Chapitre 4 - Probabilités conditionnelles Dans tout le chapitre, E désigne l ensemble des issues d une expérience aléatoire. I Probabilité conditionnelle TD1 : Réussite au bac Le proviseur d un lycée fait le point sur la réussite au bac des élèves de son établissement en distinguant les élèves redoublants et les élèves non redoublants : «Sur nos 468 élèves de Terminale, 414 ont obtenu leur bac. Il est à noter que, parmi nos 40 redoublants, on déplore 4 échecs.» 1. Compléter le tableau ci-dessous : Nombre de succès Nombre d échecs Total Nombre de redoublants Nombre de non redoublants Total 468 On choisit au hasard le dossier d un des élèves de Terminale du lycée. On considère les évènements suivants : B : «l élève choisi a obtenu son bac» ; R : «l élève choisi est redoublant». 2. (a) Définir par une phrase en français les évènements : R, B R et B R. (b) Calculer les probabilités p(b), p(r), p(r), p(b R) et p(b R). 3. (a) Sachant que l on a choisi le dossier d un élève redoublant, quelle est la probabilité qu il soit bachelier? On note p R (B) cette probabilité. p(b R) (b) Expliquer pourquoi, en calculant, on obtient le résultat de la question précédente. p(r) 4. (a) Sachant que l on a choisi le dossier d un élève non redoublant, quelle est la probabilité qu il soit bachelier? On note p R (B) cette probabilité. p(b R) (b) Calculer. Que constate-t-on? p(r) 5. Comparer la réussite au bac des élèves redoublants et des élèves non redoublants. 6. Que représentent les quotients 36 378 et 414 414? -1-
I.1 Probabilité conditionnelle de B sachant A Définition 1 Soit A et B deux événements de l ensemble E, A étant de probabilité non nulle (p(a) 0). La probabilité conditionnelle de B sachant A (probabilité que l événement B soit réalisé p(b A) sachant que l événement A est réalisé) est le nombre noté p A (B) défini par : p A (B) =. p(a) Propriété Soit A et B deux événements tels que p(a) 0, alors : 0 p A (B) 1 ; p A (B) + p A (B) = 1. nombre d éléments de B A Dans une situation d équiprobabilité : p A (B) = nombre d éléments de A. Probabilité d une intersection : p(a B) peut se calculer de deux façons : 1. p(a B) = p(a) p A (B) (avec p(a) 0) 2. p(a B) = p(b) p B (A) (avec p(b) 0) Démonstration : D après la définition d une probabilité conditionnelle : p(b A) 1. p A (B) = p(b A) = p(a) p A (B) p(a B) = p(a) p A (B). p(a) p(a B) 2. p B (A) = p(a B) = p(b) p B (A). p(b) I.2 Utilisation de tableaux Un tableau à double entrée permet de déterminer des probabilités conditionnelles. A A Total B p(a B) p(a B) p(b) B p(a B) p(a B) p(b) Total p(a) p(a) 1 La probabilité de l événement A B se trouve à l intersection de la ligne A et de la colonne B. La dernière ligne et la dernière colonne du tableau contiennent les probabilités de chaque événement : A, A,... p A (B) est alors le quotient des valeurs de p(a B) et de p(a) lues dans le tableau. Exemple Soit A et B deux événements tels que p(a B) = 0, 18, p(a B) = 0, 42 et p A (B) = 0, 25. Compléter le tableau ci-dessous et en déduire la probabilité p A (B). A A Total B B Total 1-2-
TES Chapitre 4 - Probabilités conditionnelles 2012-2013 II II.1 Arbres pondérés et probabilités totales Probabilité conditionnelle et arbre pondéré TD2 : Un test de dépistage À l aide d un test, on procède au dépistage d une maladie affectant 2% d une population. Le laboratoire qui fabrique le test fournit les informations suivantes : «le test est positif chez 96% des individus malades et négatif chez 99% des individus sains.» On désigne respectivement par M, S, P et N les événements «l individu est malade», «l individu est sain», «le test est positif», «le test est négatif». L arbre construit ci-dessous, appelé arbre pondéré, permet de schématiser la situation décrite. ¼ Ë ¼ È Å È 1. Que représente le nombre 0, 98 figurant sur la branche du premier niveau? Compléter l autre branche figurant au premier niveau de l arbre. 2. Que représente la valeur 0, 99 figurant sur la branche du second niveau? Compléter les branches figurant au second niveau. 3. (a) Réaliser l événement S N, c est suivre le chemin passant par S puis N. Calculer la probabilité de cet événement. (b) À quel événement correspond le chemin passant par M puis N? Quelle est sa probabilité? (c) En déduire la probabilité de l événement : «le test est négatif». 4. (a) Déterminer la probabilité correspondant aux deux autres chemins. (b) En déduire la probabilité de l événement : «le test est positif». Dans le cas d une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers E, on peut modéliser la situation à l aide d un arbre pondéré. Une branche relie deux événements. Sur chaque branche on note la probabilité correspondante : la probabilité de la branche reliant A et B est p A (B). Un chemin est une suite de branches : il représente l intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d un chemin est la probabilité de l intersection des événements rencontrés sur ce chemin. Un nœud est le point de départ d une ou plusieurs branches. Règles : 1. La somme des probabilités des branches issues d un nœud est égale à 1. 2. La probabilité d un chemin est le produit des probabilités des branches qui composent ce chemin. 3. La probabilité d un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement. -3-
II.2 Formule des probabilités totales TD3 : Tirages avec des jetons Un sac contient des jetons ronds (R) ou carré (C) de trois couleurs : bleu (B), noir (N) ou vert (V ). On sait que : 25% des jetons sont bleus dont 60% sont ronds ; 35% des jetons sont noirs dont la moitié sont ronds ; 40% des jetons sont verts dont 62, 5% sont ronds. Un jeton est tiré au hasard dans le sac. L objectif est de calculer p(r), la probabilité de l événement «le jeton est rond». 1. Utilisation d un tableau La probabilité des événements B, N et V figure sur la dernière ligne. Celle des événements R et C figure sur la dernière colonne. B N V Total R C Total 0,25 0,35 0,40 (a) Déterminer la probabilité de l événement B R et placer la valeur obtenue dans le tableau. (b) Procéder de même pour les événements N R et V R, puis exprimer p(r) comme somme de trois probabilités. (c) Vérifier que l on peut écrire : p(r) = p(b) p B (R) + p(n) p N (R) + p(v ) p V (R). (d) Finir de compléter le tableau 2. Utilisation d un arbre L arbre pondéré ci-dessous schématise la situation. -4-
TES Chapitre 4 - Probabilités conditionnelles 2012-2013 Couleur Forme Événement Probabilité Ê Ê Î Ê (a) Compléter les colonnes «Événement» et «Probabilité». (b) Quels sont les chemins conduisant au choix d un jeton rond? En déduire la probabilité p(r). Propriété Soit A 1, A 2,..., A n, n événements incompatibles deux à deux et tels que leur réunion soit égale à E. Pour tout événement B, on a p(b) = p(a 1 B) + p(a 2 B) + + p(a n B) c est-à-dire : p(b) = p(a 1 ) p A1 (B) + p(a 2 ) p A2 (B) + + p(a n ) p An (B). A 1, A 2,..., A n étant des événements de probabilité non nulle. Cas particulier : Soit A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle alors p(b) = p(a B) + p(a B), c est-à-dire p(b) = p(a) p A (B) + p(a) p A (B). -5-