Sébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand. Interféromètres à division d amplitude. Applications.

Sébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand Interféromètres à division d amplitude. Applications. novembre 2003

Table des matières 1 Division d amplitude sur l exemple du Michelson 8 1.1 Schéma de l interféromètre de Michelson...................... 8 1.2 Configuration d étude du Michelson......................... 9 1.3 Interféromètre éclairé par une source ponctuelle monochromatique........ 12 1.4 Source étendue : localisation des franges d égale inclinaison à l infini....... 14 1.4.1 Observation des franges à l infini...................... 14 1.4.2 Calcul de la différence de marche entre les rayons qui interfèrent à l infini 16 1.4.3 Caractéristiques des franges d interférences obtenues à l infini....... 17 1.5 Précisions sur la lame séparatrice.......................... 18 1.5.1 Au niveau énergétique............................ 18 1.5.2 Nécessité d une lame compensatrice..................... 18 1.6 Observations de franges d égale épaisseur...................... 19 1.6.1 Constatations expérimentales........................ 19 1.6.2 Différence de marche entre rayons interférents............... 21 1.6.3 Localisation des franges........................... 22 1.6.4 Calcul des phénomènes d interférences................... 23 2 Utilisations de l interféromètre de Michelson 25 2.1 Spectrométrie et cohérence temporelle....................... 25 2.1.1 Modèle du spectre rectangulaire....................... 25 2.1.2 Modèle des trains d onde........................... 28 2.1.3 Spectrométrie par transformée de Fourier.................. 33 2.2 Déplacement des miroirs et effet Doppler...................... 41 2.3 Contrôle de surfaces : méthode de Fizeau...................... 42 2.4 Contrôle de surfaces d onde : méthode de Twyman-Green............. 44 2.5 Mesure d épaisseurs.................................. 45 2.5.1 Spectre cannelé................................ 45 2.5.2 Faibles épaisseurs............................... 46 2.5.3 Mesure d indices............................... 48 2.5.4 Visualisation de gradients de température................. 48 2.6 Détection du vent d éther : l expérience de Michelson et Morley......... 50 2.7 IASI : l Interféromètre de Sondage Atmosphérique Infrarouge........... 55 2.8 Détection des ondes gravitationnelles........................ 56 2.8.1 Interféromètre utilisé............................. 56 2.8.2 Problèmes rencontrés............................. 57 2.8.3 Mise en place - Réglage............................ 59 2

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 3 2.8.4 Applications.................................. 59 3 Autres interféromètres à division d amplitude 60 3.1 L interféromètre de Fabry-Pérot........................... 60 3.1.1 Introduction.................................. 60 3.1.2 Un interféromètre à ondes multiples..................... 61 3.1.3 Utilisation en spectromètre.......................... 64 3.1.4 Cavité résonnante............................... 65 3.1.5 Filtres interférentiels............................. 66 3.2 L interféromètre de Mach-Zehnder.......................... 67

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Prologue Les situations interférentielles 5

Introduction Dans les miroirs de Fresnel et les dispositifs analogues (trous d Young, miroir de Lloyd, bilentille de Billet), on recueille la lumière issue d une source en deux endroits distincts puis, grâce à des dispositifs optiques - miroirs ou lentilles - on recombine en une même région de l espace (appelée champ d interférences) les deux faisceaux. Ceux-ci, ayant emprunté des trajets différents, présentent en chaque point de cette région une différence de marche qui dépend du point considéré, d où l observation de franges qui résultent de la variation de l état d interférences de point en point. La séparation des faisceaux intervenait parce qu on les prélevait, au départ, en des endroits différents de l espace : on parle alors de division du front d onde. Il est après tout possible, grâce au phénomènes de réflexion - transmission qui interviennent à l interface de deux milieux, de prélever les deux faisceaux en une même région de l espace (celle de l interface entre les deux milieux) : on parle alors de division d amplitude. Inversement, il est possible d utiliser une telle interface pour superposer deux faisceaux lumineux. 6

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 7 Le physicien américain Albert-Abraham Michelson (1852-1931) a mis à profit les possibilités offertes par la division d amplitude pour concevoir un dispositif particulièrement ingénieux.

Chapitre 1 Division d amplitude sur l exemple du Michelson 1.1 Schéma de l interféromètre de Michelson L interféromètre de Michelson est constitué de 3 blocs fonctionnels : une lame semi-réfléchissante S p, dite lame séparatrice, et deux miroirs plans m 1 et M 2. Le plan de figure retenu est tel que ces trois éléments, dont seule la trace est représentée, lui soient perpendiculaires. La lumière provenant de la source atteint S p, qui divise le faisceau incident en un faisceau réfléchi se dirigeant vers le miroir M 1, et en un faisceau transmis se dirigeant vers M 2. Après réflexion sur les miroirs M 1 et M 2, les deux faisceaux séparés sont recombinés pour constituer le champ d interférences. Le faisceau réfléchi par M 1 est partiellement transmis au travers de S p, tandis que celui issu de M 2 s y réfléchit partiellement. En raison de ces réflexion ou transmission partielles, une partie de la lumière réfléchie par M 1 et M 2 est perdue car elle revient vers la source, et n est donc pas utilisée. Conformément à l usage, les deux voies de l interféromètre sont appelées bras. On peut agir très simplement sur ceux-ci soit par translation soit par pivotement des miroirs, opérations nécessaires au réglage de l interféromètre. On peut aussi interposer sur le trajet de l un des 8

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 9 deux bras un dispositif d étude, voire le substituer à l un des deux miroirs. Signalons enfin que les angles formés par la séparatrice et les miroirs sont, dans tous les cas de réglage, voisins de 45 o. Le choix de cette valeur, qu il n y a jamais lieu d atteindre rigoureusement, sera justifié ultérieurement. 1.2 Configuration d étude du Michelson L interféromètre de Michelson est équivalent à une configuration d étude beaucoup plus commode. Tout se passe tout d abord comme si les rayons issus de la source S qui se réfléchissent sur la séparatrice étaient issus du symétrique de S, S o, par rapport à cette séparatrice. De la même façon, tout se passe comme si les rayons arrivant sur M 2 à travers la séparatrice S p étaient issus de S o et s étaient réfléchis sur la séparatrice.

10 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Enfin, en ce qui concerne les rayons qui se réfléchissent sur M 2 puis sur la lame séparatrice, tout se passe comme si, issus de S o, ils traversaient la lame séparatrice S p et qu il se réfléchissaient sur un miroir M 2 symétrique de M 2 par rapport à la séparatrice, avant de traverser cette même lame. Le montage réel est donc équivalent au dispositif des deux miroirs de Fresnel, à cette différence que le miroir M 2 n est pas matériel. En conséquence, les miroirs M 1 et M 2 peuvent à présent se masquer, voire se croiser, sans que pour autant l un des miroirs empêche la lumière de se refléter sur l autre. L équivalence ne vaut donc que pour le calcul des caractéristiques de la figure d interférence. Creusons l analogie avec une lame de verre à faces planes éclairée par une source ponctuelle S. Chaque rayon incident donne naissance à une multitude de rayons émergeant de la lame, aussi bien du même côté que S que de l autre côté, puisqu à chaque rencontre d une interface, il y a à la fois réflexion et transmission. En un point extérieur de la lame arrive un grand nombre

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 11 de rayons, ayant à priori des intensités et phases différentes, et qui interfèrent. Il s agit là d un phénomène d interférences à ondes multiples, par réflexion ou par transmission. Pour revenir à l interféromètre, qu on supposera réglé de manière à ce que M 1 et M 2 forment une lame, dans le champ d interférences, les phénomènes sont analogues à ceux que donne une lame de verre ayant mêmes frontières, à ceci près qu on observe seulement les interférences par réflexion, puisque les miroirs réfléchissent parfaitement la lumière, et que ne parviennent en un point du champ d interférence que deux ondes. Les amplitudes de ces ondes sont rendues sensiblement égales. Enfin, il n y a pas de cassure du rayon à la traversée de la première surface rencontrée comme c est le cas lors de la traversée de l interface air/verre. On peut alors observer deux configurations. Le coin d air. La lame d air, à faces parallèles.

12 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 1.3 Interféromètre éclairé par une source ponctuelle monochromatique En tout point P du champ d interférences, tout se passe comme si les rayons interférents étaient issus des points S 1 et S 2 images de S o par rapport aux miroirs M 1 et M 2. En conséquence, l éclairement en P est donné par la relation soit ici, à un facteur près, E(P ) = a 2 [1 + cos ϕ] = a 2.[1 + cos 2πp(P )] E total = 1 + cos[k(s 2 P S 1 P )] Les franges d interférence se caractérisent donc par des équations géométriques de la forme k(s 2 P S 1 P ) = cte Elles sont ici visibles dans tout l espace où les faisceaux se recouvrent, et sont donc dites non localisées. L équation précédente est celle d un hyperboloïde de révolution autour de l axe (S 1 S 2 ).

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 13 Les franges observées sur un écran sont la coupe de cette famille de surfaces par le plan d observation, du moins par la partie qui se trouve dans le champ d interférences. Le segment [S 1 S 2 ] peut prendre une grande variété d orientations par rapport au plan d observation, ces dernières dépendant des positions des miroirs M 1 et M 2 (longueur des bras et orientation des miroirs). Contrairement aux miroirs de Fresnel, on n est pas ici limité au seul voisinage du plan médiateur du segment [S 1 S 2 ], il est possible d observer des franges de différentes formes suivant l orientation de [S 1 S 2 ] par rapport au plan d observation.

14 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 1.4 Source étendue : localisation des franges d égale inclinaison à l infini 1.4.1 Observation des franges à l infini Un cas particulièrement important dans la pratique est celui où les miroirs M 1 et M 2 forment une lame d air à faces parallèles, d épaisseur e. Cette configuration est réalisée lorsque le plan de la lame séparatrice est parallèle au plan bissecteur du dièdre formé par les miroirs M 1 et M 2. Les surfaces d égal ordre d interférence étant des hyperboloïdes de révolution autour de S 1 S 2, les franges observées sur un écran perpendiculaire à (S 1 S 2 ) sont alors circulaires d axe (S 1 S 2 ) ; ce sont des anneaux d interférence, l interfrange étant plus important, toutes choses égales par ailleurs, que le plan d observation est éloigné des miroirs. Examinons le cas où la lame d air à faces parallèles est éclairée par deux points sources S et S auxquels correspondent les points S o et S o dans la configuration d étude. S o a pour images S 1 et S 2 par rapport aux miroirs M 1 et M 2, S o les images S 1 et S 2. Dans un plan perpendiculaire aux deux faces de la lame, contenant tous les points sources cités ci-dessus, en un point P du champ d interférences, les différences de marche [S 2P ] [S 1P ] et [S 2 P ] [S 1 P ] diffèrent à priori : les couples de sources secondaires associés à S et S ne donnent pas le même état d interférence au point P. Plus généralement, dans le cas d une source étendue spatialement incohérente 1, chaque point source donne son propre état d interférences au point P. Si l étendue de la source est suffisamment restreinte pour quel l état d interférence au point P et dans son voisinage ne varie 1 Avec les sources usuelles, polychromatiques le plus souvent, les ondes issues de points sources matériellement distincts ne peuvent interférer entre elles (l éclairement détecté est la somme des éclairements produits par chacune) : en effet, deux points sources distincts émettent sans corrélation entre eux, leurs ondes présentent des déphasages aléatoires et rapidement variables (10 9 s avant stabilité pour une lampe spectrale, 10 14 s pour une lampe à filament).

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 15 pas de façon significative, des franges d interférences seront toujours observées. Mais, si l on recherche à étendre davantage la source pour obtenir des interférences plus lumineuses, les ordres d interférences au point P correspondant aux différents points sources peuvent alors varier de plusieurs unités. Corrélativement, à mesure que l on augmente la taille de la source, la figure d interférence se brouille progressivement. L observation des franges d interférence n est donc possible qu en limitant l étendue de la source, et cette limitation dépend de la zone d observation et de l épaisseur de la lame d air. Il existe cependant un cas où les différences de marche sont identiques, quelles que soient les positions respectives des points de la source : c est celui où l observation est faite à l infini. Dans ce cas, et celui-là seul, les triangles S 1S 2P et S 1 S 2 P deviennent identiques ; on peut alors augmenter sans restriction la taille de la source, et gagner en luminosité des interférences, sans toutefois altérer leur luminosité. Les franges sont alors dites localisées à l infini puisque P est rejeté à l infini. En ce point P de l infini convergent tous les rayons parallèles à une même direction, mais si on interpose une lentille convergente, ces mêmes rayons convergent alors tous au foyer image P que la lentille associe à la direction considérée. En pratique, l observation à l infini est donc faite dans le plan focal image d une lentille convergente, ou - ce qui revient au même - par l oeil accomodant à l infini. L équivalence des observations faites en P ou en P est simple à montrer : en supposant que la lentille est transparente et qu elle recueille tous les rayons réfléchis, il y a simple proportionnalité entre l intensité lumineuse en P et celle en P si l état interférentiel entre les vibrations interférentes est identique aux deux points. C est effectivement le cas, puisque la différence en P entre les chemins parcourus par les rayons issus des sources virtuelles S 1 et S 2 est donnée par [S 2 P ] [S 1 P ] = [S 2 P ] [S 1 P ] = n ambiant S 2 H 2 Cette différence de marche, en P comme en P, est indépendante de la position du point source S 2 H 2 = S 2H 2

