Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de IR, C la courbe représentative de f et x un élément de I. Si f est croissante sur un intervalle, alors f (x )> sur cet intervalle. Si f est décroissante sur un intervalle, alors f (x ) < sur cet intervalle. f admet un extremum (maximum ou minimum) en x alors f (x ) = et f change de signe en x. La détermination du signe de la dérivée se fait donc par lecture graphique du tableau de variation de la fonction. Voir au besoin la fiche de seconde. Exemple : La courbe de la fonction f, définie et dérivable sur IR étant donnée ci contre. y x Par lecture graphique le tableau de variation de la fonction f est : Et donc le tableau de signe de la dérivée est : x - + f(x) x - + f'(x) + Passer aux exercices page
Exercice La courbe C donnée ci-contre est la représentation graphique d une fonction h définie et dérivable sur l intervalle ] ; + [. La droite (A), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe C au point d abscisse. Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique de la dérivée de la fonction h sur l intervalle ] ; + [. Préciser laquelle. A - - C - - a. b. c. - - - - - - - - - Corrigé Revoir les explications du cours Exercice D après AC ES Asie On considère une fonction f : définie, continue et dérivable sur l intervalle [ ; + [ ; strictement croissante sur l intervalle [ ; ] ; strictement décroissante sur les intervalles [ ; ] et [ ; + [. La courbe C, tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. Elle passe par les points A( ; ), ( ; ), D( ; ) et E( ; ). Elle admet au point D une tangente passant par le point G( ; ). Elle admet au point et au point E une tangente horizontale. page
E D - - - - - - G - Parmi les trois courbes suivantes, C, C, C, préciser, en justifiant la réponse celle qui représente f. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Courbe C Courbe C Courbe C Corrigé Revoir les explications du cours page
Corrigé La courbe C donnée ci-contre est la représentation graphique d une fonction h définie et dérivable sur l intervalle ] ; + [. La droite (A), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe C au point d abscisse. Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique de la dérivée de la fonction h sur l intervalle ] ; + [. Préciser laquelle. A - - C - - a. b. c. - - - - - - - - - Par lecture graphique, la fonction f est croissante de à, environ et décroissante de, à +. De plus le coefficient directeur de la tangente en est /. Seuls la courbe du c. est celle d une fonction positive de à, environ et négative de, à +, une fonction par laquelle l image de est /. Si la lecture graphique du signe d une fonction vous pose problème, revoir la fiche de seconde. Retour aux exercices Revoir les explications du cours page
Corrigé Parmi les trois courbes suivantes, C, C, C, préciser, en justifiant la réponse celle qui représente f. E D - - - - - - G - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Courbe C Courbe C Courbe C La courbe de f est décroissante de à, croissante à et décroissante de à +. La dérivée de f doit donc être négative de à, positive à et négative de à +. Il s agit donc de la courbe C. Retour aux exercices Revoir les explications du cours page