TD 1 : Conversions d unités et équation aux dimensions Préambule : L'alphabet grec comporte les lettres suivantes: α (alpha), β(bêta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ζ (dzêta), η (êta), θ (thêta), ι (iota), κ (kappa), λ (lambda), µ (mu), ν (nu), ξ (ksi), ο (omicron), π (pi), ρ (rhô), σ (sigma), τ (tau), υ (upsilon), φ (phi), χ (khi), ψ (psi) et ω (oméga). Le système international d unité : 7+2 unités Grandeur Écriture Unité SI Symboles Longueur l mètre m Masse m kilogramme kg Temps t seconde s Intensité d un courant électrique I ampère A Quantité de matière n mole mol Température absolue T kelvin K Intensité lumineuse I V candela cd Angle plan Angle solide Multiple et sous-mutiples α Ω radian stéradian rad sr Multiples Symboles Valeur Sous-mutiples Symboles Valeur déca da 10 déci d 10-1 hecto h 10 2 centi c 10-2 kilo k 10 3 milli m 10-3 méga M 10 6 micro µ 10-6 giga G 10 9 nano n 10-9 téra T 10 12 pico p 10-12 péta P 10 15 femto f 10-15 exa E 10 18 atto a 10-18 zetta Z 10 21 zepto z 10-21 yotta Y 10 24 yocto y 10-24 Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 1/5
Toutes les autres unités peuvent s exprimer à partir des 7+2 unités de bases mais il est souvent commode d utiliser les unités dérivées courantes. Quelques exemples : Grandeur Unités dérivées Unité SI Fréquence : f hertz (Hz) s -1 Pulsation : ω rad.s -1 rad.s -1 Force : F ; P newton (N) kg.m.s -2 Énergie : E ; U ; W ; Q joule (J) kg.m².s -2 Puissance : P watt (W) kg.m².s -3 Pression : p pascal (Pa) kg.m -1.s -2 Résistance thermique surfacique : r m².k.w -1 K.s 3.kg -1 Conductivité thermique : λ W.m -1.K -1 kg.m.s -3.K -1 Quantité d électricité, charge électrique :Q ;q coulomb (C) A.s Tension électrique : U ; V volt (V) kg.m². s -3.A -1 Résistance électrique : R ohm (Ω) kg.m². s -3.A -2 Éclairement lumineux : E lux (lx) cd.sr.m -2 Flux lumineux : Ф lumen (lm) cd.sr Émittance : M lm. m -2 cd.sr.m -2 Équation aux dimensions Les grandeurs physiques ou chimiques sont remplacées par leurs dimensions écrites entre crochet : M - masse m devient [ ] - distancel, L, h, r, d, e devient [ L ] - temps t devient [ T ] - intensité du courant I devient [ A ] - température θ ou T devient [ K ] - intensité lumineuse Iv devient [ I ] - quantité de matière devient [ mol ] Pour écrire une équation aux dimensions : - on remplace chaque terme de l équation par sa dimension exprimée en termes : [ M α.l β.t δ.a γ.k χ.i ε.mol η ] - α, β, δ, γ, χ, ε, et η étant des exposants > 0, < 0 ou = 0 si un(ou plusieurs) facteur(s) est sans dimension - on réduit les expressions avec les règles mathématiques habituelles sur les puissances. Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 2/5
Exercice 1 : Exprimer les dimensions et les unités du système international (SI). a) d une surface S, d un volume V, d une masse volumique ρ. b) d une vitesse v, d une accélération a. (variation de la vitesse avec le temps accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s -2 ) c) d une force F Relation fondamentale de la dynamique : la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l accélération de son centre de gravité. ur F = m. a r exemple : P = m.g d) d une énergie E Exemple : énergie cinétique E c = 1/2.m.v 2 ou énergie potentielle de pesanteur E p = m.g.h (h : hauteur d élévation du corps) d un travail W d une force constante ur F dont le point d application se déplace de A vers B : W = ur uuur F. AB = F. AB.cosα F r α e) d une puissance P f) d une pression p g) d une quantité d électricité q, d une tension U A B Exercice 2 : Homogénéité d une formule Vérifier la formule donnant la période T d un pendule de longueur l et de masse m. T = 2π Exercice 3 : Analyse dimensionnelle : «Comment trouver une formule» a) Trouver la formule donnant la poussée d Archimède F sachant que cette force est une fonction monôme du volume du corps immergé V, de la masse volumique ρ du fluide et de l accélération de la pesanteur. b) Trouver la formule donnant la résistance de l air R sachant que c est une fonction monôme de la masse volumique de l air ρ, de la vitesse dans l air v et de la forme du corps par l intermédiaire de sa section S. À retenir La somme et la différence de plusieurs termes de même dimension donne un seul terme de même dimension que les autres. On ne peut additionner ou soustraire que des quantités de même dimension : «on ne pas additionner des pommes et des poires» De part et d autre d une égalité, les deux quantités doivent avoir la même dimension. l g Exercice 4 : Exprimer les unités suivantes à partir des unités de bases SI. a) Le Joule (J), unité, d énergie sachant qu un solide se déplaçant d un distance d dans la direction d une force F qui engendre ce déplacement reçoit l énergie mécanique W = F.d. b) Le Watt (P), sachant que la puissance est égale à l énergie par unité de temps. c) Le rendement. Exercice 5 : graphiques et fonctions Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 3/5
a) Calculer la résistance d un dipôle dont la caractéristique courant-tension est la suivante : U (V) 20,0 0 3,00 I (A) En déduire la valeur de l intensité quand la tension passe à 24,5 V. b) Sachant que lorsque un interrupteur électronique est fermé la tension à ses bornes est nulle et qu elle peut être quelconque lorsque il est ouvert, en déduire, à partir du relevé du graphe de la tension en fonction du temps aux bornes d un interrupteur (I), les phases où l interrupteur est fermé et celles où il est ouvert. 10 u I (V) 0 10 25 35 60 70 t (ms) Lorsque l interrupteur est fermé, un technicien mesure l intensité du courant électrique circulant dans celuici et obtient 2,2 A. Tracer, en concordance de temps avec la tension le graphe de l intensité du courant dans l interrupteur. c) La vitesse de rotation d un moteur électrique varie selon le graphique ci-dessous : 1000 n (tr/min) 0 t 1 t 2 t t (s) 3 T T+t 1 T+t 2 T+t 3 2T 1. Donner la valeur maximale de la vitesse de rotation du moteur. Transformer sa valeur afin de l exprimer dans le SI. 2. Donner la valeur minimale de la vitesse de rotation du moteur. 3. Citer tous les intervalles de temps où la vitesse est nulle. 4. Citer tous les intervalles de temps où le moteur accélère. 5. Citer tous les intervalles de temps où la vitesse est constante. 6. À votre avis que symbolise la grandeur T? Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 4/5
Exercice 6 : Donner le nom des grandeurs physiques suivante et convertir chacune des quantités en unités légales du système international, on gardera pour chaque résultat le même nombre de chiffres significatifs. Nom de la grandeur Grandeur En unité SI Q v = 10 L.min -1 Q m = 630g. min -1 ρ = 7,89 g.cm -3 V M = 22,4 L.mol -1 χ = 350,52 g.l -1 C = 2,5 mol. L -1 Q = 70 A.h t =1,00 jour V = 30 cm 3 V gaz = 750,0L p = 1013,25 hpa p = 820 mm de Hg S = 450 cm² σ = 15g.cm -2 E = 1340 kw.h V = 20 dm 3 Fin Sandrine Cerantola LP Alpes et Durance 2015-2016 Page 5/5