16 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 1.4.2 Calcul de la différence de marche entre les rayons qui interfèrent à l infini Les rayons interférents issus de S 1 et S 2 étant parallèles, il en va de même des rayons incidents associés, car les miroirs M 1 et M 2 sont parallèles. Or, ces rayons incidents sont issus du même point source S o et sont donc forcément confondus. Finalement, les rayons réfléchis interférents sont issus d un même rayon incident. Ce résultat a une portée tout à fait générale : il s applique également pour les franges données par les lames en dièdre. Les rayons réfléchis présentent le même déphasage à l infini que lorsqu on les considère respectivement en H et en K. Or, ces rayons résultent d une division d amplitude en I, où ils sont nécessairement en phase ; en conséquence, la différence de marche δ qui nous intéresse est donnée par δ = [IJK] [IH] = 2.e 2.e IK. sin i = 2.e. tan i. sin i = 2.e. cos i cos i cos i

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 17 A épaisseur donnée e, δ est maximale (et vaut 2.e) lorsque le rayon incident arrive sous incidence normale, et décroît avec l angle i jusqu à la valeur 0 obtenue pour une incidence rasante 2. 1.4.3 Caractéristiques des franges d interférences obtenues à l infini On observe ces franges dans le plan focal image d une lentille convergente dont l axe optique est normal aux faces de la lame séparatrice. Une frange étant caractérisée par un ordre d interférence donné, il lui est donc associée une valeur de i (cf. expression de δ) d où l appellation de franges d éale inclinaison. Dans la configuration retenue, une valeur donnée de i détermine comme lieu des points P un cercle centré sur le foyer image, ce sont donc des anneaux d interférences, appelés anneaux d Haidinger, qui se dessinent. L angle i associé à un anneau brillant (interférences constructives) est donné par une différence de phase proportionnelle à la longueur d onde 2.e cos i = p.λ où p N L angle i associé à un anneau sombre (interférences destructives) est donné par une différence de marche proportionnelle à la moitié de la longueur d onde 2.e cos i = λ 2 + p.λ où p N Si la lentille est utilisée dans les conditions de Gauss, les angles i sot suffisamment petits pour qu on puisse écrire sin i tan i i et cos i 1 + i 2 /2. Le rayon de l anneau brillant associé à l ordre p a alors pour expression r p = f 1(1 + pλ 2e ) L anneau brillant de plus faible rayon correspond à la plus grande valeur entière p max de p pour laquelle l argument de la racine carrée est encore positif, soit p max = E( 2e λ ) Convenons de numéroter les anneaux par ordre croissant de rayon, donc par ordre décroissant d ordre d interférence. Ce dernier variant d une unité entre deux anneaux brillants consécutifs, le k-ième anneau brillant correspond donc à l ordre d interférence p max + 1 k. Le rayon r k de ce k-ième anneau est donc r k = f 2 λ e (p max + 1) + kλ e Le rayons des premiers anneaux varie donc comme les racines carrées des entiers naturels. En conséquence, ils se resserrent de plus en plus, à mesure que l on s éloigne du centre vers l extérieur. Ce qui précède vaut également pour les anneaux sombres (seule la valeur de 2 λ (p e max 1) diffère). Remarquons enfin que, toutes choses étant égales par ailleurs, les anneaux sont d autant plus resserrés que l épaisseur e est grande. 2 Le résultat peut sembler surprenant, mais il ne faut pas se borner à considérer le trajet de la miroir entre les deux miroirs, [IJK], c est-à-dire qu il ne faut pas confondre surface d onde et surface physique du premier miroir.

18 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 1.5 Précisions sur la lame séparatrice 1.5.1 Au niveau énergétique La spératrice est généralement traitée de manière à présenter des propriétés particulières. Pour simplifier l analyse, nous supposerons une lame séparatrice homogène et transparente, réfléchissant une fraction X de l énergie incidente. Cette lame transmet donc une fraction (1 - X) de l énergie lumineuse incidente. La fraction récupérée par la voie (1) - réflexion sur la séparatrice - est donc X(1 X) ; du côté de la voie (2), les mêmes opérations intervenant mais en ordre inverse, on aura une fraction (1 X)X d énergie récupérée. Nous récupérons ainsi la même quantité d énergie sur les deux voies. Les deux ondes qui interfèrent ont donc sensiblement la même amplitude, ce qui permet un contraste élevé. Par ailleurs, pour une meilleure visibilité de la figure d interférences, il est souhaitable de recueillir le plus de flux lumineux possible dans le champ d interférences, ce qui est réalisé lorsque X(1 X) est maximal, c est-à-dire pour X = 1/2. Avec du verre nu, nous avons X 1, d où la nécessite de traiter la lame pour obtenir la valeur X 1/2 (lame semi-réfléchissante). Pour cela, on dépose sur la lame séparatrice une ou plusieurs couches de matériaux diélectriques ou métalliques. A cause de ce traitement, la lame séparatrice introduit entre les deux voies un déphasage supplémentaire, les réflexions sur chacune de ses deux faces n impliquant pas nécessairement les mêmes déphasages. En outre, ces déphasages dépendent généralement de la longueur d onde. Si ϕ i (λ) est le déphasage à la réflexion pour l onde ayant emprunté la voie (i), on notera ϕ 21 (λ) = ϕ 2 (λ) ϕ 1 (λ) la différence de déphasage. 1.5.2 Nécessité d une lame compensatrice Les chemins optiques introduits par la propagation aller-retour dans l air, entre la lame séparatrice et les deux miroirs, ne dépendent pas sensiblement de la longueur d onde, l air n étant pas très dispersif. En revanche, la dispersion du verre de la lame séparatrice est significative, et ne peut être négligée. Or cette lame est ici traversée trois fois pour l une des voies (2) et une seule fois pour l autre (1). Ainsi, la différence de trajet optique entre les deux voies dépend de la longueur d onde, ce qui est gênant, notamment si l on souhaite pouvoir s affranchir des caractéristiques de la lame et réaliser des trajets optiques associés aux deux voies pour toutes les longueurs d onde. Comme cet inconvénient résulte de la dissymétrie du dispositif, on interpose sur le trajet de la voie qui correspond à une seule traversée de la séparatrice S p une lame à faces parallèles C p, dite lame compensatrice, de même épaisseur, constituée du même verre, et parallèle à la lame séparatrice. A chaque voie correspond alors trois traversées de la même épaisseur, du même matériau, sous les mêmes incidences.

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 19 1.6 Observations de franges d égale épaisseur 1.6.1 Constatations expérimentales Considérons le cas où l interféromètre, préalablement réglé en franges d égale inclinaison (M 1 et M 2 parallèles), est éclairé par une raie spectrale (raie verte du mercure, par exemple). La netteté des franges circulaires observées à l infini nous assure que l épaisseur de la lame d air formée par M 1 et M 2 est suffisamment mince pour que l on puisse considérer le rayonnement de la source comme monochromatique (δ l c ). La source est à quelques dizaines de centimètres de la séparatrice. Le diaphragme D permet de limiter l étendue utile de la source. La lentille L permet de projeter sur l écran Π la figure d interférences se formant sur le plan conjugué de Π par L. Le diaphragme D permet de limiter l ouverture de la lentille L. Partons des ouvertures maximales de D et D.

20 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Modifions très légèrement l orientation du miroir M 2 en le faisant tourner de quelques minutes. Les franges perdent très rapidement de leur netteté et ne sont alors plus visibles sur l écran. En modifiant le plan conjugué de l écran par la lentille, ou en reculant l écran, il n est pas possible de faire réapparaître les franges. En théorie, si la source était réduite à un point, les interférences seraient délocalisées, c està-dire visibles dans tout le champ d interférences. En pratique, la puissance lumineuse utile diminue à mesure que l on réduit les dimensions utiles de la source à l aide de D. A la limite de la source ponctuelle, la puissance lumineuse émise par la source est donc nulle, et il semble par conséquent impossible d observer les interférences non localisées que donnerait une source ponctuelle. En réduisant le diamètre de D, on constate la réapparition des franges d interférences dès que ce diamètre passe en deçà d une certaine valeur, puis l augmentation progressive de leur contraste à mesure que le diamètre diminue (mais elles deviennent, évidemment, de moins en moins

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 21 lumineuses). D autre part, ces franges n ont plus la forme d anneaux, elles sont sensiblement rectilignes. On observe les points suivants. (i) Les franges ont leur maximum de netteté lorsque L conjugue M 1 et Π et c est dans ce cas que l on peut ouvrir D au maximum (ii) Une augmentation de l angle entre M 1 et M 2 réalisée grâce à une petite rotation de M 2 provoque une diminution de l interfrange (iii) En partant d une situation où la figure d interférences est brouillée, on peut faire réapparaître l ensemble des franges en diminuant le diamètre de D au lieu de celui de D, mais c est toujours en conjuguant Π et M 1 qu elles ont le maximum de netteté pour un diamètre de D donné (iv) Si la distance entre M 1 et M 2 excède une certaine limite, il est impossible d observer des franges d interférences, quels que soient les diamètres de D et de D On peut d ores et déjà interpréter cette dernière observation (iv) : il ne faut pas que la différence de marche entre les ondes ayant emprunté les voies (1) et (2) excède la longueur de cohérence, pour qu elles puissent interférer. En ce qui concerne les autres points, il faut au préalable établir une expression de la différence de marche qui permette d aborder la discussion. 1.6.2 Différence de marche entre rayons interférents Considérons la figure suivante. Il s agit de trouver une expression approchée de la différence de marche [SP ] 2 [SP ] 1 = (SJ + JP ) (SI 1 + I 1 P ) Soit l arc de centre S et de rayon SI 1, reliant les rayons incidents SI 1 et SJ, interceptant le segment SJ en N 1 ; si le point S est à grande distance devant les dimensions des miroirs M 1 et M 2, l angle θ entre les rayons incidents est suffisamment faible pour que l on puisse assimiler l arc Î 1 N 1 au segment [I 1 N 1 ], donc l angle entre N 1 S et N 1 I 1 à un angle droit.

22 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Considérons à présent l arc de cercle de centre P, et de rayon P I 1, interceptant le segment [JP] en Q 1 ; si l angle α entre M 1 et M 2 est très petit, il en va de même de l angle entre P I 1 et JP, on peut donc assimiler l arc Î 1 Q 1 au segment [I 1 Q 1 ], donc l angle entre P I 1 et I 1 Q 1 à un angle droit. Dans ce cadre, d où SI 1 SI 2 + I 2 N 1 et P I 1 P I 3 + I 3 Q 1 [SP ] 2 [SP ] 1 = N 2 I 2 I 3 Q 1 + I 2 J + I 3 J (1.1) = (I 2 J N 1 I 2 ) + (JI 3 I 3 Q 1 ) (1.2) = N 1 J + JQ 1 (1.3) Par ailleurs, I étant l intersection de la normale à M 2 avec M 1, la considération du triangle IK 1 I 1 - qui présente un angle très voisin de 90 o en K 1 -, donne sin i K 1I 1 II 1 N 2N 1 II 1 Le même type de considérations sur le triangle IK 2 I 1, présentant un angle voisin de 90 o en K 2, donne sin i Q 1Q 2 II 1 Il vient donc [] 2 [] 1 2 IJ cos i La longueur du segment IJ caractérise en fait l épaisseur de la zone de lame d épaisseur lentement variable (α de l ordre de la minute) en J. D approximation en approximation, on pourrait ne pas être convaincu par ce résultat : effectivement, en toute rigueur, la différence de marche n est pas tout à fait 2 IJ cos i. Le calcul mené en toute rigueur conduirait à 2 e cos i, où e est l épaisseur en un point J différent de J, d autant plus proche de J que les approximations effectuées plus haut sont légitimes. Par ailleurs, la distance entre les point I 2 et I 3 sont d autant plus faibles que l angle α et l épaisseur moyenne IJ sont faibles. Pour des lames dont l épaisseur est tout au plus de quelques longueurs d onde, et pour lesquelles l angle entre les faces n excède pas quelques minutes, on peut parler sans autre précision de l épaisseur e de la zone de lame traversée pour aller en un point P, puisqu à l échelle de la longueur d onde, cette épaisseur n est pas caractéristique d un seul point, mais de toute la zone participant au phénomène d interférence en P. Notons enfin que ces calculs restent encore valables si l on considère un point P n apprtenant pas au plan contenant les sources (S, S 1 et S 2 ), ou un point P entre M 1 et M 2 ou derrière M 2. 1.6.3 Localisation des franges Un point source S o - image d une vraie source S par la compensatrice - d une source étendue envoie, par réflexion sur les faces de la lame d air, deux rayons en un point P. La différence de marche entre les deux rayons interférant en P s écrit 2 e cos i où e et i dépendent des positions

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 23 de S o et de P, pour une lame d air donnée. Pour un autre point source S o, les valeurs d épaisseur e et d angle i pour les rayons interférant en P ne sont pas les mêmes que pour le point S o. En règle générale, il n y a pas compensation entre les variations d épaisseur e et les variations d angle d incidence i quand on passe de S à S. En conséquence, les variations de la différence de marche associée à un point de la source augmentent à mesure qu on étend les dimensions de la source. Si ces dernières ne sont pas suffisamment limitées, il y a brouillage. Pour une source de taille et de position données, c est lorsque le point P est sur la lame que les variations d épaisseur, donc de différence de marche, sont les moindres quand on passe d un point de la source à l autre. Il subsiste cependant une cause de moindre netteté pour les franges, puisque les points sources envoient alors en P des rayons correspondant à des angles d incidence différents. Il convient donc de limiter l angle sous lequel un point de la lame voit la source, pour ne conserver des rayons qui arrivent en P que ceux dont les angles d incidence sont suffisamment voisins. A chaque point P de la lame sont maintenant associés un épaisseur, donc une différence de marche, et ainsi un état d interférence bien précis. Les franges sont les lignes d égale valeur du produit 2 e cos i, et comme i est fixé, ce sont des lignes d égale épaisseur e. On les appelle pour cette raison franges d égale épaisseur. Dans le cas plus général d une lame de matériau diélectrique d indice n attaquée avec l angle d incidence i et traversée avec l angle de réfraction t, la différence de marche entre deux rayons interférents s écrit δ = 2 n.e cos t et les franges sont lignes d égale valeur du produit ne, distance équivalente dans le vide (ou chemin optique) associé au trajet de longueur e dans le milieu d indice n, souvent appelée épaisseur optique. 1.6.4 Calcul des phénomènes d interférences Dans le cas d une lame d air, une frange a pour équation 2 e cos i = cte Puisque l angle d incidence i est sensiblement le même pour tous les points du champ d interférences, deux franges consécutives de même nature (sombres, par exemple) correspondent à des épaisseurs e et e + δe telles que soit 2(e + δe) cos i 2e cos i = λ 2(δe)(cos i) = λ Dans le cas d une lame prismatique de petit angle α, en notant x la coordonnée le long de la ligne de plus grande pente de la lame comptée à partir de l arête, nous avons e = αx d où δe = αδx

