EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ]0; + [ On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère représentée en annee à rendre avec la copie a Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en + b Calculer la dérivée f de la fonction f c En déduire les variations de la fonction f O, i, j La courbe C f est Étude d une fonction g On considère la fonction g définie sur l intervalle ]0; + [ par : g = ln On note C g la courbe représentative de la fonction g dans le repère O, i, j a Déterminer la limite de g en 0, puis en + Après l avoir justifiée, on utilisera la relation : b Calculer la dérivée g de la fonction g c Dresser le tableau de variation de la fonction g ln ln =4 a Démontrer que les courbes C f et C g possèdent deu points communs dont on précisera les coordonnées b Étudier la position relative des courbes C f et C g c Tracer sur le graphique de l annee à rendre avec la copie la courbe C g 4 On désigne par A l aire, eprimée en unité d aire, de la partie du plan délimitée, d une part par les courbes C f et C g, et d autre part par les droites d équations respectives =et = e En eprimant l aire A comme différence de deu aires que l on précisera, calculer l aire A Page / 7
FEUILLES ANNEXES Annee, eercice 0, 6 0, 5 0, 4 0, 0, C f 0, 0, 0, 0, 0, 4 O 5 0 5 0 Page 6 / 7
BACCALAUREAT GENERAL Session de juin 0 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire Asie EXERCICE Etude d une fonction f a Limite de f en 0 lim 0 =+ et lim ln = Donc lim 0 0 Limite de f en + D après un théorème de croissances comparées, lim f = et 0 f = lim ln = 0 lim f = + lim f =0 + lim ln + = 0 b f est dérivable sur ]0, + [ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ]0, + [ dont le dénominateur ne s annule pas sur ]0, + [ et pour tout réel > 0, f = ln = ln Pour tout réel > 0, f = ln c Pour tout > 0, on a >0et donc f est du signe de ln sur ]0, + [ Or, pour > 0, ln > 0 ln < < e < e par stricte croissance de la fonction eponentielle sur R et de même ln = 0 = e On en déduit le tableau de variations de f : Etude d une fonction g a Limite de g en 0 lim 0 Limite de g en + Soit > 0 =+ et lim ln = ln = 0 e + f + 0 /e f 0 0 ln = lim X X =+ Donc lim 0 ln = ln = 4 g = lim 0 ln =+ ln ln ln X D après un théorème de croissances comparées, lim = lim = 0 et donc + X + X ln lim g = lim 4 + + = 0 lim g = + et 0 lim g =0 + http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés
b g est dérivable sur ]0, + [ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ]0, + [ dont le dénominateur ne s annule pas sur ]0, + [ et pour tout réel > 0, g = ln ln ln ln ln ln = = Pour tout réel > 0, g = ln ln c Pour tout > 0, on a >0et donc g est du signe de ln ln sur ]0, + [ Le signe de ln est connu et d autre part, comme à la question a, pour > 0, ln > 0 < e et ln = 0 = e On en déduit le signe de ln ln suivant les valeurs de : On en déduit le tableau de variations de g : 0 e + ln 0 + + ln + + 0 ln ln 0 + 0 0 e + g 0 + 0 + 4/e g 0 0 a Les abscisses des points d intersection des courbes C f et C g sont les solutions de l équation f =g Soit un réel strictement positif f =g ln ln = ln =ln car 0 ln ln = 0 ln ln =0 ln = 0 ou ln = = ou = e Comme f =0 et fe = e, les courbes C f et C g ont eactement deu points communs à savoir les points de coordonnées, 0 et e, e b La position relative des courbes C f et C g est donnée par le signe de g f Or pour > 0, g f = ln ln ln ln = Sur ]0, + [, g f est du signe de ln ln qui est donné dans le tableau suivant : 0 e + ln 0 + + ln 0 + ln ln + 0 0 + On en déduit que C f est strictement au-dessous de C g sur ]0, [ et sur ]e, + [, C f est strictement au-dessus de C g sur ], e[ et on retrouve le fait que les courbes C f et C g se coupent en leurs points d abscisses et e c Voir graphique page suivante 4 Les fonction f et g sont continues sur [, e] et de plus, pour tout réel de [, e], on a f g Donc http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés
A = f g d = ln e ln ln e = ln d ln [ ln ln d = = = 6 ] e [ ln ] e A = 6 unité d aire 0, 6 C g 0, 5 0, 4 0, 0, C f 0, e 5 0 5 0 0, 0, 0, 0, 4 http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés