TABLE DES MATIÈRES PRÉFACE... 1 INTRODUCTION... 3 PREMIÈRE PARTIE - LES OUTILS TECHNIQUES DE BASE Chapitre 1 Outils actuariels... 8 1. Assurance non-vie... 8 1.1. Hypothèses et présentation du modèle... 8 1.2. Les moments de la charge sinistre... 10 1.3. Distributions de Poisson Composée... 10 1.4. La formule récursive de PANJER... 11 2. Assurance vie... 12 2.1. Le modèle individuel... 12 2.2. Le modèle collectif : modélisation de portefeuilles agrégés... 14 Chapitre 2 Outils économiques et financiers... 15 1. Les méthodes issues de l approche par arbitrage... 15 1.1. Introduction... 15 1.2. Portefeuille d arbitrage autofinancé... 16 1.3. Probabilité risque-neutre... 17 1.4. Changement de numéraire... 19 1.5. Changement de temps... 19 1.6. Le cas des marchés incomplets... 21 2. Le traitement d un engagement par un assureur... 22 2.1. L approche assurantielle classique : le principe d équivalence... 22 2.2. L approche financière : couverture... 23 2.3. Synthèse des approches financière et assurantielle... 23 3. La structure par terme des taux d intérêt... 24 3.1. Notations... 25 3.2. Modélisation des taux en temps continu... 26 3.3. Modélisation des taux en temps discret... 33 4. L inflation... 40 4.1. L approche de KAUFMANN et al... 41 4.2. Le modèle de WILKIE... 44 4.3. Le modèle de AHLGRIM et al. [2003]... 45 5. Les actions... 46 5.1. Le modèle de BLACK et SCHOLES... 48 5.2. Le modèle de MERTON... 48
360 Modèles financiers en assurance 5.3. L utilisation des lois stables... 52 6. Les autres actifs... 53 7. Un modèle stochastique simple de modélisation de l actif... 53 7.1. Modèle «actif» déterministe classique... 53 7.2. Modélisation stochastique de l actif... 54 7.3. Description du stockage des résultats... 59 Chapitre 3 Outils mathématiques... 62 1. Outils statistiques essentiels... 62 1.1. La décomposition de CHOLESKY... 62 1.2. Tests statistiques usuels... 64 1.3. Modèle linéaire généralisé... 65 1.4. Bootstrap... 68 2. Séries temporelles... 71 2.1. Le modèle AR... 71 2.2. Le modèle MA... 73 2.3. Le modèle ARMA... 74 2.4. Le modèle ARCH... 74 3. Rappels de calcul stochastique... 76 3.1. Mouvement brownien... 76 3.2. Processus de Poisson... 77 3.3. Calcul d ITÔ... 84 4. Analyser la dépendance entre variables aléatoires... 85 4.1. Limites de l hypothèse d indépendance... 85 4.2. Mesures de dépendance... 86 4.3. Structures de dépendance... 90 5. Modéliser la dépendance entre variables aléatoires... 96 5.1. Rappels sur la dépendance linéaire... 96 5.2. La dépendance non linéaire : la théorie des copules... 98 5.3. Copules, lois conjointes et dépendance... 98 5.4. Inférence statistique... 105 5.5. Copules et valeurs extrêmes... 108 5.6. Copules et simulation... 109 5.7. La méthode NORTA... 111 5.8. Application des copules en assurance... 113 DEUXIÈME PARTIE - TECHNIQUES DE SIMULATION Chapitre 4 Générer des nombres aléatoires... 117 1. Les générateurs pseudo-aléatoires... 117 1.1. Les générateurs congruentiels... 118 1.2. Autres générateurs pseudos aléatoires... 121 2. Les générateurs quasi-aléatoires... 121 2.1. Les suites de VAN DER CORPUT [1935]... 122 2.2. Les suites de HALTON [1960]... 123
Table des matières 361 2.3. Les suites de FAURÉ [1981]... 124 2.4. Les suites de SOBOL [1967]... 126 2.5. La translation irrationnelle du Tore... 126 2.6. L algorithme du «Tore mélangé»... 130 3. Un exemple : valorisation d un call européen avec dividendes dans le cadre du modèle BLACK & SCHOLES... 132 Chapitre 5 Simuler des réalisations de variables aléatoires... 136 1. Méthode d inversion de la fonction de répartition... 136 1.1. Cas des distributions entières... 136 1.2. Cas des distributions continues... 137 2. Méthode de la composition... 143 2.1. Cas des distributions entières... 143 2.2. Cas des distributions continues... 145 3. La méthode du rejet... 145 3.1. Principe... 145 3.2. Exemples... 