Université Pierre et Marie Curie - L1 - LP 103 - nnée 007-008 ptique géométrique, Reza.Samadi@obspm.fr TD Série n - Exercices supplémentaires avec correction 1 Enoncés 1.1 Champ angulaire d un miroir Un observateur place son œil à distance D devant un miroir de diamètre d. Etant donné que la pupille a un diamètre très faible on assimilera celle-ci à un point placé sur l axe du miroir, à une distance inférieur à la distance focale du miroir. a) Effectuer la construction graphique du point, image de par le miroir, dans les trois cas suivants : a. le miroir est plan ; b. le miroir est convexe de rayon R. c. le miroir est concave de rayon R. b) Quels sont dans les trois cas précédents, les points que l observateur peut espérer apercevoir par réflexion dans le miroir? Préciser la valeur de l angle qui caractérise la portion d espace accessible à la vision (champ du miroir). c) Un observateur place son œil à D = 1 m d un miroir plan de diamètre d= 15 cm. Calculer l angle du cône de vision? d) Le miroir est maintenant à m de l œil. Que peut-on dire du champ? Quel miroir faut-il choisir pour retrouver le même champ qu au c). e) Le rétroviseur gauche d une voiture est plan. Quelle est la forme du rétroviseur droit? 1. Formule donnant la focale d une lentille en fonction des rayons de courbures Soit une lentille mince de l association de deux dioptres sphériques (Figure 1) : S1 et C1 sont respectivement le sommet et le rayon de courbure de la face de gauche et S et C respectivement le sommet et le rayon de courbure de la face de droite. I I C1 S S1 C x a Figure 1 UPMC LP1 - UE 03 ptique géométrique TD Série n Exercices suppl. - 13/11/07 1/8
n se propose de démontrer la relation qui donne la focale f de la lentille mince à savoir : 1 ' f = 1 1 ( n 1) SC S1C1 où n est l indice du verre. Soit le trajet optique -I-I - représenté sur la Figure 1. Les tangentes aux dioptres aux points I et I forment un angle a. Le trajet -I-I - est par conséquent équivalent à celui représenté sur la Figure. Figure a) Exprimer l angle a en fonction de r et r. b) Exprimer l angle de déviation D en fonction des angles i, i et a. c) Dans le cas où les angles a, i et i sont faibles exprimer D en fonction de l indice n du verre. d) Puisque la lentille est mince, les distances II et S1S peuvent être négligées devant ; donc I~I et S1~S~ (centre de la lentille). Nous obtenons dans ce cas les schémas de la Figure 3. D d u u' x v v' x C1 C C1 C Figure 3 n suppose les conditions de Gauss vérifiées : les angles u et u sont faibles et les rayons voisins de l axe optique. Exprimer alors l angle de déviation D en fonction de h=i, et. e) Montrer que a = d. f) Exprimer d en fonction de h, C 1 S 1 et C S. g) l aide de la relation trouvée à la question c), donner la relation de conjugaison entre les points et par rapport au centre. UPMC LP1 - UE 03 ptique géométrique TD Série n Exercices suppl. - 13/11/07 /8
h) Exprimer la distance la focale f de la lentille en fonction de C 1 S 1 et C S. 1.3 Catadioptre 1 n place un miroir plan dans le plan focal image d une lentille convergente de vergence D=0.1 dioptrie. a. Montrer qu un rayon lumineux ressort parallèlement à lui-même après avoir traversé le système optique (lentille+miroir). b. Trouver la position et la taille de l image d un objet placé dans le plan focal objet de la lentille. c. Donner la relation de conjugaison avec origine en F et le grandissement du système étudié. 