24 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Sur la lame, l interfrange i f est donc la différence δx pour laquelle 2δe cos i = λ soit i f = λ 2α cos i Cet interfrange est d autant plus faible que α est grand. Par ailleurs, l interfrange calculé dépend de l angle d incidence i. Tant que l on est très proche de l incidence normale, on peut cependant écrire cos i 1 au second ordre en i près. En particulier, dans le cas de l interféromètre de Michelson, on travaille toujours au voisinage de l incidence normale, et i f λ 2α Dans le cas général, l interfrange de la figure d interférence se dessinant sur le plan de la lame est d autant plus important que l on s écarte de l incidence normale (cos i fonction décroissante de i), toutes choses égales par aileurs. D autre part, l angle d incidence i fixe la direction moyenne d observation, qui doit être symétrique de la direction moyenne d incidence par rapport au plan de la lame - d après la relation de Snell-Descartes pour la réflexion -. Dans le cas des lames minces de verre, l expression de l interfrange est obtenue en remplaçant cos i par n cos t, soit λ i f = 2n α cos t

Chapitre 2 Utilisations de l interféromètre de Michelson 2.1 Spectrométrie et cohérence temporelle Soit l interféromètre réglé en franges d égale inclinaison (miroirs parallèles). Le miroir M 2 peut être translaté dans une direction (Oz) perpendiculaire à son plan ; la cote z = 0 correspond (par choix) au cas où les surfaces de M 1 et de M 2 sont confondues (lame d air d épaisseur nulle) et le miroir M 2 peut se déplacer de part et d autre de cette position. On prendra ici ϕ 21 (λ) = 0, cette hypothèse n affectant en rien la signification physique de l étude. 2.1.1 Modèle du spectre rectangulaire L éclairement associé à l intervalle spectral [σ 1, σ 2 ] est la somme des éclairements associés à chacune des radiations de ce domaine spectral. Une longueur d onde λ = 1/σ donne un éclairement en 1 + cos ϕ λ (z) 25

26 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude où ϕ λ (z) = 2π λ 2z = 4πσz = ϕ σ(z) car l épaisseur de la lame d air est ici 2z. Notons que le déphasage n intervenant qu au travers de son cosinus, la différence de marche entre les voies (1) et (2) n intervient qu en valeur absolue, dans le cas supposé où ϕ 21 = 0, l orientation de zimporte donc peu dans ce cas. Si on éclaire l interféromètre par deux radiations, de nombres d onde σ et σ + δσ différant suffisamment peu sur l intervalle z expérimentalement accessible pour que nous puissions confondre ϕ σ (z) et ϕ σ+δσ (z), elles donnent la même répartition d éclairement, à un facteur de proportionnalité près, que chacune d elles prise séparément. Si nous considérons à présent l intervalle infinitisémal [σ, σ + dσ], où dσ est un infiniment petit, il lui est associé un éclairement de σ (z) = K P (σ)(1 + cos(4πσz))dσ où K est une constante de proportionnalité indépendante de σ et de z. Dans notre cas, l éclairement est uniforme dans l intervalle [σ 1, σ 2 ], et nul en dehors de cet intervalle. L éclairement total E(z) s écrit donc E(z) = σ2 σ1 σ2 de σ (z) = K (1 + cos(4πσz))dσ où K est une constante de proportionnalité indépendante de z, que nous ignorerons par la suite. Posons σ m = σ 1+σ 2 2 et σ = σ 2 σ 1. Effectuons le changement de variable σ = σ σ m : Tous calculs faits E(z) = E(z) = σ σ/2 + σ/2 σ1 (1 + cos(4πz(σ + σ m )))dσ [ sin(2πz σ) 1 + 2πz σ ] cos(4πzσ m ) Cette fonction est paire : nous pouvons donc raisonner avec z > 0. Nous retrouvons la cas de l onde monochromatique lorsque σ 0 ; si z σ 1, quelle que soit la valeur de z expérimentalement accessible, le sinus cardinal vaut sensiblement 1, et l argument du cosinus ne varie pas de façon significative si on remplace σ m par σ 1 ou σ 2. L éclairement obtenu a donc même forme que celui obtenu avec une lumière rigoureusement monochromatique. Sinon, l éclairement E(z) calculé a l allure suivante Il semblerait donc qu on puisse déterminer précisément la largeur du spectre en mesurant les cotes pour lesquelles l enveloppe se pince une première fois. Mais, expérimentalement, l allure observée pour E(z) n est pas celle que nous venons de calculer, bien qu elle en ait sensiblement l aspect tant que l amplitude du terme variable en fonction de z est supérieur à 0,25. Le relevé des cotes z correspondant donne donc un ordre de grandeur de ϕ. Encore faut-il que nous définissions cette largeur dans le cas le plus général. Nous pourrions la caractériser à partir des valeurs pour lesquelles P (σ) est 90 % de sa valeur maximale, ou 80 %, ou 50 %... Nous pourrions tout aussi bien la définir comme l intervalle [σ 1, σ 2 ] dans lequel on retrouve 90 % de la puissance totalen ou 80 % ou 50 %...

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 27 Mais pourquoi se limiter à la largeur? On souhaiterait, dans la mesure du possible, obtenir l ensemble de la distribution spectrale P (σ). Alors E(z) = σ/2 σ/1 Elle se décompose en deux termes. Le premier, (1 + cos(4πz(σ + σ m )))P (σ + σ m )dσ σ/2 σ/1 P (σ)dσ est indépendant de z et ne nous informe pas sur la forme de P (σ), le second σ/2 σ/1 P (σ + σ m )dσ cos(4πz(σ + σ m )) est une fonction de z. Sa donnée pour tout intervalle de z nous permet de remonter à un certain nombre d informations concernant P (σ). Le traitement informatique utilisé pour remonter à P (σ) à partir de ce second terme relève de l analyse de Fourier. On parle alors plus généralement de spectroscopie par transformée de Fourier. Par ailleurs, si l on considère l éclairement moyen dans le plan d observation (plan focal image de la lentille convergente, typiquement), dans l expression obtenue pou E(z), la variable fondamentale n est pas z mais plus généralement la différence de marche δ(z, i) = 2z cos i associée au point d observation E(z, i) = σ [ sin(2πz cos i σ) 1 + 2πz cos i σ ] cos(4πz cos iσ m ) Nous menons la discussion dans le cas où on observe plusieurs anneaux dans la figure d interférences, ce qui revient à considérer le cas où zσ m cos i max vaut au minimum quelques unités, i max étant la valeur maximale de i (qui dépend des conditions d éclairage, en pratique). Si zδσ 1, z cos i σ 1 et le terme [sin(2πz ] cos i σ) 2πz cos i σ

28 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude est sensiblement égal à l unité : E(z, i) est en 1 + cos(4πσ m cos i) dans tout le plan d observation. La figure d interférence observée à z donné est la même que si la radiation était monochromatique. L éclairement oscille entre zéro et sa valeur maximale. Le contraste de la figure d interférence vaut donc 1. Abordons à présent le cas général. La terme [ ] sin(2πz cos i σ) 2πz cos i σ dépend à la fois de z et de i, tout comme le terme cos(4πσ m cos i). Toutefois, σ σ m implique que [ ] sin(2πz cos i σ) 2πz cos i σ varie peu sur une période de cos(4πzσ m cos i). Nous pouvons donc considérer que sur quelques ordres d interférence, sur quelques anneaux, [ ] sin(2πz cos i σ) 2πz cos i σ est uniforme. Le contraste de la figure d interférence associé à des valeurs d angle voisines de i a donc pour expression sin(2πz cos i σ) C(z, i) = 2πz cos i σ Partons d une situation où z cos i σ 1 pour tout i, en particulier pour i = 0. Lorsque z augmente, C(z) décroît. Ill en résulte une décroissance de l amplitude des oscillations de l éclairement dans le plan d observation, qui n est plus de la forme (1+cos(4 p izσ m cos i)). Cette décroissance est d autant plus marquée que cos i est grand, soit que i est faible. C est donc au centre du système d anneaux, dans la région où l ordre d interférence est le plus élevé, que le contraste diminue le plus fortement lorsque z augmente. Par ailleurs, à i donné, [ ] sin(2πz cos i σ) 2πz cos i σ est une fonction oscillante de z : nous devrions donc observer, d abord au voisinage du centre du système d anneaux, une inversion de contraste de la figure d interférences, pour une valeur de z définie par 2z σ = 1. Cette inversion de contraste n est pas observée expérimentalement. On constate plutôt une décroissance monotone du contraste lorsque z augmente, quel que soit i, d autant plus rapide que i est faible. Les prévisions du modèle spectral rectangulaire montrent donc des limites... 2.1.2 Modèle des trains d onde Expérimentalement, lorsqu on éclaire l interféromètre par une raie spectrale, on n observe pas, lorsque z varie, l inversion de contraste prévue à la première question (on peut toutefois observer des oscillations de contraste, avec la lampe au sodium par exemple. Ayant constaté

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 29 que la figure d interférences perdait en netteté à mesure que la différence de marche associée au point d observation augmentait, alors même qu on ne pouvait pas mettre en évidence la largeur de la raie, les physiciens se sont donné une représentation de la vibration lumineuse monochromatique qui permette d expliquer le phénomène observé. Le principe de cette représentation, connue sous le nom de modèle des trains d onde, est illustré par la figure suivante. La vibration émise par un point de la source est considérée comme une succession d impulsions. Chaque impulsion est appelée train d ondes. A chacun de ces trains d onde est associée une durée d émission τ, appelée temps de cohérence de la source, et, dans cet intervalle d émission, la vibration est une fonction sinusoïdale du temps. Faisons l hypothèse qu il n y a pas de lien, de corrélation, entre les trains d onde successifs ; cela se traduit par des sauts de phase aléatoires d un train d onde à l autre, comme le montre la figure précédente. Pour alléger les calculs, nous supposerons que les trains d ondes ont tous la même durée d émission τ et la même amplitude. On supposera également que ωτ 1. Les détecteurs ne sont sensibles qu à la valeur moyenne du carré de l amplitude. Soit A 1 (t) l amplitude scalaire associée à la voie 1, A 2 (t) celle associée à la voie 2. A 1 (t) = a 1 cos(ωt + ϕ 1 (t)) A 2 (t) = a 2 cos(ωt + ϕ 2 (t)) et nous poserons a 1 = a 2 = 1 pour simplifier. Si l amplitude totale s écrit A(t) = A 1 (t) + A 2 (t), le détecteur est sensible à A 2 (t) = A 2 1(t) + A 2 2(t) + 2 A 1 (t) A 2 (t) Comme 1/ω est petit devant le temps d intégration d un détecteur, A 2 1(t) = A 2 2(t) = 1/2

30 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude et on se ramène au calcul de cos(ωt + ϕ 2 (t)) cos(ωt + ϕ 1 (t)). Il vient ( 1 2 ) cos(2ωt + ϕ 2(t) + ϕ 1 (t)) + cos(ϕ 2 (t) ϕ 1 (t)) = ( 1 2 ) cos(ϕ 2(t) ϕ 1 (t)) puisque 1/2ω est très grand devant le temps d intégration d un détecteur. Par ailleurs, si z est l épaisseur de la lame d air, si la voie 2 correspond à un trajet optique plus long que la voie 1, il vient ϕ 2 (t) = ϕ 1 (t (2 z c )) ϕ 1 (t) et ϕ 2 (t) ont toutes deux la même forme que ϕ(t). Il suffit d évaluer cos(ϕ(t 2 z /c) ϕ(t)) Si 2 z /c > τ, il n y a aucune corrélation, aucun lien causal entre ϕ(t/2 z /c) et ϕ(t). Ces deux fonctions sont dites statistiquement indépendantes, et leur différence peut prendre toutes les valeurs possibles avec une égale probabilité, comme chacune des deux fonctions considérées séparément. cos(ϕ(t 2 z /c) ϕ(t)) est donc la valeur moyenne d une fonction qui peut prendre toutes les valeurs possibles entre -1 et +1 avec une égale probabilité. Cette valeur moyenne est donc nulle. Si 2 z /c < τ, il y a recouvrement partiel d un train d ondes avec lui-même. Nous pouvons découper l axe des temps en portions de longueur τ 2 z /c où A 1 (t) et A 2 (t) correspondent au même train d ondes, et en portions de longueur 2 z /c où A 2 (t) et A 1 (t) correspondent à des trains d ondes différents, donc statistiquement indépendants. La moyenne cherchée s écrit 1 T t+t t cos(ϕ(t) ϕ(t 2 z c ))dt où T désigne le temps d intégration du récepteur, très supérieur à 1/ω. Les intervalles de longueur 2 z /c pour lesquels A 1 (t) et A 2 (t) correspondent à des trains d onde différents donnent une somme nulle. Dans les intervalles de longueur τ/2 z /c, où A 1 (t) et A 2 (t) correspondent au même train d ondes, cos(ϕ(t 2 z /c) ϕ(t)) = cos(2ωz/t) valeur constante indépendante de t. Ces intervalles représentent donc une fraction τ 2 z /c du τ temps d intégration. On a donc Revenons à ce qui est détecté. Il vient cos(ϕ(t 2 z /c) ϕ(t)) = (1 2 z /cτ) cos(2ωz/c) 1 + (1 2 z /cτ) cos(2ωz/c) Par hypothèse, ωτ 1, et (1 2 z /cτ) varie donc beaucoup lentement avec z que cos(2ωz/c). On peut reprendre le raisonnement entrepris pour le spectre rectangulaire et dire que le contraste s écrit 2 z cos i C(z, i) = 1 ( ) cτ

