L3 : Algorithme d Euclide et problèmes relevant de la divisibilité de deux nombres. PGCD. I Rappel : Définition de la divisibilité d un nombre par un autre : Un nombre entier est divisible par un autre si le reste de leur division Euclidienne est 0. Autrement dit, a est divisible par b s il existe un entier q tel que a = b q. On pourra aussi dire que a est un multiple de b (et de q) ou que b (et q) divise a. 2 3 13 1 7 6 Exemple : 2 2 1 8 2 331 = 76 30 + 51 et 51 < 76 5 1 3 0 0 5 1 Le reste étant différent de 0, 2 331 n est pas divisible par 76. 2 4 13 2 7 6 2 2 1 8 1 5 2 3 2 1 5 2 0 2 432 = 76 32 Le reste étant nul 2 432 est divisible par 76. On peut aussi dire que 2432 est un multiple de 76. Critères de divisibilité : Un nombre entier est divisible par 2 s il fini par 0, 2, 4, 6 ou 8. On dit alors que ce nombre est pair. Un nombre entier est divisible par 5 s'il fini par 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 10 s'il fini par 0. Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple : 21 780 est divisible par 2, 5 et 10 car il fini par 0. 21 780 est divisible par 3 et par 9 car 2+1+7+8+0=18 qui est divisible par 3 et 9 21 780 n est pas divisible par 7 car 21 780 7 3 111,4 21 780 n est pas divisible par 8 car 21 780 8 = 2 722,5 21 780 est aussi divisible par 11, 30,55, 90, 110, 121, 242 et encore d autres nombres.
Activité Pb N 1 : Un centre aéré organise une sortie à la mer pour 315 enfants. L équipe des accompagnateurs comprend 42 membres. Comment peuton constituer des groupes comportant le même nombre d enfants et le même nombre d accompagnateurs (donner toutes les solutions possibles)? Le nombre N de groupes doit diviser à la fois les 315 (= N e) enfants et les 42 (= N a) accompagnateurs (e = nb enfant d un groupe et a =nb accomp d 1 gr). La liste des diviseurs de 315 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 15 ; 21 ; 35 ; 45 ; 63 ;105 ; 315 La liste des diviseurs de 42 sont : 1 ; 2, 3 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42 Les diviseurs N communs à 315 et 42 sont donc 1 ; 3 ; 7 ; 21 1 groupe donnerait 315 enfants et 42 accompagnateurs pour ce groupe. 3 groupes donnerait 315 3=105 enfants et 42 3=14 accompagnateurs par groupe. 7 groupes donnerait 315 7=45 enfants et 42 7=6 accompagnateurs par groupe. 21 groupes donnerait 315 21=15 enfants et 42 21=2 accompagnateurs par groupe ce qui est le plus raisonnable. Pb N 2 : Un philatéliste possède 1 631 timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c est à dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers. 1. Calculer le nombre maximum de lots qu il pourra réaliser. 2. Combien y auratil, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lots? 1. Le nombre de lots doit diviser 1631 et 932 et doit être le plus grand possible, c est donc le pgcd(1631 ; 932). Étapes a b r q =... et r = a b q 1 1631 932 699 q = 1 et r = 699 2 932 699 233 q = 1 et r = 233 3 699 233 0 q = 3 et r = 0 Le maximum de lot sera de 233. 2. 1 631 233 = 7 et 932 233 = 4 Donc il y aura dans chacun des 233 lots, 7 timbres français et 4 timbres étrangers.
