 pour accéder à Ncd (normal cumulative distribution) Renseigner les différents champs : Lower : 0,5 Upper : 2 : 1 : 0 EXE pour exécuter la commande La calculatrice affiche un résultat très proche de celui renvoyé par le tableur, à savoir «0.2857874». Avec une calculatrice Texas Instruments (TI) : On réalise les manipulations ci-après. 2nde VARS pour accéder à distrib (distribution) sélectionner «2:normalFRép(» (normal fonction de répartition) et valider par ENTER compléter par les informations «0.5,2,0,1)» pour renseigner successivement les bornes inférieure et supérieure, l espérance et l écart-type valider par ENTER L affichage de la calculatrice confirme également le résultat précédemment donné. 2) Donnons un arrondi au millième de la probabilité. Avec un tableur, on saisit la formule «=LOI.NORMALE(4;0;1;VRAI) LOI.NORMALE(-2;0;1;VRAI)». Le résultat suivant est retourné : 0,977218197. Par conséquent, (arrondi au millième près par défaut). Avec une calculatrice Casio, on accède à «Ncd» puis on renseigne les champs suivants : Lower : -2 Upper : 4 : 1 : 0 Avec une calculatrice Texas Instruments, on sélectionne «2:normalFRép(» et on renseigne : «-2,4,0,1)». 3) Donner un arrondi au millième de la probabilité. Avec un tableur, on saisit la formule «=LOI.NORMALE(1,5;0;1;VRAI)». Le résultat suivant est retourné : 0,933192799. Par conséquent, (arrondi au millième près par défaut). 12
Avec les calculatrices, on peut remplacer le calcul de la probabilité (, l erreur commise étant négligeable. ) par le calcul de la probabilité Avec une calculatrice Casio, on accède à «Ncd» puis on renseigne les champs suivants : Lower : -10^99 Upper : 1.5 : 1 : 0 Avec une calculatrice Texas Instruments, on sélectionne «2:normalFRép(» et on saisit : «-10^99,1.5,0,1)». 4) Donnons enfin un arrondi au millième de la probabilité. Avec un tableur, on saisit la formule «=1 LOI.NORMALE(2,2;0;1;VRAI)». Le résultat suivant est retourné : 0,013903448. Par conséquent, (arrondi au millième près par excès). En effet, on utilise le fait que l événement est l événement contraire de, si bien que. Avec les calculatrices, on peut remplacer le calcul de la probabilité (, l erreur commise étant négligeable. ) par le calcul de la probabilité Avec une calculatrice Casio, on accède à «Ncd» puis on renseigne les champs suivants : Lower : 2.2 Upper : 10^99 : 1 : 0 Avec une calculatrice Texas Instruments, on sélectionne «2:normalFRép(» et on saisit : «2.2,10^99,0,1)». Remarques : Les calculatrices ne fournissent pas de valeurs approchées des probabilités ou mais seulement de la probabilité. C est pourquoi, comme on l a vu dans les questions 3) et 4), on propose un encadrement valable de. D autres calculs seraient envisageables, s appuyant notamment sur les propriétés de la loi normale centrée réduite (dont certaines sont données dans l exercice corrigé suivant), mais les calculs de probabilités proposés dans cet exercice sont très efficaces! Par exemple, pour le calcul de, on pourrait utiliser le fait que : Si, Si, La plupart des calculs de probabilités avec la loi normale centrée réduite imposeront l utilisation d une calculatrice ou d un tableur, dans la mesure où l élève ne dispose pas des outils lui permettant de trouver une primitive de la fonction définie sur par : 13
Exercice corrigé 6 (3 questions) Niveau : moyen Soit un réel positif. est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. 1) Justifier que. 2) Justifier que. 3) Démontrer que. Correction de l exercice 6 Retour au menu Rappel : Fonction de densité de la loi normale centrée réduite Dire qu une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite, ce que l on note, signifie que sa densité de probabilité est la fonction définie sur par : Pour tous réels et tels que, Rappelons que, comme est une fonction densité de probabilité sur, les 3 conditions suivantes sont réunies : est continue sur est positive sur l aire du domaine délimité par sa courbe représentative et l axe des abscisses est égale à 1 1) Justifions la première égalité proposée. D après l énoncé, est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite donc sa densité de probabilité est la fonction définie sur par Or, est un intervalle centré en 0 et, pour tout, Finalement, pour tout réel positif,... Autrement dit, la fonction est paire. Graphiquement, ce résultat traduit que la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. 14
2) Justifions la deuxième égalité proposée. Comme la fonction est une densité de probabilité, l aire totale sous la courbe est égale à 1. De surcroît, comme les événements et sont deux événements contraires, il vient que. Or, par symétrie de la courbe représentative de, et. 15
Finalement, pour tout réel positif,. 3) Démontrons la dernière égalité. On a montré que la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l axe des ordonnées donc. Or, est une densité de probabilité donc. Par conséquent, comme, il s ensuit que. Or,, c est-à-dire. 16
De plus, d après la première question,. En remplaçant dans la précédente égalité, il vient immédiatement que, pour tout réel positif,. 17
Exercice corrigé 7 (2 questions) Niveau : moyen La moyenne des notes au contrôle de maths d un concours est 8. est la variable aléatoire qui donne l écart où est la note obtenue par un élève. suit la loi normale centrée réduite. 1) A combien le prof de maths doit-il fixer la note de réussite à ce contrôle pour que 30 % des élèves soient reçus au concours? 2) Dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80 % des notes des élèves? Correction de l exercice 7 Retour au menu 1) Déterminons la note minimale que doivent obtenir les candidats pour être reçus au concours. On cherche un nombre tel que. Or, les événements et sont deux événements contraires donc. Ainsi,. Avec un tableur de type Excel : On saisit dans l une des cellules du tableur la formule «=LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0.7)» où «0.7» désigne la probabilité connue. Avec une calculatrice Casio : On réalise les manipulations ci-après. MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques) F5 pour accéder à DIST (distribution) F1 pour accéder à NORM (normale) F3 pour accéder à InvN (Inverse Normale) Renseigner les différents champs : Tail : Left Area : 0.7 : 1 : 0 EXE pour exécuter la commande Avec une calculatrice Texas Instruments (TI) : On réalise les manipulations ci-après. 18
2nde VARS pour accéder à distrib (distribution) sélectionner «3:FracNormale(» et valider par ENTER compléter par «0.7)» valider par ENTER En utilisant un tableur ou une calculatrice, on trouve (arrondi au centième près par défaut). Autrement dit,, c est-à-dire. On en déduit que. Finalement, il faut que le prof de maths fixe la note de réussite à ce contrôle à 8,52 pour que 30 % des élèves soient admis au concours. 2) Précisons dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80 % des notes. On cherche un nombre tel que. Or, d une part et d autre part donc. Il en découle que Avec un tableur ou une calculatrice, on trouve alors, c est-à-dire (arrondi au centième près par défaut). On a donc, c est-à-dire. L intervalle de notes recherché est donc [ ].. 19