Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-1 I Exercices Comment déterminer le coefficient directeur d une droite ()? Exemple : (2, ; 2) ; (4 ; 3) (l unité du repère est un carreau) Graphiquement : on compte les carreaux comme c est in- +2 +1 diqué sur le graphique ci-contre, puis on calcule : 1 2 = 0, 5 Le coefficient directeur de la droite () est 0,5. Par un calcul : y y = 3 2 x x 4 2 = 1 2 = 0, 5 1 Pour chaque figure ci-dessous, déterminer le coefficient directeur de la droite (), graphiquement et par le calcul. L unité du repère est chaque fois un carreau. Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 2 Pour chaque figure ci-dessous, déterminer le coefficient directeur de la droite (), graphiquement et par le calcul. L unité du repère est chaque fois un carreau. Fig. 1 +1 +5 Fig. 2 Fig. 3
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-2 3 Dans chaque repère ci-dessous, tracer la droite qui passe par le point de coefficient directeur m. Les unités sont chaque fois celles du quadrillage. 1. ( 1 ; 3) ; m = 2 2. (0 ; 1) ; m = 3 4 3. ( 4 ; 2) ; m = 3 2
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-3 Rappel L équation réduite d une droite s écrit y = mx + p. m est son coefficient directeur, p est l ordonnée à l origine. Comment déterminer l équation réduite d une droite ()? Exemple : équation réduite de la droite () pour les points (2 ; 1) (3 ; 4) (figure plus bas). Graphiquement On détermine le coefficient directeur comme c est indiqué sur la figure, donc l équation réduite de la droite () est y = 3x 5 Par des calculs L équation réduite de la droite (), est sous la forme y = mx + p Calcul du coefficient directeur m : m = y y = 4 1 x x 3 2 = 3 1 = 3 L équation réduite de la droite () est donc : y = 3x + p Calcul de l ordonnée à l origine p : on remplace x et y par les coordonnées de (2 ; 1) dans l équation y = 3x + b y = 3x + p 1 = 3 2 + b 3 2 + b = 1 6 + b = 1 b = 1 6 = 5 Donc l équation réduite de la droite () est : y = 3x + ( 5) soit y = 3x 5 2 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 J + O + I + 1 + 3 1 2 3 4 ordonnée à l origine p = 5 coefficient directeur m = 3 1 = 3
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-4 4 Dans chaque repère, déterminer l équation réduite de la droite, graphiquement, et par le calcul. Les unités sont chaque fois celles du quadrillage. 5 La fonction f est représentée par la courbe C f tracée dans le repère ci-dessous. 1. Répondre à ces questions par lecture graphique a) Quelles sont les images de 4, et de 8 : f(4) =................ f(8) =................ b) Quel est le minimum de f et en quelle valeur de x est-il atteint? minimum =........ x =........ 2. La fonction f est définie par f(x) = x 2 10x + 19 Calculer les images de 4, de 5 et de 8 en détaillant : f(4) =.............................................. f(5) =.............................................. f(8) =.............................................. 3. Calculer la dérivée de la fonction f (voir rappel plus bas). f (x) =....................................... 4. Sur la courbe C f, placer le point d abscisse 4, le point d abscisse 5, le point C d abscisse 8. 5. Calculer f (4), f (5), f (8) : f (4) =................. f (5) =............................................. f (8) =............................................. 6. a) Tracer la tangente à la courbe C f en, c est à dire la droite qui passe par, de coefficient directeur f (4). Rappels b) Tracer les tangentes à la courbe C f en et en C. 10 8 6 4 2 2 4 6 2 4 6 8 Une fonction définie sous la forme f(x) = ax 2 + bx + c est une fonction du second degré. Une fonction du second degré est dérivable et sa fonction dérivée est définie par f (x) = 2ax+b. Si un point est sur une courbe C f qui représente une fonction dérivable f, la tangente à la courbe C f en est la droite qui passe par, de coefficient directeur f (x ).
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-5 Comment calculer l équation réduite d une tangente? Par exemple, dans l exercice 5 calculons l équation réduite de la droite (d ) tangente à la courbe C f en. L équation réduite de cette tangente est sous la forme y = mx + p Son coefficient directeur est : m = f (4) = 2 donc l équation réduite de la droite (d ) est : y = 2x + p Calcul de l ordonnée à l origine p : on remplace x et y par les coordonnées de (4 ; 5) dans l équation y = 2x + b y = 2x + p 5 = 2 4 + p 2 4 + p = 5 8 + p = 5 p = 5 + 8 = 3 Donc l équation réduite de la tangente à la courbe C f en est : y = 2x + 3 6 Dans l exercice 5 calculer les équations réduites de la droite (d ) et (d C ), tangentes à la courbe C f en et en C. Lire les explications ci-dessus. 7 La fonction f est représentée par la courbe C f tracée dans le repère ci-contre. 10 5 2 1 1 2 3 4 5 1. vec la précision permise par le graphique, indiquer approximativement le maximum de f et la valeur de x où il est atteint. maximum..................... x..................... 2. La fonction f est définie par f(x) = 2x 2 + 7x + 4 sur l intervalle [ 2 ; 5] Calculer sa dérivée : f (x) =.............. 3. Dresser le tableau de signe de la dérivée. Voir le rappel ci-dessous. x Signe de f (x)
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-6 4. Dresser le tableau de variation de la fonction f. x Variations de f 5. Quel est le maximum de f et en quelle valeur de x est-il atteint? Donner les valeurs exactes. maximum =.................................... x =.................................... Rappel Le signe de ax + b selon les valeurs de x est donné par le tableau ci-dessous. x b a + Signe de ax + b Signe de a 0 Signe de a 8 Dans l exercice 7 1. Placer sur la courbe C f le point d abscisse 3. 2. Calculer f(3) et f (3) : f(3) =.......................... f (3).......................... 3. Calculer l équation réduite de la tangente à la courbe C f en.
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-7 Dérivée d une fonction définie sous la forme f(x) = x n On sait que si une fonction est définie sous la forme f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, alors sa dérivée est définie par f (x) = 3ax 2 + 2bx + c La fonction cube est définie par f(x) = x 3, c est à dire f(x) = 1x 3 + 0x 2 + 0x + 0 donc f (x) = 3 1x 2 + 2 0x + 0 donc f (x) = 3x 2 Pour la fonction définie par f(x) = x 3, sa dérivée est définie par f (x) = 3x 2 On admettra que Pour la fonction définie par f(x) = x n, sa dérivée est définie par f (x) = nx n 1 Dérivée d une fonction constante : f(x) = k Pour la fonction définie par f(x) = k (constante), sa dérivée est définie par f (x) = 0 Dérivée de la fonction définie par f(x) = 1 x Pour la fonction définie par f(x) = 1 x, sa dérivée est définie par f (x) = 1 x 2 9 Calculer chaque fois la fonction dérivée. 1. f(x) = x 4 ; f (x) =........................ 2. f(x) = x 7 ; f (x) =........................ 3. f(x) = x 2 ; f (x) =......................... 4. f(x) = x ; f (x) =......................... 5. f(x) = 6 ; f (x) =........................ 6. f(x) = 2 ; f (x) =........................ Dérivée d une somme Par exemple ont veut dériver la fonction définie par f(x) = x 3 + x 5 La formule à appliquer est : (u + v) = u + v qui veut dire qu on va calculer la somme des dérivées. Donc : f (x) = 3x 2 + 5x 4 10 Calculer chaque fois la fonction dérivée. 1. f(x) = x 6 + x 8 ; f (x) =.................... 2. f(x) = x 9 + x 8 ; f (x) =.................... 3. f(x) = x 3 + x ; f (x) =..................... 4. f(x) = x 5 + 8 ; f (x) =..................... 5. f(x) = 4 + x 2 ; f (x) =..................... 6. f(x) = x 7 3 ; f (x) =..................... 7. f(x) = 1 x + 5 ; f (x) =......................... 8. f(x) = x 3 + x 2 + x ; f (x) =...................
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-8 Dérivée d une fonction multipliée par une constante Par exemple ont veut dériver la fonction définie par f(x) = 7x 4 Formule à appliquer : (ku) = ku ce qui veut dire qu on va calculer k multiplié par la dérivée de u. Donc : f (x) = 7 4x 3 = 28x 3 11 Calculer chaque fois la fonction dérivée. 1. f(x) = 5x 6 ; f (x) =....................... 2. f(x) = 8x 2 ; f (x) =....................... 3. f(x) = 6x 3 ; f (x) =........................ 4. f(x) = 4x ; f (x) =........................ 5. f(x) = 4 x = 4 1 x ; f (x) =.................... 5. f(x) = 7 x = 7 1 x ; f (x) =................ 12 Calculer chaque fois la fonction dérivée. 1. f(x) = 5x 4 + 6x 3 ; f (x) =................. 2. f(x) = 3x 5 + 4 x ; f (x) =................. 3. f(x) = 2x 4 + 3x 3 6x 2 + 9 ; f (x) =..... Dérivée d un quotient de fonctions Par exemple ont veut dériver la fonction définie par f(x) = 5x 4 2x + 1 ( ) u u v v u Formule à appliquer : = v v 2 On pose alors : u(x) = 5x 4 v(x) = 2x + 1 On calcule les dérivées : u (x) = 5 v (x) = 2 Donc : f (x) = 13 5 (2x + 1) 2 (5x 4) 10x + 5 10x + 8 = = (2x + 1) 2 (2x + 1) 2 13 (2x + 1) 2 Calculer la dérivée de la fonction définie par f(x) = 3x + 2 4x 1 u(x) =........................................ v(x) =........................................ u (x) =........................................ v (x) =........................................ f (x) =......................................................
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-9 14 La fonction f est définie sur [ 8 ; 6] par f(x) = x 3 + 3x 2 24x 10 1. Calculer la dérivée f (x). 2. Résoudre l équation f (x) = 0 (voir rappel ci-dessous). 3. Dresser le tableau de signe de f (x) selon les valeurs de x sur [ 8 ; 6] (voir rappel ci-dessous). 4. Dresser le tableau de variations de f sur [ 8 ; 6]. rrondir à 0,01 près si c est nécessaire. 5. fficher la représentation graphique de la fonction f sur l écran de la calculatrice. a) En quelle valeur de x est atteint le minimum de la fonction f sur son intervalle de définition? b) Calculer ce minimum. rrondir à 0,01 près si c est nécessaire. 6. Mêmes questions a) et b) pour le maximum. Rappel : équation du second degré (ax 2 + bx + c = 0 ). = b 2 4ac Quand on résout l équation ax 2 + bx + c = 0, les trois cas ci-dessous peuvent se produire. Si < 0 l équation ax 2 + bx + c = 0 n a pas de solution. Si = 0 l équation ax 2 + bx + c = 0 a une seule solution qui est x 0 = b 2a Si > 0 l équation ax 2 + bx + c = 0 a deux solutions qui sont x 1 = b 2a Rappel : signe de ax 2 + bx + c et x 2 = b + 2a Si < 0 x + Signe de ax 2 + bx + c Signe de a Si = 0 x x 0 + Signe de ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a Si > 0 x x 1 x 2 + Signe de ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a 15 Même exercice que l exercice 14 avec la fonction définie sur [ 9 ; 4] par f(x) = 2x 3 +10, 5x 2 45x+20. 16 Même exercice que l exercice 14 avec la fonction définie sur [ 4 ; 10] par f(x) = x 3 + 7, 5x 2 + 18x. 17 Même exercice que l exercice 14 avec la fonction définie sur [ 3 ; 3] par f(x) = x 3 + x 2 8x 1.
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-10 18 Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles. Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentant les recettes (en trait plein) et les coûts (en pointillés), en fonction du nombre de produits fabriqués exprimé en centaines d unités. On admet que la fabrication est comprise entre 0 et 700 unités. Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d euros. Partie lecture graphique Répondre aux questions suivantes en vous aidant du graphique ci-dessous. 1. Combien faut-il fabriquer de produits pour avoir une recette égale à 140 000 euros? 2. Combien de produits doit-on fabriquer pour obtenir un bénéfice positif ou nul? Partie étude du bénéfice On modélise : les recettes par la fonction R définie sur [0 ; 7] par R(x) = 2x 3 + 4, 5x 2 + 62x les coûts par la fonction C définie sur [0 ; 7] par C(x) = 20x + 10. 1. Calculer la recette et le coût pour 300 produits fabriqués. En déduire le bénéfice correspondant. 2. On note la fonction bénéfice. Donner l expression de (x) sur l intervalle [0 ; 7]. 3. Vérifier que (x) = 6x 2 + 9x + 42 où désigne la fonction dérivée de la fonction. 4. Étudier le signe de (x). Donner le tableau de variations de. 5. En déduire la valeur du bénéfice maximal ainsi que le nombre de produits à fabriquer pour l obtenir. y 240 220 200 180 Recettes 160 140 120 100 80 60 Coûts 40 20 x 20 1 2 3 4 5 6 7
Chapitre 3 Dérivée I EXERCICES page I-11 5 bis La fonction f est représentée par la courbe C f tracée dans le repère ci-dessous. La fonction f est définie par f(x) = 3x 2 12x + 16 1. Calculer la dérivée de la fonction f f (x) =....................................... 2. Sur la courbe C f, placer le point d abscisse 4. 3. Calculer f(4) et f (4) : f(4) =........................................ f (4) =........................................ 4. Tracer la tangente à la courbe C f en. 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5