146 4. Les méthodes spécifiques à certaines distributions... 150 4.1. Loi de Poisson... 151 4.2. Loi Binomiale... 151 4.3. Loi Normale N(0,1)... 152 4.4. Loi Gamma γ(ν;β,t)... 154 4.5. Autres lois... 157 5. Méthodes susceptibles d améliorer la qualité des simulateurs... 157 5.1. L Hypercube Latin, amélioration des générateurs pseudoaléatoires... 158 5.2. Les simulations hybrides quasi-monte-carlo ; amélioration de générateurs quasi-aléatoires... 160 6. Simulations de Monte-Carlo par Chaîne de MARKOV... 161 6.1. Méthode d échantillonnage de GIBBS... 161 6.2. Application de la méthode de l échantillonnage de GIBBS à l approche Bayésienne... 164 6.3. Méthode de Metropolis-Hastings... 165 Annexe : Constantes de l algorithme de Moro... 166 Chapitre 6 Discrétisation de processus continus... 167 1. Discrétisation exacte... 168 1.1. Définition... 168 1.2. Processus d ORNSTEIN-ULHENBECK... 168 1.3. Mouvement brownien géométrique... 169 2. Discrétisation approximative... 170 2.1. Critère de convergence forte... 170
362 Modèles financiers en assurance 2.2. Schéma d EULER... 170 2.3. Schéma de MILSTEIN... 172 3. Application : méthode de valorisation par simulation d une option sur maximum... 174 Chapitre 7 Mise en œuvre pratique : deux exemples... 176 1. Rente de réversion, avec influence du décès de la première tête sur celui de la seconde... 176 1.1. Présentation du modèle... 176 1.2. Application... 178 2. Allocation d actifs en assurance non-vie... 183 2.1. Contexte... 183 2.2. Modélisation de la société d assurance... 184 2.3. Critère de maximisation des fonds propres économiques... 185 2.4. Application du critère de MFPE... 190 2.5. Conclusion... 201 TROISIÈME PARTIE - ÉVALUATIONS D'ENGAGEMENTS ET MESURES DE RISQUE Chapitre 8 Mesures et comparaisons de risques... 204 1. Les mesures de risque... 204 1.1. Définition et propriétés... 204 1.2. Mesures de risque usuelles... 206 1.3. Choix d une mesure de risque pour déterminer un capital économique... 211 1.4. Value-at-Risk... 212 2. Comparaison des risques... 216 2.1. Relation associée à une mesure de risque... 216 2.2. Ordre stochastique... 217 2.3. Ordre convexe... 218 2.4. Bornes comonotones d une somme de variables aléatoires... 219 Chapitre 9 Lecture optionnelle d un contrat d épargne... 220 1. Contrat à taux garanti, sans participation aux bénéfices, ni clause de rachat... 220 1.1. Présentation... 220 1.2. Résolution... 222 1.3. Conclusion... 223 2. Contrat à taux garanti avec participation aux bénéfices, sans clause de rachat... 223 3. Contrat à taux garanti avec clause de rachat... 223 3.1. Exemple... 224 3.2. Evaluation... 225 3.3. Conclusion... 228
Table des matières 363 Chapitre 10 Garanties plancher dans les contrats en unités de compte... 229 1. Introduction... 229 2. Les contrats à garantie plancher... 230 2.1. Présentation des contrats en unités de compte... 230 2.2. Les différentes garanties... 230 2.3. Le risque associé à la garantie plancher... 231 2.4. Application de la théorie des options... 232 3. Analyse du coût de la garantie... 233 3.1. Cas du contrat uni-support... 233 3.2. Le cas multi-supports... 237 4. Etude de sensibilité à quelques paramètres... 241 4.1. Sensibilité à l âge du souscripteur... 242 4.2. Sensibilité à la volatilité... 243 5. Choix de la probabilité... 243 6. Prise en compte des imperfections de couverture... 244 6.1. Coûts de transaction et imperfections de couverture... 244 6.2. Prise en compte des décès... 246 Chapitre 11 Évaluation de l engagement associé à un plan de stockoptions... 247 1. Définition... 247 2. Cadre réglementaire et fiscal... 248 2.1. Mise en place d un plan de stock-options... 248 2.2. Exercice des options et ventes des actions... 250 3. Evaluation de l engagement de la société... 252 3.1. Les différents paramètres... 252 3.2. Modélisation des flux financiers... 253 3.3. Modèle... 253 4. Conclusion... 258 Annexe 1 : Lexique des termes spécifiques... 259 Annexe 2 : Fiscalité des stock-options... 260 Annexe 3 : Schémas de programmation du modèle... 261 Chapitre 12 Modèles stochastiques de mortalité... 263 1. Introduction... 263 1.1. La modélisation classique de la mortalité... 263 1.2. Les modèles stochastiques... 265 2. Modélisation du processus d intensité... 269 2.1. Cadre général... 270 2.2. Le processus d ORNSTEIN-UHLENBECK... 271 2.3. Le processus de Feller (CIR)... 273
