Une expérience de mathématiques appliquées en Grande Ecole El Karoui Nicole Univ Paris VI / Ecole Polytechnique elkaroui@cmapx.polytechnique.fr 6 Novembre 2009 El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 1 / 30
Plan 1 Repères 2 La finance 3 La Formation El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 2 / 30
Quelques repères bibliographiques I 1968-1988 1988 Carrière académique standard, Orsay : assistante Le Mans, ENS Fontenay, Paris VI : Professeur Recherche purement théorique sur la théorie générale des processus, puis le contrôle stochastique au Labo de Proba de Paris VI Premier contact avec la banque lors d un semestre sabbatique, j y fais du scoring pour l attribution de crédit j y découvre l usage des processus stochastiques pour les produits de taux d intérêt
Repères Quelques repères bibliographiques I 1988-2009 1990-Crée l option Finance du DEA de Proba de Paris VI, cohabilitée avec l ESSEC, les Ponts et l X. maintien par du consulting mes liens avec les marchés développe des travaux de modélisation sur les taux d intérêt Détachée de 1997 à 2008 de Paris VI à l Ecole Polytechnique, Retour à Paris VI pour des questions d âge El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 4 / 30
Repères L Ecole Polytechnique à la fin des années 1990 I Recrutée pour monter un groupe de recherche en mathématiques financières au CMAP développer l enseignement des probabilités et de leurs applications renforcer la présence de l Ecole Polytechnique dans le Master avec Paris VI Une Ecole en pleine réorganisation à la suite de la suppression du service militaire Préparation de la réforme X 2000 El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 5 / 30
La réforme X 2000 I Repères La réforme de l enseignement Fin de première année : trois mois de tronc commun représentant le minimum de connaissances que tous les élèves doivent avoir. Deuxième année, Enseignements au choix, avec au moins 6 matières Fin partielle du classement Troisième année plus spécialisée, avec stage de recherche Quatrième année en Ecole d application, DEA ou à l Etranger Ouverture aux étudiants étrangers, hors le concours classique Russes, Chinois, Vietnamiens, Roumains, quelques Latino-Américains Objectif, atteint maintenant de 100 élèves étrangers sur 500 El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 6 / 30
La finance La finance El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 7 / 30
La finance Les Mathématiques pour quelle finance? Industrie du risque financier Concerne les prises de position dans le futur Les contrats à terme ou promesses de vente sur des titres variés (actions, changes, crédit). Les produits dérivés optionnels, où l opération se fait dans la condition la plus favorable pour le marché En même temps, activité à fort effet de levier pour l acheteur. De nouveaux marchés Chicago (1972-73), New York (1979), 5, Paris (MATIF, MONEP) (EURONEXT) 1986 et 1987, et Francfort (DTB) en 1990. Plus que 70 trillions $ annuellement en nominal El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 8 / 30
Euros-Yens en dollars, 2005-2006 FIGURE: Cours de change Euro (rouge), Yen (bleu) contre Dollars
Les options Un exemple de base : les options de vente, étudiées par Bachelier en 1900 ou Put Option en anglais de maturité 6 mois Le prix 100 15 = 85 s apelle le prix d exercice Le prix de l option est de 15 euros Profil d un Put à maturité
Nouveaux problèmes, Nouveaux concepts L ouverture des marchés organisés a augmenté la concurrence sur les prix d options. Plusieurs acteurs perdent de l argent sur les options Il ne suffit plus de voir comment faire un prix Il faut aussi trouver un moyen de réduire les risques que l on supporte à la place de l acheteur. Nécessité de nouveaux outils, nouvelles idées. Ce sera l apport de Black, Scholes et Merton en 1973, avec le portefeuille de couverture
Théorie du portefeuille Dans les années 1960, aux Etats-Unis, dans les marchés explosion des montants investis (fonds de retraite) ; grosse activité de gestion de portefeuille parallèlement, activité académique intense dans le domaine H.Markowitz, P.Samuleson, W.Sharpe et bien d autres. En 1970-1973, F.Black,(math), M.Scholes (finance) et Merton (math) font faire le lien avec la Théorie des options Ils proposent une formule analytique pour le prix des options et leur couverture, dite formule de Black et Scholes. Elle leur vaut le Prix Nobel 1997 et la faillite du fonds LTCM en 1998.