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 31 si 2 z cos i < cτ. Pour une incidence nulle, on observe les figures suivantes pour le contraste et l éclairement. Avec cette modélisation, il n y a plus d interférences dès que la différence de marche dépasse cτ, l éclairement est simplement la somme des éclairements associés aux deux voies dès que δ > cτ. La longueur de cohérence est donc la différence de chemin optique à partir de laquelle il n y a plus d interférences. En pratique, on appellera longueur de cohérence la distance au bout de laquelle on ne peut plus observer d interférences, et temps de cohérence le quotient de cette longueur de cohérence par la vitesse de la lumière c. Le modèle du train d ondes, comme celui du spectre rectangulaire, n est qu un modèle. Il permet d expliquer la décroissance de contraste, mais la forme linéaire de la décroissance qu il prévoit n est pas non plus celle qu on observe expérimentalement. C est néanmoins une image très utile, par sa simplicité, pour le raisonnement qualitatif, et dont les prévisions quantitatives sont acceptables dans nombre de situations courantes. S il s écoule un temps mort entre deux trains d ondes, la forme de l éclairement n est pas modifiée. Seule intervient la forme dont le temps de recouvrement de deux trains d ondes varie avec la différence de marche. Par contre, la valeur moyenne de E(z, i) dépend de la fraction de durée qu occupent ces temps morts. Ces temps morts, s ils existent, ne sont donc pas accessibles par le relevé de E(z). Le contraste s annule une première fois pour δ = 1/ σ dans le modèle du spectre rectangulaire, et pour δ = l c dans le modèle du train d ondes. Un relation simple - mais approchée - vient alors, cτ = 1 σ Par ailleurs, σ = 1/λ, soit en différentiant, dσ = λ /λ 2. Ainsi, l c = cτ = 1 σ = λ2 λ

32 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude c est-à-dire l c λ = λ λ = p max p max étant l ordre d interférences maximal observable. l c τ λ ν p max 10 µm 3.10 14 s 25 nm 3.10 13 Hz 20 100 µm 3.10 13 s 2,5 nm 3.10 12 Hz 200 1 mm 3.10 12 s 0,25 nm 300 GHz 2.000 10 mm 3.10 11 s 25 pm 30 GHz 20.000 100 mm 3.10 10 s 2,5 pm 3 GHz 200.000 300 nm 1 µs 8, 3.10 15 m 1 MHz 6.10 8 Pour les sources usuelles, l c < 30 cm et τ est bien inférieur au temps d intégration des détecteurs classiques. On a par ailleurs τδω 1 où δω = c σ est la largeur spectrale en impulsion. Cette relation a une portée tout à fait générale : δω désigne la largeur à mi-hauteur de la distribution spectrale associée à une impulsion temporelle dont la largeur caractéristique est de l ordre de τ. En assimilant la lumière blanche à un spectre rectangulaire en σ de longueurs d onde extrémales 400 nm et 800 nm, on obtient et σ = 1 0, 4.10 1 6 0, 8.10 = 1, 6 2.106 m 1 σ m = 1 2 ( 1 0, 4.10 6 + 1 0, 8.10 6 ) = 1, 9.106 m 1 Nous avons donc, d après l analyse précédente, une largeur de cohérence l c = 0, 8 µm, ce qui fait tout au plus deux franges sombres ou brillantes. En vérité, on peut parvenir à distinguer jusqu à 4 ou 5 franges de part et d autre de l ordre zéro. L explication réside en ce que notre oeil n est pas un simple récepteur d éclairement, il est capable d apprécier la couleur. La considération des éclairements et des contrastes représentés sur la figure précédente montre que si on se limite à des différences de marche très inférieures à la longueur de cohérence, tout se passe comme si la vibration lumineuse était monochromatique ou temporellement cohérente selon le vocabulaire consacré ; le contraste est proche de 1, et l éclairement varie sinusoïdalement en fonction de z si la différence de marche est supérieure à la longueur de cohérence, il n y a pas de corrélation entre les vibrations ayant emprunté les deux voies, on dit encore que les vibrations sont temporellement incohérentes

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 33 L allure du contraste en fonction de la différence de marche montre que la transition entre le caractère cohérent et le caractère incohérent est progressive, et qu il faut donc préciser la configuration envisagée. Il n y a pas d interférences entre les vibrations émises par deux points sources distincts. En prenant le modèle des trains d ondes, ceci signifie qu il n y a pas de corrélation entre les trains d ondes émis par deux points sources distincts. 2.1.3 Spectrométrie par transformée de Fourier L étude des interférences en lumière parfaitement cohérente est souvent très éloignée de la réalité où les sources lumineuses ne sont en général pas monochromatiques, c est-à-dire partiellement cohérentes temporellement. Nous allons donc considérer que l interféromètre de Michelson est éclairé par une source quasiponctuelle non monochromatique, caractérisée par une densité spectrale B(ν) en fréquence ou B σ (σ) en nombre d onde, et vue comme la superposition de composantes monochromatiques dont la largeur est dσ. Pour une source monochromatique, nous avions vu que l intensité en sortie du Michelson pouvait s écrire I = 2I o [1 + cos 2π λ δ] Pour notre source polychromatique, la contribution de la bande dσ à l intensité s écrit di = 2B σ (1 + cos ϕ) dσ d où l intensité résultante I = di = + 2B σ (1 + cos ϕ) dσ Nous poserons I = 2 I = 2 + + B σ dσ + 2 T F [B σ (σ)] = + B σ (1 + cos 2πδσ) [ + ] B σ dσ + 2Re B σ e i2πδσ dσ + et + B σdσ = B(δ = 0), nombre réel. Ainsi, d où I = 2 B(0) [ B σ (σ).e i2πδσ dσ 1 + 2 Re( B(σ) ] B(o) )

34 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude et l expression générique [ I(σ) I(0) = 1 1 + B(σ) ] 2 B(0) cos(φ(δ))) Le rapport Γ(δ) = B(σ) est parfois appelé B(0) Cette écriture généralise l expression relative à une seule vibration monochromatique. Dans le cas où la source est quasi-monochromatique, c est-à-dire que son spectre est étroit, on montrera par la suite que le terme Γ(δ) varie lentement devant cos φ(δ), et se comport comme une modulation de son amplitude. Eclairement par le doublet du sodium Considérons que le rayonnement est la superposition de deux radiations monochromatiques de longueurs d onde λ 1 = 589, 0 nm et λ 2 = 589, 6 nm, pour le doublet jaune du sodium, auxquelles sont associées des puissances lumineuses identiques. L écart est suffisamment important pour que l éclairement résultant soit la somme des éclairements dus à chacune des radiations considérée séparément. avec E(z, i) = E 1 (z, i) + E 2 (z, i) E j (z, i) = [ ] 4πz cos i 1 + cos( ) λ j A une constante multiplicative près, [ E(z, i) = 1 + cos(2πz cos i ( 1 1 ] [ )) cos(2πz cos i ( 1 + 1 ] )) λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 Parmi les deux termes semblables, le second varie beaucoup plus rapidement que le premier, puisque (λ 2 λ 1 ) 2 λ 2 λ 1. Le terme [ cos(2πz cos i ( 1 1 ] )) λ 1 λ 2 apparaît donc comme le facteur de contraste d une figure d interférences correspondant à la longueur d onde Il s annule pour λ = 2λ 1λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 2 2z cos i( 1 λ 1 1 λ 2 ) = m + 1 2 si m est un entier relatif. Sachant que p 1 (z, i) = 2z cos i λ 1 et p 2 (z, i) = 2z cos i λ 2, on a donc la condition p 1 (z, i) p 2 (z, i) = m + 1 2 On montre de même que z est maximum et vaut 1 lorsque p 1 (z, i) p 2 (z, i) = m. En effet, la répartition d éclairement est la somme des répartitions d éclairement associées aux longueurs

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 35 d onde λ 1 et λ 2. Lorsque p 1 (z, i) p 2 (z, i) = m, les deux répartitions d éclairement coïncident, le contraste est donc le même qu avec une seule des composantes du doublet. Lorsque p 1 (z, i) p 2 (z, i) = m + 1/2, les deux répartitions d éclairement sont décalées d une demi-interfrange,, il y a donc brouillage de la figure d interférences. On parle ici de coïncidences (contraste maximal) et d anti-coïncidences (contraste minimal) des figures d interférences des radiations λ 2 et λ 1. En théorie, le brouillage n est pas total pour z donné, puisque C(z,i) dépend ainsi de i, mais cette dépendance en i est beaucoup plus lente que celle du terme d interférences à proprement parler, soit cos(2πz cos i ( 1 λ 1 + 1 λ 2 )) Lorsque C(z,i) s annule, on ne voit donc pas les anneaux voisins du centre. Le contraste augmente très lentement lorsqu on se déplace vers les bords du système d anneaux. Le nombre d anneaux ainsi brouillés au voisinage du centre est d autant plus important que 1 λ 1 1 λ 2 est faible devant 1 λ 1 + 1 λ 2. En utilisant ces caractéristiques, on peut essayer de mesurer l écart entre les deux radiations avec une bonne précision. L allure de E(z, i = 0), éclairement relevé au centre du système d anneaux, est la suivante. La courbe est inscrite dans une enveloppe limitée par les courbes 1 + cos(2πz( 1 λ 1 1 λ 2 )) 1 cos(2πz( 1 λ 1 1 λ 2 ))

36 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 1 La distance entre deux zéros de C(z) est donc de = 0, 289 mm, la distance entre deux 2. σ noeuds de E(z) est de λ 1,2 = 147 nm, ce qui représente un rapport 1.000 entre les deux distances. 4 Dans la figure précédente, le rapport 1/λ 1 1/λ 2 1/λ 1 +1/λ 2 a été pris beaucoup plus important qu il n est en réalité. En enregistrant plusieurs fuseaux, l échelle caractéristique de l enregistrement est la période de l enveloppe, soit 0,289 nm, et nous ne distinguons pas les oscillations à l intérieur de cette enveloppe. La période de l enveloppe nous renseigne sur la différence 1 λ 1 1 λ 2. L enregistrement de l éclairement au centre du système d anneaux nous permet de repérer les ventres et les noeuds de l enveloppe. Ces derniers sont appréciés avec plus de précision que les ventres. Il subsiste tout de même une incertitude sur la position des noeuds. Afin de minimiser l incertitude absolue attachée à la détermination de la position d un noeud, il faut mesurer l écart entre deux noeuds les plus écartés possible, pour minimiser l incertitude. En tenant compte des largeurs des raies λ 1 et λ 2, nous avons [ ] 4πz cos i E 1 (z, i) = 1 + C o (z, i) cos( ) λ 1 et E 2 (z, i) = [ ] 4πz cos i 1 + C o (z, i) cos( ) λ 2 2 z cos i où C o (z, i) = 1 + ( ) pour 2 z cos i > cτ et 0 dans le cas contraire. L éclairement total a cτ donc l expression suivante [ ] [ 2 z cos i E(z, i) = 1 + 1 cos(2πz cos i ( 1 1 ] [ )) cos(2πz cos i ( 1 + 1 ] )) cτ λ 1 λ 2 λ 1 λ 2

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 37 auquel est associé le contraste C(z, i) = [ 1 ] 2 z cos i cos(2πz cos i ( 1 1 )) cτ λ 1 λ 2 Pratiquement, nous sommes donc limités dans le nombre de noeuds observables, quand bien même nous pourrions faire varier la différence de marche de plusieurs mètres, puisque C(z, i) décroît quand z augmente. L enveloppe associée à l expression précédente a l allure suivante, alors que l enveloppe expérimentalement observée est plutôt celle de la figure qui suit. Le principe de l exploitation et les limitations qu elle impose sont toutefois les mêmes. Enfin, le fait que l on puisse observer un grand nombre de noeuds confirme que les largeurs des raies sont très étroites devant leur écart, c est-à-dire En analyse de Fourier : généralisation cτ 1 σ L interféromètre étant réglé en lames parallèles, on l éclaire par une lampe spectrale au sodium dont le spectre après filtrage présente l allule suivante. Nous supposerons que chacune de ces radiations est décrite par une fonction gaussienne. B σ,1 = B o e ( σ σ 1 ) be 2

