3.3 La porte, les mouches! Après avoir assisté au Show Math, tous les élèves ne seront peut-être pas convaincus que la stratégie de toujours changer de porte est gagnante. Pour confondre les sceptiques, nous proposons une petite expérience que les élèves pourront facilement réaliser en classe. Intentions de l activité Leur faire comprendre d une autre façon la stratégie gagnante du jeu «La porte, les mouches!» Faire voir que les probabilités fréquentielles s approchent de plus en plus des probabilités théoriques au fur et à mesure que le nombre d expériences augmente Distinguer preuve empirique et preuve formelle Voir les relations entre des situations à première vue différentes Forme de la production attendue Expériences de manipulation de cartes Discussions en grand groupe Problèmes à résoudre Concepts utilisés Probabilités fréquentielles et théoriques Tirage sans remise avec des objets discernables Ressources matérielles Jeux de cartes Présentation 3.3 La porte, les mouches!
Déroulement Préparation Les élèves viennent de voir le spectacle Show Math. Faire un retour sur le jeu «La porte, les mouches!» pour ceux qui n auraient pas tout à fait compris son fonctionnement. Certains élèves ne sont probablement pas encore convaincus que la meilleure stratégie est de changer de porte. Discuter en groupe pour voir ceux qui sont convaincus et ceux qui ne le sont pas. Réalisation Les élèves manipulent des cartes pour reproduire le jeu et testent les différentes stratégies. Par la suite, en grand groupe, on réunit les résultats de chaque équipe et on compare les stratégies afin de trouver la meilleure. On peut calculer les fréquences de gains de chacune des stratégies. Normalement, on devrait approcher des probabilités théoriques. À la fin de cette partie, il est intéressant de faire remarquer aux élèves que ce qu ils ont fait est une preuve empirique et non une démonstration mathématique formelle. La dernière question est plus difficile. Il faudra peut-être donner des indices. «As-tu pensé à faire un tableau ou un diagramme en arbre?» «Que dirais-tu de numéroter les boules?» Sans permettre de développer complètement l une ou l autre des compétences, l activité permet d acquérir des informations sur la façon d aborder les preuves (C2) et de représenter une situation par des registres différents (C3). Intégration Pistes de différenciation Pour les élèves qui ont de la difficulté, on pourrait préparer des feuilles où certains indices supplémentaires ont été ajoutés, notamment pour la dernière question. Pour ceux qui ont particulièrement apprécié l activité, on pourrait leur suggérer de consulter la section «Probabilités» dans les sujets de Show Math : http://www.smac.ulaval.ca/ showmath/sujets.php. Ou encore, allez sur ce site http://www. apprendre- enligne.net/random/monty/. Une intervention sur la relation entre les probabilités fréquentielles et théoriques est de mise et il faut vraiment mettre l accent sur le fait que plus le nombre d expériences est grand, plus les deux ont tendance à se rapprocher. Les résultats de l une ou l autre des équipes ont de bonnes chances d être différents des conclusions qu on peut tirer en utilisant tous les résultats de la classe. Présentation 3.3 La porte, les mouches!
Nom : 3.3 La porte, les mouches! Lors de Show Math, tu as visionné un épisode du jeu télévisé «La porte, les mouches!». Es-tu convaincu qu il est préférable de changer de porte pour gagner? Complètement convaincu? Pour effacer tout doute de ton esprit, nous allons tenter l expérience. On verra bien. Pour faire une simulation du jeu télévisé, vous allez jouer en équipe de deux personnes. Votre équipe dispose de trois cartes : deux noires et une rouge. La carte rouge vous fait gagner, alors que les noires vous font perdre. Votre équipe doit tester les trois stratégies suivantes : Changer de carte à tous les tours. Conserver la même carte à tous les tours. Un tour, changer de carte, le suivant, conserver la même. Procédure à suivre 1. Un des membres de votre équipe est le maître du jeu. Il dépose les trois cartes face contre table en sachant exactement la position de chaque carte. 