364 Modèles financiers en assurance 2.4. L estimation des paramètres... 277 3. Utilisation pour la tarification de dérivés de mortalité... 278 3.1. Rappel sur l évaluation par arbitrage (APT)... 278 3.2. Construction de l espace produit... 278 3.3. Mise en œuvre... 279 3.4. Couverture du risque de mortalité... 280 QUATRIÈME PARTIE - ASPECTS RÉGLEMENTAIRES Chapitre 13 Normes IAS / IFRS... 283 1. La mise en place des normes IFRS... 283 1.1. Le référentiel IFRS... 283 1.2. Le concepteur des normes : l IASB... 284 1.3. L adoption des normes... 284 1.4. Application... 285 2. Comptabilisation des engagements sociaux : IAS 19 et IFRS 2... 285 2.1. Les principes de base... 285 2.2. De la technique actuarielle à la règle comptable... 286 3. Comptabilisation des instruments financiers : IAS 32 et IAS 39... 286 3.1. Généralités... 287 3.2. Information à fournir et présentation (IAS 32)... 287 3.3. Evaluation et comptabilisation (IAS 39)... 287 4. Comptabilisation des contrats d assurance : IFRS 4... 289 4.1. Champ d application... 289 4.2. Principes de comptabilisation... 291 4.3. Information à fournir... 293 Annexe : Principaux acronymes utilisés... 294 Chapitre 14 Solvabilité 2... 295 1. Les modèles proposés par Solvabilité 2... 296 1.1. Eléments de solvabilité existants... 296 1.2. Historique du projet Solvabilité 2... 296 1.3. Principes de Solvabilité 2... 297 1.4. Processus d élaboration... 297 1.5. Mesurer le risque... 299 1.6. Les provisions techniques... 302 1.7. Le niveau des fonds propres... 306 1.8. Mise en perspective avec les normes IFRS... 310 2. La mise en œuvre pratique de ces modèles... 310 2.1. Provisionnement stochastique... 310 2.2. Analyse globale de la solvabilité : choix d un modèle actif/passif... 314 3. Illustration... 315 3.1. Contexte... 315 3.2. Modélisation retenue... 316 3.3. Application numérique... 317
Table des matières 365 Chapitre 15 Méthodes et outils de projection d une activité d assurance... 319 1. Outils déterministes classiques de projection... 319 1.1. Comptes d exploitation prévisionnels (CEP)... 319 1.2. Valeur intrinsèque (Embedded Value)... 320 1.3. Tests de rentabilité (Profit testing)... 320 2. Gestion Actif/Passif (ALM)... 322 3. Les modèles de type DFA... 325 3.1. Un cas particulier de DFA : les tests de rentabilité dynamique - DST (dynamic solvency testing)... 326 3.2. Choix de la durée de comparaison des différentes stratégies envisagées... 327 3.3. Structure d un modèle DFA... 327 3.4. Première analyse des résultats d une DFA... 328 3.5. Les variables du modèle... 328 3.6. La modélisation de ces variables... 329 Chapitre 16 Allocation d actifs... 331 1. Contexte... 332 1.1. Présentation... 332 1.2. Remarque sur l utilisation de la probabilité risque-neutre... 333 2. Formulation du problème... 333 3. Limites des modèles usuels... 334 4. La revalorisation des rentes viagères... 335 4.1. Les conséquences financières d un choix de revalorisation... 335 4.2. Lien entre les taux de croissance, les taux d inflation et les taux d intérêt... 336 4.3. Contrainte sur les taux techniques d actualisation... 337 5. Illustration : Allocation d actifs d un régime de rentes en cours de service... 338 5.1. Problématique... 338 5.2. Contrôle de la probabilité de ruine... 340 5.3. Approche par flux... 342 5.4. Décomposition du risque... 344 BIBLIOGRAPHIE... 347 TABLE DES MATIÈRES... 359