Université des Sciences Sociales de Toulouse Année universitaire 2008-2009 Licence d Économie 2 e Année Microéconomie 2.2 TD N 3 L oligopole B - L oligopole non-coopératif Exercice 1 (Un duopole de Cournot symétrique) Soit un oligopole composé de deux firmes, la firme 1 et la firme 2, produisant un bien homogène. Les deux firmes ont une fonction de coût identique : c(y i ) = y 2 i, pour i = 1, 2. La demande de marché dépend de la quantité totale de bien sur le marché ; la fonction de demande inverse est de la forme : p(y 1 + y 2 ) = 10 (y 1 + y 2 ). On s intéresse ici à l équilibre de Cournot : les deux firmes décident de leur output simultanément. 1. Quels problèmes d optimisation la firme 1 et la firme 2 résolvent-elles respectivement? La firme 1 et la firme 2 cherchent à déterminer l output qui maximise leurs profits. Cependant, chaque fonction de profit dépend de l output de l autre firme. La firme 1 doit ainsi prendre sa décision en fonction de son anticipation y a 2 sur l output de la firme 2. La firme 2 agit de manière analogue de son côté. L équilibre est atteint lorsque les anticipations des deux firmes sont correctes, c est-à-dire lorsque y a 2 est égale à la quantité y 2 effectivement choisie par la firme 2 et y a 1 est égale à la quantité y 1 effectivement choisie par la firme 1. Remarque. L équilibre de Nash correspond à la situation pour la quelle chaque firme choisie sa stratégie optimale étant donné la stratégie d équilibre de l autre firme. Le lien avec l explication qui vient d être proposée est que lorsque l anticipation est correcte le comportement anticipé est précisément le comportement d équilibre. Cela signifie qu il est équivalent de dire que l entreprise maximise son profit étant donné son anticipation du comportement de l autre firme qui est correcte, et dire que l entreprise maximise son profit étant donné le comportement d équilibre de l autre firme. 1
Remarque. L équilibre de Nash est ainsi plus généralement associé à l idée selon laquelle à l équilibre de Nash les agents se coordonnent sur un certain vecteur de stratégies dont ils ne souhaitent pas s écarter. De fait, l équilibre est la situation pour laquelle les meilleures réponses de chacun sont compatibles (stabilité de la situation d interaction au sens où personne n a intérêt à changer sa stratégie). 2. Déterminer l équilibre de Cournot (prix p C, quantités y C 1, y C 2 ). Quels sont les profits (π C 1, π C 2 ) des firmes à l équilibre? Commenter. La firme 1 cherche la quantité y 1 qui maximise son profit compte tenu de son anticipation y a 2 sur la quantité choisie par la firme 2 : max y 1 π 1 (y 1, y a 2) = (10 y 1 y a 2)y 1 y 2 1. La solution de ce problème vérifie la CPO suivante, qui correspond à l égalisation de la recette marginale et du coût marginal : 4y 1 + 10 y a 2 = 0. donc la firme 1 en déduit sa fonction de réaction : y 1 = f 1 (y a 2) = 5 2 1 4 ya 2. Cette fonction peut être représentée par une droite dans le repère (O, y 1, y 2 ). La firme 2 procède de manière analogue et en déduit sa fonction de réaction : y 2 = f 2 (y a 1) = 5 2 1 4 ya 1. Cette fonction peut aussi être représentée par une droite. L équilibre de Cournot c est l équilibre de Nash du jeu est atteint lorsque y a 2 = y 2 et y a 1 = y 1 (les anticipations des firmes s avèrent correctes). Donc, par substitution, à l équilibre les quantités (y C 1,y C 2 ) choisies par les firmes sont solution du système de deux équations à deux inconnues : { y1 = f 1 (y 2 ) y 2 = f 2 (y 1 ), soit : y C 1 = y C 2 = 2. Le prix de marché est : p C = 6, les profits sont : π C 1 = π C 2 = 8. On remarque que la situation est ici totalement symétrique : les deux firmes choisissent les mêmes quantités et obtiennent le même profit, ce qui est normal puisqu elles ont les mêmes fonctions de coût. La situation sera différente si les décisions des deux firmes sont séquentielles (cf. l équilibre de stackelberg voir plus loin puisque dans ce cas le leader de Stackelberg produit plus et obtient un profit plus élevé qu à l équilibre de Cournot, alors que le suiveur produit moins et obtient un profit moins élevé qu à l équilibre de Cournot). Graphiquement, l équilibre de Cournot est atteint au point d intersection des deux droites représentatives des fonctions de réaction des firmes. 2