2. L autre membre de l équipe, le joueur, choisit une carte en la pointant. 3. Le maître du jeu élimine une carte noire des deux cartes restantes. 4. Le joueur choisit ensuite s il conserve la même carte ou s il désire changer. 5. Finalement, on détermine s il a gagné ou perdu et on l inscrit dans les tableaux se trouvant à la page suivante. Cahier de l élève 3.3 La porte, les mouches! 1
Notez vos résultats dans ces tableaux. Inscrivez G lorsque le joueur gagne et P s il perd. 1. Stratégie utilisée : changer de carte Partie 1 Partie 2 Partie 3 Partie 4 Partie 5 Partie 6 Partie 7 Partie 8 Partie 9 Partie 10 Partie 11 Partie 12 Partie 13 Partie 14 Partie 15 Stratégie utilisée : conserver la même carte Partie 1 Partie 2 Partie 3 Partie 4 Partie 5 Partie 6 Partie 7 Partie 8 Partie 9 Partie 10 Partie 11 Partie 12 Partie 13 Partie 14 Partie 15 Stratégie utilisée : un coup changer de carte et le suivant la garder Partie 1 Partie 2 Partie 3 Partie 4 Partie 5 Partie 6 Partie 7 Partie 8 Partie 9 Partie 10 Partie 11 Partie 12 Partie 13 Partie 14 Partie 15 En grand groupe, comparez les résultats obtenus avec chacune des stratégies. Laquelle est la plus avantageuse? 2. Sur l ensemble des équipes, à quelle fréquence la première stratégie a-telle permis de gagner? Et la 2 e? Et la 3 e? 3. Notez que ce que vous venez de faire ne constitue pas une démonstration mathématique formelle. C est ce qu on appelle une preuve empirique, c est-à-dire une preuve qui se fonde uniquement sur des expériences ou des observations. Une démonstration mathématique formelle permet d établir qu une proposition est vraie à partir de propriétés préalablement démontrées ou reconnues comme vraies. Qu en concluez-vous? 4. 2 Cahier de l élève 3.3 La porte, les mouches!
Une autre façon d expliquer la stratégie gagnante est la suivante. Supposons que vous choisissez la porte 3. 1 Le maître du jeu doit ouvrir une porte. Il y a trois possibilités : Cas 1. Le gros lot est derrière la porte 1. Cas 2. Le gros lot est derrière la porte 2. Cas 3. Le gros lot est derrière la porte 3. Analysons chacun des cas. 2 Cas 1 Il y a donc des mouches derrière les portes 2 et 3. Le maître du jeu ouvre nécessairement la porte 2. En changeant de porte, vous gagnez. En conservant la porte 3, vous perdez. Cas 2 Il y a donc des mouches derrière les portes 1 et 3. Le maître du jeu ouvre nécessairement la porte 1. 3 En changeant de porte, vous gagnez. En conservant la porte 3, vous perdez. Cas 3 Il y a donc des mouches derrière les portes 1 et 2. Le maître du jeu ouvre n importe quelle porte, car les deux cachent des mouches. En changeant de porte, vous perdez. En conservant la porte 3, vous gagnez. Choix de la porte: Changer de porte: P Alors, lorsque vous conservez la porte que vous aviez choisie au départ, vous gagnez 1 fois sur 3 tandis que si vous changez, vous gagnez 2 fois sur 3. Gros lot derrière la porte: 1 1 2 Garder la porte: G Changer de porte: G Garder la porte: P Voici un diagramme en arbre représentant la probabilité de gagner selon que l on change de porte ou que l on garde la porte choisie au début. 3 Changer de porte: G Garder la porte: P Changer de porte: G 1 Garder la porte: P Changer de porte: P 2 2 Garder la porte: G Changer de porte: G 3 Garder la porte: P Nb de cas favorables Probabilité = Nb de cas possibles 1 Changer de porte: G Garder la porte: P Changer de porte: G 3 2 Garder la porte: P Changer de porte: P 3 Garder la porte: G Cahier de l élève 3.3 La porte, les mouches! 3
Si au lieu de choisir la porte 3, vous aviez choisi la porte 1, auriez-vous eu les mêmes chances de gagner? Vérifiez-le. 5. Qu en concluez-vous? Est-ce une démonstration mathématiquement formelle? 6. 4 Cahier de l élève 3.3 La porte, les mouches!
