OPERATIONS ET NOMBRES ENTIERS Connaître les tables d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Division euclidienne. Savoir effectuer ces opérations sous diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10. Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9. Calculer des durées, calculer des horaires. Addition : Une addition est une opération. Les termes sont les nombres que l on ajoute. La somme est le résultat. Exemple : Les termes de l addition 78 + 30 sont 78 et 30. La somme de 78 et de 30 est 108. b) Propriété : On peut modifier l ordre des termes d une addition, sans que cela change leur somme. Exemple : Calcul astucieux A = 25 + 78 + 75 + 12 A = ( 25 + 75 ) + ( 78 + 12 ) A = 100 + 90 = 190 On peut ainsi calculer mentalement. Soustraction : Une soustraction est une opération. Les termes sont les nombres que l on soustrait. La différence est le résultat. Exemple : Les termes de la soustraction 78 30 sont 78 et 30. La différence de 78 et de 30 est 48 b) Pensez à vérifier vos calculs en posant l'addition correspondante. Dans l'exemple précédent, 30 + 48 = 78.
Multiplication : Une multiplication est une opération. Les facteurs sont les nombres que l on multiplie. Le produit est le résultat. Exemple : Les facteurs de la multiplication 13 18 sont 13 et 18. Le produit de 13 et de 18 est 234. On dit aussi que 234 est un multiple de 18. On dit aussi que 234 est un multiple de 13. b) Propriété : On peut modifier l ordre des facteurs d une multiplication, sans que cela change leur produit. Exemple : Calcul astucieux, B = 25 32 4 = ( 25 4 ) 32 = 100 32 = 3 200 On peut ainsi calculer mentalement. Division euclidienne : La division euclidienne intervient dans les problèmes de partage en «paquets» de même taille d'un nombre donné. Soit on cherche le nombre de paquets. Soit on cherche la taille des paquets. a) Quelques exemples : Avec 420 fleurs, on confectionne 24 bouquets identiques. Combien y a t il de fleurs dans chaque bouquet? On pose l'opération 24 est le «diviseur» 17 est le «quotient entier» 12 est le «reste». On a donc 420 = 17 24 + 12. Ici, on cherche la «taille des paquets» 420 24 180 17 12 Il y a 17 fleurs dans chaque bouquet et il reste 12 fleurs. Avec 380 élèves combien de groupes de 15 élèves peut-on faire? Ici, on cherche le «nombre de paquets»
380 est le «dividende» 15 est le «diviseur» 25 est le «quotient entier» 5 est le «reste». On a donc 380 = 25 15 + 5 On peut faire 25 groupes de 15 élèves et il reste 5 élèves. 380 15 80 25 5 b) Définitions Le diviseur est le nombre qui divise Le dividende est le «total», le nombre que l'on divise Le quotient entier est le résultat Le reste le nombre d'unités restante après partage c) Propriété : (admise) Dividende = Quotient entier Diviseur + Reste Remarque : Le reste est toujours inférieur au diviseur. dividende diviseur reste Quotient entier Divisibilité : a) Comprendre la définition à l aide d exemples : Exemples : On a 72 = 8 9 Le reste de la division euclidienne de 72 par 9 est égal à zéro. On dit 72 est divisible par 9 ou que 9 est un diviseur de 72. On peut également dire que 72 est un multiple de 9 On dit qu'un nombre entier est divisible par un second si le reste de la division euclidienne de ce nombre par le second est égal à zéro. Exemples : 120 = 12 10 donc 120 est divisible par 10. 11 = 5 2 + 1 donc 11 n est pas divisible par 2 car le reste est 1. Remarque linguistique : le «-ible» de divisible dit que c'est possible de diviser par ce nombre le «-eur» de diviseur parle d'action, c'est le faiseur de division. On divise par le diviseur. Remarque : On parle de divisibilité pour les nombres entiers uniquement Remarque : Si un premier nombre est divisible par un second, il s'écrit comme le produit du second par un nombre entier. Il est donc dans la table de multiplication du second.
b) Critères de divisibilité : (propriétés admises) Critère de divisibilité par 2 : Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8, alors il est divisible par 2. Les nombres entiers divisibles par 2 sont appelés «nombres pairs». Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelés «nombres impairs». Exemples : Critère de divisibilité par 5 : Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ou 5, alors il est divisible par 5. 4 236 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 6. 125 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5. 120 est divisible par 2 et par 5 car son chiffre des unités est 0. Critère de divisibilité par 3 : Si la somme des chiffres d un nombre entier est divisible par 3, alors ce nombre est divisible par 3. Critère de divisibilité par 9 : Si la somme des chiffres d un nombre entier est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9. Exemples : 4 + 2 + 3 + 6 = 15 et comme 15 est divisible par 3, on peut affirmer que 4 236 est divisible par 3. En effet, 4 236 = 1 412 3 5 + 4 + 6 + 3 = 18 et comme 18 est divisible par 9, on peut affirmer que 5 463 est divisible par 9. En effet, 5 463 = 607 9. Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. Par contre, un nombre divisible par 3 n est pas toujours divisible par 9. 4 236 est divisible par 3 mais n est pas divisible par 9. Critère de divisibilité par 4 : Pour savoir si un nombre entier est divisible par 4, on examine le nombre formé par ses deux derniers chiffres. Si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4, alors le nombre initial est aussi divisible par 4.
Exemple : 4 236 est divisible par 4 car 36 est divisible par 4 (36 = 9 4) Et on a, 4 236 = 4 1 059 Un nombre divisible par 4 est toujours divisible par 2. Par contre, un nombre divisible par 2 n est pas toujours divisible par 4. 18 est divisible par 2 mais n est pas divisible par 4. Durées La durée est la mesure du temps entre deux instants. L unité légale de durée est la seconde, notée s Quelques repères à connaître : La minute (min) : 1 min = 60 s L'heure (h) : 1 h = 60 min = 3 600 s Le jour : 1 jour = 24 h Exemple : Exprimer 360 000 s en heures, puis en jours. 360 000 = 100 3600 donc 360 000 s = 100 h 100 h = 4 24 + 4 donc 360 000 s durent 4 jours et 4 heures.