y2 10 Fonction de réaction de l'entreprise 1 (y2=f -1 1(y1)) 5/2 2 Fonction de réaction de l'entreprise 2 (y2=f2(y1)) 2 5/2 10 y1 3. La concurrence parfaite. Les pouvoirs publics estiment que ce marché n est pas suffisamment concurrentiel et décident de réguler le duopole. Chaque firme devra renoncer à son pouvoir de marché et choisir le volume de production correspondant à l équilibre de concurrence parfaite. Déterminer ces quantités (y 1, y 2), le prix du marché p et les profits des firmes (π 1, π 2). Commenter. En concurrence parfaite, chaque firme prendrait le prix comme une donnée, ce qui la conduirait à choisir la quantité qui égalise le prix à son coût marginal (Il suffit de le revérifier pour la firme 1 par exemple, dont le profit est π(y 1 ) = py 1 C 1 (y 1 )). Les firmes se voient donc ici contraintes à tarifer au coût marginal. La firme 1 et la firme 2 ont respectivement pour coût marginal Cm 1 (y 1 ) = 2y 1 et Cm 2 (y 2 ) = 2y 2. Leurs fonctions d offre individuelles sont donc respectivement y O 1 (p) = p/2 et y O 2 (p) = p/2, et la fonction d offre globale est donc Y O (p) = p. La fonction de demande inverse est p = 10 y 1 y 2 = 10 Y D (p), donc l égalité de l offre et de la demande du marché entraîne p = 5 < p C = 6, donc y 1 = y 2 = 2, 5 > y C 1 = y C 2 = 2, et les profits sont π 1 = π 2 = 25/4 = 6, 25 < π C 1 = π C 2 = 8. Par rapport à l équilibre de Cournot, on note que les quantités produites sont plus élevées, le prix et les profits sont plus faibles. Ce n est pas surprenant : l équilibre de Cournot correspond à une situation de concurrence, mais cette concurrence n est pas extrême que dans le cas de la concurrence parfaite, ce qui implique que les firmes peuvent améliorer leur situation en profitant de leur pouvoir de marché. Exercice 2. (Lien entre l équilibre de Cournot et la concurrence parfaite) On considère un marché sur lequel interviennent N firmes identiques. Elles produisent toutes le même bien et ont la même fonction de coût. Cette fonction, pour une firme quelconque i, est donnée par C(y i ) = y 2 i + 10y i, où y i désigne la quantité produite par la firme i. La demande du marché est donnée par la relation p(y ) = Y + 20, où Y désigne la quantité totale produite : Y = N i=1 y i. 3
1. On suppose que la concurrence entre les firmes est de type Cournot. Déterminer la quantité d équilibre y C i, le prix d équilibre p C et le profit d équilibre π C i de chaque firme i. Considérons par exemple la firme 1. Elle choisit l output y 1 qui maximise son profit sur la base des quantités Y 1 = y 2 +... + y N = N i=1,i 1 y i choisies par les autres firmes : max y 1 π 1 (y 1, Y 1 ) = (20 y 1 Y 1 )y 1 y 2 1 10y 1. Le choix de la firme 1 est obtenu en prenant la CPO de ce problème de maximisation, et en tire sa fonction de réaction à la quantité choisie par les autres firmes : y 1 = f 1 (Y 1 ) = 5 2 Y 1 4. De plus, comme les firmes sont identiques, on sait qu à l équilibre (on pourrait le montrer), elles choisiront toutes la même quantité y C (c est toujours le cas dans un problème symétrique). Cette quantité vérifie donc l équation : y C = 5 2 N 1 y C, 4 ce qui implique : y C = 10 N + 3. Donc la quantité totale offerte sur le marché est : le prix du marché est : et le profit de chaque firme i est : Y C = 10N N + 3, p C = 10N + 60 N + 3, π C = 200 (N + 3) 2. 