ANALYSE ET REGULATION DES PROCESSUS INDUSTRIELS TOME 2. REGULATION NUMERIQUE P. Borne G. Dauphin-Tanguy J.- P. Richard. F. Rotella I. Zambettakls RESUME Cet ouvrage, en deux tomes ( tome 1,Régulation continue ; tome 2 régulation numérique )présente les méthodes de base, classiques, et avancées,, utilisées dans l'industrie pour la commande des processus. Le tome 1, présente sans les développer les notions de base relatives au calcul opérationnel (transformée de Laplace et ses applications) et redéfinie l'ensemble des notions indispensables relatives aux signaux et systèmes dans l'optique de présenter les différentes méthodes de représentation, d identification, d analyse de régulation et de commande des processus contenus. Le tome 2,conçu selon un plan analogue, présente les méthodes nécessaires à l implémentation de commandes numériques. Il reprend de façon: succincte les notions de base relatives au calcul opérationnel mettant en œuvre la transformée en Z et ses applications. Les notions d'échantillonnage et de systèmes échantillonnés sont présentées avec définition du choix de la période d'échantillonnage en vue de proposer les différentes méthodes d'analyse et de régulation numérique des processus industriels. L étude de l analyse (détermination de l'algorithme de commande) et de la réalisation des asservissements numérique comporte plusieurs points : Les méthodes heuristiques basées sur l'expérience et sur une identification succincte. Les méthodes de type fréquentiel discret" La commande RST et l'approche polynomiale La commande adaptative La commande prédictive La commande du type retour d'état (placement de pôles optimisation d un critère quadratique, mise en oeuvre d'un observateur ) La validation des méthodes proposées tenant compte des imperfections du processus et du modèle utilisé (modèle réduit, non linéarités, retards, bruits, défauts d identification, emballement de l'intégrateur ) est étudiée dans les chapitres consacrés aux aspects non Iinéaires du processus et / ou de son mode de régulation commande. La description des principales méthodes numériques d'identification paramétrique est réaliser dans le dernier chapitre TABLE DES MATIERES AVANT-PROPOS 15 1 INTRODUCTION A LA COMMANDE NUMERIQUE 19 1.1 Schéma d'un système asservi à commande numérique 19 1.2 Modélisation discrète du processus 20 1.3 Synthèse d'un asservissement 22 1.4 Exemple de système asservi discret 24 1.4.1 Une structure classique 24 1.4.2 Un exemple d'asservissement en vitesse 25 2 SIGNAUX ECHANTILLONNES 27 2.1 Signaux discrets 27 2.1.1 Description temporelle des signaux discrets 28 2.1.1.1 Echelon unité à k O 28 2.1.1.2 Signal impulsionnel discret 28 2.1.1.3 Signaux discrets de type géométrique 30 2.2 Transformée en z 30 2.2.1 Echantillonnage d'un signal continu 31 2.2.2 Théorème de Shannon 33 2.2.3 Echantillonneur -modulateur 36 2.2.3.1 Echantillonneur -modulateur linéaire 36 2.2.3.2 Bloqueur d'ordre zéro 36 2.2.3.3 Bloqueur d'ordre 1 40 2.2.3.4 Bloqueur d'ordre l 41 2.2.3.5 Extrapolateur linéaire a retard pur 41 2.2.4 Calcul de la transformée inverse 42
