Mes outils de calcul 1 L'addition en colonnes 2 La technique de la soustraction (avec et sans retenues) 3 Les tables de multiplication (table de Pythagore) 4 Multiplier par 10, 100 et 1 000 5 Multiplier par un nombre à 1 chiffre 6 Multiplier par 20, 300, 4 000,... 7 Technique de la multiplication 8 Faire des groupements (approche de la division) 9 Faire un calcul avec parenthèses 10 Calculer la valeur approchée d'une somme ou d'une différence 11 La division à 1 chiffre 12 Addition et soustraction de décimaux 13 Multiplier un décimal par 10, 100 ou 1 000 14 Calculer la valeur approchée d'un produit 15 La division à 2 chiffres 16 Diviser par 10, 100 ou 1 000 17 Multiplier un entier par un décimal, multiplier deux nombres décimaux. 18 Ajouter deux fractions décimales 19 Diviser un décimal par un entier 20 Calculer un pourcentage
Calcul 1 L'addition en colonnes Calcul 2 La technique de la soustraction Le résultat d'une addition s'appelle une somme. Lorsque je pose une addition en colonnes, je place les nombres les uns sous les autres en alignant les chiffres de même rang (les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines,...). J'additionne les nombres de chaque colonne en partant de la droite. Et je n'oublie pas les retenues. Exemple : 1 697 + 84 + 956 1 2 1 6 9 7 + 8 4 + 9 5 6 2 7 3 7 1 Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence. Pour calculer 7 3, je peux dire au choix «7 moins 3, il reste 4» ou «3 pour aller à 7 font 4». Soustraction sans retenue : 1 6 9 7-2 4 3 1 4 5 4 Soustraction avec retenues : On commence par la colonne des unités : 3 pour aller à 7 font 4 4 pour aller à 9 font 5 2 pour aller à 6 font 4 0 pour aller à 1 fait 1 1+1=2 2+6+9=17, je pose 7 et je retiens 1 1+9+8+5=23, je pose 3 et je retiens 2 7+4+6=17, je pose 7 unités et je retiens 1 dizaine. 2 6 3 9-4 5 7 2 2 6 1 3 9-4 1 5 7 8 2 On commence par la colonne des unités : 7 pour aller à 9 font 2 5 pour aller à 3 je ne peux pas : j'ajoute 10 à 3 qui font 13 et 1 à 4 qui font 5 5 pour aller à 13 font 8 2 6 1 3 9-4 1 5 7 2 1 8 2 5 pour aller à 6 font 1 0 pour aller à 2 fait 2
Calcul 3 Les tables de multiplication la table de Pythagore Calcul 4 Multiplier par 10, 100 ou 1 000 Pythagore était un mathématicien grec qui a vécu au cinquième siècle avant J.-C. On lui attribue la table de multiplication à double entrée : X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Pour multiplier un nombre par 10, il suffit de rajouter un 0 à la fin du nombre. Exemple : 568 x 10 = 5 680 Pour multiplier un nombre par 100, il suffit de rajouter 00 à la fin du nombre. Exemple : 1 256 x 100 = 125 600 Pour multiplier un nombre par 1 000, il suffit de rajouter 000 à la fin du nombre. Exemple : 56 x 1 000 = 56 000 A l'intersection de la ligne 5 et de la colonne 6, je peux lire 5 x 6 = 30 Il faut connaître les tables par cœur!
Calcul 5 Multiplier un nombre par un nombre à 1 chiffre Calcul 6 Multiplier par 20, 300, 4 000,... Exemple : 872 x 4 Je sais que 872 = 800 + 70 + 2, je vais donc multiplier séparément : 872 x 4 = (800 + 70 + 2) x 4 = 800 x 4 + 70 x 4 + 2 x 4 = 3 200 + 280 + 8 = 3 488 Pour multiplier un nombre par 20, on le multiplie par 2 puis par 10. Exemple : 65 X 20 = (65 X 2) X 10 = 130 X 10 = 1 300. Pour multiplier un nombre par 300, on le multiplie par 3 puis par 100. Exemple : 42 X 300 = (42 X 3) X 100 = 126 X 100 = 12 600. A ton tour : pour multiplier par 4 000, on multiplie d'abord par puis par. AIDE : pour multiplier par 10, 100 ou 1 000, utilise la leçon 4. Je peux aussi poser la multiplication : 2 8 7 2 Je commence par multiplier les unités : 4 x 2 = 8 x 4 4 x 7 = 28, j'écris 8 et je retiens 2 3 4 8 8 4 x 8 = 32 32+2 = 34
Calcul 7 Technique de la multiplication Calcul 8 Faire des groupements (approche de la division) Pour effectuer une multiplication, on décompose les termes du produit. Exemple : Pour calculer 56 X 42, je calcule 56 X 40 et 56 X 2 car 42 = 40 + 2 56 X 42 = (56 X 40) + (56 X 2) ou (56 X 2) + (56 X 40) Je dois partager 27 billes en 6 parts égales. Je dessine les 27 billes : 5 6 X 4 2 1 1 2 56 X 2 2 2 4 0 56 X 40 (je commence par 2 3 5 2 écrire le zéro!) Autre exemple : Pour calculer 53 X 217, je calcule 53 X 7, 53 X 10 et 53 X 200 car 217 = 7 + 10 + 200 5 3 X 2 1 7 3 7 1 53 X 7 5 3 0 53 X 10 1 0 6 0 0 53 X 200 1 1 5 0 1 Et je dessine des paquets de 6. Je peux faire 4 paquets de 6 et il reste 3 billes. Je peux donc écrire : 27 = ( 6 X 4 ) + 3 ATTENTION : tant qu'il me reste assez de billes, je dois continuer à faire des paquets. En mathématiques, lorsque je partage une quantité en parties égales, je fais une division. Si je connais bien mes tables, je cherche ce qui se rapproche le plus de la quantité totale (sans dépasser). Exemple : Pour partager 59 en 7 paquets, je trouve 7 X 8 = 56 donc 59 = (7 X 8) + 3 dividende quotient diviseur reste
Calcul 9 Faire un calcul avec parenthèses Calcul 10 Calculer la valeur approchée d'une somme ou d'une différence Les parenthèses servent à montrer l'opération prioritaire. Il faut toujours commencer par calculer l'intérieur des parenthèses. Exemples : ( 5 X 6 ) + ( 3 + 2 ) = 30 + 5 = 35 5 X ( 6 + 3 ) = 5 X 9 = 45 S'il y a beaucoup de parenthèses, je peux les repasser en couleurs pour bien voir les paires. Exemple : ( 5 X 6 ) + ( 5 (2 X 2) ) = 30 + ( 5-4 ) = 30 + 1 = 31 Calculer la valeur approchée (ou l'ordre de grandeur) permet d'avoir un résultat proche afin de vérifier si le résultat de l'opération posée est vraisemblable. On utilise le symbole Il faut chercher pour chaque membre de l'opération le nombre arrondi (c'est-à-dire avec le plus de zéros possible) le plus proche. Par exemple, pour 521 c'est 500 ; pour 8 965 c'est 9 000. Exemple d'utilisation : Melissa a calculé 8 965 + 521 et elle a trouvé 14 175. Mais 9 000 + 500 = 9 500. Melissa est très éloignée de la valeur approchée. Elle a sans doute fait une erreur dans son opération. Exemples : 79 + 2 031 80 + 2 000 = 2 080 9 863 4 036 10 000 4 000 = 6 000
Calcul 11 La division à 1 chiffre Exemple 2 : 626 divisé par 8 Quand le premier chiffre du dividende est trop petit (ici 6 < 8), on prend les deux premiers chiffres : Nous avons vu dans la leçon Calcul 8 l'égalité suivante : dividende 59 = (7 X 8) + 3 quotient diviseur reste Je cherche 62 dans la table de 8 : 6 1 2 6 8 7 X 8 = 56 ; j'écris 7 au quotient et - 5 1 6 7 8 je pose 62 56 = 6. 6 6-6 4 J'abaisse le chiffre suivant et je cherche 2 66 dans la table de 8 : 8 X 8 = 64 ; j'écris 8 au quotient et je pose 66 64 = 2. Cette opération se présente aussi sous la forme d'une division : dividende reste 5 9 7 3 8 diviseur quotient Je peux connaître le nombre de chiffres du quotient dès le début : puisque je commence par chercher 62 et qu'il reste ensuite un chiffre à abaisser, le quotient aura deux chiffres. Lorsque le dividende est trop grand, je ne peux pas utiliser directement mes tables de multiplication : je dois procéder rang par rang. Exemple 1 : 617 divisé par 4 On commence par les centaines : 1 X 4 = 4 ; 6 1 7 4 j'écris 1 au quotient et je pose 6 4 = 2. - 4 1 5 4 2 1 Puis j'abaisse le chiffre suivant et je cherche - 2 0 21 dans la table de 4 : 5 X 4 = 20 ; 1 7 j'écris 5 au quotient et je pose 21 20 = 1. - 1 6 1 J'abaisse le chiffre suivant et je cherche 17 dans la table de 4 : 4 X 4 = 16 ; j'écris 4 au quotient et je pose 17 16 = 1. Je peux vérifier mon résultat en calculant Quotient X Diviseur + Reste Je dois trouver le même nombre qu'au dividende.
Calcul 12 Addition et soustraction des nombres décimaux Calcul 13 Multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, on aligne les chiffres selon leur rang : les dizaines sous les dizaines, les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes,... Il est donc nécessaire de bien aligner les virgules! Pour multiplier un nombre décimal par 10, il suffit de décaler la virgule d'un rang vers la droite. Exemple : 56, 58 X 10 = 565, 8 Exemples : 45,16 + 32,9 4 5, 1 6 + 3 2, 9 0 Je peux rajouter un 0 7 8, 0 6 dans une case vide. Je n'oublie pas de placer la virgule du résultat sous les autres virgules! 158 + 86,5 1 5 8, 0 + 8 6, 5 2 4 4, 5 65,92 53,6 6 5, 9 2-5 3, 6 0 1 2, 3 2 Pour multiplier un nombre décimal par 100, il suffit de décaler la virgule de deux rangs vers la droite. Exemple : 124, 467 X 100 = 12 446, 7 Pour multiplier un nombre décimal par 1 000, il suffit de décaler la virgule de trois rangs vers la droite. Exemple : 5, 568 X 1 000 = 5 568 S'il n'y a pas assez de chiffres après la virgule, je rajoute autant de zéros que nécessaire. Exemple : 5,6 X 1 000 Je dois décaler de trois rangs, mais je n'ai qu'un chiffre. Je rajoute donc deux zéros : 5, 6 X 1 000 = 5 600 186 25, 5 1 8 6, 0-2 5, 5 6 0, 5
Calcul 14 Calculer la valeur approchée d'un produit Calcul 15 La division à deux chiffres Calculer la valeur approchée (ou l'ordre de grandeur) permet d'avoir un résultat proche afin de vérifier si le résultat de l'opération posée est vraisemblable. On utilise le symbole Il faut chercher pour chaque membre de l'opération le nombre arrondi (c'est-à-dire avec le plus de zéros possible) le plus proche. Par exemple, pour 314 c'est 300 ; pour 895 c'est 900. Exemple d'utilisation : Alban a calculé 895 X 314 et il a trouvé 39 380. Mais 900 X 300 = 270 000 Alban est très éloigné de la valeur approchée. Il a sans doute fait une erreur dans son opération. Exemples : 79 X 2 031 80 X 2 000 = 160 000 892 X 49 900 50 = 45 000 Exemple : 7 119 divisé par 27. Dans Calcul 11, nous avons vu la technique de la division à 1 chiffre. Par exemple pour diviser par 4, il faut connaître la table X 4. Pour la division à 2 chiffres, c'est pareil : pour diviser par 27, il faut créer la table X 27. Ensuite, il suffit de chercher dans la table de 27 la valeur se rapprochant le plus du nombre choisi. Ici, je choisis 71 pour commencer car 7 < 27. 7 11 1 9 2 7-5 1 4 2 6 3 1 7 11-1 6 1 2 9 9-8 1 1 8 27 X 1 = 27 27 X 2 = 54 27 X 3 = 81 27 X 4 = 108 27 X 5 = 135 27 X 6 = 162 27 X 7 = 189 27 X 8 = 216 27 X 9 = 243 Je peux connaître le nombre de chiffres du quotient dès le début : puisque je commence par chercher 71 et qu'il reste ensuite deux chiffres à abaisser, le quotient aura trois chiffres. Je peux vérifier mon résultat en calculant Quotient X Diviseur + Reste Je dois trouver le même nombre qu'au dividende.