38 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude B σ2 = B o e ( σ σ 2 ) be 2 en appelant b e la largeur spectrale à la hauteur B o /e. En vue d obtenir l interférogramme, on chariote le miroir à vitesse constante. Nous avons [ B σ = B o e ( σ σ 1 ) be 2 + e ( σ σ 2 ) 2] be soit B σ = B o [ e σ 2 ] b 2 e (δ(σ σ 1 ) + δ(σ σ 2 )) et Dans ce cas, B σ = B o [ B(δ) = B o T F e σ 2 b 2 e (δ(σ σ o + Σ 2 ) + δ(σ σ o Σ 2 )) ] [ e ( σ )2] be T F [δ(σ σ o + Σ2 ) + δ(σ σ o Σ2 ] ) On en déduit donc B(δ) = B o T F [e π( σ π be ) 2] T F [δ(σ σ o + Σ2 ) + δ(σ σ o Σ2 ] ) B(δ) = B o π be e π2 b 2 e δ2 T F [δ(σ σ o + Σ2 ) + δ(σ σ o Σ2 ] ) B(δ) = B o π be e π2 b 2 e δ2 [e ( i2πδ(σ o + Σ2 )) + e( i2πδ(σ o Σ2 ] )) B(δ) = B o π be e π2 b 2 eδ 2 e i2πδσo [2 cos(πδsigma)]

LP 38 - Interfe rome trie a division d amplitude d ou " Re # B (δ) 2 2 2 = e π be δ cos(2πδσo ) cos(πδσ) B (0) L intensite a par conse quent pour expression i 1 h I(δ) 2 2 2 = 1 + e π be δ cos(2πδσo ) cos(πδσ) I(0) 2 39

40 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Le diagramme précédent permet d extraire σ o, Σ et b e. En effet, σ o est la fréquence du cosinus rapide : on obtient ici 1 σ o = λ o = 769 nm Σ est la fréquence du cosinus lent : on obtient de même soit on en déduit σ 1,2 = σ o ± Σ 2, soit b e est obtenu en regardant la hauteur (1/e), 1 2 = 173 µm 2 Σ Σ = 5.780 m 1 λ = λ o σ o σ = Σ λ 2 o λ = 34 Å δ = 1 471, 43 nm 2 Cette largeur correspond à π 2 b 2 eδ 2 = 1 soit soit, en termes de longueur d onde, d où b e = 2 π δ b e = σ 1 λ λ 1 = 1350, 4 m 1 λ 8 Å = λ λ 2 1 Nous venons de voir que l analyse de l interférogramme permet de remonter aux principales caractéristiques spectrales de la source lumineuse éclairant le dispositif interférentiel mais il est possible aussi d accéder précisément à la fonction densité spectrale B σ (σ) par transformation de Fourier inverse. Si [ ] Bσ (δ) g(δ) = Re B σ (0) nous pouvons décomposer la transformation de Fourier de cette fonction en posant b(σ) = 1 2 (B σ(σ) + B σ ( σ)) somme deux deux répartitions (formation du doublet). g est une fonction réelle et paire. Alors bσ (σ) = T F [b(σ)]

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 41 bσ (σ) = 1 2 + 0 0 bσ (σ) = 1 2 bσ (σ) = 1 2 bσ (σ) = B σ (σ)e i2πσδ dσ + 1 2 + 0 + 0 + 0 B σ ( σ)e i2πσδ dσ B σ (σ) [ e i2πσδ + e i2πσδ] dσ B σ (σ) [2 cos(2πσδ)] dσ Re [ B σ (σ) e i2πσδ] dσ [ ] bσ (σ) = Re Bσ (σ) ce qui signifie que bσ (σ) g(δ) et par conséquent que b σ (σ) T F 1 [g(δ)] Pour connaître la source b σ (σ), il savoir de pouvoir effectuer la transformée inverse de g(δ). Comme I(δ) I(0) = 1 (1 + g(δ)) 2 on a g(δ) = 2 I(δ) I(0) 1 Le spectre de la lampe B σ (σ), qui n est défini que pour les valeurs positives des fréquences ν est donc maintenant connu puisque les fonctions B σ (σ) et b(σ) sont identiques à un facteur 2 près pour les valeurs positives de ν. Moyennant un calculateur rapide capable d effectuer une transformée de Fourier rapide (FFT en anglais, cf. développements), on peut donc obtenir le spectre d une source lumineuse. Le flux de l ensemble des éléments spectraux tombant simultanément sur le récepteur pendant toute la durée de la mesure, un des avantages de la spectrométrie à transformée de Fourier est de pouvoir obtenir un spectre complet en quelques secondes, tandis que l acquisition d un spectre demande plusieurs dizaines de minutes lorsqu il est réalisé à l aide d un spectromètre utilisant un réseau. 2.2 Déplacement des miroirs et effet Doppler L interféromètre de Michelson est éclairé par une onde monochromatique de pulsation ω. Le miroir M 2 se déplace à la vitesse constante v pendant la durée de l enregistrement et on prend pour origine des temps le passage par le contact optique (z = 0). Il suffit de reprendre les résultats du paragraphe précédent avec ϕ 2 (t) ϕ 1 (t) donc, à une constante de proportionnalité près, 4π v.t λ E(t) = 1 + cos( 4π v.t λ )

42 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Pour approcher le phénomène, calculons l interférence de deux vibrations de même amplitude, de fréquences f et f + δf, dans l hypothèse où δf est très faible devant l inverse du temps d intégration du détecteur. La résultante est cos(ωt) + cos((ω + δω)t) = 2 cos[t(ω + ω 2 )] cos[tδω 2 ] et comme δω est très faible devant l inverse du temps d intégration du détecteur signifie que cos(t δω ) peut être considéré comme constant sur l échelle de temps caractéristique du détecteur. 2 L éclairement détecté est donc 2 cos 2 t(ω + δω 2 ) cos2 (t δω 2 ) = 1 (1 + cos(t.δω)) 2 Il a la même forme que celui calculé (à la constante (1/2) près), à condition de poser δf = ±2.v/λ. On a donc δf f = ±2.v/c Interprétons en supposant que z soit positif, et traduise l éloignement du miroir mobile M 2 de la séparatrice avec le temps. M 2 s éloignant à la vitesse v par rapport au référentiel où est émise la vibration à la fréquence f, reçoit une vibration de fréquence f(1 v/c). Plaçons-nous à présent dans le référentiel où M 2 est fixe - il est aussi galiléen que le premier puisque le mouvement de M 2 est un mouvement de translation à vitesse constante, par hypothèse -. Le référentiel du laboratoire (de la séparatrice, du miroir et du détecteur, tous fixes par rapport au laboratoire) se déplaçant à la vitesse opposée v par rapport à M 2, reçoit une vibration de fréquence f(1 v)(1 v ). Comme u c (en pratique v < 1 cm/s), c c (1 v c )(1 v c ) 1 2v c et c est bien le résultat trouvé. Le relevé de E(t) permet donc de déduire la vitesse du miroir, au signe près, car v intervient dans un cosinus, donc par sa valeur absolue. Pour connaître le signe de v, il faut savoir de quel côté du contact optique se trouve M 2, et observer l ensemble de la figure d interférences. En pratique, la détermination de la vitesse de défilement d un miroir par interférométrie ne présente guère d intérêt. Cependant, les résultats que nous venons de voir sont un cas particulier de vélocimétrie Doppler : en visant une cible réfléchissante à l aide d un laser, et en faisant interférer le faisceau renvoyé par la cible avec un faisceau qui a suivi un autre chemin en gardant sa fréquence initiale (réflexions et transmissions avec des optiques immobiles), nous pouvons ainsi avoir des informations sur la position du mobile. Le principe de cette technique ne diffère pas de celui que nous avons vu ici (v est toujours très inférieure à c, même à plusieurs centaines de km/h). Sa mise en oeuvre nécessite tout de même en plus un appareillage élaboré d acquisition et de traitement des données. 2.3 Contrôle de surfaces : méthode de Fizeau Le problème est le suivant : contrôler si une surface sphérique de matériau transparent que l on vient de travailler a le bon rayon de courbure et le bon poli. Pour le savoir, on compare notre

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 43 surface à une surface de référence ayant le rayon de courbure recherché (on l appelle calibre). Si la surface à contrôler est convexe (resp. concave), on la pose sur une surface concave (resp. convexe) ayant le rayon de courbure souhaité. Si les deux surfaces s appliquent parfaitement l une sur l autre, on peut chasser complètement l air séparant les deux surfaces ; si ce n est pas le cas, on a une lame d air. Cette lame d air, d épaisseur variable entre les deux surfaces, peut donner des franges d égale épaisseur, soit parce que le rayon de courbure de la surface travaillée n est pas le bon, soit parce que le poli est insuffisant. Nous avons vu que la différence de marche entre les rayons réfléchis par une lame mince était 2e cos i, avec d autant plus de précision que i est voisin de zéro (incidence normale). Comme l incidence normale est également celle qui donne la plus grande différence de marche, elle permettra d apprécier au mieux les éventuels écarts à la coïncidence surface testée - calibre. On éclaire donc la dispositif en lumière normale grâce au montage de Fizeau. Après réfléxion sur le système étudié, la fraction du faisceau traversant la lame revient converger en S, la fraction réfléchie par cette même lame va converger en S, symétrique de S par rapport à la lame séparatrice. En plaçant un diaphragme en S, on ne sélectionne de la source que les points voisins de S (appartenant au symétrique du diaphragme par rapport à la

44 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude lame séparatrice). On peut ainsi limiter à son gré l étendue de la source intervenant dans la figure d interférence en jouant sur le diamètre du diaphragme 1. L oeil (ou le détecteur) voit les franges sur le plan image de la lame d air à travers la lentille L. Plus les variations d éaisseur sont importantes, plus on verra de franges obtenues par réflexion sur les deux faces de la lame en accomodant sur cette même lame, à l oeil ou à l aide d une caméra et d un moniteur de contrôle. On saura en plus si le rayon de courbure de la surface travaillée est supérieur ou inférieur à celui du calibre. En effet, si la lame d air est à bords épais (contact au centre), la figure d interférences observée est à centre sombre, alors que si elle est bombée en son centre, elle sera à bords sombres 2. Le polisseur sait donc dans quel sens il doit rectifier son travail : il corrige tant qu il voit des franges, le comptage des franges lui indiquant l écart d épaisseur le long des deux surfaces. On ne voit plus de frange brillante dès que le maximum de 2e est inférieur au quart de longueur d onde, mettons au (1/5)ème pour que l oeil ne puisse pas apprécier les variations d éclairement le long de la lame. Ce procédé permet donc de contrôler la concordance de deux surfaces au (1/10)ème de la longueur d onde près, soit environ 70 nm si λ = 632, 8 nm (laser He-Ne), ce qui est déjà très précis. Le raisonnement précédent qu il n y a que deux rayons réfléchis qui interfèrent ; en métallisant les surfaces de la lame d air, on a alors affaire à un grand nombre de rayons interférents et on peut alors atteindre le nanomètre, ce qui est tout à fait remarquable et illustre la précision métrologique que peuvent atteindre les méthodes de contrôle optique. 2.4 Contrôle de surfaces d onde : méthode de Twyman- Green On peut aussi utiliser le dispositif optique à étudier en recourant à une variante de l interféromètre de Michelson. S il s agit d une surface plane, on la met en lieu et place de l un des miroirs de l interféromètre. Si la planéité est bonne, la lame d air obtenue est à faces parallèles et on y observe un éclairement sensiblement uniforme. Sinon, on observe des franges localisées sur la lame, révélant les variations d altitude par rapport à la surface de référence que constitue le plan de l autre miroir. On peut aussi contrôler un système optique centré grâce au montage de l interféromètre de Twyman-Green. Supposons d abord que le système centré est exempt d aberrations. Le faisceau parallèle qu il reçoit vient converger à son foyer image F. On dispose un miroir sphérique derrière le système à étudier. En plaçant le miroir de telle sorte que son centre coïncide avec le point F, le miroir transforme le faisceau convergeant en F en un faisceau divergeant de F, et tout se passe comme si on avait un miroir plan M 2 au lieu de la combinaison système centré - miroir. Si le système optique présente des aberrations, la surface d onde après double passage n est pas plane, et on observe des franges localisées sur le miroir M 1. L aspect de la figure d interférence 1 Les dispositifs industriels utilisent des sources laser, spatialement cohérentes : il n y a alors plus lieu de diaphragmer la source. 2 En effet, là où il y a contact, on a superposition de deux vibrations dont le seul déphasage résulte de ce que l une a subi une réflexion matériau-air et l autre une réflexion air-matériau, il est donc de π

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 45 renseigne le praticien sur le type d aberration présent. 2.5 Mesure d épaisseurs 2.5.1 Spectre cannelé Considérons les franges d égale épaisseur par réflexion localisées sur une lame éclairée en lumière blanche. En un point M de la lame où l épaisseur est suffisante, on voit du blanc d ordre supérieur qu on peut analyser à l aide d un spectroscope. On obtient alors un spectre de lumière blanche cannelé ; les cannelures sombres correspondent aux radiations telles que la différence de marche est égal à un nombre entier de fois la longueur d onde λ (dans le vide). En incidence normale, il vient L = 2ne = mλ m entier

46 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Ce spectre cannelé permet, une fois étalonné, de mesurer l épaisseur de la lame. En effet, entre la longueur d onde λ 1 relative à une première cannelure sombre de rang 1 et celle relative à la cannelure sombre de rang m, on a la relation L = 2ne = m 1 λ 1 = (m 1 + m 1)λ m d où et m 1 = (m 1)λ m λ 1 λ m e = m 1λ 1 2n = (m 1 2n ) λ 1λ m λ 1 λ m Exemple. Sur un spectre cannelé, obtenu avec une lame de mica d indice 1,58 et préalablement étalonné, on a mesuré λ 1 = 650 nm et λ 6 = 450 nm. On en déduit e = 2.5.2 Faibles épaisseurs 5 0, 650 0, 450 2 1, 58 0, 2 = 2, 3 µm Lorsqu on veut mesurer une faible épaisseur t (de l ordre de quelques dizaines de nanomètres) d un certain matériau déposé sur un support de verre, une méthode précise, la méthode de Tolansky, consiste à réaliser un coin d air, à l aide de deux lames de verre. La première lame, qui supporte le matériau déposé sur une partie de sa surface, est recouvert d une couche d un métal évaporé très réfléchissante ; la seconde est rendue partiellement réfléchissante. Le coin d air ainsi constitué est observé par réflexion à l aide d un microscope métallographique.