1.4 La loupe Un observateur emmétrope (i.e. ayant une vision normale) regarde à l oeil nu un tout petit objet plan que l on assimile à un segment B de longueur l orthogonal à l axe optique x. n note d m la distance minimale de vision distincte (le punctum proximum). a. Déterminer l angle u m sous lequel est vu l objet à l oeil nu à la distance d m. b.l observateur regarde maintenant B à travers une loupe (lentille mince convergente) de distance focale f et de centre. Son oeil est situé à distance a< d m de la loupe. Déterminer les positions de l objet rendant possible l observation nette. Faire une construction géométrique d une telle image. L image est-elle droite ou renversée? Est-elle réelle ou virtuelle? c. Pour quelle position l observation se fait-elle sans fatiguer l oeil? Exprimer l angle u sous lequel est vu l objet dans ce cas. En déduire alors le grossissement commercial de la loupe (Gc=u / u m )? 1.5 Distance minimale objet-image Soit une lentille mince convergente. Rechercher la distance minimale objet réel - image réelle. 1.6 Invariant Lagrange-Helmholtz. Soit une lentille mince convergente de centre. Soit B un objet et B son image à travers la lentille (le point est sur l axe optique, voir Figure 4). n se place dans les conditions de ' B' ' Gauss. Montrer que le grandissement transversal (Γ) de l objet est tel que : Γ =. Soit un rayon quelconque partant de et convergeant en. n définit u l angle que fait le rayon incident avec l axe optique et u l angle que fait le rayon émergeant par rapport à l axe optique (voir Figure 4). Démontrer la relation : B u= ' B' u' appelée invariant de Lagrange-Helmholtz. B 1 Catadioptrique: Composé des deux mots catoptrique et dioptrique, et résumant les deux branches de la physique, et plus spécialement de l'optique, qui ont pour objet l'étude de la réflexion de la lumière à la surface des corps et l'étude de la transmission de la lumière au travers des corps transparents. La catadioptrique s'applique à tout ce qui appartient à la fois à ces deux branches et particulièrement à l'étude des instruments d'optique qui réunissent les effets combinés de la réflexion et de la réfraction. UPMC LP1 - UE 03 ptique géométrique TD Série n Exercices suppl. - 13/11/07 3/8
B u u' B Figure 4 Solutions.1 Formule donnant la focale d une lentille en fonction des rayons de courbures a) n montre (voir exercice sur le prisme dans le TD1) que a=r+r b) n montre ensuite que D=i+i - (r+r ) = i+i -a c) La loi de Descartes appliquée au passage air-verre donne pour des angles petits : i=n r et pour le passage verre-air : n r =i. Ce qui permet d établir : D=(n-1) a. d) n a D=u+u. Par ailleurs u=h/ et u =h/, d où la relation : h h = ( n 1 a ' ) e) n montre que a=d. f) n a de la même façon que précédemment v+v =d. Par ailleurs v=h/c 1 et v =h/c, d où la relation : h h = a. Cette relation combinée avec celle C1 S1 CS établie en d) permet d établir la relation de conjugaison : 1 ( ) 1 = n 1 1 1 ' C1 S1 CS g) En vertu de ce qui précède l inverse de la focale (f ) du système s exprime : 1 ( ) = n 1 1 1 f' C1 S1 CS. Catadioptre : a) Considérons le rayon quelconque (1) représenté sur la Figure 5. Pour en déterminer le trajet à travers le système considérons le rayon () qui lui est parallèle et qui passe par le foyer objet. Ce rayon sort de la lentille (L) en un rayon parallèle à l axe optique et rencontre le miroir au point N pour y être réfléchi en un rayon à nouveau parallèle à l axe. près avoir traversé L, ce rayon ressort donc en passant par le foyer F. près sorti du système le rayon () reste donc confondu avec lui même. Le rayon (1) étant parallèle à (), il passe donc par le point N. Il est réfléchi par le miroir en faisant un angle i avec l axe optique (voir Figure 5) et rencontre alors la lentille (L) au point M. En vertu du retour inverse le rayon qui serait UPMC LP1 - UE 03 ptique géométrique TD Série n Exercices suppl. - 13/11/07 4/8
