Eléments finis de joint en 2D et en 3D

Titre : Eléments finis de joint en 2D plan et en 3D Date : 04/06/2009 Pae : 1/6 Eléments finis de joint en 2D et en 3D Résumé : Cette documentation porte sur la description des éléments finis de joint 2D et 3D permettant de modéliser l évolution d une fissure le lon d un chemin prédéterminé. On présente successivement les points suivants : - éométrie des éléments - méthode pour construire des joints avec une bonne numérotation locale - repère local au joint et matrice de passae du repère lobal au repère local - saut de déplacement dans le joint - vecteur nodal des efforts intérieurs ainsi que la matrice tanente

Titre : Eléments finis de joint en 2D plan et en 3D Date : 04/06/2009 Pae : 2/6 1 Géométrie des éléments finis de joint 1.1 Géométrie du joint 2D L élément de joint en 2D est un quadranle à quatre nœuds (QUAD4) avec deux petits côtés et deux rands côtés [12] et [34] (voir fiure 1) qui représentent les deux sements + Γ et Γ d une interface (ou lèvres d une fissure) entre deux sous domaines bidimensionnels. Pour distinuer les côtés + Γ et Γ, la numérotation locale des nœuds doit se faire obliatoirement comme sur la Fiure 1. 3 2 t n Y X 4 1 Fiure 1 : Élément de joint 2D avec la bonne numérotation locale. 1.2 Géométrie du joint 3D Les éléments de joint en 3D permettent de représenter une surface S entre deux sous domaines volumiques + Ω et Ω. Ils sont compatibles avec le maillae des sous domaines. Si le volume est maillé avec des HEXA8, les joints à utiliser sont éalement des HEXA8 (hexaèdres à huit nœuds). Si le volume est maillé avec des PENTA6 ou des TETRA4, les joints à utiliser sont des PENTA6 (pentaèdres à six nœuds). Pour distinuer les surfaces supérieures S + (liée à + Ω ) et inférieure S (liée à Ω ) il est nécessaire d imposer une numérotation locale des nœuds bien spécifique (voir fiure 2).

Titre : Eléments finis de joint en 2D plan et en 3D Date : 04/06/2009 Pae : 3/6 n5 n1 n8 n4 n6 n2 n7 n3 n4 n1 n5 n6 n3 n2 Fiure 2 : Schéma des éléments de joint 3D HEXA8 et PENTA6 avec la bonne numérotation locale. 1.3 Construction automatique de mailles de joint La commande MODI_MAILLAGE utilisée avec le mot clé ORIE_FISSURE permet d imposer la bonne numérotation locale des mailles de joint en 2D ou 3D (voir doc. [U4.23.04]). Par ailleurs le mot clé CREA_FISS de la commande CREA_MAILLAGE (voir doc. [U4.23.02]) permet de créer une line d éléments de joints (dans une direction donnée) à partir de deux roupes de nœuds en vis-à-vis (uniquement disponible en 2D). 2 Repère local et matrice de passae Il est nécessaire de construire un repère local à l élément pour définir le saut de déplacement δ (donnée d entrée de la loi de comportement cohésive : voir R7.02.11). Par ailleurs, on définit la matrice passae R du repère lobal au repère local. 2.1 Cas 2D Soit X,Y le repère lobal. La direction donnée par les rands côtés [12] et [34] de l élément de joint 2D permet de définir un repère local n,t à l élément de joint (voir fiure 1) : t= 12 12, n=t X Y La matrice de passae du repère lobal au repère local s exprime : R=[ n x n y t x t y ]

Titre : Eléments finis de joint en 2D plan et en 3D Date : 04/06/2009 Pae : 4/6 2.2 Cas 3D On note X,Y, Z le repère lobal. Pour la construction du repère local à l élément de joint, on utilise la base covariante de l élément surfacique correspondant. Si on note paramétrée d un point de l élément surfacique : où et s 1, 2 = N n 1, 2 s n s 1, 2 la position N n et n s désinent respectivement la fonction de forme et la position éométrique du nœud n, N b le nombre de nœuds de l élément surfacique. On définit la base locale covariante de la manière suivante : a 1 = s 1 = N n 1 sn a 2 = s 2 = N n 2 sn Ces deux vecteurs sont en fait des vecteurs tanent à l élément en un point donné. La base orthonormée directe locale n,t, est alors construite de la manière suivante : a 1, a 2 t= a 1 a 1 n= t a 2 a 2 =n t La matrice de passae du repère lobal au repère local s exprime : x n y n z R=[n t x t y t z] z x y 3 Saut de déplacement Les joints ont vocation à représenter deux faces en reard, ils ne font intervenir que les fonctions d interpolation et les points d intération des éléments surfaciques (en 3D) ou linéique (en 2D) correspondant : En 2D : pour le joint QUAD4, l élément linéique est le SEG2 En 3D : pour le joint PENTA6, l élément surfacique est le TRIA3 pour le joint HEXA8, l élément surfacique est le QUAD4.

Titre : Eléments finis de joint en 2D plan et en 3D Date : 04/06/2009 Pae : 5/6 On appelle N n la fonction de forme du nœud n de l élément surfacique 1. respectivement les déplacements nodaux des sements + Γ et + n U et n U désinent Γ en 2D ou des faces S + et S en 3D. Dans le repère local, le saut de déplacement δ est discrétisé à partir des fonctions de forme N n. Au point de auss, il s exprime comme la différence des déplacements des faces (ou sements) + et - : = R U n U n N n où R matrice de passae en 2D, en 3D, qui permet d exprimer les déplacements nodaux dans le repère local. On peut synthétiser l expression précédente dans une matrice M qui ait sur le vecteur des déplacements nodaux de l élément : U, pour construire le saut de déplacement dans le repère local : =M U La matrice M est de dimension 2x6 en 2D ou 3x6 en 3D. est le nombre de nœuds de l élément surfacique. 3.1 Efforts intérieurs et matrice tanente La formulation du problème mécanique (cf. note H-T64-2007-03420-FR pour plus de détails) fait intervenir le travail des efforts le lon de la discontinuité, qui n est autre que l énerie de surface liée à la fissuration de la structure : W s = avec ψ densité d énerie de surface et vecteur des efforts intérieurs : F int = W s U = U ω poids du point de auss. Cela permet de définir le Dans l expression précédente, le premier terme est donné par la loi de comportement cohésive (voir R7.02.11). Cela correspond au vecteur contrainte (ou force cohésive) au point de auss : = 1 Par la suite, on utilise le terme énérique : «surfacique» pour le 2D comme pour le 3D.

Titre : Eléments finis de joint en 2D plan et en 3D Date : 04/06/2009 Pae : 6/6 Le second terme est donné par : U =M Le vecteur nodal des forces intérieures s exprime donc de la manière suivante : F int t = M Dans le cadre d un alorithme de Newton, pour résoudre le problème d équilibre non linéaire, il est utile de disposer de la matrice tanente, c est-à-dire la dérivée des forces intérieures par rapport aux déplacements nodaux. Dans le cas de l élément de joint, elle s exprime simplement : K = F int U = M t M Cette dernière s appuie sur la matrice tanente : cohésive adoptée (voir R7.02.11). spécifique à la loi de comportement 4 Description des versions du document Indice documen t Aster Auteur(s) Oranisme(s) Description des modifications B 7.2 J.Laverne, EDF-R&D/AMA C 8.4 J.Laverne, EDF-R&D/AMA D 9.1 J.Laverne, EDF-R&D/AMA fiche 9807 intération des éléments de joint 3D