Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance A- Variables aléatoires et lois de probabilités I Loi d une variable aléatoire 1) Définition d une variable aléatoire Exemple : Un jeu de hasard se déroule selon le protocole suivant : Le joueur débourse 2 euros et lance deux dés tétraédriques parfaits. Il lit les numéros sortis (entre 1 et 4) au sommet de chacun des dés. S il obtient un «double», le joueur récupère sa mise, et reçoit une somme, en euros, égale au total des points marqués ; sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. On s intéresse au gain (algébrique), noté, du joueur. On considère l expérience aléatoire «lancer les deux dés». L univers (l ensemble des résultats possibles) de cette expérience aléatoire est l ensemble des couples d entiers(;) avec 1 4 et 1 4. L univers comporte donc 16 issues possibles. Les dés étant équilibrés, les issues obtenues sont équiprobables, de probabilité. Pour simplifier le dénombrement, on représente les gains possibles dans un tableau à double entrée : A chaque issue est associé un gain : (1 ;1) 2 (1 ; 2) -2 (1 ; 3) -2 (4 ; 3) -2 (4 ; 4) 8 On dit alors que l on a défini la variable aléatoire qui donne le gain du joueur. Remarque : est une fonction : à chaque issue, elle associe le nombre qui correspond au gain du joueur. Définition 1 : Soit E l univers associé à une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire sur E, c est associer à chaque issue de E un nombre. 2) Loi de probabilité d une variable aléatoire Reprenons l exemple : Cherchons la probabilité de «gagner 2 euros», événement noté «=2». Cet événement est réalisé pour l unique issue (1 ; 1) avec la probabilité. On écrit alors (=2)=. De même : (=4)=(=6)=(=8)=. L événement «= 2» est réalisé pour les 12 issues (;) telles que. En raison de l équiprobabilité, (= 2)= =. On regroupe ces informations dans le tableau suivant : Gain -2 2 4 6 8 Dé 1 1 2 3 4 Dé 2 1 2 3 4 Ce tableau représente la loi de probabilité de. (= ) Définition 2 : Soit une variable aléatoire définie sur l univers E d une expérience aléatoire. On note (1 ) les différentes valeurs prises par. Définir la loi de probabilité de consiste à associer à chaque valeur la probabilité de l événement «=». Remarque : (= ) =1 1
II Paramètres d une variable aléatoire 1) Espérance, variance et écart-type est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant : Valeur Probabilité Définition 3 : L espérance mathématique de, notée (), est la moyenne des : ()= + +...+ = La variance de, notée (), est la moyenne des carrés des écarts ( ()) : ()= ( ())²+ ( ())²+...+ ( ())²= ( ())² La variance est aussi la moyenne des carrés des valeurs moins le carré de l espérance : ()= ²+ ²+...+ ² () = () L écart-type de, noté (), est défini par : ()=() Exemple : Reprenons l exemple des deux dés tétraédriques. ()=.. L espérance peut s interpréter en disant que si on joue un grand nombre de fois, le gain moyen qu on peut espérer est de 0,25. ()=.. ()=.. 2) Transformation affine d une variable aléatoire Soit une variable aléatoire définie sur l univers E d une expérience aléatoire. prend les valeurs,,. Soient et deux nombres réels et considérons la variable aléatoire =+. prend alors les valeurs = +, = +,, = +. Propriété 1 : (+)=()+ (+)=²() et (+)= () Démo : (+)= ( +)+...+ ( +)=( +...+ ) (+)= + (+) + + + (+) 2 () +( +...+ ) = () + + () =² ( ())²+...+ ² ( ())²=²()
B- Loi binomiale I Répétition d épreuves identiques et indépendantes 1) Étude d un exemple : tirage avec remise Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : deux bleues, deux jaunes et une noire. L expérience aléatoire consiste à tirer au hasard successivement deux boules de l urne avec remise et à noter les couleurs obtenues. Définition de l épreuve : Comme la première boule tirée est remise dans l urne avant le deuxième tirage, la composition de l urne est la même lors des deux tirages. L expérience aléatoire étudiée est donc la répétition de l épreuve «tirer au hasard une boule dans l urne et noter sa couleur». On répète deux fois cette épreuve. Le résultat de la première épreuve n a pas d influence sur le résultat de la deuxième : les deux épreuves sont donc indépendantes. (Ce qui ne serait pas le cas s il n y avait pas remise ) Construction de l arbre associé : 1 ère boule 2 e boule Issue L expérience aléatoire peut être