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 47 Il est éclairé normalement au moyen d un miroir semi-transparent. On voit aisément deux systèmes de franges rectilignes identiques, décalés du fait de la présence du dépôt. Ecrivons que la phase, et donc l épaisseur, sont inchangées lorsqu on suit une même frange sur toute la largeur du coin d air. Il vient, en notant X 1 et X 2 les abscisses des deux portions de frange X 1 α = X 2 α + t d où En introduisant l interfrange i = λo, on trouve 2α Par exemple, si λ o = 589 nm et X 1 X 2 t t = (X 1 X 2 )α t = X 1 X 2 i ( λ o 2 ) = 1/10, on obtient t = 29, 4 nm.

48 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 2.5.3 Mesure d indices L interféromètre de Michelson est souvent utilisé en coin d air pour mesurer l indice d une lame placée normalement sur l un des deux bras. Cette lame provoque un déplacement des franges en relation avec son indice n et son épaisseur e. La différence de chemin optique supplémentaire qu elle introduit par transmission est 2(n 1)e On opère en lumière blanche, ce qui permet d obtenir une frange centrale blanche, puisque commune à toutes les radiations. En déplaçant l un des miroirs, on peut compenser cette différence de marche supplémentaire, et donc se ramener à la situation initiale. Dans ces conditions, on a la relation simple 2(n 1)e = 2z si z est le déplacement du miroir. 2.5.4 Visualisation de gradients de température Au voisinage d une source de chaleur, l air est le siège de gradients de température. L indice de l air varie avec la température selon une loi linéaire 3 pour des écarts T raisonnables par rapport à la température ambiante T o n(t ) = n(to) η T où η 10 6 K 1. Une épaisseur e d air chaud à la température T o + T dans l un des bras (l autre restant à la température T o ) introduit une différence de marche δ = 2η T e ; pour fixer les idées, si e = 1 cm, une interfrange (λ = 633 nm) correspond à T = λ 2ηe = 32 K Pour des échauffements raisonnables, compatibles avec la fragilité des miroirs de l interféromètre, on ne peut pas appliquer un montage classique puisqu il n apparaît qu environ un interfrange entre l air chaud à la surface du corps et l air froid loin de celui-ci. On évite ce problème en créant un coin d air dans le Michelson et en mesurant les distorsions du système de franges induites par les variations d indice de réfraction. Après avoir réglé le Michelson en franges d égale inclinaison, on incline légèrement l un des miroirs de façon à créer un système de quelques franges verticales. On chariote légèrement de façon à réduire la longueur d un des bras, en notant le sens de défilement des franges. Dans ce même bras, on place un morceau de cuivre couvrant une partie du champ ; le cuivre aura été chauffé à l aide d un sèche-cheveu par exemple, en veillant à ne pas dépasser les 40 o C et à ne pas trop s approcher des miroirs et d ela séparatrice. On repère le déplacement des franges en fonction de la distance à la surface ; on prend comme référence la position des franges en l absence du morceau. 3 Ces variations sont bien décrites par la loi de Gladstone pour les gaz : (n 1)/ρ = cte où ρ est la densité du gaz. Pour un gaz à pression constante, cette relation devient (n 1)T = cte. Pour l air à 273 K, sous 1 atm, on a (n 1) = 3.10 4

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 49 En négligeant les effets de bord, donc en supposant que la température au-dessus du métal ne dépend que de l altitude z, il convient d évaluer la température de la surface du cuivre en prenant pour e l épaisseur du morceau de métal. On vérifie que la lame d air chaud dépace les franges dans le même sens que le chariotage effectué au début de la manipulation, ce qui est cohérent avec un coefficient dn dt = η < 0 On peut rendre cette expérience quantitative en mesurant la température du barreau de cuivre pendant l expérience à l aide, par exemple, d un thermocouple introduit dans un trou percé dans le barreau, au voisinage de la surface. En laissant le métal refroidir (ou en soufflant - convection forcée - dessus), on pourra observer que la déformation des franges est alors essentiellement concentrée au voisinage de la surface. On mesure facilement, avec cette méthode, des écarts de température de l ordre de 10 à 20 o C, sans danger pour le Michelson.

50 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 2.6 Détection du vent d éther : l expérience de Michelson et Morley La détection du vent d Ether fut le défi suivant que Michelson se proposa après avoir mesuré la vitesse de la lumière avec autant de précision. Naturellement quelque chose qui permet aux corps solides de le traverser librement ne se laisse pas facilement mettre le grappin dessus. Michelson compris que, exactement comme la vitesse du son est relative à l air, la vitesse de la lumière doit être relative à l éther. Cela doit signifier que si vous pouvez mesurer la vitesse de la lumière avec suffisamment de précision, vous pouvez la mesurer lorsqu elle remonte le vent, puis lorsqu elle le suit, et la différence des deux résultats devrait être exactement le double de la vitesse du vent. Malheureusement cela n était pas facile. Toutes les mesures récentes et précises avaient utilisé la lumière voyageant vers un miroir éloigné et revenant, aussi si il y avait un vent d éther le long de la direction entre les deux miroirs, un effet inverse aurait lieu au retour, ne laissant qu un très petit effet résultant. Il n y avait pas de voie techniquement praticable, permettant une mesure de la lumière à partir d un aller simple. A ce moment Michelson eut une idée très habile pour détecter le vent d éther. Comme il l expliqua a ses enfants (d après sa fille) à partir de la devinette suivante : Supposons que nous ayons une rivière de largeur w (disons 100 pieds), et deux nageurs qui nagent tous deux à la même vitesse v, disons 5 pieds par seconde. La rivière coule à allure modérée disons 3 pieds par seconde. Les nageurs font la course de la manière suivante : ils partent tous les deux d un même point d une rive. L un d eux nage directement à travers la rivière vers le point le plus proche de la rive opposée, puis fait demi tour et revient, l autre reste d un même côté de la rivière, remontant le courant sur une distance, mesurée le long de la berge, exactement égale à la largeur de la rivière, puis revient en nageant à son point de départ. Qui gagne? Considérons d abord le nageur qui remonte le courant puis revient. Remontant le courant sur 100 pieds, sa vitesse relativement à la berge est seulement 2 pieds/s, aussi cela prend 50 s. au retour la vitesse est 8 pieds/s et le temps est de 12,5 secondes, la durée totale vaut donc 62,5 s. Le cas du nageur transversal par rapport au courant est plus délicat. Il ne peut s agir de viser directement la rive opposée, car le courant entraînerait le nageur vers l aval. Pour réussir dans sa traversée directe, le nageur doit en fait viser en amont, avec un angle correct (évidemment un nageur réel ferait cela inconsciemment). Ainsi donc, le nageur progresse à 5 pieds par seconde, avec un certain angle, par rapport à la rivière, et est entraîné vers l aval à une allure de 3 pieds/s. si l angle est choisi correctement et de sorte que le mouvement résultant soit la traversée directe, en une seconde le nageur doit avoir parcouru 4 pieds : les distances couvertes en une seconde formant un triangle 3,4,5. Ainsi avec une vitesse de traversée de 4 pieds/s le nageur traverse en 25 secondes, et il revient en un même temps, la durée totale de l aller et retour est donc 50 secondes. Le nageur qui nage transversalement gagne. Cela reste vrai quelle que soit la vitesse de nage (à l évidence la course n est possible que si ils peuvent nager plus vite que le courant!). La grande idée de Michelson fut de construire une course exactement semblable pour des impulsions lumineuses, avec le vent d éther dans le rôle de la rivière. Le schéma de l expérience est le suivant : une impulsion lumineuse est envoyée directement avec un angle de 45 degrés sur

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 51 Fig. 2.1 Pendant la durée t, le nageur s est déplacé de c.t par rapport à l eau, et a été transporté vers l aval, par le courant, d une distance v.t une lame semi-argentée - constituant un miroir semi-transparent - de façon à ce que la moitié de l impulsion la traverse et que l autre moitié est réfléchie. Ces deux demi- impulsions sont les deux nageurs, elles se déplacent toutes deux vers des miroirs distants qui les réfléchissent vers la lame semi-transparente. A cet endroit elles sont à nouveau à moitié transmises et à moitié réfléchies, mais une lunette est placée derrière la lame semi- transparente comme indiqué sur la figure, ainsi la moitié de chacune des demi-impulsions arrivera dans la lunette. Maintenant si il existe un vent d éther, quelqu un regardant dans la lunette verra les moitiés des demi-impulsions arriver à des moments légèrement différents, car l une aura remonté et descendu le courant et l autre aura voyagé par le travers du courant, en général. Pour maximiser cet effet, l ensemble de l appareillage, y compris les miroirs distants, était placé sur une grande table orientable, de façon à ce que l on puisse le faire tourner. Réfléchissons un peu à l ordre de grandeur du délai temporel que nous nous attendons à trouver entre les arrivées des deux demi-impulsions lumineuses. Prenant la vitesse de la lumière relativement à l éther égale à c miles par secondes, et l éther coulant au travers du laboratoire à v miles par secondes, parcourir une distance w miles en remontant le courant prendra w w secondes, puis pour revenir secondes. La durée (c v) (c+v) totale du trajet est la somme des deux, qui peut s écrire, ce qui peut aussi s écrire (2. w c ) (1 v2 c 2 ) 2.w.c (c 2 v2) Maintenant nous pouvons sûrement affirmer que la vitesse du vent d éther est inférieure à la vitesse de la lumière, sinon on le saurait depuis longtemps, par exemple en chronométrant les éclipses des satellites de Jupiter. Cela signifie d ailleurs que v 2 /c 2 est un nombre très petit et que nous pouvons utiliser certaines formules d approximation qui rendent les calculs plus faciles. 1 D abord, si x est très petit par rapport à 1, alors est très proche de (1 + x) (vous pouvez (1 x) le vérifier avec votre calculatrice). Un autre fait dont nous aurons besoin dans un instant est que pour x petit la racine carrée de (1 + x) est très proche de 1 + x. Ainsi la durée du parcours 2

52 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Fig. 2.2 Ce schéma vient de l article original. La source lumineuse est en s, la ligne à 45 degrés est le miroir semi-argenté, b et c sont des miroirs et d, l observateur. amont-aval est donnée, avec une excellente approximation par (2. w c ).(1 + v2 c 2 ) Fig. 2.3 Ceci provient aussi de l article original, et montre le chemin attendu de la lumière, relativement à l éther, avec un vent d éther soufflant. A présent que de la durée du parcours transversal du courant? La véritable vitesse de traversée doit être représentée comme ci-dessus, en utilisant un triangle rectangle, dont l hypoténuse vaut la vitesse c, le petit côté de l angle droit la vitesse du vent d éther v et l autre côté la vitesse de traversée du courant dont nous avons besoin pour déterminer la durée du trajet de la traversée. D après le théorème de Pythagore, la vitesse de traversée du courant est

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 53 la racine carrée de (c 2 v 2 ) ; et puisque c est la même dans les deux sens, la durée de l aller et retour par le travers du courant sera 2.w c2 v 2 ce qui peut s écrire sous la forme que nous approximerons par 2. w c /(1 v2 2c 2 ) 2. w c (1 v2 2c 2 ) 1 utilisant les remarques sur les racines carrées ci dessus, et en remplaçant écrivons la durée de la traversée sous la forme (1 x) par 1 + x, nous 2. w c (1 + v2 2c 2 ) En comparant les durées des deux trajets calculées aux paragraphes précédents nous voyons qu ils différent d une quantité égale à 2.w c. v2 2c 2 Remarquons que 2.w est la durée du trajet dans le cas où il n y a pas de vent d éther du tout, soit c quelques millionièmes de secondes ; si nous prenons le vent d éther de l ordre de grandeur de la vitesse de déplacement de la Terre sur son orbite, par exemple, alors v/c vaut environ 1/10.000 (soit 10 4 ) et v 2 /c 2 vaut 1/100.000.000 (10 8!). Ce qui signifie que la différence des durées des trajets est de l ordre d un cent millionième de quelques millionièmes de secondes : il semble sans espoir de pouvoir détecter une différence de durées aussi courte. Il se trouve cependant que tel n est pas le cas, et Michelson fut le premier à indiquer comment faire. L astuce est d avoir recours à la propriété d interférence des ondes lumineuses. Au lieu d utiliser des impulsions lumineuses, Michelson employa une faisceau continu de lumière monochromatique (d une seule couleur). Ce qui peut être vu comme une suite d ondes progressant avec une longueur d onde d environ un cinquante millionième de pouce. A présent cette suite d ondes est divisée en deux, puis réfléchi comme nous l avons décrit. Une des deux parties remonte puis redescend le courant, l autre partie traverse le courant et revient. Finalement elle se rejoignent et se superposent dans la lunette puis dans l oeil. Si celle qui prend le chemin le plus long est une demi longueur d onde en retard, ses creux seront sur le sommet des crêtes de la première onde, ils s annuleront et on ne verra rien. Si le retard est moindre, il y aura quand même un assombrissement. De toutes façons, de très petites erreurs dans le positionnement des miroirs auront le même effet : c est une des raisons pour laquelle l ensemble de l appareillage est construit de façon à pouvoir être tourné. En faisant tourner l ensemble de 90 degrés, les rayons montant et descendant le courant et le rayon transversal sont permutés, maintenant c est l autre rayon qui est en retard, aussi en observant dans la lunette, pendant que l ensemble tourne, on s attend à observer des variations de luminosité dans la lumière perçue. Pour augmenter la différence de durée entre les deux chemins suivis, dans l expérience réelle, la lumière est réfléchie plusieurs fois, en avant et en arrière, ( comme une course à plusieurs

