Chapitre 7 SYSTEMES D'EQUATIONS LINEAIRES 7.. Définitions On appelle système d'équations un ensemble d'équations qui doivent être résolues simultanément. Les équations composant le système peuvent comporter plusieurs inconnues (ou variables). Eemples ) 5z 4 2z - est un système de 2 équations à inconnues. Eemples Eemples 2) Les systèmes ci-dessous sont des systèmes de 2 équations à 2 inconnue 2 y 9 y 2 2 y2 9 y Une solution d'un système d'équations est un objet qui dépend du nombre d'inconnues du système. C'est un couple, noté < ; y >, si le système a 2 inconnues, un triplet, notés < ; y ; z >, s'il a trois inconnues, etc La solution d'un système d'équations est l'ensemble des objets vérifiant simultanément les équations de ce système. ) Le triplet < ; ; > est une solution du système car 2 5 6 5 4 2 2 6 2-5z 4 2z - Mais ce n'est pas la seule, par eemple < 4 ; 0 ; -2 > en est une autre. 2) S {< 4 ; - >} est la solution du système 2 y 9 y Deu équations ou systèmes d'équations sont dits équivalents s'ils ont la même solution, càd le même ensemble de solutions. ) 6 2 5 et 2( 0) 2 sont des équations équivalentes, car dans les deu cas S {}. 2) Les systèmes 2 5y 4 9 et 5 y 8 4 ne sont pas des systèmes équivalents, car < 2 ; - > est une solution du premier système, mais pas du second: 2 2 (-) 6 2 4 2 2 5 (-) 4 5 9 et 5 2 2 (-) 0 2 8 2 (-) 2 4 ALGEBRE 5 GE 94/95
Eemples Une équation linéaire est une équation du premier degré (càd une équation dans laquelle les inconnues figurent au premier degré et où il n'y a pas de produit d'inconnues). ) 2 y 5z 26 est une équation linéaire. 2) 2 y 2 25 et 2 y 4y 2 5 y 6 ne sont pas des équations linéaires. Dans ce cours, nous ne traiterons que des systèmes d'équations linéaires. Un système d'équations linéaires est dit triangulé si chaque équation de ce système possède une inconnue de moins que la précédente, la dernière équation ne possédant qu'une seule inconnue. Eemples ) 5 6y 2z 8-4 n'est pas un système triangulé, car la dernière équation possède 2 inconnues. 2) 5y - 8y 5 7z 56 5 est un système triangulé. 7.2. Résolution d'un système d'équations linéaires triangulé On peut trouver facilement la solution d'un système triangulé. En effet, de la dernière équation d'un tel système (qui est une équation à une inconnue) on tire la valeur de l'inconnue qui y figure ; puis, en remplaçant cette valeur dans l'avant-dernière équation de système, on obtient une équation à une inconnue, dont on détermine la valeur ; puis en remplaçant les deu inconnues déterminées par leur valeur dans l'équation précédente on obtient une nouvelle équation à une inconnue Il suffit alors de répéter ce procédé autant de fois qu'il y a d'inconnues. Eemple Soit le système triangulé 4y y 4 4z - 2 La dernière équation nous donne et en remplaçant cette valeur dans l'avant-dernière équation, on obtient le système qui peut s'écrire 4y y 4z - ALGEBRE 6 GE 94/95
Remarque 4y y 4z l'avant dernière équation nous donne y -2 et en remplaçant dans la première les valeurs trouvées pour et y, nous obtenons le système qui peut s'écrire et finalement 4 (-2) y y z y 4z -6-2 -4-2 -6 4z -2 Donc S {< ; -2 ; -4 >} La dernière écriture de l'eemple ci-dessus montre que la solution d'un système est aussi un système! 