Comme vous avez pu le constater, on peut parfois porter un jugement trop rapide. Cette fois, saurez-vous analyser correctement ce problème? On a deux sacs. Le sac A contient une bille blanche et une bille noire. Le sac B contient deux billes blanches. On choisit d abord un sac au hasard sans connaître son contenu. On pige ensuite une première bille ; elle est blanche. Quelle est la probabilité que la bille qui reste dans le sac soit blanche? Comme il y a deux cas possibles, soit le sac A, soit le sac B, on est porté à dire qu il y a une chance sur deux pour que l autre bille soit blanche. Eh bien, ce n est pas le cas! Pourriez-vous expliquer pourquoi? sac? 7. En quoi ce problème est-il semblable à «La porte les mouches!»? 8. Cahier de l élève 3.3 La porte, les mouches! 5
3.3 La porte, les mouches Corrigé En grand groupe, comparez les résultats obtenus pour chacune des stratégies. Laquelle est la plus avantageuse? Sur l ensemble des équipes, à quelle fréquence la première stratégie a-telle permis de gagner? Et la 2 e? Et la 3 e? Qu en concluez-vous? 4. (Page 2) Expérimentalement, on peut conclure que la meilleure stratégie est de changer de porte et que la probabilité qu elle soit gagnante est près de 2/3. Autre explication : Lorsqu on choisit une carte, on a deux chances sur trois de se tromper. Dans le cas où l on se trompe, le maître du jeu n a pas d autre choix que de montrer la seule carte noire qui reste, et donc, celle qu il ne tourne pas est la carte rouge. Et voilà, en changeant on gagne normalement 2 fois sur 3. Si au lieu de choisir la porte 3, vous aviez choisi la porte 1, auriez-vous eu les mêmes chances de gagner? Vérifiez-le. 5. (Page 4) Cas 1 Il y a donc des mouches derrière les portes 2 et 3. Le maître du jeu ouvre n importe quelle porte, car les deux cachent des mouches. En changeant de porte, vous perdez. En conservant la porte 1, vous gagnez. Cas 2 Il y a donc des mouches derrière les portes 1 et 3. Le maître du jeu ouvre nécessairement la porte 3. En changeant de porte, vous gagnez. En conservant la porte 1, vous perdez. Cas 3 Il y a donc des mouches derrière les portes 1 et 2. Le maître du jeu ouvre nécessairement la porte 2. En changeant de porte, vous gagnez. En conservant la porte 1, vous perdez. J aurais gagné 2 fois sur 3. Corrigé 3.3 La porte, les mouches! 1
Qu en concluez-vous? Est-ce une démonstration mathématiquement formelle? 6. (Page 4) Ici, également, si on change de porte, on gagne 2 fois sur 3. Si on avait fait aussi le cas où l on choisit la porte 2, ce serait un raisonnement formel puisqu on aurait examiné tous les cas possibles. Quelle est la probabilité que la bille qui reste dans le sac soit blanche? Comme il y a deux cas possibles, soit un sac, soit l autre, on est porté à dire qu il y a une chance sur deux pour que l autre bille soit blanche. Eh bien, ce n est pas le cas! Pourriez-vous expliquer pourquoi? 7. (Page 5) On pige les billes contenues dans le sac une par une. Numérotons les billes blanches. La bille blanche 1 et la bille noire se trouvent dans le sac A et le sac B contient les billes blanches 2 et 3. Il y a alors quatre situations possibles. On a pigé dans le sac A On a pigé dans le sac B Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4 1re pige Bille noire Bille blanche 1 Bille blanche 2 Bille blanche 3 2ème pige Bille blanche 1 Bille noire Bille blanche 3 Bille blanche 2 Nous savons que la première bille pigée est blanche. Comme il y a trois possibilités dans ce cas et que dans seulement deux cas sur trois il reste une bille blanche dans le sac, nous pouvons déterminer la probabilité que la bille qui reste dans le sac soit blanche : 2/3. On a pigé dans le sac A On a pigé dans le sac B Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4 1re pige Bille noire Bille blanche 1 Bille blanche 2 Bille blanche 3 2ème pige Bille blanche 1 Bille noire Bille blanche 3 Bille blanche 2 2 Corrigé 3.3 La porte, les mouches!
Autrement dit, lorsqu on pige une bille blanche, elle est l une des trois billes blanches, et chacune a autant de chance d être pigée si vous ne le croyez pas, dites quelle bille a plus de chance d être pigée. On a alors deux chances sur trois d avoir pris la bille blanche 2 ou la bille blanche 3, donc deux chances sur trois d avoir pris une bille dans le sac qui contenait deux billes blanches. Il est aussi possible de représenter le problème à l aide d un diagramme en arbre. Noire Blanche 1 Sac pigé: A Blanche 1 Noire Blanche 2 Blanche 3 B Blanche 3 Blanche 2 N. B. Évidemment, on ne s attend pas à ce que les élèves donnent tous les détails indiqués ici, mais ils pourront trouver quelques éléments intéressants. En quoi ce problème est-il semblable à «La porte les mouches!»? 8. (Page 5) Dans les deux cas, l information obtenue en cours de route change la situation et la situation restante comporte trois cas dont deux sont gagnants et un seul perdant. Ce problème est semblable à «La porte les mouches!», parce que lorsqu on choisit une porte, on a deux chances sur trois que les deux portes restantes soient l une gagnante et l autre perdante, et une chance sur trois que les deux portes restantes soient perdantes. Corrigé 3.3 La porte, les mouches! 3