2.2.5 Propriétés des transformées en z 46 2.2.6 Résolution des équations de récurrence 49 3 FONCTION DE TRANSFERT EN Z 51 3.1 Notion de transmittance pulsée 51 3.2 Schémas fonctionnels 53 3.3 Composition des transmittances en z 54 3.4 Transmittance en présence d'un B O 58 3.5 Détermination directe de la transmittance en z à partir de l'équation récurrente 59 3.6 Système comportant un retard pur 60 3.7 Transformée en z modifiée 61 3.7.1 Définition 61 3.7.2 Calcul de la transformée inverse 62 3.7.3 Propriétés de la transformée en z modifiée 63 3.7.4 Transmittance en z modifiée 63 3.8 Echantillonnage à plusieurs cadences 64 3.9 Systèmes multivariables 66 3.10 Notation en q 66 4 CARACTERISATIONS FREQUENTIELLE ET TEMPORELLE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES 67 4.1 Représentation "fréquentielle" 67 4.1.1 Diagramme de Nyquist de 68 69 4.1.2 Diagramme de Nyquist de 4.1.3 Transformation en w 70 4.2 Comportement temporel des systèmes discrets 72 5 REPRESENTATION DES SYSTEMES ECHANTILLONNES DANS L'ESPACE D'ETAT 77 5.1 Vecteur d'état 77 5.2 Détermination d'une représentation 77 5.2.1 Représentation sous forme canonique commandable 78 5.2.2 Représentation sous forme canonique observable 80 5.2.3 Représentation modale 82 5.2.4 Cas multivariable 82 5.3 Systèmes échantillonnés, passage du continu au discret 83 5.3.1 Intégration de l'équation d'état 83 5.3.2 Calcul d'une fonction de matrice 84 5.3.2.1 Utilisation de la formule de Sylvester 84 5.3.2.2 Méthode des matrices constituantes 86 5.4 Passage de la représentation d'état à la matrice de transfert 92 6 SIGNAUX ALEATOIRES DISCRETS 95 6.1 Signal aléatoire et variable aléatoire 95 6.1.1 Fonction de répartition et densité de probabilité 95 6.1.2 Stationnarité 96 6.1.3 Moyenne et moments 96 6.1.3.1 Espérance mathématique 96 6.1.3.2 Moyenne 96 6.1.3.3 Moment d'ordre q 96 6.1.3.4 Moment centre d'ordre q 96 6.1.4 Ergodicité 97 6.2 Fonctions de corrélation 97 6.2.1 Fonction d'auto corrélation 97 6.2.2 Fonction d'intercorrélation 98 6.3 Spectres de corrélation de signaux stationnaires 98 6.3.1 Définitions 98 6.3.1.1 Spectre d'autocorrelation 99 6.3.1.2 Spectre d'intercorrelation 99 6.3.2 Propriétés 99 6.4 Transmission d'un signal aléatoire discret à travers un filtre linéaire stationnaire 100 6.4.1 Spectre d'autocorrélation de la sortie 100 6.4.2 Spectre d'intercorrélation entrée-sortie 101 6.4.3 Cas multivariable 101 6.4.4 Notation simplifiée 101 7 STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES ECHANTILLONNES 103 7.1 Allure des trajectoires d'un système discret au voisinage d'un point d'équilibre 103 7.2 Stabilité des systèmes discrets linéaires 108 7.2.1 Critère de Schur-Cohn 108 7.2.2 Critère de Jury 109 7.2.3 Critère de Routh 110 7.2.4 Critère de Nyquist 112 112 7.2.4.1 Application directe du critère à (Z) 7.2.4.2 Application du critère à (S) 113 7.2.5 Robustesse 113 7.2.5.1 Degré de stabilité et temps de réponse 113
