PS94 - Rapport TP 3 : Mesures à l oscilloscope, résonnances

PS94 - Rapport TP 3 : Mesures à l oscilloscope, résonnances CONTINI Clément, SUN Xiaoting 19juin2010 Objectifs Le but de ce TP est d utiliser un oscilloscope à mémoire afin d étudier la résonnance dans un circuit RLC.Ce TPsera composé de 6parties : 1. Mesure de la fréquence de résonnance 2. Étalonnage de la sensibilité verticale 3. Courbe de résonnance 4. Courbe du déphasage en fonction de la fréquence 5. Mesure du facteur de surtension 6. Exercices préparatoires Présentation du matériel et incertitudes Une bobine de 100 mh et de résistance interne 38 Ω : C C = 1% Une boite de décades de capacités variables de valeur maximum 10 µf : C C = 1% Une boite de décades de résistances variables de valeur maximum 10 MΩ : R R = 1% Un oscilloscope : on considère son incertitude comme nulle Un générateur avec fréquencemetre intégré : f f = 1% 1 Mesure de la fréquence de résonnance 1.1 Montage On souhaite mesurer la fréquence de résonance de l intensité du courant, c est à dire la fréquence pour laquelle le déphasage entre la tension et le courant est nul. On réalise le montage suivant avec R = 200 Ω, R L = 38 Ω,C = 60 nf etl = 100 mh : 1

FIGURE 1 Montage manipulation I On observe donc : En voie I latension aux bornes du générateur En voie II la tension aux bornes de la résistance. Le circuit étant en série, la tension observée sur la voie II est proportionnelle à l intensité circulant dans le circuit. 1.2 Calcul de la fréquence de résonance théorique On obtient lafréquence par laformule : f theorique = ω 2π = 1 2π L.C ( ) D où: f theorique = 1 4π 1 L L+ 1 LC C C LC On obtient donc : f theorique = 2055±15.41 Hz 1.3 Mesure de la fréquence de résonance On cherche la fréquence pour laquelle le déphasage entre le courant et la tension est nulle. On trouve f manip = 2047 Hz. On estime l incertitude en estimant f min et f max les fréquences extrêmes pour lesquelles on n observe pas de décalage de phase. On obtient : f manip = f max f min = 2050 Hz 2043 Hz = 7 Hz On obtient donc : f manip = 2047±7 Hz 1.4 Observations On remarque que les valeurs théoriques et expérimentales sont très proches. On calcule l erreur relative : f theorique f manip f theorique = 0.39% Nous avons utilisé des sensibilités horizontales élevées pour estimer la fréquence de résonance : f manip, il est donc normal que l erreur relative soit très faible. 2

2 Étalonnage de la sensibilité verticale 2.1 Étalonnage vertical L étalonnage vertical règle l étalonnage de la tension. Pour le réaliser, on utilise un signal fourni par l oscilloscope lui-même et supposé connu avec précision. On applique une fréquence de tension 0.2 V pp et on tourne le bouton de calibre de tension pour corriger l affichage afin qu on observe une tension de 0.2 V pp crête àcrête. 2.2 Étalonnage horizontal L étalonnage horizontal règle l étalonnage du temps. Pour le réaliser, on utilise un signal fourni par l oscilloscope lui-même et supposé connu avec précision. On applique un signal de fréquence 1 khz et on tourne le bouton de calibre de temps pour corriger l affichage afin qu on observe une période de 1 ms. 2.3 Observations L oscilloscope que nous avons utilisé était déjà correctement étalonné. Cependant, c est une étape importante à réaliser avant de faire les manipulations car si l étalonnage n est pas réalisé correctement, on peut obtenir des mesures incohérentes. 3 Courbe de résonnance 3.1 Courbe Onrepèrelesvaleursdel intensitépourdespointsrépartisentre[0;2f 0 ].L intensités obtientpar:i = U R. On utilise une tension de2 V pp et une résistance de 200 Ω. 3

0,03 I=f(f) 0,025 0,02 I (A) 0,015 0,01 0,005 0 0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 f (Hz) FIGURE 2 Graphique représentant l intensité du circuit en fonction de la fréquence du signal Nous avons réalisé une modélisation pour donner un aperçu de la courbe et nous aider à tracer les points. Ne connaissant pas l incertitude sur U, on repère sur le graphique l incertitude de 1% liée à R (en ordonnée) et l incertitude de 1% liée à f (en abscisse). 3.2 Exploitation des résultats 3.2.1 Tableau de mesures 3.2.2 Bande passante Valeur théorique: Fréquence Courant Résonance = 2047 Hz 40 ma 1000 Hz 2.7 ma 3000 Hz 5.6 ma TABLE 1 Tableau de mesures On obtient labande passante théorique par : f = ω 2π = 379 Hz. ( ( On calcule l incertitude avec : ( f) = 1 2πL R+ r + R+r ) ) L L = 6.97 Hz (On néglige r qu on ne connait pas). On a donc : f = 379±6.97 Hz 4