2. Comment varient les valeurs obtenues dans la question précédente lorsque N tend vers l infini? Commenter. On observe que lim N y C = 0, lim N p C = 10, lim N π C = 0. On constate que ces montants correspondent aux montants d équilibre observés en concurrence parfaite. En effet, en concurrence parfaite, le prix d équilibre est égal au coût marginal. Or il est facile de vérifier que c est bien le cas ici. En effet, le coût marginal de chaque firme i est Cm(y i ) = 2y i + 10, la quantité produite tend vers 0, donc le coût marginal tend vers 10, ce qui est bien égal à la valeur vers laquelle le prix tend. CQFD. Ce résultat montre que l équilibre de concurrence parfaite peut être vu comme un cas particulier (limite) de l équilibre de Cournot quand le nombre de firmes tend vers l infini. Ce résultat est très intuitif : lorsque l on considère un marché où règne une concurrence à la Cournot chaque firme est consciente que ses décisions ont un impact non 4
négligeable sur le prix du marché... du moins tant que le nombre de concurrents ne tend pas vers l infini! Si c est le cas, alors chaque firme a un impact négligeable sur le prix du marché, ce qui correspond précisément à la définition d un marché en concurrence parfaite. Exercice 3 (L équilibre de Stackelberg dans un modèle de Cournot symétrique ) Nous reprenons l énoncé de l exercice 1 mais nous supposons désormais que les deux entreprises décident de leur niveau de production séquentiellement : la firme 1 choisit d abord son niveau d output y 1 et ne le modifie plus. La firme 2 observe y 1 et décide ensuite de son niveau de production y 2. 1. Quels problèmes d optimisation la firme 1 et la firme 2 résolvent-elles respectivement? Comment peut-on qualifier respectivement la firme 1 et la firme 2? La firme 2 choisit le niveau de production y 2 qui maximise son profit en connaissant l output y 1 de la firme 1 et en le prenant comme une donnée. Elle peut donc être considérée comme un suiveur de Stackelberg. La firme 1 choisit le niveau de production y 1 qui maximise son profit, en anticipant le comportement de suiveur de la firme 2. Elle détermine donc la fonction de réaction de la firme 2 et l intègre dans son calcul. Elle peut être considérée comme un leader de Stackelberg. 2. Déterminer l équilibre de Stackelberg (prix p S, quantités y S 1, y S 2 ). Quels sont les profits π S 1 et π S 2 des firmes à l équilibre? Commenter. Le leader prend sa décision en premier ; cependant, il intègre dans son calcul le programme du suiveur. Ce type de problème se résout donc en sens inverse de l ordre chronologique. On commence donc par le suiveur. La firme 2 choisit la quantité y 2 qui maximise son profit en prenant la quantité observée y 1 comme une donnée : max y 2 π 2 (y 1, y 2 ) = (10 y 1 y 2 )y 2 y 2 2. La solution de ce problème satisfait la condition du premier ordre (CPO) : 10 y 1 4y 2 = 0. (Il peut être utile de rappeler une fois en passant que la CPO ne donne un maximum que si la solution est intérieure strictement positive ici et si la condition du second ordre est vérifiée dérivée seconde strictement négative.) La CPO correspond en fait à l égalité entre la recette marginale et le coût marginal. Elle permet de déterminer la fonction de réaction de la firme 2 : y 2 = f 2 (y 1 ) = 5 2 1 4 y 1. On observe que cette fonction est décroissante en y 1, ce qui est normal : si la firme 1 produit plus, le prix du marché diminue, donc la production devient moins rentable, ce qui conduit la firme 2 à réduire son output. 5