7.. Résolution d'un système d'équations linéaires Comme nous l'avons vu, il est relativement facile de déterminer la solution d'un système triangulé. La méthode de résolution va donc consister à transformer un système donné en un système triangulé équivalent. Pour cela, il est nécessaire de savoir ce que l'on peut faire subir à une équation ou à un système sans que l'ensemble de ses solutions ne soit modifié. ère règle En multipliant les deu membres d'une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente. En effet, en multipliant les deu membres de l'équations a by cz d par le nombre λ 0, on obtient la nouvelle équation λa λby λcz λd. Si le triplet < 0 ; y 0 ; z 0 > était une solution de la première équation, càd si a 0 by 0 cz 0 d, alors λa 0 λby 0 λcz 0 λ(a 0 by 0 cz 0 ) λd ce qui montre que < 0 ; y 0 ; z 0 > est aussi une solution de la nouvelle équation. Réciproquement, si < 0 ; y 0 ; z 0 > est une solution de la nouvelle équation, alors a 0 by 0 cz 0 λ λ (a 0 by 0 cz 0 ) λa 0 λby 0 λcz 0 λ λd λ d ce qui montre que < 0 ; y 0 ; z 0 > est aussi une solution de la première équation. Les deu équations, a by cz d et λa λby λcz λd, ont donc les mêmes solutions. ALGEBRE 7 GE 94/95
Eemple 2 ème règle Remarque 8y 5z 4 est équivalente à -9 24y 5z -2, car la deuième équation a été obtenue en multipliant les deu membres de la première par le même nombre -. En additionnant à une équation d'un système une autre équation du même système, on obtient un système équivalent. On additionne les équations membre-à-membre, càd que la nouvelle équation a pour membre de droite la somme des membres de droite des deu équations de départ et pour membre de gauche la somme des membres de gauche. Considérons deu équations d'un système : a by cz d e fy gz h et supposons que le triplet < 0 ; y 0 ; z 0 > soit une solution de ce système, càd que a 0 by 0 cz 0 d et e 0 fy 0 gz 0 h. En additionnant à la deuième équation la première, on obtient le nouveau système : a by cz d (ae) (bf)y (cg)z (dh) (Seule la deuième équation a été modifiée). Mais alors (ae) 0 (bf)y 0 (cg)z 0 a 0 e 0 by 0 fy 0 cz 0 gz 0 a 0 by 0 cz 0 e 0 fy 0 gz 0 dh ce qui montre que < 0 ; y 0 ; z 0 > est aussi une solution du nouveau système. Réciproquement, si < 0 ; y 0 ; z 0 > est une solution du nouveau système, càd si alors a 0 by 0 cz 0 d et (ae) 0 (bf)y 0 (cg)z 0 dh e 0 fy 0 gz 0 ((ae) 0 (bf)y 0 (cg)z 0 ) (a 0 by 0 cz 0 ) (dh) d h ce qui montre que < 0 ; y 0 ; z 0 > est aussi une solution du premier système (car les autres équations sont les mêmes dans les deu systèmes). Les deu systèmes ont donc les mêmes solutions. Eemple Les systèmes - y 8 et 8 2 5y sont des systèmes équivalents, car les deu premières équations sont identiques et la seconde équation du deuième système a été obtenue en additionnant la première équation à la deuième. C'est uniquement à l'aide de ces deu règles que l'on résout les systèmes équations linéaires. ALGEBRE 8 GE 94/95
Eemple Soit le système de trois équations à trois inconnues 6 4y z 5z z 5-9 8 Eercice On décide (par eemple) de conserver la première équation et de l'utiliser pour faire disparaître l'inconnue z dans les deu autres équations. Pour cela, on va additionner à la deuième équation la première multipliée par 5, puis on va additionner à la troisième équation la première multipliée par -. On note ces opérations de la façon suivante: 6 4y z 5z z 5 8-5 -9 On obtient alors le nouveau système 8 8y 0y z 5 6-7 qui contient une inconnue de moins dans les deu dernières équations. On décide alors (par eemple) de conserver la deuième équation et de l'utiliser pour supprimer l'inconnue y dans la dernière équation. Pour cela il faut multiplier la deuième équation par 5 et la troisième par 4 et ensuite additionner la deuième à la troisième. 8 8y 0y z 5 6-7 5 4 On obtient alors le système triangulé 8 8y 52 z 5 6 52 et l'on sait déjà résoudre ce type de système! Trouver la solution de ce système triangulé et vérifier que c'est bien la solution du système de départ ainsi que de tous les systèmes intermédiaires. ALGEBRE 9 GE 94/95