Mesure expérimentale: On trace la droite correspondant à Imax 2 et on repère les fréquences correspondant à l intersection des deux courbes. On trouve : f = 2238 Hz 1862 Hz = 376 Hz 3.2.3 Impédance à la résonnance On calcule l impédance par :Z = Valeur théorique: ( (R+r) 2 + ( )1 ) Lω 1 2 2 Cω On trouve : Z = R = 238 Ω Mesure expérimentale: D où: On trouve Z = 3.3 Observations ( )1 ( ) 2 238 Ω 2 2 1 + 100 mh 2π 2047 Hz 60 nf 2π 2047 Hz Z 238.20 Ω On observe que l intensité passe par un maximum à la résonnance, donc l impédance y est minimum. ( Cette observation est conforté par la relation : Z = R 2 + ( )1 ) Lω 1 2 2 Cω, où à la résonance, le deuxième terme sous la racine se simplifie. La largeur de la bande passante trouvée est très proche de la valeur expérimentale(0.79% d erreur relative). 4 Courbe de déphasage en fonction de la fréquence On utilise le même montage que dans la partie précédente. On obtient à l oscilloscope un affichage de ce type : FIGURE 3 Affichage obtenu sur l oscilloscope 5

Pour mesurer le déphasage, on mesure IJ sur l oscilloscope et on le multiplie par 2πf. On apar conséquent : φ = IJ f 2π 4.1 Courbe On repère le décalage entre les deux signaux pour différentes fréquences entre 0 et 2f 0. On utilise une tension de 2 V pp etune résistance de 200 Ω. 100 Déphasage en fonction de la fréquence 50 déphasage (rad/s) 0-50 -100 0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 fréquence (Hz) FIGURE 4 Graphique représentant la courbe du déphasage en fonction de la fréquence Nous avons réalisé une modélisation pour donner un aperçu de la courbe et nous aider à tracer les points. Nous avons également tracé l incertitude de 1% liée à f en abscisse. 4.2 Exploitation des résultats 4.2.1 Tableau de mesures Fréquence Avance de phase 1 Résonance =2047 Hz 0 s 1 1000 Hz 86.4 s 1 3000 Hz 81.0 s TABLE 2 Tableau de mesures 6

4.2.2 Bande passante Mesure expérimentale: On cherche les fréquences correspondant à une avance de phase de +45 et 45. On obtient la largeur de la bande passante en faisant ladifférence entre f max et f min relevés. Cette largeur est représentée par la largeur du rectangle sur le graphique. On trouve : f max = 2210 Hz et :f min = 1920 Hz D où: f = 290 Hz 4.3 Observation On remarque que le déphasage est nul à la fréquence de résonnance, ce qui avait déjà été identifié lors de la première partie. La valeur de la bande passante obtenue est très différente de celle obtenue par la courbe de l intensité en fonction de la fréquence (mais ici, 23.48% d erreur relative). L intensité est tout d abord en avance sur la tension, lorsque la fréquence dépasse la résonance, l intensité est alors en retard sur le courant. 5 Mesure du facteur de surtension 5.1 Montage On modifie le montage de façon à avoir la tension aux bornes du générateur sur la voie I et la tension aux bornes du condensateur sur lavoie II. On utilise pour ce montage une résistance R = 100 Ω. FIGURE 5 Montage utilisé pour mesurer le facteur de surtension 5.2 Facteur de surtension théorique 5.2.1 Calcul théorique Le facteur de surtension s obtient par larelation suivante :Q = 1 R. L C. On trouve ici :Q = 12.9 7

5.2.2 Calcul d incertitude L ) lnq = ln( = 1 2 lnl 1 2 lnc lnr R C D où : Q Q = 1 2 On a alors : L L + 1 2 C C + R R Q Q = 1 (1%+1%)+1% = 2% 2 5.2.3 Résultat final Q theorique = 12.9±0.258 5.3 Facteur de surtension expérimental 5.3.1 Mesure OnmesureunetensionU auxbornesdugénérateurde2 VppetunetensionU C auxbornesducondensateur de 24 Vpp. On trouve donc : Q manip = 12 5.3.2 Calcul d incertitude L incertitude sur Q = U U C provient des incertitudes sur U et U C. Or on a supposé l oscilloscope parfait et on ne considère pas l erreur de lecture. 5.4 Observations Les résultats sur le facteur de surtension sont cohérentes (erreur relative de 7.5%). 6 Exercices préparatoires 6.1 Déphasage φ en fonction de ω On a :tanφ = 1 R D où:φ = arctan 1 R ( 1 ( 1 Cω Lω) Cω Lω) ω. On dérive l expression de φ = f(ω) pour trouver le sens de variation de φ. On trouve : ( ) φ = 1 C R (Cω) +L 2 1+ ( ( 1 1 R Cω Lω)) 2 Ladérivéedeφesttoujoursnégative,ontrouvedoncqueφestunefonctiondécroissantedelapulsation 8

6.2 Bande passante ω est une bande passante exprimée en fonction de lapulsation ω. On a : ω = ω + ω. Oron sait que f = ω 2π. On obtient donc la bande passante en Hertz par: Conclusion f = 1 2π (ω + ω ) = ω 2π Ce TP nous a permis de déterminer expérimentalement une fréquence de résonance. Nous avons pu voir son influence sur l intensité dans la partie III et sur le déphasage dans la partie IV. Nous avons pu déterminer la bande passante de différentes façons, grâce à l intensité et grâce à la courbe de déphasage. L erreur obtenue sur la bande passante par la courbe du déphasage est assez grande mais les autres valeurs obtenues semblent correctes. L expérience sur le facteur de surtension était plutôt concluante, avec une erreure faible. 9