illustrée par un arbre pondéré (par les probabilités) Probabilité d une issue de l expérience : On admettra que la probabilité d une issue s obtient en effectuant le produit des probabilités inscrites sur le chemin représentant cette issue. Exemple : (;)= = et (;)= = 2) Cas général Propriété 2 : Lors de la répétition de épreuves identiques et indépendantes, on peut utiliser un arbre pondéré. On admettra que : - la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d un même nœud vaut 1 ; - une issue est une liste ordonnée de résultats, représentée par un chemin ; - la probabilité d une issue est le produit des probabilités de chacun de ces résultats ; - la probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues associées aux chemins qui conduisent à la réalisation de A. Exemple : Notons l événement «le tirage est unicolore»: il est réalisé par les issues (;),(;) et (;) Ainsi, ()=(B;B)+(;)+(;)= + + = 1/5 Exercice : Notons la variable aléatoire donnant le nombre de boules bleues obtenues. Déterminer sa loi de probabilité. 3 1/5 1/5 1/5 J N B J B ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
II Épreuve de BERNOULLI Loi de BERNOULLI Définition 4 : Une épreuve de BERNOULLI est une expérience aléatoire qui admet exactement deux issues : (succès), de probabilité 0;1 et (échec), de probabilité =1. Exemple : on lance un dé cubique parfaitement équilibré et on s intéresse à la sortie du 6. Cette expérience est une épreuve de BERNOULLI dont l événement est «sortie du 6», = et =. Définition 5 : Dans une épreuve de BERNOULLI, notons la variable aléatoire qui prend la valeur 1 lorsque est réalisé et la valeur 0 en cas d échec. On dit que suit une loi de BERNOULLI de paramètre. 0 1 (=) 1 Conséquence : ()= et ()=(1 )= III Schéma de BERNOULLI d ordre Loi binomiale 1) Étude d un exemple On lance 3 fois de suite un dé cubique parfait et on s intéresse au nombre de sorties du numéro 6 au terme de ces 3 lancers. Cette expérience aléatoire est la répétition de l épreuve de BERNOULLI «lancer un dé cubique parfait» avec l issue «sortie du 6» de probabilité. 1 er lancer 2 e lancer 3 e lancer issue probabilité = = = = On note la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès au terme des trois lancers. peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. D après l arbre ci-dessus : (=0)= = 125, 216 (=1)=3 = 75 216 0 1 2 3 (=) = = = = On dit que suit une loi binomiale de paramètres 3 et. 4
2) Schéma de BERNOULLI Coefficients binomiaux Définition 6 : On appelle schéma de BERNOULLI d ordre l expérience aléatoire qui consiste en la répétition de épreuves de BERNOULLI identiques et indépendantes. L exemple du paragraphe 1) est un schéma de BERNOULLI d ordre 3. Définition 7 : Le nombre de chemins de l arbre associé à un schéma de BERNOULLI d ordre conduisant à succès pour répétitions est noté et se lit «parmi». Les nombres entiers sont appelés coefficients binomiaux. Exemple : d après le 1), = =1 et = =3 Propriété 3 : On considère un schéma de BERNOULLI d ordre et de paramètre (probabilité de succès) Soit un entier naturel tel que 0. Dans ce cas : Démo : =1 =1 = = - Il n y a qu un chemin réalisant 0 succès, celui ne comportant que des échecs donc =1 - Il n y a qu un chemin réalisant succès, celui ne comportant que des succès donc =1 - Il y a chemins réalisant un seul succès car il y a positions possibles de l unique succès dans la liste des résultats donc =. - Il y a autant de chemins qui réalisent succès que échecs. Or, dire qu un chemin indique succès revient à dire que ce chemin indique échecs, d où =. Propriété 4 : Soit un entier naturel tel que 0 1. + +1 =+1 +1 Cette égalité est appelée formule de PASCAL. Démo : On considère un schéma de BERNOULLI d ordre +1. Les chemins qui indiquent +1 succès sont de deux types : ceux qui se terminent par et ceux qui se terminent par. Un chemin du 1 er type indique succès lors des premières répétitions : il y en a Un chemin du 2ème type indique +1 succès lors des premières répétitions : il y en a La somme donne le nombre de chemins donnant +1 succès lors des +1 répétitions. Exemple : = + =3+3=6 Triangle de PASCAL : À compléter avec les valeurs de n k 0 1 2 3 4 5 Remarques : 1 2 - le triangle ci-contre n est qu une partie du triangle de PASCAL - Il se complète à l aide des propriétés 3 et 4. - Attention : 0 3 4 5 5
