UNIVERSITE PROTESTANTE AU CONGO CENTRE CONGOLAIS-ALLEMAND DE MICROFINANCE COURS DE STATISTIQUE APPLIQUÉE Professeur Daniel MUKOKO Samba daniel_mukoko@yahoo.fr
Quelques références Droesbeke, Jean-Jacques, Fichet, Bernard, et Tassi, Philippe (eds), Modélisation ARCH. Théorie statistique et Applications dans le domaine de la finance, 1994, disponible en ligne http://digistore.bib.ulb.ac.be/dl2826626_000_f.pdf Hurlin, Christophe, Econométrie pour la finance: Modèles ARCH-GARCH, Applications à la VaR, Master econométrie et Statistique appliquée, Université d Orléans, 2006-2007, disponible en ligne http://www.univ-orleans.fr/deg/masters/esa/ch/ churlin_e.htm
1. Séries financières (1) 1. Propriétés Les séries financières sont des séries temporelles. Séries temporelles? «une série temporelle est un ensemble de valeurs enregistrées séquentiellement, par exemple tous les mois, ou tous les jours, ou encore transaction après transaction ( ) Dans la plupart des cas, et en particulier dans celui des séries financières, les séries [temporelles] sont des processus stochastiques, très bruités et non stationnaires.» (M. Faignart et C. Hemptine) Observons quelques séries financières:
1. Séries financières (2)
1. Séries financières (3) Quels enseignements tirer de ces graphiques? Télécharger et lire http://zonecours.hec.ca/documents/ A2009-1-1504008.chapitre_12.pdf Rappel des mesures de statistique descriptive Processus stochastiques, très bruités, non stationnaires? C est quoi un processus stochastique? «Une suite de variables aléatoires définies sur la même période de temps» Assignment: C est quoi un processus stochastique bruité? C est quoi un processus stochastique non stationnaire?
Rappel des mesures de statistique descriptive Données de la valeur en bourse de l action de GE Co. (valeurs hebdomadaires 1972-janvier 2010) Stock GE Data.xlsx Tracer le graphique à deux axes (valeurs d ouverture et de clôture, volume) Calculer les mesures descriptives
Les moments Un moment d ordre r (r entier positif) par rapport à une valeur a est une quantité : n r i am = r = Le moment est donc la moyenne arithmétique des puissances d ordre r des écarts de X i par rapport à a. 1 ( X a) i n Si a = X le moment d ordre 2 (r = 2) n est rien d autre que la variance. Si a = 0 lemoment d' ordre1est lamoyenne arithmétique X Le moment est donc un concept qui permet de généraliser plusieurs définitions. Suivant la valeur de a on peut définir :
Processus stochastiques «Les processus stochastiques (ou aléatoires) permettent de modéliser des systèmes dont le comportement n'est que partiellement prévisible. La théorie est fondée sur le calcul des probabilités et les statistiques. Les domaines d'application sont très nombreux [la statistique de la finance est l un d entre eux]...» Définition: «Un processus stochastique (ou processus aléatoire) est une suite de variables aléatoires (définies sur le même espace probabilisé Ω) indicées par t.» Un processus Y (Y t, tєz) ou (Y t, tєn) se définit ainsi comme l ensemble des distributions finies des variables aléatoires (Y t1,, Y tk ) pour tout k et pour tout k-uple (t 1,, t k ).
Propriétés des séries financières Cf. Hurlin C. ( http://www.univ-orleans.fr/deg/masters/esa/ch/cours_finance.pdf), pp. 1-10. Aussi http://www.univ-orleans.fr/deg/masters/esa/ch/ Econometrie_Finance_Slides_Partie2.pdf P.1: «Les processus stochastiques p t associés aux prix d actif sont généralement non stationnaires.» P.2: «La série r 2 t associée aux carrés des rendements présente généralement de fortes auto-corrélations tandis que les auto-corrélations de la série r t sont souvent très faibles (hypothèse de bruit blanc).» P.3: «L hypothèse de normalité des rendements est généralement rejetée.» P.4: «on observe empiriquement que de fortes variations des rendements sont généralement suivies de fortes variations.» à volatilité Etc.
Bruit blanc Dans l'étude des séries temporelles en statistique, il est souvent utile de définir un processus de bruit blanc également dans le domaine temporel. Les définitions présentées ici sont faites pour des processus à temps discret et à valeurs continues. Selon Hamilton (Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994, p 47): «Un processus ε t est qualifié de bruit blanc si Un processus de bruit blanc est donc par définition stationnaire de second ordre. La troisième condition, E[ε t ε τ ] = 0, (ou ), signifie que l'autocovariance est nulle. Un processus ε t est qualifié de bruit blanc indépendant si : ε et ετ sont indépendants t τ t
Modèles d analyse Cf. Drosbebeke et al. ( http://digistore.bib.ulb.ac.be/ DL2826626_000_f.pdf), Chapitre 1. Modèles de régression Analyse mutivariée Modèles de séries chronologiques (ARMA) Théorie de la décision Modèles ARCH
Modèles ARMA Étant donné une série temporelle X t, le modèle ARMA est un outil pour comprendre et prédire, éventuellement, les valeurs futures de cette série. Le modèle est composé de deux parties: une part autorégressive (AR) et une part moyennemobile (MA). Le modèle est généralement noté ARMA(p,q), où p est l'ordre de la partie AR et q l'ordre de la partie MA. La notation AR(p) réfère au modèle autorégressif d'ordre p. Le modèle AR(p) se note où φ i, i= 1,, p sont les paramètres du modèle, c est une constante et ε t un Bruit blanc. La constante est bien souvent omise dans la littérature.