Le point de vue moderne : la couverture Pour Black/Scholes/Merton (1973) Faire du temps son allié par une gestion dynamique des actifs pour réduire les risques. En achetant et en vendant au jour le jour des quantités bien choisies de sous-jacent, on peut suivre les évolutions du marché et réduire considérablement le risque final. Options : un problème de cible aléatoire : On cherche à approcher au mieux le flux terminal par les gains d un portefeuille autofinançant dont la prime de l option (à déterminer) est l investissement initial. Les mathématiques qui s imposent : l optimisation dans l incertain et la théorie des processus stochastiques.
Les outils théoriques sont là Portefeuille autofinançant : Un portefeuille qui investit la prime en cash et en action dont on suppose le prix X t observable dans le marché. La valeur actuelle d un portefeuille (sans effet de taux d intérêt) est V t = δ t X t + π 0 t, dv t = δ t dx t Dans le vocabulaire probabiliste, il s agit d une intégrale stochastique. L objectif est de réduire la tracking erreur à maturité V T h(x T ). Le calcul differentiel stochastique développé par des purs théoriciens (P.Lévy(1930), J.L.Doob (1950), K.Itô (1950)) permet de résoudre le problème, (si on connait le modèle de diffusion de l actif.)
Simulations de l actif et de la couverture
Simulations de l actif,et de la couverture
Quelques remarques La rupture conceptuelle que représente le point de vue de Black et Scholes est assez fascinante. Plus que la formule, c est la stratégie permettant de réduire le risque associé aux options qui est la vraie innovation de Black et Scholes, qui demande des réajustements très fréquents en fonction du marché. Prix et couverture sont indépendants de tout jugement sur l évolution future : une option d achat dans un marché haussier, ou dans un marché baissier a quasiment la même valeur. L identification des paramètres du modèle se fait non sur les données historiques, mais sur les prix de marché de produits dérivés. On parle de paramètres implicites Tout ceci exige une informatique de plus en plus performante
Le business commence là! Avant toute chose, il faut comprendre la finance de marché! Pour le développement et l implémentation, il faut maitriser : La théorie des processus stochastiques, continus ou à sauts La modélisation La résolution de problèmes inverses pour la calibration Par des méthodes aux dérivées partielles Par des méthodes de simulation probabiliste (Monte Carlo) Les méthodes statistiques les Stress Scenarios Quelle culture doit voir un mathématicien appliqué!
Le numérique Le langage de programmation de la finance de marché est le C++ Les principaux problèmes numériques relèvent de deux éléments : La vitesse à laquelle un prix doit être fait. Les solutions d EDP sous-jacentes au problème doivent prendre moins d une seconde. La grande dimension des problèmes, qui conduit à privilégier les méthodes probabilistes, de Monte Carlo. C est un domaine qui a été très renouvelé sous l impulsion de la finance, et ou la recherche professionnelle et académique se rejoignent souvent. Par exemple, la finance est à l origine du calcul par Monte Carlo des solutions de problèmes d optimisation fait usage des résultats sophistiqués d analyse comme le calcul de Malliavin pour calculer des dérivées...
Autour de la notion de validation I La question de savoir comment valider un résultat ne s est jamais posée pour moi, mathématicienne pure et dure, avant cette expérience appliquée. En math, valider un résultat c est en vérifier la preuve mathématique, et éventuellement les hypothèses de départ Dans le monde numérique, c est souvent vérifier, sans que les critères soient toujours clairs que cela marche à peu près, par exemple en utilisant comme test des formules explicites dans des modèles simplifiés sortir des résultats Monte Carlo sans intervalle de confiance mesurer la vitesse de convergence sur une expérience
Autour de la notion de validation II Les mathématiques peuvent parfois, mais au prix d efforts coûteux en temps, donner des contrôles d erreur et de vitesse de convergence Dans le monde de la salle de marché, c est considérer que "le marché a toujours raison", les prix de marché des produits côtés sont la référence absolue les modèles doivent être simples pour être bien compris on doit s adapter à la culture des traders, pour qui par exemple corrélation et dépendance sont souvent synonymes Comment résister à ce genre de pression, sans une grande maîtrise des outils techniques, et une bonne pédagogie?