54 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude tours de piste). Michelson avait calculé qu un vent d éther de seulement un ou deux miles par secondes devait avoir un effet observable dans cette expérience, aussi si la vitesse du vent d éther était de l ordre de grandeur de la vitesse de la Terre sur son orbite autour du soleil [29 km/s soit une vingtaine de miles par seconde], elle serait facile à voir. En fait rien ne fut observé : l intensité de la lumière ne varie pas du tout. Quelques temps plus tard, l expérience fut reprise de façon à ce qu un vent d éther produit par la rotation journalière de la Terre autour de son axe puisse être mise en évidence. De nouveau, on ne vit rien. Finalement, Michelson conjectura que l éther faisait, peut être, en quelque sorte, pièce avec la Terre, comme l air de la cabine d un pont inférieur sur un bateau, aussi refit-il l expérience au sommet d une haute montagne en Californie. De nouveau aucun effet ne fut observé. il était difficile de croire que l éther dans le voisinage immédiat de la Terre était entraîné par celle-ci, car les rayons lumineux provenant des étoiles lointaines seraient déviés en passant de l éther lointain en mouvement, à l éther local immobile [par rapport à la Terre]. La seule conclusion possible de cette série d expériences très difficiles, était que le concept global d un éther imprégnant tout était faux, depuis le début. Michelson était très peu disposé à penser ainsi. En fait, un point de vue nouveau sur la nature de la lumière était apparu vers les années 1860, à partir du brillant travail théorique de Maxwell, qui avait écrit un ensemble d équations décrivant comment des champs électriques et magnétiques peuvent s engendrer les uns les autres. Il avait découvert que ses équations prédisaient qu il pouvait exister des ondes de champs électriques et magnétiques, et la vitesse de ces ondes déduites à la fois de l expérience et de la façon dont les champs sont liés entre eux, devait être 186.300 miles/s. C est évidemment la vitesse de la lumière dans le vide, aussi était-il naturel d admettre que la lumière est formée de champs magnétique et électrique très rapidement variables. Mais ceci mène à un très gros problème : les équations de Maxwell prédisent une vitesse déterminée pour la vitesse de la lumière, et c est bien cette valeur qui est trouvée expérimentalement, mais par rapport à quoi cette vitesse doit-elle être mesurée? Le seul intérêt d introduire un éther, était de fournir une image semblable à celle que nous formons pour le son : ondes de compression dans un certain milieu. La vitesse du son dans l air est mesurée relativement à l air. Si le vent souffle vers vous, depuis la source du son, alors vous entendrez le son plus tôt, mais si il n y a pas éther, alors l analogie ne tient plus. Alors par rapport à quoi la vitesse de la lumière doit-elle être de 186.300 miles par seconde? Il existe une autre possibilité évidente, qui est appelée la théorie de l émetteur la vitesse de la lumière est de 186.300 miles/s relativement à la source lumineuse. L analogie est ici entre la lumière émise par une source et les balles tirées par une mitrailleuse. Les balles sortent à une vitesse définie (appelée vitesse d éjection), relativement au canon de l arme. Si l arme est montée à l avant d un char, qui se déplace vers l avant, et quelle est pointée vers l avant, alors relativement au sol, les balles se déplacent plus vite que si elle sont tirées depuis un char immobile. La manière la plus simple pour tester la théorie de l émission de la lumière est de mesurer la vitesse de la lumière émise vers l avant, par une lampe se déplaçant vers l avant, et de voir si elle dépasse la vitesse connue de propagation de la lumière d une quantité égale à la vitesse de déplacement de la lampe. En fait ce type de test direct de la théorie de l émission ne devint expérimentalement réalisable que dans les années soixante (1960). Il est à présent

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 55 possible de produire des particules appelées pions neutres, qui se désintègrent chacune dans une petite explosion, en émettant un éclair lumineux. il est aussi possible d avoir ces pions se déplaçant vers l avant à la vitesse de 185000 miles/s quand ils s autodétruisent, et de capter la lumière émise vers l avant et de chronométrer cette vitesse. On a trouvé ceci, qu en dépit de l effet d accélération attendu par le fait que la lumière est émise par une source très rapide, la lumière des petites explosions se déplace vers l avant à la vitesse habituelle de 186.300 miles/s [par rapport à nous]. Au siècle dernier, la théorie de l émission était rejetée car on pensait que l aspect de certains phénomènes célestes, comme par exemple les étoiles doubles, (ou deux étoiles tournent l une autour de l autre), en serait affecté. Ces arguments ont été critiqués depuis, mais le test des pions est sans ambiguïté 4. 2.7 IASI : l Interféromètre de Sondage Atmosphérique Infrarouge IASI, l Interféromètre de Sondage Atmosphérique Infrarouge, est un nouvel instrument qui sera embarqué sur les satellites Metop. Il recueillera des profils atmosphériques de température et d humidité et fournira des informations complémentaires sur toute une série d autres paramètres géophysiques, comprenant l ozone atmosphérique et d autres gaz à l état de traces. C est une mise en oeuvre commune du CNES et d EUMETSAT, le CNES supervisant le contrat de développement et EUMETSAT maintenant l instrument en orbite. L instrument recueille 30 vues de la Terre par balayage transversal à la trajectoire, sur une largeur de fauchée totale d environ 2.200 km. La distance entre deux vues de la Terre est d environ 50 km au nadir mais, pour chaque vue, l information est recueillie dans une matrice de 2 par 2 sous-pixels circulaires, chacun d un diamètre maximum de 12 km au nadir. La durée du balayage (8 secondes) et l espacement horizontal des vues de la Terre sont identiques à ceux de l instrument AMSU-A de manière à faciliter l utilisation synergique des deux instruments. De plus, pour permettre les comparaisons avec AVHRR, l instrument comprendra un imageur intégré qui recueillera des données sur les pixels de sondage de IASI avec une résolution spatiale kilométrique. IASI est un interféromètre Michelson travaillant dans la gamme spectrale s étendant de 3,6 à 15,5 micromètres (2760 cm 1 à 645 cm 1 ). La table montre les régions principales de cette fourchette spectrale et l information utilisable. Des études scientifiques ont montré qu avec un échantillonnage spectral de 0, 25 cm 1, l instrument obtiendra jusqu à 19 éléments indépendants d information concernant la structure verticale des températures atmosphériques et de la vapeur d eau. Ceci permettra des résolutions verticales grandement améliorées, comparées à celles des instruments opérationnels actuels. 4 L expérience est rapportée par Alvager et al. Physics Letters 12,260 (1964).

56 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Gamme (cm 1 ) Application principale 650-770 sondage des températures (bande de CO 2 ) 770-980 propriétés des nuages et de la surface 1000-1070 sondage ozone 1080-1150 propriétés des nuages et de la surface 1210-1650 température et sondage de vapeur d eau CH 4, N 2 O et SO 2 (colonne) 2100-2150 CO (colonne) 2150-2250 sondage de température (bande de CO 2 ) 2350-2420 sondage de température (bande CO 2 ) 2420-2700 propriétés des nuages et de la surface 2700-2760 CH 4 (colonne) 2.8 Détection des ondes gravitationnelles Une onde gravitationnelle déforme localement l espace-temps et modifie ainsi les distances relatives entre deux masses libres,i.e. le temps mis par la lumière pour aller d une masse à l autre. Pour mesurer cet écart de distances, on utilise le principe de l interféromètre de MICHELSON. 2.8.1 Interféromètre utilisé On utilise un interféromètre type Michelson. Le principe est celui déjà étudié : un faisceau laser est divisé en deux par une lame semi-transparente. Les deux rayons passent dans deux bras de chemins optiques légèrement différents (différence de marche δ), pour être recombinés et provoquer des interférences (dans notre cas, ce sont des anneaux concentriques). Les bras ont été allongés par des cavités Fabry-Pérot, et ce surtout pour des raisons pratiques ; en effet, ces cavités permettent de simuler un Michelson avec des bras de plusieurs centaines de kilomètres de long, ce qui n est pas directement réalisable. Concrètement, on obtient un interféromètre d une longueur de 3 ou 4 kilomètres... Le rôle des cavités FP n est que de rallonger les bras, sans produire d interférences. En effet,

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 57 La différence marche entre les deux rayons est de δl 1 2 = 6 km. τ est de l ordre de 10 11 à 10 8 s. Pour qu il y ait interférence, il faut θ < τ, or ici θ = 2.10 5 s > 10 8 s : les deux faisceaux sont donc incohérents. L onde, en passant sur l interféromètre va modifier l espace-temps de façon différente dans les deux bras de l interféromètre. Ceci va entraîner une différence de marche entre les deux faisceaux, et donc donner une figure d interférence que l on va pouvoir capter. 2.8.2 Problèmes rencontrés Pour comprendre et faire face aux différents problèmes techniques, les chercheurs ont réalisé un prototype d une quarantaine de mètres. Les différents points qui vont suivre ont été établis grâce à ce prototype et à une analyse complète des mesures qu il a fourni Précision des miroirs L étude de l interféromètre de Michelson montre bien que la précision des miroirs est très importante (effet des coins d air, rugosité,...). De plus, ils doivent absorber un minimum de puissance lumineuse. Pour être efficaces, les miroirs doivent avoir une perte d au plus quelques millionièmes, ce qui est encore difficile à atteindre pour des miroirs de la taille de ceux utilisés dans les interféromètres les plus performants. La puissance sur le laser - Bruits de photons Seuls les bruits du laser sont pris en compte (les bras sont opaques aux photons extérieurs). Pour détecter de telles variations, un laser classique ne suffit pas, il faut en effet une très grande stabilité du rayon ainsi qu une forte puissance. Pour atteindre une sensibilité satisfaisante, l équipe d Orsay a mis au point un laser à néodyme-yag délivrant 10 à 20 W et stable au dix-millième de hertz près. La puissance est encore augmentée grâce au miroir de recyclage, disposé à la sortie du laser. Celui-ci renvoie dans l interféromètre les rayons sortants de la lame séparatrice.

58 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Bruits sismiques Pour s isoler des bruits sismiques présents sur la terre, on a suspendu les miroirs à sept ressorts à gaz, qui réduisent les bruits sismiques de 109 pour 10 Hz. Avec de telles réductions, pour des fréquences supérieures à 10 Hz, les bruits sismiques sont négligeables. Pour des fréquences inférieures, les coûts pour une bonne isolation seraient trop importants pour être rentables. Bruits thermiques Comme dans les barres de Weber, les bruits thermiques, c est-à-dire l agitation des molécules, doivent être contrôlés. En effet entre 10 et 200 Hz, le bruit thermique domine tous les autres. Pour pallier ce problème, on utilise des matériaux dont on connaît parfaitement les fréquences de vibrations, ce qui permet de les isoler facilement dans le spectre, à défaut de les supprimer. De plus, les miroirs seront suspendus avec des fils très fins, pour ne pas absorber les vibrations, et pour pouvoir facilement les manipuler. Bruits du gaz Un autre bruit à supprimer est celui des fluctuations de l indice du milieu optique. Cellesci sont surtout importantes à l air libre. C est l un des bruits les plus faciles à supprimer, du moins dans la théorie. Dans les bras de l interféromètre, on pousse le vide jusqu au milliardième d atmosphère. Ainsi atteint-on une amplitude de 10 24 Hz 1/2, ce qui devient négligeable pour la sensibilité désirée.

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 59 2.8.3 Mise en place - Réglage De même que les mesures de bruits ont été estimées par le prototype de 40 mètres, les paramètres du réglage ont été également fournis par celui-ci. On règle ainsi les angles et le parallélisme des faisceaux la figure d interférence : elle est réglée sur un écran noir. La moindre vibration ferait apparaître un peu de lumière, ce qui est beaucoup plus facile à capter, compte tenu de la faiblesse des vibrations Cavités de Fabry-Pérot : elles sont réglées de telle sorte que les pertes soient négligeables Détection : les paramètres des capteurs et les logiciels de traitement sont directement issus des essais du prototype. 2.8.4 Applications Elle concernent surtout la théorie de la Relativité Générale. La détection des ondes gravitationnelles est une nouvelle vérification de cette théorie. Ces ondes ont été mises en évidence à l aide d un interféromètre de Michelson à deux bras de longueur L = 3 km dans le cadre du projet Virgo. La précision de cet interféromètre est de δl = L 10 21, c est-à-dire qu il est sensible, grâce à l utilisation d un laser, à une variation de la longueur du bras de δl = 10 21 L = 3.10 18 mètre. Lors de l explosion d une supernova, des gravitons sont émis et le passage d une telle particule dans l interféromètre peut faire varier la longueur du bras de l ordre de grandeur de la précision de l interféromètre. En cosmologie, les projets Virgo, Ligo, Géo, Lisa, ne doivent pas simplement être vus comme de simples expériences sur la théorie de la Relativité Générale ; ce sont de véritables antennes interférométriques. Elles permettent en effet d observer des phénomènes cosmiques, jusqu à maintenant invisibles par les moyens d observation classiques, qui mettent en jeu des signaux électromagnétiques. Ce nouveau système d observation offre beaucoup d autres avantages : les ondes gravitationnelles ne sont pas perturbées par les différents objets stellaires (ce qui n est pas le cas pour la lumière) ce mode d observation vient en complément des modes classiques d observation. Exemple d événements cosmiques événement amplitude (échelle log) fréquence (échelle log) Supernova dans la galaxie -16 à -18 2 Trous Noirs -18-1 à -3 Etoiles doubles -21-2 à -3 Destruction système binaire -22 3 à 4 Naines Blanches -24 0 Pulsars -26 2 Grâce aux antennes terrestres on pense pouvoir atteindre des fréquences de l ordre de 10 à 10 4 Hz, ce qui ne sera pas suffisant pour l observation de beaucoup d autres phénomènes. Mais l avènement des antennes satellisées devraient permettre d atteindre une sensibilité plus grande à des fréquences plus basses. Avec ce type d observation, la cosmologie entre dans une nouvelle ère.