parallèle au rayon () et qui passerait par le point M, convergerait, après avoir traversé L, vers le point N. En vertu du principe de retour inverse de la lumière il existe un rayon lumineux (3) qui effectue le même trajet. Par conséquent on conclue que le rayon NM ressort de la lentille sous forme du rayon (3) parallèle au rayon (1), CQFD. b) En vertu de ce qui précède, l objet B admet par construction géométrique - l image B représentée sur la Figure (gauche). Le trajet du rayon (1) permet d établir que B=- B, autrement dit le grandissement est égal à -1. c) L image B d un objet quelconque se construit en utilisant le trajet des deux rayons (1) et () (voir Figure, droite) : le rayon (1) permet d établir que B=- B, le rayon () permet d affirmer que est le symétrique de par F, d ou la relation de conjugaison F=-F () (1) (3) F i F M N i Figure 5 UPMC LP1 - UE 03 ptique géométrique TD Série n Exercices suppl. - 13/11/07 5/8
B (1) i F F B (1) B () F i F B Figure 4) La loupe a) L objet est «petit» par conséquent u m =l/d m. b) n a =D-a (voir Figure 6). Notons x=. La relation de conjugaison s écrit alors : 1 1 1 ( a D) f' =, il vient alors l expression x=. L image, pour être observée de manière a D x f'' f ' a+ D nette, doit être telle que D d m. Le cas limite où D= d m correspond à la valeur particulière ( a dm) f' x= xm=. La construction géométrique permet d établir que lorsque <F=-f, f' a+ dm l image est réelle (et inversée) et ne peut pas être vu avec l oeil. En revanche lorsque F<, l image est virtuelle et droite (grandissement positif) comme le montre la Figure 6. n constate aussi géométrique que lorsque s approche de, la distance D décroît. Par conséquent D d m implique que : f x x m. c) L image est observée sans fatiguer l oeil lorsque celle-ci se situe à l infini, ce qui se réalise lorsque est placé au foyer objet (voir Figure 7). L angle u sous lequel l image correspondante est observée, est donc u =l/f. D ou le grossissement commercial : Gc u /u m =d m /f. UPMC LP1 - UE 03 ptique géométrique TD Série n Exercices suppl. - 13/11/07 6/8
B B D a F Figure 6 B F u' F Figure 7.3 Distance minimale objet-image Soit l image d un objet à travers la lentille de distance focale f. La relation de 1 1 1 conjugaison s écrit pour cet objet : =. Posons x= et D=. La relation de ' f' 1 1 1 conjugaison s écrit alors : + =. Différencions alors D et x, on a après quelques D x x f' calculs : ( ) ( ) dd = D x 1 1 dx D x x. La distance minimale est atteinte lorsque dd/dx=0. Notons D min cette distance et x min la position de pour laquelle D est minimum. La distance miniamle, D min, est donc tel que ( ) min min min D x = x, ce qui implique soit 0 D ou D min= x min. La première solution correspond à l objet placé en. Pour la seconde solution D = x, il vient alors : x = f' et ainsi utilisons la relation de conjugaison lorsque D = 4 f'. min min min min min= UPMC LP1 - UE 03 ptique géométrique TD Série n Exercices suppl. - 13/11/07 7/8
.4 Invariant Lagrange-Helmholtz. n voit aisément d après la figure que tan (t)= B / = B/ d où B /B= /. Considérons le faisceau lumineux -I-. n a tan(u)= I / et tan (u )=I/, il vient alors que tan(u) = tan(u ). Nous sommes dans les conditions de Gauss par conséquent l angle u est petit et par voie de conséquence l angle u également. n a donc u = u. Multiplions cette équation par B/. Il vient alors donc u B = u B ( /). r d après ce qui précède B /B= /, d où la relation de Lagrange- Helmholtz : u B = u B. B t I u u' t B UPMC LP1 - UE 03 ptique géométrique TD Série n Exercices suppl. - 13/11/07 8/8