7.2.5.1 Degré de stabilité et temps de réponse 113 7.2.5.2 Marge de gain, marge de phase 114 8 PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS ECHANTILLONNES 115 8.1 Définitions 115 8.2 Précision statique (en régime permanent) 116 8.2.1 Ecart statique du à la consigne 117 8.2.2 Erreur statique due à la perturbation 119 8.3 Précision dynamique 119 8.3.1 Comparaison avec les systèmes du premier ordre 119 8.3.2 Comparaison avec les systèmes du second ordre 119 9 OBSERVABILITE ET COMMANDABILITE 121 9.1 Observabilité 121 9.2 Commandabilité 122 9.2.1 Commandabilité de l'état 122 9.2.2 Commandabilité de la sortie 123 9.3 Cas général 124 9.4 Stabilisabilité, détectabilité, gouvernabilité 125 10 PRINCIPE DE LA REGULATION NUMERIQUE 129 10.1 Schéma de base de la régulation numérique 129 10.2 Représentation générale des processus à commande numérique 132 10.3 Choix de la période d'échantillonnage 134 10.4 Correcteurs numériques 136 10.4.1 Principes généraux de synthèse des réseaux correcteurs en z 136 10.4.2 Amortissement du régime transitoire en temps fini. 140 10.4.2.1 Système minimal 140 A. Systeme minimal absolu 141 B. Système minimal: cas général 142 C. Réponse des systèmes minimaux 142 10.4.2.2 Système à réponse pile 143 10.5 Methodes de modele 144 11 SYNTHESE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES EN UTILISANT LES METHODES DU CONTINU 147 11.1 Retard de T / 2 148 11.2 Approximation linéaire 149 11.3 Transformation homographique 150 11.4 Transformée en w 151 11.5 Applications 153 12 REGULATION PAR PID NUMERIQUE 161 12.1 Réalisation d'un PID discret 161 12.2 Méthode simplifiée de détermination des coefficients d'un PID numérique 163 12.3 Régulateur PID prédicteur 165 12.4 Généralisations de la notion de PID numérique 165 12.4.1 Régulateur P, l, D, D 2 165 12.4.2 Régulateur PID adaptatif 166 12.4.3 Régulateur PID dans l'espace d'état 166 12.5 Correcteurs PID numériques modélisés sous forme R,S, T 167 12.6 Problèmes liés à l'action intégrale 172 13 AN AL YSE ET SYNTHESE SUR LE LIEU D'EVANS 179 13.1 Analyse sur le lieu d'evans 179 13.2 Synthèse sur le lieu d'evans 183 14 REGULATION DANS L'ESPACE D'ETAT 185 14.1 Placement de pôles par retour d'état 186 14.2 Placement de pôles par choix du modulateur 190 14.3 Commande optimale à critère quadratique 194 14.4 Reconstructeur d'état discret 194 14.5 Filtre de Kalman discret 199 14.5.1 Système bruité 199 14.5.2 Equations du filtre 200 15 REGULATEURS NUMERIQUES RST 201 15.1 Modélisation RST des régulations numériques 201 15.2 Placement de pôles 202 15.2.1 Régulation 202 15.2.2 Poursuite 203 15.3 Placement de pôles avec compensation de zéros 205 15.3.1 Régulation 206 15.3.2 Poursuite 207 15.3.3 Système avec zéros instables 207 15.3.4 Prise en compte des saturations 208 15.4 Commande à minimum de variance 209 15.4.1 Modèles de processus perturbé 209 15.4.2 Détermination de la commande 209
15.4.2 Détermination de la commande 209 15.4.3 Systèmes avec zéros instables 211 15.4.4 Exemple d'application 211 16 COMMANDE ADAPTATIVE 213 16.1 Principe de la commande adaptative 213 16.2 Commande adaptative indirecte 215 16.3 Commande adaptative directe 216 16.3.1 Schéma de principe 216 16.3.2 Loi de commande lorsque les paramètres sont connus 217 16.3.3 Loi de commande adaptative 218 16.4 Réalisation d'une commande adaptative lorsque la chaîne d'action comporte un relais ou un tout -ou-rien 219 16.4.1 Principe de la commande 219 16.4.2 Réalisation de la commande 219 17 COMMANDE PREDICTIVE 223 17.1 Présentation de la commande prédictive 223 17.1.1 Principe 223 17.1.2 Structuration de la commande et critère d'optimisation 226 17.1.3 Auto-compensateur 227 17.1.4 Schéma