II Notion de PGCD : Définition notation : le plus grand diviseur commun de deux entiers a et b est noté PGCD(a ; b). Exemple : Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 et 36 24 et 36 ont six diviseurs communs 1, 2, 3, 4, 6 et 12 Le plus grand d entre eux est 12, c est le Plus Grand Diviseur Commun de 24 et 36. On le désigne en abrégé par PGCD(24 ; 36) = PGCD(36 ; 24) = 12 Sur la calculette on peut utiliser la fonction PGCD : Sur les casio : Seconde Calc 24 Seconde 3 36 ) = 12 PGCD( 24 ; 36 ) = 12 Sur les TI : Maths 1 24 Seconde, 36 ) = 12 PGCD( 24 ; 36 ) = 12 III Algorithme d Euclide : Technique des divisions successives
Cette méthode sert à trouver le PGCD de n importe quel couple d entiers. Propriété : Si a et b, q, r désignent les entiers de la division Euclidienne de a par b dont q et r sont le quotient et le reste ALORS Pgcd(a ;b) = Pgcd(b ;r) Le PGCD de 520 et 336 est le dernier reste non nul de la série des divisions cidessous. Déterminer le PGCD de 520 et 336 : 5 2 0 3 3 6 3 3 6 1 8 4 1 Donc 520 = 336 1 + 184 et r = 520 336 1 = 184 Étapes a b r q =... et r = a b q 1 520 336 184 q = 1 et r = 184 2 336 184 152 q = 1 et r = 152 3 184 152 32 q = 1 et r = 32 4 152 32 24 q = 4 et r = 24 5 32 24 8 q = 1 et r = 8 6 24 8 0 q = 3 et r = 0 Donc PGCD (520 ; 336) = 8 Autre manière de faire : 5 2 0 3 3 6 3 3 6 1 8 4 1 3 3 6 1 8 4 1 8 4 1 5 2 1 1 8 4 1 5 2 1 5 2 0 3 2 1 1 5 2 3 2 1 2 8 0 2 4 4 3 2 2 4 2 4 8 1 2 4 8 2 4 0 3 Donc PGCD (520 ; 336) = 8 L3 Exercices :
Exercice N 1 : Complète par «diviseur» ou par «multiple». 1. 29 11 = 319 a) 29 est un diviseur de 319 b) 319 est un multiple de 29 2. 17 36 = 612 a) 17 a pour multiple 612 b) 612 a pour diviseur 36 3. 23 18 = 414 a) 18 est un diviseur de 414 b) 414 a pour diviseur 18
Autre méthode : Étapes a b r q = et r = a b q 1 182 42 14 q = 4 et r = 14 2 42 14 0 q = 3 et r = 0 Donc pgcd( 182 ;42) = 14 Autre méthode : Étapes a b r q = et r = a b q 1 534 235 64 q = 2 et r = 64 2 235 64 43 q = 3 et r = 43 3 64 43 21 q = 1 et r = 21 4 43 21 1 q = 2 et r = 1 Donc pgcd( 534 ;235) = 1 Autre méthode : Étapes a b r q = et r = a b q 1 1053 325 78 q = 3 et r = 78 2 325 78 13 q = 4 et r = 13 3 78 13 0 q = 6 et r = 0 Donc pgcd( 1053 ;325) = 13 Autre méthode : Étapes a b r q = et r = a b q 1 2340 1980 360 q = 1 et r = 360 2 1980 360 180 q = 5 et r = 180 3 360 180 0 q = 2 et r = 0 Donc pgcd( 2340 ;1980) = 180
Exercice N 7: 1. Calculer le PGCD de 110 et de 88. 2. Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : «Découper dans ces plaques des carrés, tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte.» Quelle sera la longueur du côté du carré? 3. Combien obtiendraton de carrés par plaque? 1. 1 1 0 8 8 8 8 2 2 1 8 8 2 2 8 8 0 4 Étapes a b r q =... et r = a bq 1 110 88 22 q = 1 et r = 22 2 88 22 0 q = 4 et r = 0 donc pgcd(110 ;88) = 22 2. Pas de perte, signifie que si C est la longueur du côté du carré 110 cm alors C doit diviser 88 et 110 (pas de reste). 88 cm De plus les carrés étant le plus grand possible signifie que ce C diviseur commun à 110 et 88 doit être le plus grand possible donc C C = pgcd(110 ;88) = 22 cm 110 cm 3. On voit que si les carreaux font 22 cm de côtés alors ils rentrent 5 fois sur la longueur et 4 fois sur la largeur ce qui fait 20 carreaux. 88 cm 22 22
=125 0 et. 121= 8 15+ 1, donc R=1 et 245 = 112 2 + 21, donc q =2 24 5= 120 274= 10 27+ 4, donc q=27 et 1 divise tous les entiers. = 514
VII Ce que j ai appris à faire : Exercices coursl1 Labomep : L1_PGCD et FRACTION Reconnaitre la divisibilité d un nombre par un autre. Critères de divisibilité (chap I) Ex 1 Calculer du PGCD de deux nombres par Ex 2, 24, 3, 5, 6, 7 et 48 l algorithme d Euclide. Ex 2, 3 et 8 Reconnaître deux nombres premiers entre eux Ex 4 et 5 Ex 4 Rendre irréductible un calcul fractionnaire. Ex 5, 6 et 48 Ex 5, 6 et 9 Savoir résoudre des problèmes relevant de la Ex 1, 2, 7, 30 divisibilité de deux nombres par un autre. Ex 7 Evaluation Vous Prof