Passons ensuite au problème du leader (firme 1). Celui-ci cherche la quantité y 1 qui maximise son profit, compte-tenu du programme de maximisation du suiveur, c est-àdire compte-tenu de sa fonction de réaction : soit, par substitution : max y 1 π 1 (y 1, y 2 ) = (10 y 1 y 2 )y 1 y 2 1 sous y 2 = 5 2 1 4 y 1, Cela conduit à la CPO : max y 1 π 1 (y 1 ) = ( 10 y 1 ( 5 2 1 ) 4 y 1) y 1 y1. 2 7 2 y 1 + 15 2 = 0. donc finalement la quantité optimale est : y1 S = 15/7 2, 14. La firme 1 choisit donc effectivement cette quantité à la période 1, puis la firme 2 observe cet output et choisit de produire en période 2 : y2 S = 55/28 1, 96. Le prix du marché est alors p S = 165/28 5, 89. Les profits sont respectivement π1 S = 225/28 8, 04 et π2 S = 3025/392 7, 72. On remarque que le leader produit plus et obtient un profit supérieur au suiveur. Cette spécificité est, en partie liée au fait que les deux firmes ont des fonctions de coûts identiques, et donc que le leader peut profiter de sa position pour produire plus et inciter le suiveur à produire moins. On remarque également que contrairement à l équilibre de Cournot les deux firmes ont des stratégies asymétriques. Le leader de Stackelberg produit plus et a un profit plus élevé qu à l équilibre de Cournot. Le suiveur produisait moins et avait un profit moins élevé qu à l équilibre de Cournot 3. Question indépendante : est-il possible qu un leader obtienne dans un équilibre de Stackelberg un profit inférieur à celui qu il obtiendrait dans un équilibre de Cournot? Réponse : Non. En effet, rien n empêcherait le leader de Stackelberg de choisir le volume de production y1 C correspondant à l équilibre de Cournot s il le souhaitait. S il ne le fait pas, c est qu il obtient un profit plus élevé en choisissant le volume de production y1 S correspondant à l équilibre de Stackelberg... Exercice 4 (Un duopole asymétrique) Soit un duopole constitué des firmes 1 et 2 produisant toutes deux un bien homogène. La fonction de demande inverse est la suivante : p(y 1 + y 2 ) = 100 y 1 y 2. Les fonctions de coût des firmes 1 et 2 sont respectivement : C 1 (y 1 ) = y 2 1 et C 2 (y 2 ) = 5y 2. 1. Les deux firmes adoptent un comportement de type Stackelberg, la firme 1 étant le leader et la firme 2 le suiveur. Déterminer les quantités (y S 1, y S 2 ), le prix (p S ) et profits d équilibre (π S 1, π S 2 ). La méthode étant strictement identique à celle de l exercice précédent, on se contentera de donner aux étudiants les résultats et la conclusion : l équilibre vérifie y S 1 = 17, 5, y S 2 = 38, 75, p S = 43, 75, π S 1 459, 37, π S 2 1501, 56. On remarque que, comme c est le cas ici, le leader peut très bien avoir un profit plus faible que celui du suiveur. 6
2. Les deux firmes adoptent un comportement de type Cournot. Déterminer les quantités (y C 1, y C 2 ), le prix (p C ) et profits d équilibre (π C 1, π C 2 ). Comparer avec l équilibre de Stackelberg. Là encore, on procède de manière identique à l exercice 1. Chaque firme détermine la quantité qui maximise son profit compte tenu de son anticipation sur la quantité de l autre firme. Les décisions des firmes sont simultanées. Chaque firme détermine sa fonction de réaction à la quantité anticipée de l autre firme. La fonction de réaction de la firme 1 est : y 1 = f 1 (y 2 ) = 25 1 4 y 2. Celle de la firme 2 : y 2 = f 2 (y 1 ) = 95 2 1 2 y 1. Les quantités d équilibre sont solution de ce système de deux équation, et donc les quantités d équilibres sont y1 C = 15 < y1 S = 17, 5, y2 C = 40 > y2 S = 38, 75 ; le prix est p C = 45 et les profits π1 C = 450 < π1 S = 459, 37, π2 C = 1600 > π2 S = 1501, 56. On observe que la firme 1 produit moins et obtient un profit plus faible à l équilibre de Cournot que lorsqu elle est leader de Stackelberg, et l inverse est vérifié pour la firme 2. Exercice 5 (Barrière à l entrée) Soit le marché d un bien dont la fonction de demande inverse est p(y ) = 3 Y, où Y désigne la demande totale. Deux firmes, les firmes 1 et 2, sont en concurrence sur ce marché. Elles ont respectivement pour fonctions de coût : C 1 (y 1 ) = y 2 1 et C 2 (y 2 ) = { 3 4 + 1 3 y2 2 si y 2 > 0 0 si y 2 = 0. 1. Dans cette question, on suppose que les firmes décident simultanément de leur volume de production. (a) Déterminer les fonctions de réaction f 1 (y 2 ) et f 2 (y 1 ) de chacune des firmes et les représenter dans le repère (O, y 1, y 2 ). [Attention, une firme ne produit que si son profit est positif ou nul ; par souci de commodité, on supposera même dans cet exercice qu une firme ne produit que si son profit est strictement positif.] Par la méthode habituelle, on détermine les fonctions de réaction des firmes. La fonction de réaction de la firme 1 est alors : y 1 = f 1 (y 2 ) = 3 4 1 4 y 2, et celle de la firme 2 : y 2 = f 2 (y 1 ) = 9 8 3 8 y 1. 7
Cependant, dans cet exercice, la fonction de réaction de la firme 2 n est pas tout à fait égale à cette expression. Cela provient du coût fixe 0, 75 qui est présent dans cet exercice. En effet, une firme ne souhaite normalement produire que si son profit est positif (strictement dans cet exercice). Or il est facile de voir que le profit de la firme 2 n est pas toujours positif selon la valeur de y 1 : en prenant en compte la fonction de réaction de la firme 2, on peut écrire son profit en fonction de y 1 : π 2 (y 1 ) = (3/16)(3 y 1 ) 2 (3/4), ce qui implique que la firme ne produit que si y 1 < 1. La véritable fonction de réaction de la firme 2 est donc : { 9 y 2 = f 2 (y 1 ) = 3y 8 8 1 si y 1 < 1 0 si y 1 1. Pour la représentation, ce reporter au graphiaue joint à la question b. En revanche on vérifie aisément que le profit le la firme 1 est toujours positif ou nul, quelle que soit la valeur de y 2 : π 1 (y 2 ) = (1/8)(3 y 2 ) 2. Il n est nul que dans le cas où y 2 = 3, mais alors on sait déjà que y 1 = 0 à partir de la fonction de réaction. Voir le graphique ci-dessous. Remarque : on n a pas effectué cette vérification dans les exercices précédents mais il n y avait pas de problème. C est souvent la présence d un coût fixe qui peut entraîner ce type de complication, or il n y avait pas de coût fixe. (b) Déterminer les quantités (y1 C, y2 C ), le prix du marché (p C ) et les profits des firmes (π1 C, π2 C ) à l équilibre de Cournot. Représenter graphiquement l équilibre dans le repère (O, y 1, y 2 ). La détermination de l équilibre de Cournot ne soulève pas de difficulté. On a deux cas à examiner. Si y 1 1, alors y 2 = 0, donc y 1 = 3/4, ce qui n est pas possible. Si y 1 < 1, l équilibre vérifie le système d équations : { y1 = 3 1y 4 4 2 y 2 = 9 1y, 8 8 1 8
ce qui donne : y C 1 = 15/29 0, 52, y C 2 = 27/29 0, 93, p C 1, 55, π C 1 = 450/841 0, 54, π S 2 = 1365/3364 0, 41. Placer l équilibre sur le graphique. 2. On suppose dans cette question que les firmes ne prennent plus les décisions simultanément, mais que la firme 1 fixe son volume de production avant la firme 2. Déterminer les quantités (y1 S, y2 S ), le prix du marché (p S ) et les profits (π1 S, π2 S ) des firmes à l équilibre de Stackelberg. Commenter le résultat (s aider du titre de l exercice...). Le leader (firme 1) anticipe la fonction de réaction de la firme 2. Il en déduit sa fonction de profit qui peut donc prendre deux expressions : { (3 y1 ( 9 π 1 (y 1 ) = 3y 8 8 1))y 1 y1 2 si y 1 < 1 (3 y 1 )y 1 y1 2 si y 1 1, soit : π 1 (y 1 ) = { 15 8 y 1 13 8 y2 1 si y 1 < 1 3y 1 2y 2 1 si y 1 1. Cette fonction est discontinue en y 1 = 1 : il faut l étudier séparément sur les intervalles [0, 1[ et [1, 3] (la demande maximale sur le marché est égale à 3). Sur l intervalle [0, 1[, cette fonction est d abord croissante puis décroissante (calcul de la dérivée), et atteint son maximum pour y 1 = 15/26 (là où la dérivée s annule). Le profit est alors égal à 0, 54 environ. Sur l intervalle [1, 3], la fonction est strictement décroissante, et est donc maximale quand y 1 = 1. Le profit vaut alors 1. Il en découle que la firme 1 choisit de produire y S 1 = 1, donc y S 2 = 0, p S = 2, π S 1 = 1, π S 2 = 0. La firme 2 ne produit donc pas à l équilibre : le leader choisit une quantité suffisamment élevée pour dissuader le suiveur d entrer sur le marché. Il s agit là d un exemple de barrière à l entrée sur un marché. Cette barrière à l entrée repose en fait sur la croyance 9
du suiveur en l irréversibilité de la décision de production du leader. En effet, si le suiveur doutait de cette irréversibilité, il anticiperait que le leader, seul sur le marché, choisirait finalement la quantité qui maximise son profit de monopole (3 y 1 )y 1 y 2 1, soit y 1 = 0, 75, et aurait donc intérêt à entrer sur le marché! Si l on observait ce marché de l extérieur sans connaître sa structure, on serait amené à conclure qu il est monopolistique. Pourtant, la firme 1 ne se comporte pas comme un monopole, car si c était le cas, elle produirait comme on vient de le voir y 1 = 0, 75. Elle ne le fait pas car à ce niveau de production la firme 2 déciderait d entrer sur le marché avec une production importante. La menace d entrée de la part de la firme 2 limite donc le pouvoir de monopole de la firme 1. Exercice 6 (Duopole en prix avec biens légèrement différenciés) Sur un marché de duopole, deux entreprises, Acoustic Research et B&W, produisent des chaînes hi-fi. Leurs coûts sont respectivement C A (y A ) = ya 2 pour Acoustic Research et C B (y B ) = 2yB 2 pour B&W. Elles produisent des biens différenciés, et bénéficient donc chacune d une demande propre. La demande qui s adresse à Acoustic Research est donnée par : y A (p A, p B ) = 100 3p A +2p B, et celle qui s adresse à B&W est donnée par y B (p A, p B ) = 100 + p A 2p B. 1. Au vu de la forme des fonctions de demande, comment les deux biens sont-ils perçus aux yeux des consommateurs? Supposons que le prix du bien A augmente. Alors sa demande diminue puisque y A (p A, p B ) est décroissante en p A. Mais la demande en bien B augmente puisque y B (p A, p B ) est croissante en p A. Le même raisonnement peut être fait si le prix du bien B augmente. Donc les consommateurs perçoivent les deux biens comme des biens substituables. 2. Les deux firmes sont supposées fixer leur prix simultanément. Déterminer les fonctions de réaction du duopole et les représenter dans le repère (O, p A, p B ). Le problème se résout ici de manière identique au modèle de Cournot mis à part que les variables de décision sont les prix. Plaçons-nous dans la position de la firme Acoustic Research. Elle choisit le prix p A qui maximise son profit compte tenu de son anticipation p a B sur le tarif pratiqué par son concurrent : max p A (100 3p A + 2p a B)p A (100 3p A + 2p a B) 2. En dérivant par rapport à p A et en égalisant à 0, on obtient la CPO, ce qui aboutit à la fonction de réaction suivante : p A = f A (p a B) = 350 + 7pa B. 12 Une méthode analogue permet de déterminer la fonction de réaction de B&W : p B = f B (p a A) = 900 + 9pa A. 20 On remarque que les pentes des courbes correspondantes à ces fonctions sont positives, à l inverse des pentes des courbes de réaction dans le cas de l équilibre de Cournot. Cela 10
peut être interprété intuitivement : supposons par exemple que la firme A anticipe que la firme B va augmenter son prix ; alors elle en déduit que la demande qui va s adresser à elle va augmenter, et peut donc, à la marge, augmenter son prix. La fonction f A doit donc bien être croissante. De même pour la fonction f B. 3. Déterminer l équilibre : prix p A et p B, quantités ȳ A et ȳ B, et profits π A et π B. A l équilibre, les anticipations sont vérifiées. On obtient donc un système de 2 équations dont les prix sont les deux inconnues. Les solutions sont p A = 13300/177 75, 14, p B = 4650/59 78, 81. Les quantités sont alors ȳ A 32, 20, ȳ B 17, 51, et les profits π A 1382, 74, π B 766, 86. On peut aussi calculer les coûts marginaux : Cm A 64, 40 < p A 75, 14, Cm B 70, 04 < p B 78, 81. On observe qu ils sont inférieurs aux prix comme à l équilibre de Cournot. En effet, lorsque les biens sont différenciés, la concurrence en prix est une situation de compétition, mais pas aussi extrême que la concurrence parfaite ou la concurrence à la Bertrand : l équilibre obtenu ressemble donc à un équilibre de Cournot. Exercice 7 (Leadership en prix avec frange concurrentielle) Soit le marché d un bien homogène produit par une grande entreprise (le leader) et 100 petites entreprises qui individuellement ne peuvent influencer la position du leader. Le leader décide d abord de son prix de vente. Les autres firmes sont trop petites pour influencer ce prix, donc elles le prennent comme donné : on dit qu elles forment une frange concurrentielle. Le leader est conscient de sa position dominante, aussi, connaissant les fonctions de coût des petites firmes, il est en mesure d anticiper leurs offres. Cela lui permet d en déduire la demande résiduelle du marché, sur laquelle il peut compter pour écouler sa production. Remarque. On peut noter qu il ne s agit pas à proprement parler d un modèle de concurrence en prix, car les décisions des petites firmes portent sur les quantités et non pas sur des prix. 11
La fonction de demande du marché est donnée par Y (p) = 1600 p. Les fonctions de coût du leader (C l ) et de chaque petite firme (C p ) sont respectivement C l (y l ) = 0, 25y 2 l + 100y l et C p (y p ) = 50y 2 p + 100y p. Le leader a des coûts de production moins élevés du fait de sa taille plus importante. 1. Déterminer la fonction d offre y p (p) d une petite firme, et en déduire l offre agrégée Y p (p) de la frange concurrentielle. Chaque petite firme détermine le niveau de production y p qui maximise son profit, en prenant le prix du marché choisi par le leader comme une donnée. Formellement, elle se comporte comme sur un marché en concurrence parfaite. Son profit est donc maximal quand son coût marginal est égal au prix, soit Cm p (y p ) = 100y p + 100 = p. La fonction d offre individuelle est donc : y p (p) = (1/100)p 1, ce qui n est possible que si p 100. Si p < 100, alors y p (p) = 0. L offre agrégée de la frange concurrentielle est donc : { p 100 si p 100 Y p (p) = 100y p (p) = 0 si p < 100. 2. En déduire la fonction de demande résiduelle y R (p) que la firme dominante prend en compte. La représenter graphiquement. Ecrire son profit en fonction de p. En déduire l équilibre de ce marché. La firme dominante prend en compte la fonction d offre de la frange concurrentielle pour déterminer la demande résiduelle qui s adresse à elle. Si p < 100, alors Y p (p) = 0, donc elle bénéficie de l ensemble de la demande du marché : y R (p) = Y (p) = 1600 p. Si p 100, alors y R (p) = Y (p) Y p (p) = 1700 2p, mais ce n est possible que si p 850. Si p > 850, alors la frange concurrentielle accapare tout le marché, donc la demande résiduelle est nulle : y R (p) = 0. La courbe de demande résiduelle de la firme dominante est donc cassée. Voir le graphique ci-dessous. 12
Etant donnée sa fonction de demande résiduelle, le leader se comporte comme un monopole. La fonction de profit du leader est : π l (y l ) = p(y l )y l C l (y l ), avec y l = y R (p) donc π l (p) = py R (p) C l (y R (p)), qui a donc plusieurs expressions selon p. Si p < 100, alors y R (p) = 1600 p, donc le profit est : π l (p) = p(1600 p) 0, 25(1600 p) 2 100(1600 p). La maximisation de ce profit conduit à p = 1000, ce qui aboutit à une contradiction avec la condition p < 100. Il n y a donc pas de solution pour p < 100. Si 100 p 850, alors y R (p) = 1700 2p, donc la maximisation du profit conduit alors à p = 600. Le profit est alors 187 500. Si p > 850, alors y R (p) = 0, donc le leader ne produit rien. Le profit est alors nul. Clairement, la meilleure stratégie du leader est donc de choisir un prix de 600. Il offre alors une quantité de y l = y R (600) = 500. L offre de la frange concurrentielle est Y p (600) = 600 100 = 500 (Le fait que Y p = y l est une coincidence), donc chaque petite firme produit y p = 5. On vérifie bien qu au prix de 600, la demande totale du marché (1600 600 = 1000) est égale à l offre totale (500 + 500 = 1000). 13