Séquence 9 : Fonctions linéaires et proportionnalité I/ Définition Définition : on appelle fonction linéaire f une relation qui à tout nombre x associe le nombre f(x) vérifiant f ( x)=a x où a est un nombre donné. On note f : x a x Toute fonction linéaire représente une situation de proportionnalité de coefficient a. «a» est le coefficient de proportionnalité
Exemple : Soit f est la fonction linéaire de coefficient -3. On la note : f : x Alors : L image de 5 est : f(4) = - 3 4 =. L image de (-3) est : f(-3) = (-3) (-3) = 9. L image de est : f() = -3 = -3. -3 x On a le tableau de valeurs associé : x -4-3 -2-0 2 3 4 f(x) 2 9 6 3 0-3 -6-9 -2 x (-3) Exemple 2: Le prix d un CD est 7,30. Soit x le nombre de CD achetés. Donne la fonction p qui représente le prix payé en fonction de x? Pour calculer le prix il faut : multiplier le prix d un CD par le nombre de CD achetés. Ainsi p( x)=7,3 x
II/ Représentation graphique Représenter graphiquement une fonction f c'est construire les points de coordonnées (x, f (x)) dans un repère. Propriété : La représentation graphique de toute fonction linéaire f : x a x est une droite d'équation y=a x Cette droite passe par l'origine O(0;0) du repère. Vocabulaire : Le nombre a est aussi appelé le coefficient directeur de la droite d'équation y=a x Il indique la direction/ l'inclinaison de la droite.
Lorsque a<0, la droite «descend», la fonction f est décroissante. Lorsque a>0, la droite «monte», la fonction f est croissante. a a a a a «petit et positif» a «grand et positif» a «petit et négatif» a «grand et négatif»
Exemple : Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = -3x f est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d 2 ) qui passe par O (0;0). Comme f(-2)=-3x(-2)= 6, alors d 2 passe par le point de coordonnées (-2; 6). (en bleu sur le dessin) Comme le graphe est une droite 2 points suffisent pour pouvoir tracer la droite. La fonction f est décroissante. Exemple 2: Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire g(x) = 4x g est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d ) qui passe par O (0;0). Comme g(2)=4x2= 8, alors d passe par le point de coordonnées (2; 8). (en rouge sur le dessin) La fonction g est croissante.
III/ Applications: calculer une image, un antécédent ) En connaissant l expression de la fonction Ex: Déterminer l image de «-3» par la fonction linéaire f définie par f(x) = 5x. On remplace x par 3 dans l expression: f(-3) = 5 x (-3) = -5 Ex2: Déterminer l antécédent de 3/7. On résoud l équation: f (x)= 3 7 5 x= 3 7 x= 3 35 :5
2) Avec le graphique Ex: Déterminer l image de «2» par la fonction f ayant le graphique ci-dessous On lit la valeur sur l axe des ordonnées 4 2 Donc f(2) =4 On trace un trait vertical à l abscisse 2 jusqu'à la courbe
Ex2: Déterminer le nombre qui a pour image «-6» par la fonction f ayant le graphique ci-dessous. C'est-à-dire donner l'antécédent de 6. On lit la valeur sur l axe des abscisses -3 L antécédent de 6 est -3-6 On trace un trait horizontal à l ordonnée -6
IV/ Déterminer une fonction linéaire ) Connaissant un nombre et son image Ex: Déterminer la fonction linéaire f sachant que l image de 4 est 2. On sait que la fonction f s'écrit f(x) = ax Il suffit de remplacer x par 4 et f(x) par 2 pour trouver a. x a Soit on devine avec le tableau de valeurs que a=-3 x 4 f(x) -2 Soit on écrit l'égalité f(x)=a x Et on résoud l'équation a x 4 = -2 a = -2 /4 a = -3 Ainsi f est la fonction définie par x -3x f(x) = -3x
2) Avec le graphique Pour x= on peut lire la valeur de «a» sur l'axe des ordonnées Si f (x)=a x alors f ()=a Ici a= 2 Ainsi f est la fonction définie par f ( x)= 2 x
Plus difficile : Pour x= on peut lire la valeur de «a» sur l'axe des ordonnées Si on avance de 5 on descend de 2 Donc si on avance de on descend de 2/5 +5-2 a = -2/5 = - 0,4 Finalement a = y x f est la fonction définie par f (x)= 0,4 x
V/ Applications / Exercices Ex: Lors d un test sur circuit d une voiture, les mesures sont les suivantes: Durée t ( en h) 3/4 2,5 4 5 Distance parcourue (en km) 20 400 640 800 ) Est-ce une situation de proportionnalité? Pourquoi? 2) Que représente le coefficient de proportionnalité? 3) Déterminer la fonction linéaire associée à cette proportionnalité 4) Faire le graphique. En abscisse prendre cm pour h. En ordonnées prendre cm pour 60km.