3) Loi binomiale de paramètres et Propriété 5 : On considère un schéma de BERNOULLI d ordre dont la probabilité de succès à chaque épreuve est. La loi de probabilité de la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès au terme des épreuves est définie par : (=)= (1 ) où est un entier naturel tel que 0 On dit alors que la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et. Exemple : dans l exemple du III 1), on a défini une loi qui suit une loi binomiale de paramètres 3 et. Propriété 6 : Si la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et, alors : ()= ()=(1 )= ()= C- Probabilités conditionnelles Dans tout ce paragraphe, on désigne par E l ensemble des issues d une expérience aléatoire et une probabilité associée à E. I Probabilité de sachant 1) Définition Définition 8 : Soient et deux événements avec () 0. La probabilité conditionnelle de sachant est le nombre noté () et défini par : ()= ( ). () C est la probabilité que l événement soit réalisé sachant que l événement est déjà réalisé. Remarques : 1) Cette probabilité se note aussi : ( ). 2) On vient de définir une nouvelle probabilité sur l univers E, dite probabilité conditionnelle. Elle vérifie, entre autres, les propriétés suivantes : Propriété 7 : Soient et deux événements avec () 0. 1) 0 () 1 2) ()+ ()=1 2) Probabilité d une intersection Propriété 8 : Soient et deux événements avec () 0 et () 0. ( ) peut se calculer de deux façons : 1) ( )=() () 2) ( )=() () Remarque : c est une conséquence directe de la définition 8. 6
II Probabilités totales 1) Partition Définition 9 : Soit un entier naturel non nul. On dit que les événements,,, de probabilités non nulles forment une partition de l univers E s ils sont incompatibles deux à deux et si leur réunion est égale à l univers E. Cas particulier : Deux événements contraires et de probabilités non nulles forment une partition de l univers E. Exemple : Dans l exemple du paragraphe B, III, 1, les événements =0,=1,=2,=3 forment une partition de l univers E. 2) Arbres pondérés Pour plus de clarté, on peut représenter les probabilités conditionnelles à l aide d un arbre pondéré. Le premier nœud correspond aux événements d une partition (en général deux ou trois événements, rarement plus). Le deuxième nœud est complété par les probabilités conditionnelles dont les conditions sont les événements de la partition. On retrouve rapidement les probabilités des intersections en multipliant les probabilités du chemin reliant les deux événements concernés. Exemple d arbre simple constitué de deux événements à chaque nœud : () ( )=() () () () ( )=() () ( ) () ( )=( ) () () ( )=( ) () 3) Formule des probabilités totales Propriété 9 : Soient événements,,, constituant une partition de l univers E. Pour tout événement, on a : ()=( )+( )+ +( )=( ) Ou encore : 7 ()=( ) ()+( ) ()+ +( ) ()=( ) ()
Cas particulier : Dans le cas où la partition choisie est constituée de deux événements contraires et, on obtient les formules : ()=( )+( ) Ou encore : ()=() ()+( ) () D- Indépendance Dans tout ce paragraphe, on désigne par Ω l ensemble des issues d une expérience aléatoire et une probabilité associée à E. I Indépendance de deux événements 1) Définition Définition 10 : On dit que les événements et sont indépendants lorsque : ( )=() () Remarque : L indépendance de deux événements traduit l idée suivante : «La réalisation (ou non) de l un n influence pas la réalisation (ou non) de l autre». On ne sera donc pas surpris par la propriété 10 du paragraphe suivant. 2) Propriétés Propriété 10 : Soient et deux événements avec () 0 et () 0. 1) Les événements et sont indépendants si et seulement si ()=() 2) Les événements et sont indépendants si et seulement si ()=() Propriété 11 : Si et sont deux événements indépendants alors et le sont aussi. Il en est d ailleurs de même pour et ainsi que pour et. II Indépendance de deux variables aléatoires Soient et deux variables aléatoires discrètes définies sur Ω avec : (Ω)=,1 et (Ω)=,1 Définition 11 : On dit que les variables aléatoires et sont indépendants lorsque, pour tout entier tel que 1 et pour tout entier tel que 1 : (= ) = =(= ) (= ) Exercice : On lance deux dés cubiques parfaitement équilibrés. On désigne respectivement par et les deux variables aléatoires égales à la somme et au produit des deux dés. Les variables et sont-elles indépendantes? 8