Seconde Générale Algorithmique et fonctions EXERIES Enoncé ABDEH est un cube de côté cm M et N sont des points des arrêtes [AD] et [AB] tels que P est le point de l arrête [EA] tel que H G E F P M D A N 1. On note le volume en, du parallélépipède rectangle représenté en rouge sur la figure. a. Quel est l ensemble de définition de la fonction V? b. Exprimer en fonction de.. On se propose de représenter la fonction V sur une feuille de papier millimétré. a. Avec un tableur de la calculatrice par exemple, réaliser une table de valeurs de la fonction V avec un pas de. b. Dans un repère unités : 1 cm en abscisses et, cm en ordonnées, construire le nuage de points associé à ce tableau et proposer à main levée un tracé de la courbe de V. Sur la figure ci-dessous, on peut voir le tracé obtenu avec le tableur. B A l g o r i t h m i q u e e t F o n c t i o n s c o u r s b r i a n d. f r Page 1
Figure 1 : Vx 7 5 3 1 c. Afin d affiner le tracé, modifier la feuille de calcul de façon à obtenir une table avec un pas de 1. Placer sur la feuille de papier les nouveaux points obtenus et rectifier le tracé précédent. d. Réaliser une table avec un pas de,5 et affiner la courbe. 3. On considère l algorithme suivant : Entrée Saisir N : nombre d étapes de la construction du nuage Initialisation L : longueur de l intervalle entre deux points L prend la valeur Traitement Pour de 1 jusqu à N L prend la valeur prend la valeur de Tant que Marquer le point de coordonnées prend la valeur de FinTanque FinPour a. Que donne cet algorithme avec N = 1? N =? N =? Page
b. Pour quelles valeurs de N ne pourra-t-on distinguer deux abscisses consécutives sachant que l œil ne discerne pas des points situés de moins de,5 mm l un de l autre? orrigé 1. Le parallélépipède rectangle rouge a pour base carré de côté La hauteur e de ce parallélépipède est AP : Le volume de ce parallélépipède est omme varie, donc varie en fonction de. On considère donc la fonction qui à associe le volume du parallélépipède rouge. a. Donnons l ensemble de définition de M est un point du segment [AD] côté du cube de longueur Donc L ensemble de définition de est donc b. Exprimons et comme en fonction de Le volume du parallélépipède rouge est une fonction d expression algébrique Qu on peut aussi développer et on obtient Soit. On se propose de représenter la fonction sur une feuille de papier millimétré. a. réalisons une table de valeurs de la fonction V avec un pas de à l aide d une calculatrice TI figure et du tableur Excel figure 3. b. Dans un repère unités : 1 cm en abscisses et, cm en ordonnées, onstruire le nuage de points associé à ce tableau et proposer à main levée un tracé de la courbe de V. Sur la figure ci-dessous, on peut voir le tracé obtenu avec le tableur. ourbe représentative de V obtenue avec une calculatrice TI figure et du tableur Excel Page 3
figure 3. Figure : Vx alculatrice TI Figure 3 : Vx Tableur excel 9 7 5 3 1 1 Vx x Vx 7 c. Afin d affiner le tracé, modifier la feuille de calcul de façon à obtenir une table avec un pas de 1. Placer sur la feuille de papier les nouveaux points obtenus et rectifier le tracé précédent. Réalisons une table de valeurs de la fonction V avec un pas de 1 à l aide d une calculatrice TI du tableur Excel et affinons le tracé : figure. A l g o r i t h m i q u e e t F o n c t i o n s c o u r s b r i a n d. f r Page
d. Affinons de même le tracé avec un pas de,5 sur la même figure. Tableaux de valeurs Pas de Pas de 1 Pas de,5 x Vx x Vx x Vx 1 7,5 1,75 1 7 7 3 5 1,5 1,5 5 75,5 3,375 7 3 5 7 9 3,5 55,15,5 7,75 5 75 5,5 75,5 7,5 3,375 7 9 7,5,15 Vx=x^-x 9 7 5 3 1 1 3. On considère l algorithme suivant : Entrée Saisir N : nombre d étapes de la construction du nuage Initialisation L : longueur de l intervalle entre deux points L prend la valeur Traitement Pour de 1 jusqu à N L prend la valeur prend la valeur de Tant que Marquer le point de coordonnées prend la valeur de FinTanque FinPour Page 5
a. Que donne cet algorithme avec N = 1? N =? N =? N est le nombre d étapes de construction des points de la courbe après initialisation. est la longueur séparant deux abscisses consécutives. Au départ de l algorithme l initialisation, signifie qu il y a deux abscisses éparées d une distance égal à ; ces abscisses de départ sont et. A l étape suivante la longueur séparant deux abscisses sera alors Elle est obtenue par la construction en une seule étape, c'est-à-dire pour N = 1, des points d abscisses ; et. Pour N =, la construction se fera en deux étapes : onstruction des points d abscisses ; et qui sont séparé par la longueur Ensuite construction des points d abscisses séparées par une longueur c'est-à-dire, construction des points d abscisses ; ; ; et. Pour N =, la construction se fera en quatre étapes : onstruction des points d abscisses ; et qui sont séparé par la longueur Ensuite construction des points d abscisses ; ; ; et qui sont séparé par la longueur Ensuite construction des points d abscisses séparées par une longueur c'est-à-dire, construction des points d abscisses ; 1 ; ; 3 ; ; 5 ; ; et. Enfin construction des points d abscisses séparées par une longueur c'est-à-dire, construction des points d abscisses ;,5 ; 1 ; 1,5 ; ;,5, ; 7 ; 7,5 et. b. Pour quelles valeurs de N ne pourra-t-on distinguer deux abscisses consécutives sachant que l œil ne discerne pas des points situés de moins de,5 mm l un de l autre? Pour répondre à cette question, on peut écrire plus simplement autrement les résultats de l algorithme obtenus en à la question a, ce qui va nous permettre d exprimer la longueur en fonction de N. Page
En effet, en reprenant ces résultats on obtient : distance égal à ; ces abscisses de départ sont et. Pour N = 1 Pour N = Soit Pour N = 3 Soit Pour N = Soit omme N est un entier qui prend don les valeurs 1;;3;; ;k; ;N K est un entier pris par N, donc : Pour N = k Ou plus simplement pour tout entier N Ainsi on ne pourra pas distinguer deux abscisses consécutives si la distance qui les sépare est inférieure à,5 mm, soit inférieur à,5 cm, car l unité des abscisses est le centimètre, c'est Page 7
à-dire si Qui équivaut à Et comme et Donc on ne pourra pas distinguer deux abscisses consécutives si A l g o r i t h m i q u e e t F o n c t i o n s c o u r s b r i a n d. f r Page