Calcul 16 Diviser un nombre par 10, 100 ou 1 000 1er cas : Le nombre donné se termine par un ou plusieurs zéro(s). S'il n'y a pas assez de zéros, va voir le 2ème cas. Pour diviser un nombre par 10, j'enlève un zéro. Exemple : 5 600 : 10 = 560 Pour diviser un nombre par 100, j'enlève deux zéros. Exemple : 13 200 : 100 = 132 Pour diviser un nombre par 1 000, j'enlève trois zéros. Exemple : 18 000 : 1 000 = 18 2ème cas : Le nombre donné ne se termine pas par un nombre suffisant de zéros ou c'est un nombre décimal. Pour diviser un nombre par 10, il suffit de décaler la virgule d'un rang vers la gauche. Exemples : 15, 6 : 10 = 1, 56 18 : 10 = 1, 8 0, 5 : 10 = 0, 05 Pour diviser un nombre par 100, il suffit de décaler la virgule de deux rangs vers la gauche. Exemples : 25 : 100 = 0, 25 15 690 : 100 = 156, 9 Pour diviser un nombre par 1 000, il suffit décaler la virgule de trois rangs vers la gauche. Exemple : 26 : 1 000 = 0, 026 Calcul 17 Multiplier un nombre entier par un nombre décimal Multiplier deux décimaux Pour multiplier un nombre entier par un décimal, je pose ma multiplication sans tenir compte de la virgule. Exemple : pour poser 54 X 2, 6 je place les chiffres comme pour poser 54 X 26 5 4 X 2, 6 Ensuite je calcule ma multiplication normalement : 5 4 X 2, 6 3 2 4 1 0 8 0 1 4 0 4 Pour placer ma virgule, je compte le nombre de chiffres après la virgule dans le multiplicateur et je compte le même nombre de chiffres au résultat. Dans 2, 6 il y a un chiffre après la virgule. Je place donc la virgule un chiffre avant la fin du résultat. Le résultat est 140, 4 Lorsque les deux nombres à multiplier sont décimaux, je totalise les chiffres placés après les virgules. Exemple : 2, 0 5 2 chiffres après la virgule X 1, 3 1 chiffre après la virgule 6 1 5 2 0 5 0 2, 6 6 5 3 chiffres après la virgule
Calcul 18 Ajouter deux fractions décimales Calcul 19 Diviser un nombre décimal par un nombre entier Pour ajouter deux fractions de même dénominateur, il suffit d'ajouter les numérateurs. 7 Exemples : 10 8 10 = 15 10 15 100 7 100 = 22 100 Lorsque les dénominateurs sont différents, je dois convertir : je sais que 1 10 = 10, que 1 100 100 = 1 et que 1 1000 10 = 100 1000 Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, je pose ma division normalement et je l'effectue de la façon habituelle. Lorsque je dois abaisser le premier chiffre après la virgule du dividende, je place une virgule au quotient, puis je poursuis mon opération : Exemple : 7 5, 8 2 9-7 2 8, 4 2 3 8-3 6 2 12-1 1 8 0 4 Pour calculer Donc 2 10 15 100 je sais que 2 10 = 20 100 2 10 15 100 = 20 100 15 100 = 35 100 J'ai placé la virgule après le 8 lorsque j'ai abaissé le 3 du dividende Autres exemples : 3 10 765 1000 = 3000 1000 765 1000 = 3765 1000 71 10 5 100 32 1000 = 7100 1000 50 1000 32 1000 = 7182 1000
Calcul 20 Calculer un pourcentage Lorsque l'on dit «20 % des élèves restent à l'étude», cela signifie que sur 100 élèves, 20 restent à l'étude. Mais il n'y a pas 100 élèves à l'école mais 190. Il faut donc calculer 20 % de 190, ce qui correspond à 20 100 X 190 soit 20 X 190 : 100 = 38 Il y a donc 38 enfants qui restent à la cantine. Autre exemple : Je veux acheter une télévision qui coûte 229. Dans le magasin, il y a une remise de 15 %. Combien vais-je économiser? Je dois calculer 15 % de 229 soit 15 100 X 229 = 15 X 229 : 100 = 34, 35 Je vais économiser 34 euros 35.