global de la commande prédictive 227 17.2 Détermination du régulateur linéaire 229 17.2.1 Commande avec trajectoire de référence du premier ordre pour un processus sans retard 229 17.2.1.1 Algorithme de commande 229 17.2.1.2 Initialisation de l'algorithme 231 17.2.1.3 Exemple d'application 231 17.2.2 Commande avec trajectoire de référence du premier ordre pour un processus avec retard 233 17.2.3 Lissage de la commande 234 17.2.4 Prise en compte d'une perturbation mesurée 235 17.2.5 Influence des divers paramètres de réglage 238 17.3 Résolution de problèmes particuliers 238 17.3.1 Commande prédictive avec retours intermédiaires 238 17.3.2 Principe de mise en œuvre 239 17.3.3 Commentaires sur la méthode 240 17.3.4 Prise en compte de contraintes sur la commande 240 17.3.5 Cas des systèmes instables 241 17.3.5.1 Principe de décomposition du modèle 241 17.3.5.2 Processus ayant un mode instable 242 17.3.5.3 Processus ayant deux modes instables 242 17.3.5.4 Exemple d'application 245 18 STABILITE DES SYSTEMES DISCRETS NON LINEAIRES 247 18.1 Notion de point d'équilibre stable 247 18.2 Définitions relatives à la stabilité 248 18.2.1 Stabilité 249 18.2.2 Attractivité 249 18.2.3 Stabilité asymptotique 250 18.2.4 Stabilité exponentielle 250 18.2.5 Stabilité absolue 251 18.3 Première méthode de Lyapunov 251 18.3.1 Présentation de la méthode 251 18.3.2 Exemple 252 18.4 Seconde méthode de Lyapunov 252 18.4.1 Fonction candidate à Lyapunov 253 18.4.2 Théorèmes 253 18.4.3 Fonctions candidates usuelles 255 18.4.4 Critère de Borne et Gentina 257 18.4.5 Exemples 258 19 ELEMENTS D'IDENTIFICATION PARAMETRIQUE 263 19.1 Notion d'identification 263 19.1.1 Principes de l'identification 263 19.1.2 Identifiabilité 264 19.1.3 Conseils pratiques 265 19.2 Prétraitement des signaux 267 19.2.1 Echantillonnage 267 19.2.1.1 Choix de la période d'échantillonnage 267 19.2.1.2 Filtre antirepliement numérique 268 19.2.2 Filtrage 268 19.2.2.1 Elimination de la composante continue 268 19.2.2.2 Elimination des bruits de mesure 269 19.2.2.3 Filtrage parallèle 269 19.2.3 Processus possédant une intégration 270 19.3 Identification paramétrique pour un modèle linéaire 270 19.3.1 Principes 270 19.3.2 Algorithme du gradient 272 19.3.3 Méthode des moindres carrés 273 19.3.4 Algorithme des moindres carrés récursifs 274 19.3.5 Algorithme des moindres carrés étendus 276
19.3.5 Algorithme des moindres carrés étendus 276 19.3.6 Méthode de la variable instrumentale 277 19.3.7 Choix du gain d'adaptation 278 19.3.7.1 Principe 278 19.3.7.2 Méthodes les plus courantes 279 19.4 Séquence d'entrée utilisée pour l'identification 280 19.5 Détermination directe de la réponse impulsionnelle d'un système linéaire par SBPA 281 ANNEXES 285 A TABLES DE TRANSFORMEES 287 B CALCULS RELATIFS A LA DETERMINATION DE LA COMMANDE PREDICTIVE 297 B.1 Rappel des notations utilisées 297 B.2 Calcul de la commande pour un processus sans retard 298 B.2.1 Optimisation du critère 298 B.2.2 Trajectoire de référence du premier ordre 300 B.2.3 Trajectoire de référence du second ordre 301 B.2.3.1 Principe et résultats 301 B.2.3.2 Détermination de la commande 302 B.3 Influence d'un retard 304 B.4 Extrapolateurs 306 B.5 Auto-compensateur 307 BIBLIOGRAPHIE 309 INDEX 311 TOP