La Formation
La finance Pourquoi les quants sont-ils français? se demande en 2006 le Wall Street Journal dans un article à la une? ou du moins 30% d entre eux dans le monde. Essentiellement, par la qualité de leur formation initiale très structurée leur capacité de s adapter à un grand nombre de problèmes assez différents de mathématiques appliquées accessoirement leur formation en finance de marché Et pour les autres? A contrario, cela veut dire que les étudiants des autres pays n ont pas nécessairement tous ces qualités. La variance dans la qualité de recrutement peut être très grande Alors qu avec un ingénieur français, passé de plus au "DEA El Karoui" on ne prend que peu de risques El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 23 / 30
La finance L expérience de Master Paris VI-X I La formation Depuis 1990, à peu près 800 diplômés, les effectifs étant passés de 20 en 90 à 110 en 2008. (Nous aussi nous avons suivi la bulle!) Le programme aborde tous les points que j ai soulignés ci-dessus, dans des cours fondamentaux. (25h de cours) Dans un cours fondamental, souvent très mathématisé, on fait les preuves, mais on essaye de rester très proche des motivations de marché. Ce niveau de cours est peu présent dans les formations étrangères De nombreux cours optionnels font le point sur l évolution récente des marchés, et sont faits par les professionnels Les cours de base sont sensiblement les mêmes qu à la création, mais leur contenu a beaucoup évolué El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 24 / 30
La finance L expérience de Master Paris VI-X II Le public Depuis le début, 70% Grandes Ecoles, 30% étudiants, depuis 5 ans 52% d étrangers (souvent en G.E.) Depuis quelques années n acceptons plus les doubles cursus, Régulièrement des professionnels en réorientation suivent la formation, mais le système est très peu adapté pour eux, notamment le contrôle des connaissances.(ingénieurs Telecom!) Difficile d accueillir des étudiants étrangers directement, car souvent leurs bases de math sont insuffisantes, et que les contrôles sont très exigeants Nombre croissant de polytechniciens, de l ordre de 30% ces dernières années (en 2008, 82 candidatures, 30 acceptées) El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 25 / 30
La finance L impact sur la formation à l Ecole Polytechnique I La quatrième année ou M2 vient d être décrite en détails. Les élèves apprécient beaucoup qu elle soit hors les murs, à l Université et dans un Laboratoire prestigieux découvrent des exigences scolaires plus grandes que dans les G.E. elles posent un problème pour les candidats extérieurs Les parcours de troisième année ont été renforcés, et sont plus spécialisés. En Math App, les enseignements de probabilités ont été renforcés autour de la simulation, et des statistiques tout en gardant une grande ouverture sur les applications, finance, biologie... Les autres matières se sont aussi renforcées et diversifiées, El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 26 / 30
La finance L impact sur la formation à l Ecole Polytechnique II notamment en analyse numérique et simulation et traitement du signal et de l image. En deuxième année, les cours à dominante mathématique ou mathématique appliquée sont assez nombreux, mais en général plus choisis par les élèves parce qu ils ouvrent des portes que pour eux- mêmes En première année, il y a un cours d introduction aux probabilités pour tous (500) et un cours de mathématiques pour le moment moins concensuel. El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 27 / 30
La finance En guise de conclusion I Plaidoyer pour les maths Les maths posent le cadre de la modélisation et du raisonnement. Elles obligent à prendre le temps de poser les questions ( si possible les bonnes) et d essayer d y résoudre. Il n y a pas d à peu près Elles inscrivent les choses dans la durée, obligent à la rédaction des preuves et laissent ainsi des traces tangibles Intéressant à rappeler dans le monde professionnel Le contre Les élèves sont trop dans l instant pour percevoir cela El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 28 / 30
La finance En guise de conclusion II Les mathématiques sont une chaine, dont on ne peut sauter un maillon, et semblent donc difficiles Les applications aussi directes que la finance sont rares, et les élèves sont preneurs de mathématiques motivées Quelles mathématiques? Les mathématiques de base, qui dépassent sérieusement celles des classe prépas Dans mon domaine, analyse et probabilité sont indispensables Mais avant tout, des enseignements qui poussent à la reflexion et à se poser des questions. C est la première introduction à l art de la modélisation, qui est de plus en plus présente dans beaucoup de domaines car indispensable à la simulation El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 29 / 30
La finance En espérant avoir contribué à alimenter votre réflexion sur ce passionnant débat Merci de votre attention El Karoui Nicole (Labo de proba/ CMAP) Conf Telecom 6 Novembre 2009 30 / 30