Chapitre 3 Autres interféromètres à division d amplitude 3.1 L interféromètre de Fabry-Pérot 3.1.1 Introduction Dans la famille des interféromètres, celui de Fabry et Pérot tient une place très importante. Au départ outil pédagogique pour la présentation des interférences, il devient rapidement un outil d analyse indispensable en optique. Le Fabry-Pérot (FP) se compose de deux miroirs partiellement réfléchissant se faisant face. Le premier miroir est monté de manière à pouvoir suivre un mouvement de translation le long du banc d optique. Le second possède des réglages en rotation très précis. On place la source de lumière à étudier devant l ensemble des deux miroirs et on étudie la lumière transmise par le FP. Le réglage du FP consiste à rendre les faces des deux miroirs parallèles, en observant les franges d interférences (alternance de bandes sombres et brillantes). Dans la pratique, on ajuste les mouvements de rotation du second miroir de façon à obtenir des anneaux parfaitement concentriques. Le faisceau incident est divisé en une multitude de faisceaux secondaires de faibles amplitudes grâce à la réflectivité partielle des miroirs. Lorsque les deux miroirs sont parallèles, les faisceaux sont également parallèles. Leurs amplitudes s ajoutent entre elles et interfèrent. C est ce qui produit les anneaux sombres. Le très grand intérêt du FP tient à sa finesse de résolution spectrale. Cela signifie que le FP fonctionne comme un filtre qui ne laisse passer que certaines couleurs (soit longueurs d onde) provenant de la source de lumière, suivant l épaisseur séparant les miroirs. Pour une épaisseur donnée entre les miroirs, on observe des pics de transmission régulièrement espacés. Chaque pic a une largeur qui est inversement proportionnelle à l épaisseur. Le rapport de l espace entre chaque pic à cette largeur est d autant plus grand que la réflectivité des miroirs est grande. Donc plus l espace entre chaque pic est grand, plus le filtre sélectionne une bande spectrale fine, et donc meilleure est la précision de la mesure. En faisant varier l épaisseur, on ajuste le filtre à la couleur souhaitée. 60

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 61 Parmi les nombreuses applications du Fabry-Perot, il convient de citer la mesure de longueur d onde, la comparaison de longueur d onde, la comparaison entre longueur d onde et le mètre étalon (jusqu en 1961, l étalon de longueur est le mètre en platine du Pavillon de Sèvres. Le FP a permis d en faire des copies extrêmement précises), l investigation de la structure hyperfine des atomes. 3.1.2 Un interféromètre à ondes multiples L interféromètre est donc constitué de deux lames de verre, dont les faces en regard, optiquement 1 planes, parallèles et très réfléchissantes, constituent une lame d air 2. La distance e qui les sépare est de l ordre du centimètre dans les spectromètre, du décimètre dans les cavités optiques à gaz et du millimètre dans les cavités optiques à semiconducteurs. Si e est maintenu constant, on parle d étalon Fabry-Pérot. Considérons le schéma théorique suivant. Nous noterons ψ o l amplitude complexe d une onde plane incidente, r 1 et r 2 les facteurs de réflexion en amplitude sur chaque dioptre, et t 1 et t 2 ceux en transmission. Lorsqu une lame d air d indice n, d épaisseur uniforme e, est éclairée par une source large, elle donne des franges d égale inclinaison à l infini ou dans le plan focal image d une lentille. La figure précédente montre qu il faut prendre en compte l ensemble des rayons transmis qui se rencontrent au point d observation P. Nous pouvons écrire ψ 1 = t 1 t 2 ψ o ψ 2 = ψ o t 1 t 2 r 2 2 e iφ ψ 3 = ψ o t 1 t 2 r 4 2 e 2iφ 1 C est-à-dire à λ/20 près. 2 Afin d éviter les réflexions parasites dues éventuellement aux autres faces, les lames de verre sont légèrement prismatiques...

62 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude avec ψ 4 = ψ o t 1 t 2 r 6 2 e 3iφ φ = 2π λ o ϕ = 2π λ o 2ne cos r est la différence de phase entre deux ondes successives. Notons qu entre les coefficients r et r existent les relations r 2 1 + n.t 2 1 = 1 d où l on déduit et En conclusion, r 2 + t2 2 n = 1 r 2 = r 1 = n 1 n + 1 t 1 = 2 n + 1 t 2 = 2n n + 1 r + 1 t 1 t 2 = R + T = 1 en introduisant les facteurs de réflexion et de trasmission en énergie, R et T. Nous avons alors que ψ 1 = ψ o T ψ 2 = ψ o T R e iφ ψ 3 = ψ o T R 2 e 2iφ ψ 4 = ψ o T R 3 e 3iφ L interférence de ces ondes pourra être constructive si leurs amplitudes sont pratiquement égales, c est-à-dire si R 1. On obtient de telles valeurs de R en déposant sur la lame de verre

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 63 une couche suffisante de métal évaporé ou un film diélectrique formé de plusieurs couches 3. La somme des amplitudes complexes transmises donne L intensité de l onde transmise vaut donc ψ t (P ) = ψ o T 1 1 R e iφ I t (P ) = ψ t (P ) 2 = ψ o 2 T 2 1 1 R.e iφ 2 T 2 I t (P ) = I o (1 R cos φ) + R 2 sin 2 φ = I T 2 o 1 + R 2 2R cos φ I t (P ) = I o T 2 (1 R) 2 1 1 + 4R (1 R) 2 sin ( ) 2 φ 2 Cette fonction de φ est maximale pour φ = 2mπ où m est un entier. ( T I max = I o 1 R Notons qu en l absence d absorption, I max = I o mais en général I max I o. Finalement, nous retiendrons I max I t (P ) = 1 + M sin 2 (φ/2) avec 4R M (1 R) 2 La fonction A(φ) ) 2 1 1 + M sin 2 (φ/2) est appelée fonction d Airy. C est une fonction paire constituée d une succession de pics dont le profil est lorentzien puisque pour φ 0 A(φ) 1/(1 + Mφ 2 /4) La largeur des pics à mi-hauteur se détermine aisément. Elle vaut φ 1/2 = 4 2(1 R) = M 1/2 R 1/2 Cette largeur des pics diminue lorsque R augmente. Comme pour les anneaux d Haidinger, on obtient le rayon des anneaux brillants en déterminant les valeurs de l angle d incidence i pour lesquelles I t (P ) est maximale, c est-à-dire celles qui réalisent un ordre d interférence p entier. Au centre, p est maximal et vaut p o = 2ne λ o = m 1 + ε 3 Dans ce dernier cas, l interféromètre peut absorber une partie de l énergie incidente : on n a plus R + T = 1 mais R + T + A = 1 où A est un facteur d absorption.

64 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude où m 1 est entier et ɛ réel tel que 0 ɛ < 1. Le rayon du q e anneau brillant, dans le plan focal, a même expression que pour les anneaux d Haindinger, c est leur finesse qui change R q f.i q = f.n r q = f.( nλ o e )1/2 (q 1 + ε) 1/2 Si ε = 0, le centre est blanc et le rayon des anneaux brillants comme la racine carrée des nombres entiers successifs ; les anneaux se resserrent que l on s écarte du centre. 3.1.3 Utilisation en spectromètre En raison de la finesse des anneaux, l interféromètre FP est souvent utilisé comme spectromètre, pour analyser avec précision la distribution spectrale des sources lumineuses. En effet, comme chaque onde monochromatique issue de la source, de fréquence ν, donne son propre système d anneaux, avec une intensité qui est proportionnelle à l intensité spectrale I ν (ν), la figure d interférence permet d atteindre cette fonction. Dispersion Il s agit de la quantité D φ = dφ dλ où λ est la longueur d onde dans le vide. Si l épaisseur de la lame d air et l inclinaison sont déterminées, on a la différence de phase, en un point du plan d observation, φ = 2π λ 2e cos i d où par différentiation dφ = 2π 2e cos i dλ λ2 La dispersion en différence de phase vaut D φ = 2π 2e cos i λ 2

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 65 Le signe négatif exprime simplement l opposition du sens de variation de φ et λ. Pouvoir de résolution Il s agit de la grandeur P.R. = λ λ λ étant le plus petit écart en longueur d onde détectable. Cette dernière quantité est reliée à D φ par la relation λ = φ 1/2 D φ si φ 1/2 est la variation de phase minimale qu on peut obtenir. Le critère de Rayleigh consiste à la définir par la largeur à mi-hauteur des pics de la figure d interférence, φ 1/2 = 4/M 1/2. Ainsi, et ce que l on écrit sous la forme πm 1/2 = πr1/2 2 1 R P.R. = λ = 4/M 1/2 2π 2e cos i λ 2 λ λ = πm 1/2 e cos i λ P.R. = pf 2e cos i où p = et F = désignent l ordre d interférence et le facteur de finesse. Le λ tableau suivant, établi avec λ = 500 nm, e = 1 cm et i 0, montre que le pouvoir de résolution est particulièrement élevé et qu il varie beaucoup lorsque le coefficient de réflexion en intensité passe de 0,80 à 0,99. R 0,80 0,90 0,95 0,99 F 14 30 61 313 P.R. 0, 56.10 6 1, 2.10 6 2, 45.10 6 125.10 6 λ(pm) 0,89 0,42 0,21 0,004 L interféromètre FP est donc un instrument très puissant en spectrométrie, au point qu il ne convient que lorsque l analyse spectrale est suffisamment fine et ne concerne que très peu de radiations différentes. 3.1.4 Cavité résonnante L interféromètre PF est utilisé dans les lasers à gaz comme cavité unidimensionnelle capable de transmettre uniquement certaines radiations lumineuses parmi celles qui sont présentes dans le faisceau initial. En effet, les radiations pour lesquelles le déphasage φ est égal à un nombre entier de fois 2π sont seules transmises puisque, compte tenu de l allure de la courbe donnant l intensité transmise I t, toutes les autres radiations sont pratiquement arrêtées par interférences destructives. En incidence normale, on a donc, si λ est la longueur d onde dans le vide, φ = 2π λ 2ne = 2mπ

66 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude avec m entier, ce qui s écrit en terme de fréquence (temporelle) ν m = m ( c ) 2ne On dit que les deux lames de l interféromètre forment une cavité résonnante. En associant l interféromètre à un milieu actif amplifiant l onde qui le traverse, on obtient un amplificateur d ondes lumineuses de fréquences déterminées. C est précisément ce qui est réalisé dans les sources laser. 3.1.5 Filtres interférentiels Un filtre interférentiel est une lame diélectrique à faces parallèles partiellement réfléchissantes qui ne transmet qu une bande spectrale du rayonnement incident. Les radiations transmises sont celles qui réalisent la condition d interférence constructive des ondes multiples, φ = 2π λ 2ne cos r = 2mπ où m est un entier et λ la longueur d onde dans le vide. Si on veut transmettre, en incidence normale, la radiation de longueur d onde λ 1, on choisit l épaisseur pour laquelle on a 2ne = mλ 1 Le nombre entier m est généralement pris égal à 1 afin que les autres radiations visibles de longueurs d onde λ 2, λ 3,... telles que mλ 1 = (m + 1)λ 2 = (m + 2)λ 3 =... soient en dehors du domaine visible. Par exemple, si λ 1 = 546 nm, λ 2 = 273 nm λ 3 = 182 nm sont toutes en dehors du domaine visible. Une caractéristique importante des filtres interférentiels est la largeur spectrale de la radiation quasi-monochromatique qu ils transmettent ; on peut la définir comme la quantité δλ 1/2 reliée à la largeur à mi-hauteur du pic d intensité transmis. Comme pour le pouvoir de résoluiton calculé précédemment, on obtient λ 1 λ 1/2 = pf = F = πr1/2 1 R puisque dans ce cas, p = m = 1. Pour réduire λ 1/2, on augmente F en utilisant des faces très réfléchissantes constituées de films diélectriques à plusieurs couches. Par exemple, si R = 0, 95, λ o = 546, 1 nm, on a F = 61 et λ 1/2 = 9 nm.

LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 67 3.2 L interféromètre de Mach-Zehnder Cet interféromètre à deux ondes est constitué de deux miroirs M 1 et M 2 parfaitement réfléchissants, disposés à 45 o de la direction des rayons lumineux. Un faisceau incident Σ o de rayons parallèles, monochromatiques de longueur d onde λ = 0, 6 µm et d intensité I o est divisé en deux faisceaux (1) et (2) de même intensité par la séparatrice S 1. Après réflexion sur M 1 et M 2, les faisceaux (1) et (2) se recombinent à la sortie de la séparatrice S 2. Les séparatrices sont traitées généralement de manière à assurer les coefficients r = 2 π 2 e i 2 et 2 t = 2 L utilisation de cet interféromètre permet le mesure d indices. On intercale par exemple deux lames identiques sur les trajets (1) et (2) et par rotation de la seconde par exemple, on obtient des variations de l éclairement sur l écran en fonction de l angle de rotation ; en particulier, il existe des valeurs de cet angle conduisant à l annulation ou l intensification maximale de l éclairement...

68 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude