INITIATION AU TRAITEMENT DU SIGNAL

INITIATION AU TRAITEMENT DU SIGNAL Franck Luthon Franck.Luthon@univ-pau.fr Département Génie Industriel IUT de Bayonne Pays Basque 2 allée du parc de Montaury, 64600 Anglet ftp ://ftp.iutbayonne.univ-pau.fr/pub/perso/gim/luthon/ts0.pdf 1 2014 1. Ce document peut être reproduit sous réserve d'en citer la source.

3 MODULATION 25 3.1 Modulations d'amplitude................................... 25 3.1.1 Introduction...................................... 25 3.1.1.1 Rappel................................... 25 3.2 Modulation d'amplitude (AM)............................... 25 3.2.1 Modulation...................................... 25 3.2.1.1 Principe................................... 25 3.2.1.2 Représentation temporelle de r(t).................... 26 3.2.1.3 Représentation fréquentielle........................ 26 3.2.2 Démodulation..................................... 26 3.2.2.1 Détection crête............................... 26 3.2.2.2 Détection synchrone............................ 26 3.2.2.3 Amélioration de la détection synchrone................. 27 3.3 Modulation sans porteuse et modulation à bande latérale unique............ 28 Table des matières I ELEMENTS DE COURS ET EXERCICES 9 1 PRESENTATION GENERALE 11 1.1 Introduction.......................................... 11 1.2 Filtrage............................................ 11 1.2.1 Signal et Filtre Analogique............................. 11 1.2.2 TD - Filtre réjecteur................................. 11 1.2.3 TD - Corrélateur Analogique............................ 13 1.3 Echantillonnage........................................ 14 1.4 Analyse Spectrale....................................... 14 1.5 Modulation.......................................... 15 1.5.1 Idées-clé de la Modulation.............................. 15 2 ANALYSEUR DE SPECTRE NUMERIQUE A FFT 17 2.1 L'analyseur de spectre numérique.............................. 17 2.1.1 Principe du traitement................................ 17 2.1.1.1 Echantillonnage temporel......................... 17 2.1.1.2 Troncature temporelle........................... 17 2.1.1.3 Transformation fréquentielle....................... 17 2.1.1.4 Filtre anti-repliement........................... 18 2.1.1.5 Echantillonnage fréquentiel........................ 19 2.1.1.6 Interprétation de l'achage - Fuite d'énergie.............. 20 2.1.1.7 Fenêtre de pondération.......................... 21 2.1.2 Paramètres d'une analyse spectrale......................... 22 2.1.2.1 Excursion.................................. 22 2.1.2.2 Résolution................................. 22 2.1.2.3 Durée d'acquisition............................ 22 2.1.3 Spectres aberrants.................................. 23 2.1.4 Moyennes....................................... 23 2.1.5 Modes de déclenchement............................... 23

8 TRAVAUX PRATIQUES (Compléments Matlab) 53 8.1 Introduction à Matlab.................................... 53 8.1.1 Principales caractéristiques............................. 53 8.1.2 Environnement de travail.............................. 53 8.1.2.1 Session MATLAB............................. 53 8.1.2.2 Contrôle de session............................. 53 8.1.3 Langage de programmation............................. 54 8.1.3.1 Principe de la syntaxe........................... 54 8.1.3.2 Exemples d'instructions.......................... 54 8.1.3.3 Opérateurs et constantes......................... 54 2 F.LUTHON,2014 3.3.1 Modulation sans porteuse.............................. 28 3.3.1.1 Représentation temporelle de r(t).................... 28 3.3.1.2 Représentation fréquentielle de r(t)................... 28 3.3.2 Principe de la modulation BLU........................... 28 3.3.3 Représentation temporelle et fréquentielle..................... 29 3.3.4 Démodulation B.L.U................................. 29 3.4 Modulation de fréquence................................... 30 3.4.1 Principes....................................... 30 3.4.2 Spectre d'une onde modulée en fréquence..................... 30 3.4.2.1 Cas d'une porteuse rectangulaire..................... 31 3.4.3 Production d'oscillations modulées en fréquence.................. 32 3.4.3.1 Multivibrateurs modulables en fréquence................ 32 3.4.4 Démodulation des ondes modulées en fréquence.................. 32 3.4.5 Discriminateur de Foster-Seeley........................... 32 3.4.6 Détecteur de quadrature............................... 35 3.4.7 Détecteur de quadrature analogique........................ 35 3.4.8 Détecteur de quadrature digital........................... 35 II TRAVAUX PRATIQUES 39 4 TP1 - SIMULATION (Matlab) 41 4.1 Introduction.......................................... 41 4.1.1 Rappels préliminaires................................ 41 4.2 Analyse spectrale par TFD (FFT)............................. 41 4.3 Conception de ltre numérique par TZ........................... 42 5 TP2 - MODULATION (et Analyseurs) 43 5.1 Modulation d'amplitude................................... 43 5.1.1 Manipulation..................................... 43 5.2 Comparaison d'analyseur de spectre : analogique vs. numérique............. 44 5.3 Analyse spectrale d'une onde modulée en fréquence.................... 44 5.3.1 Manipulation..................................... 44 5.4 Annexe technique....................................... 45 5.4.1 Analyseur de spectre analogique FI8010...................... 45 5.4.2 Analyseur de spectre numérique Tektro TDS210................. 46 6 TP3 - FILTRAGE (LabVIEW) 49 6.1 Filtrage de signaux...................................... 49 6.2 Filtrage de signal audio................................... 49 6.3 Traitement d'un enregistrement............................... 50 6.4 Conclusion sur le TP..................................... 50 7 TP4 - FILTRES ACTIFS : TP LaboREM à distance 51

11 TD - Filtres Actifs 73 11.1 Les ltres de Sallen-Key................................... 73 11.1.1 Passe-bas de Sallen-Key............................... 73 11.1.1.1 Correction................................. 73 11.1.2 Passe-haut de Sallen-Key.............................. 73 11.1.2.1 Correction................................. 74 11.1.3 Passe-bande de Sallen-Key.............................. 74 11.1.3.1 Correction................................. 75 11.2 TD Filtre universel...................................... 75 F.LUTHON,2014 3 8.1.3.4 Contrôle de ux de données........................ 55 8.1.3.5 Création d'une fonction externe..................... 55 8.1.4 Bibliothèque de fonctions.............................. 55 8.1.4.1 Fonctions graphiques........................... 55 8.1.4.2 Interaction utilisateur........................... 56 8.1.4.3 Interaction chiers externes........................ 56 8.1.4.4 Manipulation de matrices......................... 56 8.1.4.5 Fonctions mathématiques......................... 56 8.1.4.6 Signaux de base.............................. 56 8.2 TP - Transformée de Fourier................................. 56 8.2.1 Rappels........................................ 56 8.2.2 TF Discrète : Analyse spectrale........................... 57 8.2.2.1 Etude du théorème de Shannon...................... 57 8.2.2.2 Inuence de la troncature temporelle................... 57 8.2.2.3 Etude de l'écrêtage............................. 57 8.2.3 Annexes........................................ 57 8.2.3.1 Signaux tests................................ 57 8.2.3.2 Fonctions internes............................. 58 8.2.3.3 Fonctions externes............................. 58 8.3 TP - Transformée en Z.................................... 58 8.3.1 Rappel sommaire................................... 58 8.3.2 Synthèse de Filtre RII................................ 59 8.3.3 Annexe théorique pour le TP TZ.......................... 59 III LaboREM : TP à distance 61 9 Rappels des Prérequis : Filtres Passifs et AOP 63 9.1 Prérequis et Objectifs du TP................................ 63 9.2 Vérication des Acquis (30mn)............................... 63 9.2.1 Filtre RC et RLC (cf. QCM)............................ 63 9.2.2 AOP idéal (cf. QCM)................................ 64 9.3 Rappels : Passe-bas, Passe-haut, Passe-Bande....................... 64 9.4 Annexe 1 : Courbes Canoniques du 2eme Ordre...................... 64 10 CM - Théorie des ltres actifs 67 10.1 Principe............................................ 67 10.2 Notion de Gabarit...................................... 67 10.3 Filtres les plus usuels..................................... 67 10.4 Filtrage par quadripôle actif................................. 69 10.4.1 Exemple introductif : Filtre passe-bande simple.................. 69 10.4.2 Généralisation : Filtres actifs du second ordre................... 70 10.4.3 Filtre passe-bas.................................... 70 10.4.4 Filtre passe-bande.................................. 71

14 Déroulement et timing indicatif du TP 85 14.1 QCM3 : AOP idéal (15mn)................................. 85 14.2 QCM4 : Filtrage (30mn)................................... 85 14.3 Lecture des docs de cours Filtres actifs (30mn)...................... 85 14.4 Manip à distance (2h30)................................... 85 14.4.1 Courbes de Bode Filtres passifs (60mn)...................... 85 14.4.2 Courbes de Bode Filtres actifs (60mn)....................... 85 14.4.3 Etude des signaux temporels et spectres en sortie des Filtres (30mn)...... 85 14.5 Questionnaire Enquête sur LaboREM (70 questions) (10mn)............... 85 14.6 Evaluation synthétique de l'application LaboRem (5mn)................. 85 4 F.LUTHON,2014 12 Liste des ltres précâblés pour TP distant 77 12.1 Filtres passifs......................................... 77 12.1.1 Passe-bas passif ordre 1............................... 77 12.1.2 Passe-haut passif ordre 1............................... 77 12.1.3 Passe-bande Wien passif............................... 77 12.1.4 Double Té ponté Réjecteur passif.......................... 77 12.1.5 Circuit passif congurable (via un Robot de placement)............. 77 12.2 Filtres actifs.......................................... 78 12.2.1 Passe-bas Sallen-Key................................. 78 12.2.2 Passe-haut sallen-key................................ 78 12.2.3 Passe-bande actif ordre 2.............................. 78 12.2.4 Passe-bande sallen-key............................... 78 12.3 Courbes expérimentales obtenues.............................. 79 13 TP - Manipulation à distance 81 13.1 Expérience 1 - Caractérisation fréquentielle........................ 81 13.1.1 Etude de fonctions de transfert........................... 81 13.1.1.1 Courbes de gain et de phase....................... 81 13.1.1.2 Mesures précises des caractéristiques................... 81 13.1.2 Caractérisation rapide (30mn)............................ 81 13.1.3 Etude exhaustive (30mn).............................. 81 13.2 Expérience 2 - Caractérisation Temporelle (30mn)..................... 82 13.2.1 Eets linéaires sur le signal............................. 82 13.2.1.1 Atténuation/Amplication........................ 82 13.2.1.2 Décalage temporel............................. 82 13.2.2 Eet non linéaire : saturation............................ 82 13.3 Spécicité de l'actif (30mn)................................. 82 13.3.1 Transfert de puissance : Amplication....................... 82 13.3.2 Adaptation d'impédance............................... 82 13.3.3 Non-linéarités..................................... 82 13.4 Application Audio (30mn).................................. 83 13.4.1 Etude du spectre................................... 83 13.4.2 Visualisation du signal................................ 83 13.4.3 Ecoute du son..................................... 83 13.5 Synthèse (30mn)....................................... 83 13.5.1 Interprétation..................................... 83 13.5.2 Conclusion...................................... 83 13.5.3 Evaluation....................................... 83 13.6 TP Hands-on : tableau des mesures............................. 83

15 TRAITEMENT DE SIGNAL ANALOGIQUE 89 15.1 Introduction.......................................... 89 15.1.1 Dénitions...................................... 89 15.1.2 Systèmes analogiques................................. 89 15.2 Signaux analogiques..................................... 90 15.2.1 Typologie des signaux................................ 90 15.2.2 Energie et Puissance................................. 90 15.2.3 Corrélation...................................... 90 15.2.3.1 Autocorrélation.............................. 91 15.2.3.2 Corrélateur analogique........................... 91 15.2.3.3 Intercorrélation............................... 91 15.2.4 Dualité temps-fréquence............................... 91 15.2.4.1 Durée utile - Support borné........................ 92 15.2.4.2 Spectre utile - Spectre borné....................... 92 15.2.4.3 Principe d'incertitude........................... 92 15.2.5 Signal à bande étroite................................ 92 15.2.5.1 Dénition.................................. 92 15.2.5.2 Signal analytique.............................. 93 15.3 Filtres Analogiques...................................... 93 15.3.1 Convolution...................................... 93 15.3.1.1 Calcul de la sortie d'un ltre....................... 93 15.3.1.2 Chaînage de Filtres............................ 93 15.3.2 Réponse Impulsionnelle et Fonction de Transfert................. 93 15.3.2.1 Filtre réalisable............................... 94 15.3.2.2 Filtre stable................................ 94 15.3.2.3 Filtres idéaux................................ 94 15.3.3 Relations Fondamentales des Filtres........................ 95 15.3.4 Filtre à bande étroite................................. 95 15.3.4.1 Dénition.................................. 95 15.3.4.2 Principe du Changement de fréquence.................. 95 15.3.4.3 Ampli sélectif accordable......................... 96 15.3.4.4 Multiplexage en fréquence......................... 96 15.4 Applications.......................................... 96 15.4.1 Filtrage........................................ 96 15.4.1.1 Passe-bas (Intégrateur).......................... 96 15.4.1.2 Passe-haut (Dérivateur).......................... 97 15.4.1.3 Passe-bande................................ 97 15.4.2 Modulation...................................... 97 15.4.2.1 Modulation d'amplitude.......................... 97 15.4.2.1.1 Démodulation :.......................... 98 15.4.2.2 Modulation de fréquence......................... 98 15.4.2.2.1 Fréquence instantanée :..................... 98 15.4.2.2.2 Spectre :............................. 98 15.4.2.2.3 Réalisation :........................... 98 15.4.2.2.4 Démodulation :.......................... 98 15.4.3 Analyse spectrale................................... 98 15.4.3.1 But..................................... 98 15.4.3.2 Principe................................... 98 15.4.3.3 Mise en uvre............................... 99 15.4.3.4 Résolution fréquentielle.......................... 99 15.4.3.4.1 Pouvoir de résolution :...................... 99 15.4.3.4.2 Troncature temporelle :..................... 99 F.LUTHON,2014 5 IV BASES THEORIQUES 87

17 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE 109 17.1 Introduction [1]........................................ 109 17.2 Conversion analogique-numérique.............................. 109 17.2.1 Échantillonnage et quantication.......................... 109 17.2.2 Echantillonnage temporel.............................. 109 17.3 Transformée de Fourier Discrète............................... 111 17.3.1 TFDT d'un signal causal.............................. 111 17.3.2 Troncature temporelle................................ 111 17.3.3 Pondération temporelle............................... 112 17.3.4 Echantillonnage fréquentiel - TFD......................... 113 6 F.LUTHON,2014 15.4.3.4.3 Exemple des audio-fréquences (ν < 20kHz) :......... 99 15.5 Signaux aléatoires : caractérisation et ltrage....................... 99 15.6 Bruit.............................................. 99 15.7 Filtrage optimal et détection................................ 99 15.8 TD1 - Signal Radar...................................... 99 15.9 TD2 - Corrélateur analogique................................ 100 16 TRAITEMENT DE SIGNAL NUMERIQUE 101 16.1 Introduction.......................................... 101 16.1.1 Généralités...................................... 101 16.1.2 Outils mathématiques................................ 101 16.1.2.1 Transformée de Fourier discrète dans le temps TFDT et spectre... 101 16.1.2.2 TFD et Transformée en Z......................... 102 16.1.3 Systèmes numériques................................. 102 16.1.3.1 Equation aux diérences......................... 102 16.1.3.2 Produit de convolution discret...................... 102 16.1.3.3 Fonction de Transfert........................... 102 16.2 Signaux numériques..................................... 102 16.2.1 Les 4 opérations de base............................... 102 16.2.2 Signaux élémentaires et typologie.......................... 103 16.2.3 Corrélation...................................... 103 16.2.4 Echantillonnage.................................... 103 16.2.4.1 Théorème de Shannon........................... 103 16.2.4.2 Echantillonnage naturel.......................... 103 16.2.4.3 Echantillonneur bloqueur......................... 104 16.2.5 Quantication..................................... 104 16.3 Filtres numériques...................................... 104 16.3.1 Causalité et stabilité................................. 104 16.3.2 Système SLIT..................................... 105 16.3.3 Synthèse d'un ltre RIF............................... 105 16.3.4 Synthèse d'un ltre RII............................... 106 16.4 Filtrage............................................ 106 16.4.1 Linéaire........................................ 106 16.4.2 Non-linéaire...................................... 107 16.5 Analyse spectrale....................................... 107 16.5.1 Autocorrélation.................................... 107 16.5.2 Méthode non-paramétrique............................. 107 16.5.3 Méthode paramétrique................................ 107 16.6 TD3 - Synthèse d'un ltre RII................................ 108

F.LUTHON,2014 7 V ANNEXE MATHEMATIQUE 117 18 RECAPITULATIF SUR LES TRANSFORMEES 119 18.1 Rappel sur les distributions................................. 119 18.2 Développement en Série de Fourier............................. 121 18.3 Tableau récapitulatif de la TL................................ 122 18.4 Tableau récapitulatif de la TF................................ 123 18.5 Tableau récapitulatif de la TZ................................ 124 18.6 Tableau synthétique des transformées............................ 125 19 RAPPEL DE PREREQUIS 127 19.1 Trigonométrie......................................... 127 19.2 Développements limités usuels au voisinage de zéro.................... 129 19.3 Décomposition des fractions rationnelles : F (x) = Pn(x) Q m(x)................. 130 19.4 Fonctions hyperboliques directes.............................. 131 19.5 Fonctions hyperboliques réciproques............................ 131 19.6 Les coniques.......................................... 132

8 F.LUTHON,2014

Première partie ELEMENTS DE COURS ET EXERCICES

Chapitre 1 PRESENTATION GENERALE 1.1 Introduction Programme pédagogique selon le référentiel de l'u.e.5 : Fig. 1.1. Le traitement de signal intervient à plusieurs endroits dans la chaîne d'acquisition [2, 3, 4] Fig. 1.2 : capture (débruitage, extraction), transmission (modultaion, conversion (CAN, CNA). Il intervient aussi dans de nombreux autres domaines de la physique (exemples : électrotechnique pour le stockage de l'énergie et onduleur, contrôle non destructif tel l'analyse vibratoire etc.) 1.2 Filtrage 1.2.1 Signal et Filtre Analogique Qu'est-ce qu'un signal? Véhicule de l'information Energie ou Puissance moyenne nie Corrélation, intercorrélation Dualité temps-fréquence Spectre Qu'est-ce qu'un ltre? Linéaire : modie amplitude et phase ; ne modie pas la fréquence Non-linéaire : modie la fréquence : apparition d'autres fréquences (harmoniques, cf. DSF) Coubes de Bode : gain et phase en fonction de la fréquence Eet temporel : amplitude et retard temporel Un ltre analogique est déni par : sa réponse impulsionnelle h(t) sa fonction de transfert de Laplace : H(p) = T L[h(t)] sa fonction de transfert de Fourier : H(ν) = T F [h(t)] sa réponse harmonique H(jω) avec p = jω = j2πν Le ltrage peut être réalisé : par convolution dans le domaine temporel (ou spatial) : s(t) = h(t) e(t) ex. du simple moyennage temporel (TD matlab TP7ltr.m) par multiplication dans le domaine fréquentiel : S(ν) = E(ν) H(ν) Voir illustration Fig. 1.3. 1.2.2 TD - Filtre réjecteur Soit le ltre réjecteur de la Fig. 1.4 avec : R = 12Ω ; C = 10µF ; L = 0.04H ω 0 = 1581rad/s, ν 0 = 251.6Hz ; ζ = 0.047. Montrer que sa fonction de transfert vaut : H(p) = 1 (2πν 0 ) 2 + p 2 2 (2πν ) 2 + 2ζ(2πν )p + p avec : 2 ν 0 = 1 et : ζ = R C 4 L

12 Figure 1.1 Contenu du module traitement de signal

cf. énoncé section 15.9 13 Figure 1.2 Chaîne d'acquisition Figure 1.3 Filtrage passe-bas : comparaison moyenne temporelle (en haut) et ltrage fréquentiel (en bas) et qu'il permet d'éliminer l'harmonique 5 du courant électrique 50Hz, pour assurer la qualité du réseau électrique, ce qui participe de l'ecacité énergétique [5] Fig. 1.5. 1.2.3 TD - Corrélateur Analogique

Analogique par TF Résolution fréquentielle ; Troncature temporelle ; Fenêtrage : fenêtres de pondération de Hanning, Hamming, Blackman... : réduction des lobes secondaires, mais élargissement du lobe principal (bon pour résolution en amplitude, moins bon pour résolution en fréquence). 14 Figure 1.4 Réjecteur RLC Figure 1.5 Réjecteur d'harmonique à 5f 0 = 250Hz : courbes de gain et phase 1.3 Echantillonnage Fréquence d'échantillonnage, Théorème de Shannon : cf. chapitre 17 Bruit de Quantication Filtrage numérique : conception et applications (cf. TP TZ sous Matlab, chapitre 4) 1.4 Analyse Spectrale

15 DSF : étude des harmoniques (cf. TD onduleur.m et DSF09.m, cf. Fig. 1.6). Figure 1.6 Signal carré et son DSF coupé après l'harmonique No. 9 Numérique : TFD, Théorème de Shannon (interprétation fréquentielle et temporelle). Analyseurs de spectres, FFT (cf. TP chapitre 5) 1.5 Modulation 1.5.1 Idées-clé de la Modulation Signal à bande étroite Principe du changement de fréquence (cf. Transformée de Fourier) Modulation d'amplitude Fig. 1.8. (cf. TD et TP chapitre5) Figure 1.7 Modulation d'amplitude : allure du signal temporel AM Autres modulations : dont fréquence FM (pour transmission) ; Modulation de rapport cyclique MLI (cf. application onduleur) [6] : Fig. 1.9.

16 Figure 1.8 Spectre AM obtenu par analyse FFT Tektro TDS100 (porteuse=200khz) : cas d'un signal modulant a) sinusoïdal ; b) carré Figure 1.9 Modulation de rapport cyclique : MLI

La représentation fréquentielle est obtenue par analyse de Fourier. Ainsi, si le signal d'entrée est un cosinus de période T 0 et de fréquence f 0 = 1/T 0, son spectre est constitué de deux raies (Fig. 2.3). Les gures 2.4 et 2.5 représentent les spectres correspondant respectivement à un train d'impulsions et à une porte. Chapitre 2 ANALYSEUR DE SPECTRE NUMERIQUE A FFT 2.1 L'analyseur de spectre numérique 2.1.1 Principe du traitement 2.1.1.1 Echantillonnage temporel L'échantillonnage est réalisé au moyen de circuits matériels, alors que la transformation au domaine fréquentiel se fait par logiciel. Le signal est échantillonné par un convertisseur analogique-numérique qui fonctionne à la fréquence F e et eectue la multiplication du signal normalisé (c'est-à-dire d'amplitude unité) par un train d'impulsions d'amplitude unité et de période T e = 1/F e (Fig. 2.1). Typ. pour le HP 3582A [7] : F e = 102.4kHz Figure 2.1 Echantillonnage du signal en entrée 2.1.1.2 Troncature temporelle Pour des raisons pratiques (capacité mémoire limitée), la saisie des données se fait pendant un intervalle de temps T limité appelé fenêtre (Fig. 2.2). Selon qu'on utilise une seule voie ou les deux voies de l'analyseur, l'enregistrement comporte N e points (typ. N e = 1024) ou N e /2 points sur cet intervalle de temps (car il y a un seul convertisseur A/D pour les deux voies). 2.1.1.3 Transformation fréquentielle

18 Figure 2.2 Fenêtrage du signal échantillonné Figure 2.3 Spectre d'un cosinus Notons que dans ces représentations, la moitié de l'énergie se trouve dans la région des fréquences négatives. L'analyseur, qui n'ache que les fréquences positives, en tient compte en multipliant les amplitudes par 2 avant achage. Dans le domaine temporel, les diérents signaux considérés ci-dessus ont subi une multiplication (cf. Fig. 2.1 et 2.2). A ce processus de multiplication temporelle correspond une convolution dans le domaine fréquentiel, dont l'eet est représenté graphiquement sur les Fig. 2.6 et 2.7. On voit notamment que l'échantillonnage temporel (multiplication par un train d'impulsions, Fig. 2.1) se traduit par une périodisation spectrale (Fig. 2.6) et que la troncature temporelle (multiplication par une porte, Fig. 2.2) se traduit par un phénomène d'ondulation et d'élargissement de raies (Fig. 2.7). 2.1.1.4 Filtre anti-repliement An d'éviter les problèmes de recouvrement de spectre (ou aliasing), il faut respecter le théorème de Shannon, c'est-à-dire assurer la condition : F e 2F max. Or la fréquence d'échantillonnage de l'analyseur est xe : F e =cte. L'analyseur procède donc à un ltrage préalable du signal pour limiter la fréquence maximale. Il possède en entrée un ltre anti- Figure 2.4 Spectre d'un train d'impulsions

19 Figure 2.5 Spectre d'une fenêtre rectangulaire Figure 2.6 Convolution par un train d'impulsions fréquentielles repliement plat jusqu'à F e/4 et dont la caractéristique décroît ensuite jusqu'à -80 db à 3F e/4 (Fig. 2.8). La fréquence de Nyquist valant F e/2, ce ltre permet de réduire à un niveau acceptable les composantes situées au-dessus de la fréquence de Nyquist. 2.1.1.5 Echantillonnage fréquentiel Jusqu'à présent, il n'a été question que de la transformée de Fourier continue. Cependant, l'analyseur de spectre numérique réalise la transformée de Fourier discrète en utilisant l'algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT). La transformée n'est donc pas calculée à toutes les fréquences mais seulement à des intervalles de fréquence choisis. L'analyseur fournit à l'achage N a points de fréquence en simple voie (typ. N a = 256 pour le Figure 2.7 Convolution fréquentielle par un sin(x)/x

20 Figure 2.8 Filtre anti-repliement (cas où F e = 100kHz) HP3582A) et N a /2 points en double voie (points stockés en mémoire). Une manière de se représenter les points du spectre présents en mémoire est de penser à la fonction continue sinc(x) masquée par une plaque munie de nes fentes (Fig. 2.9). Figure 2.9 Points du spectre en mémoire On comprend ainsi que chaque emplacement de mémoire (case) est un point de fréquence et que chaque mot numérique situé à cet emplacement représente l'amplitude et la phase de ce point. 2.1.1.6 Interprétation de l'achage - Fuite d'énergie La partie achage de l'appareil contient le matériel et le logiciel nécessaires pour que les points achés soient reliés par des segments de droite. A cause de l'échantillonnage fréquentiel, on pourra avoir selon les cas un spectre aché qui présente plus ou moins le phénomène de fuite d'énergie (leakage) : l'amplitude de la raie visualisée est diminuée par rapport à la courbe continue (comparer les Fig. 2.10 et 2.11). Figure 2.10 Achage sur le tube cathodique des points stockés en mémoire

21 Figure 2.11 Fuite d'énergie : cas où f 0 est située entre 2 cases mémoire 2.1.1.7 Fenêtre de pondération Une méthode pour réduire les fuites d'énergie consiste à modier la fenêtre de pondération appliquée au signal temporel. L'analyseur propose trois types de fenêtre (cf. Notice). Mais il y a toujours un compromis lobe secondaire/largeur de bande à réaliser, qui revient nalement à un compromis précision en amplitude/résolution en fréquence. L'application d'une fenêtre de pondération a lieu au moment où les données temporelles sont transférées de la mémoire tampon de l'enregistrement accumulé vers une autre mémoire tampon où s'eectue la transformation de Fourier rapide (Fig. 2.12). Figure 2.12 Flux des données

22 2.1.2 Paramètres d'une analyse spectrale Table 2.1 Paramètres d'analyse pour une voie (cas du HP3582A). Excursion N. t = Durée f = Ecart entre Résolution d'enregistrement points de calcul Toit plat Hanning Rectangle (Hz) (s) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) 1 250 0,004 0,0145 0,006 0,004 2,5 100 0,01 0,0363 0,015 0,01 5 50 0,02 0,0726 0,03 0,02 10 25 0,04 0,145 0,06 0,04 25 10 0,1 0,363 0,15 0,1 50 5 0,2 0,726 0,3 0,2 100 2,5 0,4 1,45 0,6 0,4 250 1 1 3,63 1,5 1 500 0,5 2 7,26 3 2 1 k 0,25 4 14,5 6 4 2,5 k 0,1 10 36,3 15 10 5 k 0,05 20 72,6 30 20 10 k 0,025 40 145 60 40 25 k 0,01 100 363 150 100 Les paramètres d'analyse pour 2 voies (INPUT MODE sur BOTH) sont le double pour l'écart entre points et la résolution, et la moitié pour la durée d'enregistrement, car il n'y a qu'un convertisseur A/D pour les deux voies. 2.1.2.1 Excursion Après échantillonnage, les données sont traitées par un ltre numérique spécial de manière à se situer dans la bande de fréquences intéressante (excursion choisie) avant d'être stockées en mémoire pour analyse. Dans les modes d'analyse de bande SET START et SET CENTER, on dispose d'une commande de fréquence variable (bouton ADJUST) qui accorde un oscillateur local numérique permettant de modier la fréquence initiale ou centrale d'analyse (principe du changement de fréquence). On peut aussi choisir la fréquence initiale ou centrale en se servant du bouton MARKER SET FREQ. 2.1.2.2 Résolution La résolution fréquentielle est achée sur l'analyseur en bas à droite de l'écran (BW). C'est la largeur de bande du ltre (Bandwidth), qui correspond en pratique à la largeur à mi-hauteur des raies spectrales. Elle est sélectionnée automatiquement par l'appareil en fonction de l'excursion et de la fenêtre de pondération choisie (tableau 1). La résolution du marqueur est égale à l'écart entre points de calcul (cf. tableau 19.1). 2.1.2.3 Durée d'acquisition Les mesures de spectres sont eectuées en temps réel pour les excursions de fréquence inférieures à 500 Hz, ce qui correspond à une durée d'enregistrement supérieure à 0,5 s. Ici, temps réel signie un temps de traitement inférieur au temps d'acquisition des données, de sorte qu'aucune des données n'est perdue pendant l'attente de traitement. Pour les excursions étroites, le temps d'acquisition des données doit être augmenté pour procurer la résolution susante (cf. tableau 1).

Pour les excursions larges, le temps d'acquisition des données est faible et c'est la vitesse de traitement qui devient le facteur limitatif : on ne peut plus alors traiter en temps réel. 2.1.3 Spectres aberrants Le HP 3582A peut acher des spectres sans relation avec le signal d'entrée dans les cas suivants : - en mode SET START ou SET CENTER, il peut apparaître des raies spectrales au-delà de 26 khz. Ces spectres proviennent des alimentations à commutation et d'un signal de contrôle de conversion analogique-numérique. - analyse de données dans des conditions de surcharge (OVERLOAD). 2.1.4 Moyennes L'analyseur ore diérentes possibilités de faire des moyennes à partir de plusieurs réalisations du signal. Une distinction importante est à faire entre la moyenne quadratique (RMS) et la moyenne temporelle (TIME). L'option RMS réalise une moyenne de spectres, ce qui lisse les variations dues au bruit sur le spectre mais ne réduit pas le niveau de bruit sur le signal enregistré, donc n'améliore pas le rapport signal sur bruit. L'option TIME au contraire réalise un spectre de moyennes : le signal temporel est moyenné sur plusieurs réalisations avant d'être traité, ce qui réduit le bruit avant la transformation, donc améliore le rapport signal sur bruit. Cette option nécessite évidemment un signal de déclenchement synchronisé avec la portion discrète du signal à moyenner. 2.1.5 Modes de déclenchement Les commandes de déclenchement déterminent l'instant où commence l'échantillonnage du signal d'entrée pour l'analyse. Lorsque la commande LEVEL est dans la position FREE RUN, les données sont saisies aussi vite que le permet leur traitement : l'instant de déclenchement n'est donc pas maîtrisé. Par contre, hors de la position FREE RUN, on peut choisir l'instant de déclenchement. Le déclenchement peut provenir de l'une des deux sources suivantes, selon la position du commutateur situé à l'arrière de l'appareil (EXT/INT) : - un niveau de signal sur l'entrée du canal A (déclenchement interne), - une entrée de niveau TTL sur le panneau arrière (déclenchement externe). Pendant la saisie des données, le voyant lumineux DATA LOADING est allumé. La commande LEVEL et le commutateur SLOPE déterminent la partie du signal (niveau et pente) qui initialise le déclenchement. Le commutateur REPETITIVE en position OFF met l'appareil en mode de fonctionnement à balayage unique (déclenchement mono-coup). Dans ce mode, il est possible d'obtenir un déclenchement comme décrit ci-dessus, mais seulement après avoir activé les circuits de déclenchement au moyen d'un ordre d'armement (pression sur le bouton ARM pour armer le déclenchement). Un voyant lumineux indique si l'ordre d'armement a été donné. En réglant le niveau de déclenchement (bouton LEVEL hors position FREE RUN), on valide un balayage unique. 23

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Le signal modulant m(t) = A m sin 2πf m t passe d'abord par un atténuateur variable K (0 K 1). Pour simplier, on prendra A m = 1 sans perte de généralité. On ajoute ensuite une composante continue au signal Km(t) avant de le multiplier par la porteuse (Fig. 3.2). Chapitre 3 MODULATION 3.1 Modulations d'amplitude 3.1.1 Introduction La transmission à grande distance d'un message m(t) basse fréquence ne peut s'eectuer par voie hertzienne qu'à la condition d'utiliser un support H.F. Ce support appelé porteuse contient le message m(t). On étudie ici quelques méthodes simples de modulation de l'amplitude de la porteuse par le message et la restitution de ce message à la réception. 3.1.1.1 Rappel un message peut être représenté dans deux domaines. Prenons par exemple un signal sinusoïdal m(t) = A m sin 2πf m t. Domaine temporel : visualisation à l'oscilloscope par exemple (Fig. 3.1a). Domaine fréquentiel : visualisation à l'analyseur de spectre (Fig. 3.1b). La présence d'un seule raie à la fréquence f m permet d'armer que le signal m(t) est sinusoïdal pur de fréquence f m. N.B. : seules sont représentées les fréquences positives. Figure 3.1 Deux domaines : a) temporel ; b) fréquentiel. 3.2 Modulation d'amplitude (AM) 3.2.1 Modulation 3.2.1.1 Principe

s(t) = A p (1 + K sin 2πf m t) sin 2 (2πf p t). 26 Figure 3.2 Principe de la modulation d'amplitude. 3.2.1.2 Représentation temporelle de r(t) Le signal modulé r(t) s'écrit : r(t) = A p (1 + K sin 2πf m t) sin(2πf p t) f p >> f m L'amplitude de r(t) est proportionnelle à m(t), le coecient de proportionnalité K étant le taux de modulation variable de 0 à 100% (Fig. 3.3a). 3.2.1.3 Représentation fréquentielle Le signal r(t) peut s'écrire : r(t) = A p sin 2πf p t + KA p 2 [cos 2π(f p f m )t cos 2π(f p + f m )t]. On aura donc trois raies sur l'analyseur de spectre (Fig. 3.3b). Figure 3.3 a) Représentation temporelle de r(t) ; Représentation fréquentielle de r(t). 3.2.2 Démodulation 3.2.2.1 Détection crête Pour démoduler le signal r(t), il sut d'eectuer une détection crête, c'est-à-dire un redressement simple alternance suivi d'un ltrage RC passe-bas. On obtient alors un signal m 1 (t) proportionnel à m(t). Le circuit de démodulation est le suivant : Fig. 3.4. N.B. : Pour améliorer le ltrage d'un signal audio, un ltre passe-bas supplémentaire peut-être utilisé dont la fréquence de coupure est de 4kHz. 3.2.2.2 Détection synchrone Supposons que l'on multiplie r(t) par un signal sinusoïdal L(t) de fréquence f p (Fig. 3.5a). On obtient en sortie du multiplieur un signal s(t) de la forme :

Le produit de L(t) avec r(t) donne un signal s(t) dont le spectre est représenté sur la Fig. 3.7. Un simple ltrage passe-bas permet alors la restitution du signal m 1 (t). L'avantage de cette méthode est le parfait synchronisme de L(t) avec la porteuse. 27 Figure 3.4 Détection crête en AM. Soit : s(t) = A p 2 + KA p sin 2πf m t + KA p {sin[2π(2f p f m )t] sin[2π(2f p + f m )t]} A p 2 4 2 cos 4πf pt dont le spectre est représenté Fig. 3.5b. On voit qu'un simple ltrage passe-bas permet de restituer un Figure 3.5 a) Détection synchrone ; b) Spectre de s(t). signal m 1 (t) proportionnel à m(t). L'inconvénient de cette méthode est qu'elle demande un synchronisme parfait de L(t) avec la porteuse, aussi bien en phase qu'en fréquence. 3.2.2.3 Amélioration de la détection synchrone Le signal L(t) de la détection synchrone est créé, à partir du signal r(t) à démoduler, par un comparateur délivrant un signal carré de fréquence f p en phase avec le sinus. Le schéma synotique de la démodulation est alors celui de la Fig. 3.6. Le signal carré impair L(t) peut être décomposé en série de Fourier (cf. annexe) soit : L(t) = 4 π Figure 3.6 Création du signal synchrone. [ sin 2πf p t + 1 3 sin 2π3f pt + 1 ] 5 sin 2π5f pt +

28 Figure 3.7 Spectre de s(t). 3.3 Modulation sans porteuse et modulation à bande latérale unique 3.3.1 Modulation sans porteuse Soient m(t) le message BF et p(t) la porteuse HF. Par simple multiplication analogique de m(t) et p(t), on obtient un signal modulé sans porteuse r(t) (Fig. 3.8). Figure 3.8 Mélangeur équilibré. 3.3.1.1 Représentation temporelle de r(t) Les expressions des signaux m(t) et p(t) sont données par : m(t) = A m sin 2πf m t ; p(t) = A p sin(2πf p t) ; f p >> f m On aura donc r(t) = A m A p sin 2πf m t sin 2πf p t dont la représentation est donnée sur la Fig. 3.9a. 3.3.1.2 Représentation fréquentielle de r(t) Le signal r(t) peut encore s'écrire : r(t) = A pa m [cos 2π(f p f m )t cos 2π(f p + f m )t]. 2 On voit apparaître deux sinusoïdes de fréquence f p f m et f p + f m et d'amplitude égale à ApAm 2. le spectre de r(t) sera donc celui de la Fig. 3.9b. On remarque qu'il n'existe pas de raie pour la fréquence f p d'où le nom de modulation sans porteuse. 3.3.2 Principe de la modulation BLU Si l'on prend le spectre d'un signal modulé sans porteuse (Fig. 3.9), on s'aperçoit que les deux raies f p f m et f p + f m appelées bandes latérales inférieure et supérieure contiennent chacune la même information f m, ce qui veut dire que l'on peut fort bien se passer de l'une d'entre elles. La modulation B.L.U. (Single Side Band SSB en anglais) utilise ce principe : dans un premier temps, on produit une modulation sans porteuse, puis à l'aide d'un ltre passe-bande très sélectif, on extrait soit la bande latérale inférieure (B.L.I), soit la bande latérale supérieure (B.L.S.) Par exemple pour la B.L.S. : Fig. 3.10.

29 Figure 3.9 a) Représentation temporelle de r(t) ; b) Représentation fréquentielle de r(t). Figure 3.10 Modulation B.L.S. 3.3.3 Représentation temporelle et fréquentielle ou : Après ltrage passe-bande du signal modulé sans porteuse r(t), on obtient : B(t) = 1 2 A pa m cos 2π(f p f m )t B(t) = 1 2 A pa m cos 2π(f p + f m )t pour la B.L.I. pour la B.L.S. On a donc une sinusoïde pure dans le domaine temporel et une seule raie dans le domaine fréquentiel. 3.3.4 Démodulation B.L.U. Rappelons que le signal B(t) à démoduler est de la forme : B(t) = A cos 2π(f p ± f m )t. La démodulation BLU s'eectue par détection synchrone, le signal L(t) étant sinusoïdal de fréquence f p (Fig. 3.11). Dans le cas de la BLS, le signal s(t) est donné par : Figure 3.11 Schéma synoptique de la démodulation BLU s(t) = A cos 2π(f p + f m )t sin(2πf p t + φ) s(t) = A 2 sin[2π(f p + f m )t + φ] A 2 sin(2πf mt φ) On peut donc retrouver m 1 (t) qui est proportionnel à m(t) par un ltrage passe-bas. Notons que si la fréquence du signal L(t) doit impérativement être égale à celle de la porteuse, il n'est par contre pas obligatoire que L(t) soit en phase avec la porteuse.

y(t) = a[sin Ω 0 t. cos(m sin ωt) + cos Ω 0 t. sin(m sin ωt)]. 30 3.4 Modulation de fréquence 3.4.1 Principes Considérons une porteuse y 0 (t) = a sin(ω 0 t + ϕ 0 ) et un signal à transmettre s(t) = A cos ωt. Pour transmettre ce signal, on peut moduler : soit l'amplitude de la porteuse, soit la phase de la porteuse, soit la fréquence de la porteuse. On ne s'occupe pas ici du cas des modulations d'amplitude (modulations AM et BLU). On dira que la porteuse est modulée en phase si l'on ajoute à la phase de la porteuse une quantité proportionnelle à s(t). On aura alors : y(t) = a sin(ω 0 t + ka cos ωt + ϕ 0 ) (3.1) La porteuse sera modulée en fréquence si l'on ajoute à la pulsation instantanée Ω 0 de la porteuse une quantité proportionnelle à s(t). On aura alors : Ω(t) = Ω 0 + k A cos ωt ϕ(t) = Ω(t)dt = Ω 0 t + k A ω sin ωt + ϕ 0 et : y(t) = a sin(ω 0 t + k A ω sin ωt + ϕ 0). (3.2) La distinction entre modulation de phase et modulation de fréquence est conventionnelle, les deux types de modulation étant de même nature et toujours simultanées. On passe facilement d'un type de modulation à l'autre par simple intégration ou dérivation du signal modulant. Par exemple, pour obtenir un signal modulé en fréquence, il y a deux schémas possibles (Fig. 3.12a). De même, pour obtenir un signal modulé en phase, il y a deux schémas possibles (Fig. 3.12b). a) b) Figure 3.12 Modulation : a) de fréquence ; b) de phase 3.4.2 Spectre d'une onde modulée en fréquence L'expression d'une onde modulée en fréquence est donnée par : y(t) = a sin(ω 0 t + msinωt) (3.3) où m = F/f est l'indice de modulation en fréquence, F la valeur crête de l'excursion de fréquence instantanée (ou déviation crête), f = ω 2π la fréquence du signal modulant et Ω 0 = 2πF 0 la pulsation de la porteuse. L'expression (3.3) se développe en :

Les formules de Neuman donnent : sin(x sin r) = 2 + J 2n+1 (x) sin [(2n + 1)r] = 2J 1 (x) sin r + 2J 3 (x) sin 3r + cos(x sin r) = J 0 (x) + 2 + J 2n (x) cos(2nr) = J 0 (x) + 2J 2 (x) cos 2r + 2J 4 (x) cos 4r + n=1 Dans ces formules, J n (x) sont les fonctions de Bessel de première espèce d'ordre n. On obtient alors : { } J0 (m) sin Ω y(t) = a 0 t + 2J 1 (m) sin ωt cos Ω 0 t + 2J 2 (m) cos 2ωt sin Ω 0 t +2J 3 (m) sin 3ωt cos Ω 0 t + J 0 (m) sin Ω 0 t + J 1 (m)[sin(ω 0 + ω)t sin(ω 0 ω)t] y(t) = a +J 2 (m)[sin(ω 0 + 2ω)t + sin(ω 0 2ω)t] +J 3 (m)[sin(ω 0 + 3ω)t sin(ω 0 3ω)t] + Comme J n (x) = ( 1) n J n (x), on peut écrire : + y(t) = a J n (m) sin(ω 0 + nω)t (3.4) Ce résultat montre que, même dans le cas de la modulation sinusoïdale, le spectre théorique de l'onde modulée en fréquence se compose d'une raie de pulsation Ω 0 correspondant à la porteuse et d'une innité de raies latérales. En fait lorsque n augmente, l'amplitude des raies devient rapidement négligeable. La gure Fig. 3.13 montre le spectre d'une onde modulée en fréquence, et rend compte des particularités de phase qui apparaissent dans la formule (Eq. 3.4). 31 Figure 3.13 Spectre d'une onde modulée en fréquence Les g. 3.14 et 3.15 donnent les valeurs des fonctions de Bessel de première espèce J n en fonction de l'indice de modulation m. On voit que si l'indice est très faible (modulation peu profonde), on n'a pratiquement que la porteuse et un couple de raies latérales comme en modulation d'amplitude. On constate qu'à partir d'un certain rang n 0 dépendant de l'indice m, les amplitudes des raies latérales décroissent rapidement et deviennent négligeables. La largeur du spectre est donc limitée en pratique et fonction croissante de m. On détermine souvent la largeur de bande B nécessaire à la transmission du signal au moyen de la formule approchée suivante : B = 2( F + f) = 2(m + 1)f (3.5) 3.4.2.1 Cas d'une porteuse rectangulaire Il est souvent plus commode de générer un signal rectangulaire qu'un signal sinusoïdal. Le fondamental du signal rectangulaire est toujours en phase avec le signal lui-même, si bien que ce fondamental conserve la modulation de fréquence. Si la fréquence F 0 de la porteuse est très supérieure à la fréquence maximale du signal modulant, il sera facile d'éliminer par ltrage les composantes supplémentaires dues aux harmoniques de la porteuse. Inversement, on peut sans inconvénient faire subir à une onde quasi-sinusoïdale une déformation indépendante du temps sous réserve de l'élimination ultérieure des fréquences parasites produites. Cette propriété est mise à prot dans les limiteurs dont le rôle est de supprimer la modulation d'amplitude parasite sans modier la modulation angulaire.

32 Figure 3.14 Fonction de Bessel de 1ère espèce : graphes 3.4.3 Production d'oscillations modulées en fréquence On utilise la propriété énoncée au paragraphe précédent, c'est-à-dire que la porteuse est un signal rectangulaire. 3.4.3.1 Multivibrateurs modulables en fréquence Il est possible de fabriquer des montages astables dont la période dépend d'une tension ou d'un courant de commande. Ces dispositifs sont actuellement très utilisés car ils existent sous la forme de circuits intégrés. La Fig. 3.16a) montre un exemple d'oscillateur commandé par un courant. La caractéristique du trigger de Schmitt est représentée sur la Fig. 3.16c). Les tensions aux points N et S du montage de la Fig. 3.16a) sont représentées à la Fig. 3.16b). On montre facilement que l'on a : T # 2C I I 0 (V 2 V 1 ) F = 0. 2C(V 2 V 1 ) On voit que la fréquence des oscillations est proportionnelle au courant I 0. Le courant I 0 peut être obtenu à partir d'une tension au moyen d'un convertisseur tension-courant. Un oscillateur commandé par une tension est généralement désigné par l'abréviation V.C.O. (Voltage Controlled Oscillator). 3.4.4 Démodulation des ondes modulées en fréquence On n'étudie ici que les discriminateurs à déphasage dans lesquels on introduit entre deux signaux un déphasage dépendant de la fréquence. Il existe deux groupes de dispositifs de ce type : dans un cas, on additionne vectoriellement les deux signaux déphasés, puis on détecte l'enveloppe ; dans l'autre, on multiplie entre eux les deux signaux déphasés, puis on ltre les composantes indésirables. 3.4.5 Discriminateur de Foster-Seeley La g. 3.17 donne le schéma de principe du discriminateur.

V 0 est en phase avec la porteuse, V 1 est une tension déphasée de π/2 pour F = F 0 et de π/2 + Φ pour F F 0. Les tensions V 1 déphasées par rapport à V 0 sont obtenues au moyen d'un transformateur accordé à faible couplage magnétique. On obtient alors le schéma de la g. 3.18. Le point milieu du secondaire est une masse virtuelle pour les composantes BF, ce qui symétrise bien le circuit. L'étude du circuit peut s'eectuer de la manière suivante (Fig. 3.18b en posant, par 33 Figure 3.15 Fonction de Bessel de 1ère espèce : tableaux Lorsque F = F 0, on a : V 0 + V 1 = V0 V 1 VA = V B V AB = 0 ; Lorsque F F 0, on a : V 0 + V 1 V0 V 1 VAB 0.

34 Figure 3.16 a) oscillateur commandé en courant b) chronogramme c) trigger de Schmidt Figure 3.17 Schéma de principe du discriminateur simplicité, V 2 = 2V 1 par rapport à la Fig. 3.18a) : V 0 = jl 0 ωi 0 + jmωi 2 V 2 = jmωi ( 0 + jl 2 ωi ) 2 (3.6) I 2 = 1 R + jc 2 2ω V 2 Figure 3.18 a) Réalisation du discriminateur ; b) Schéma simplié

35 On en déduit de ce système V 2 V 0 = L 0 M + jω L 2L 0 M 1 ( ( 1 + jc R2 2ω) jmω 1 R + jc 2 2ω En introduisant le coecient de couplage k = M/ L 0 L 2, on obtient : ) (3.7) V 2 V 0 = k L 2 L 0 1 (1 k 2 )L 2 C 2 ω 2 + j L 2 R 2 ω(1 k 2 ) L'expression (3.8) est une fonction de transfert du deuxième ordre avec : 1 ω 0 = ; ξ = 1 (1 k 2 )L 2 (1 k 2 )L 2 C 2 2R 2 C 2 (3.8) Si k 2 << 1 (couplage faible), on a : ω 0 # 1 L2 C 2 ; ξ # 1 2R 2 L2 C 2 La courbe de réponse en phase du circuit est donnée Fig. 3.19a : Figure 3.19 a) réponse en phase ; b) courbe de discrimination Le déphasage de V 2 par rapport à V 0 varie presque linéairement autour de F 0 dans une plage de fréquence que l'on peut ajuster au moyen du facteur d'amortissement du secondaire. On obtient alors la courbe de discrimination du circuit de la Fig. 3.19b. Le discriminateur de Foster-Seeley est sensible à la modulation d'amplitude qui doit donc être préalablement éliminée. 3.4.6 Détecteur de quadrature Il s'agit encore de discriminateur à déphasage, mais la démodulation se fait d'une façon complètement diérente. 3.4.7 Détecteur de quadrature analogique Le schéma de principe est donné sur la g. 3.20. Le déphasage ϕ doit dépendre de la pulsation ω pour que la tension de sortie soit fonction de la pulsation ω à l'entrée. En particulier, si l'on utilise un déphaseur du deuxième ordre accordé sur la fréquence de la porteuse, ϕ prendra la valeur ±π/2 pour cette fréquence et le signal de sortie sera nul pour cette fréquence. 3.4.8 Détecteur de quadrature digital L'élément délicat du schéma précédent est le multiplieur analogique qui est relativement dicile à mettre au point. Aussi, il peut être avantageux de transformer les signaux quasi-sinusoïdaux en signaux carrés puis d'eectuer la multiplication au moyen d'un simple OU exclusif. Le schéma de principe est alors celui de la g. 3.21. La g. 3.22 donne les chronogrammes des signaux aux points A, B, M, N et P.

36 Figure 3.20 Principe du détecteur analogique Figure 3.21 Principe du détecteur numérique La valeur moyenne des signaux rectangulaires obtenus en P vaut : < V p >= 2 T t0 +T/2 t 0 V p (t)dt = 2E T ( 2ϕ ω T ) ( ) 2ϕ = E 2 π 1. Cette valeur moyenne peut être obtenue par ltrage. On obtient alors la caractéristique de discrimination de la Fig. 3.23. Ce dicriminateur est insensible à une éventuelle modulation d'amplitude puisqu'il comporte une mise en forme préalable.

37 Figure 3.22 Chronogrammes des signaux Figure 3.23 Caractéristiques du discriminateur

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Deuxième partie TRAVAUX PRATIQUES

L'objectif de cette 1ère partie du TP est de tester les performances et les limites d'une analyse spectrale numérique par FFT pour comprendre l'inuence des principaux paramètres d'analyse. On fournit 4 fonctions matlab (qui peuvent être appelées dans un programme principal) : sinus.m : génération d'un signal sinusoïdal carre.m : génération d'un signal carré spectre.m : calcul du spectre d'un signal (par FFT) apod.m : génération d'une fenêtre de pondération temporelle à appliquer sur un signal et 5 programmes exécutables (taper simplement le nom du pgm dans la fenêtre de commande Matlab pour l'exécuter, ou utiliser la èche verte Run) tfd1.m : étude générique (avec menu de choix des paramètres) tfd0.m : étude de l'écrêtage d'un signal (avec menu de choix des paramètres) tfd3.m : étude des fenêtres de pondération temporelle (avec menu de choix des paramètres : Hanning, Hamming, Blackman, etc.) tfd2.m : démo illustration de signaux carrés (signaux CAR1 et CAR2) tfd4.m : démo illustration de l'inuence de Fe et Ne (signaux SIN3 et SIN4) tfd5.m : démo illustration du zéro padding (ajout d'échantillons nuls à la n du signal) On testera diérents signaux (dont ceux qui sont proposés dans l'énoncé à la section 8.2) et on commentera les spectres obtenus en fonction des conditions choisies (copie d'écran des signaux et spectres utiles). NB : on pourra éditer les chiers pour se familiariser avec la syntaxe Matlab, et éventuellement écrire son propre programme à partir des exemples et des fonctions fournies. Chapitre 4 TP1 - SIMULATION (Matlab) 4.1 Introduction Le TP se déroule en 2 temps : une première partie sur l'analyse spectrale, une deuxième partie sur la conception de ltre numérique. Le compte-rendu du TP est à rendre en n de séance. Tous les chiers Matlab sont stockés sur le réseau (webcampus de l'université, Cours LicProEI, UE.4, Module TS). Le programme d'initiation LPEI_TP1.M illustre ce qu'on peut faire : il est conseillé de l'exécuter et l'éditer au début pour découvrir l'objet du TP. 4.1.1 Rappels préliminaires Pour tout signal réel, le spectre est symétrique (même énergie du côté des fréquences négatives) => on n'observe le spectre que pour les fréquences positives. Pour tout signal échantillonné (période T e ), le spectre est périodisé tous les F e. Le DSF d'un signal carré est du type (harmoniques impairs décroissant en 1/x) : s(t) = 4A π + n=0 sin [(2n + 1) ω 0 t] 2n + 1 4.2 Analyse spectrale par TFD (FFT)

42 La g. 4.1 illustre les sorties graphiques des programmes. Figure 4.1 Analyse spectrale : a) signal échantillonné b) spectre obtenu. 4.3 Conception de ltre numérique par TZ L'objectif de cette 2ème partie du TP est d'apprendre à concevoir un ltre numérique à partir du choix des pôles et zéros de la fonction de transfert en Z : H(z). On étudiera l'inuence de la présence et de la position des pôles et zéros dans le plan complexe (stabilité, amortissement, résonance, antirésonance, etc.) Pour terminer, on essaiera de concevoir un ltre passe-bande de bande passante [500Hz; 1500Hz] avec des pentes assez raides aux coupures et pas trop d'ondulations dans la bande passante, ni de surtensions lors des transitions aux coupures. Le programme fourni POLZERO.M permet de concevoir et simuler un ltre numérique à partir de sa fonction de transfert. La Fig. 4.2 donne un exemple des sorties graphiques fournies par le programme. Figure 4.2 Filtre numérique : a) position des pôles et zéros ; b) courbes de Bode ; c) réponse impulsionnelle.

2. Mesurer l'amplitude des 3 raies présentes et comparer à la théorie. 3. Changer les paramètres des signaux (fréquence, amplitude, taux de modulation) et commenter les résultats sur le signal et sur le spectre. 4. Se mettre en sur-modulation et commenter le résultat. 5. Changer de type de signal modulant (signal carré, en dents de scie ou triangulaire) et observer les modications correspondantes sur les spectres. Mesurer les amplitudes et fréquences des raies présentes. Chapitre 5 TP2 - MODULATION (et Analyseurs) 5.1 Modulation d'amplitude NB : Pour la théorie : voir la section 3.1 5.1.1 Manipulation 1. Générer un signal modulé en amplitude (porteuse f p = 500kHz, signal BF modulant sinusoïdal f m = 20kHz. Visualiser à l'oscilloscope le signal modulé puis son spectre (bouton gris MATH : opération FFT de l'oscillo). Faire les copies d'écran. NB : on déclenchera l'oscilloscope sur TRIG EXT par la sortie arrière MOD OUT du générateur (qui fournit le signal modulant). On observera en synchronisme les 2 signaux : modulant et modulé. Mode opératoire du générateur : appuyer sur touche AM puis sur MENU plusieurs fois, puis AM pour sortir. Mode opératoire de l'oscilloscope : pour faire des copies d'écran via le PC, utiliser l'icône OpenChoice Desktop. pour voir le spectre numérique (calcul FFT sur 2048 points) : bouton gris MATH MENU > FFT > choix : fenêtre (rectangle, Hanning, at-top) ; zoom ( 1, 2, 5 ou 10) ; VOLTS/DIV pour amplitude en db ; HORIZ POS pour décaler fréquence centrale ; SEC/DIV pour modier résolution fréquentielle (et Fe) Fig. 5.1 Figure 5.1 Signal modulant sinusoïdal, modulé AM et spectres comparatifs

44 Figure 5.2 Comparaison de spectres pour signal modulant carré Connaissant les DSF de ces signaux, interpréter les résultats. 5.2 Comparaison d'analyseur de spectre : analogique vs. numérique Dans cette partie, on va comparer les performances d'un analyseur de spectre analogique avec un analyseur de spectre numérique à FFT, qui sont basés sur deux principes très diérents : ltrage analogique passe-bande très étroit d'une part, échantillonnage et calcul numérique d'autre part. On étudiera pour ce faire des signaux AM bien choisis (fréquence porteuse grande 2MHz ou petite 100kHZ, signal modulant sinusoïdal ou carré, fréquence modulante 20kHz ou 5kHz etc.) Mode opératoire de l'analyseur de spectres analogique FI8010 : -lancer le programme de communication GWGSP810Try -le bouton SHUTTER permet ensuite une copie d'écran au format JPEG. -principaux réglages : boutons CENTER (fréq. centrale), SPAN (excursion en fréquence), RBW (largeur de bande du ltre d'analyse), REF LEVEL pour l'amplitude. NB : On prendra par défaut au début : f p = 2MHz, f m = 20kHz. 1. Mettre en évidence le repliement de spectre sur le Tektro. On indiquera les conditions dans lesquelles on se place pour cela. Expliquer. 2. Inuence des fenêtres de pondération sur la FFT (utiliser les marqueurs pour des mesures précises)? 3. Comparer les limites de bande passante des 2 appareils. 4. Comparer les limites de résolution fréquentielle des 2 appareils. 5. Conclusion : lister les avantages et inconvénients des 2 analyseurs de spectre. 5.3 Analyse spectrale d'une onde modulée en fréquence NB : pour la théorie, voir la section 3.4. 5.3.1 Manipulation Par défaut, on prendra une porteuse sinusoïdale : f p = 200kHz et A p = 5V pp et on utilisera l'analyseur à FFT. 1. Eectuer une modulation de fréquence avec un signal modulant sinusoïdal de fréquence f = 5kHz et de déviation crête F = 5kHz. Calculer m. Visualiser le spectre initial. Mesurer les raies et comparer à la théorie (cf. amplitude des fonctions de Bessel). 2. Augmenter l'amplitude de la déviation F. Commenter l'évolution du spectre.

La Fig. 5.5a) montre la face avant de l'analyseur et la Fig. 5.5b) illustre un écran type. La Fig. 5.6 fournit ses caractéristiques techniques. 3. Etude spectrale pour f = 5kHz et m = 3 : Ajuster la tension modulatrice (c-à-d la déviation) pour se mettre dans la condition requise. On rappelle que m = F f, où f est la fréquence de modulation, et F la déviation de la porteuse. Visualiser le spectre obtenu (en indiquant la valeur de la déviation). Mesurer la fréquence et l'amplitude des raies principales. Comparer avec les spectres théoriques : nombre de raies signicatives? Amplitude de celles-ci? Largeur du spectre? Comparer avec la formule approchée (Eq. 3.5). 4. Spectre pour f = 10kHz et m = 1.5 puis m = 2 : même étude que ci-dessus. Amplitude des raies? Largeur des spectres? 5. Conclusion : comparer AM et FM (notamment pour l'encombrement spectral). 45 Figure 5.3 Spectres de modulation FM : a) FFT m = 1 b)analogique m = 1 c) FFT m = 3 5.4 Annexe technique 5.4.1 Analyseur de spectre analogique FI8010 La Fig. 5.4 donne le principe. Figure 5.4 Principe d'un analyseur de spectre analogique

46 Figure 5.5 Analyseur FI8010 : a) face avant de l'appareil ; b) vue d'écran 5.4.2 Analyseur de spectre numérique Tektro TDS210 Risque de repliement de spectre (Fig. 5.7). La Fig. 5.8 montre les spectres de diérentes fenêtres.

Figure 5.6 Caractéristiques techniques du FI8010 47

48 Figure 5.7 a) Ecran Oscillo FFT ; b) Repliement de spectre Figure 5.8 Caractéristiques fréquentielles des fenêtres de pondération

On utilisera pour commencer le V.I. TP_TSlpei1.vi. Ensuite on pourra compléter ou modier le programme et le sauvegarder dans un autre chier. Plusieurs chiers de sons.wav sont mis à Chapitre 6 TP3 - FILTRAGE (LabVIEW) 6.1 Filtrage de signaux N.B. Le TP dure 3 heures et comporte trois parties. On rendra un compte-rendu (version papier ou électronique) en n de séance. On utilisera au départ le V.I. TP_TSlpei0.vi disponible dans le répertoire réseau (Fig. 6.1) : /docgim/doccours/2a_eea/deluthon. Figure 6.1 VI TP_TSlpei0.vi 1. Prendre en main le programme en traitant un signal sinusoïdal de fréquence f et d'amplitude A à choisir. Tester un ltre passe-bas de coupure f c à choisir et interpréter les spectres. On joindra au compte-rendu toute impression d'écran utile. On donnera tout paramètre utile à l'interprétation, p.ex. F e, N e, f c f, A etc. 2. Tester un autre signal (non sinusoïdal) de votre choix (carré, triangle ou DDS) et choisir un ltre pour extraire uniquement la fréquence fondamentale, ou bien l'harmonique 3. Commenter le résultat sur le signal ltré, et sur les spectres. 3. Essayer diverses fenêtres de pondération (Hanning, Hamming, Blackman etc.). Mesurer précisément les amplitudes et comparer la qualité des mesures par rapport à la théorie donnée par l'expression des DSF de ces signaux. 4. Essayer divers ltres et divers paramétrages de ces ltres. 5. Ecouter diverses fréquences pures : 300Hz, 1kHz, 3kHz etc. 6.2 Filtrage de signal audio

50 disposition pour tester divers cas (voix d'homme, femme, cri de bébé, piano, guitare...) Précaution : baisser le volume sonore du PC avnt de connecter le casque-micro en face avant. 1. Rappeler quelle est la bande passante des signaux audio (norme téléphonique, norme HiFi?) 2. Rappeler ce que stipule le théorème de Shannon. Choisir alors F e. 3. Filtrer le signal pour obtenir un son plus grave, plus aigü (ltre passe-bas, passe-haut). Zoomer sur le signal et le spectre et commenter les diérences. Mesurer les fréquences principales et leur amplitiude. 4. Implanter un ltre passe-bande pour sélectionner une fréquence particulière. Tester : on indiquera le chier de son choisi et les paramètres du ltre. 6.3 Traitement d'un enregistrement 1. En s'inspirant du programme précédent et en utilisant le VI-Express d'entrée de signal sonore Acquérir un son, écrire un programme qui permet de : s'enregistrer, ltrer sa voix, acher signaux et spectres correspondants et jouer le son avant et après ltrage. 2. On joindra au compte-rendu le VI réalisé (diagramme et face-avant). 3. On indiquera tout le paramétrage sélectionné (avec justications) 4. En utilisant le VI de ltrage RII, programmer un ltre passe-bas du second ordre, avec un paramétrage réglable de l'amortissement ζ et de la fréquecne de coupure f c. Pour ce faire, on donnera d'abord les équations qui régissent les coecients du ltre (en prenant p.ex. l'approximation bilinéaire). 5. On donnera les valeurs de coecients du ltre numérique utilisé et sa fonction de transfert H(z). 6. On précisera dans quelle bande de fréquence se situe la voix (dire la phrase prononcée). 6.4 Conclusion sur le TP Bilan de ce que vous avez appris à l'occasion de ce TP.

Chapitre 7 TP4 - FILTRES ACTIFS : TP LaboREM à distance Ce TP se fera à distance via internet : il permet de caractériser des ltres actifs à base d'amplicateurs opérationnels, en pilotant la manipulation à distance (avec retour vidéo, bras de robot manipulateur pour le placement, commande des instruments : générateur, oscilloscope etc.) Un compte-rendu de TP devra être déposé en ligne sur le webcampus de l'université. Le travail collaboratif est possible (forum, tchat etc.). Il faudra aussi répondre à des quizz, diverses enquêtes et l'on peut participer à un Top10 (caractère ludique de l'application).

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Chapitre 8 TRAVAUX PRATIQUES (Compléments Matlab) 8.1 Introduction à Matlab 8.1.1 Principales caractéristiques Matlab est un environnement logiciel de calcul et visualisation scientique : Matlab (pour Matrix Laboratory) repose sur un langage interprété. La programmation est aisée car la syntaxe du langage est proche de l'écriture mathématique. La donnée de base est la matrice ou tableau (vecteur ou scalaire étant des cas particuliers). La dimension des données n'a pas besoin d'être spéciée (ni leur type). L'interactivité de Matlab permet de programmer et simuler plus vite qu'en C ou Fortran. Matlab est couramment utilisé dans la recherche et l'industrie. Les inconvénients éventuels sont la lenteur d'exécution et le coût en mémoire. Matlab est fourni avec des Toolboxes (boîtes à outils) dédiées à des applications spéciques : Ce sont des bibliothèques de fonctions (chiers ASCII d'extension.m) Symbolic Math : calcul symbolique (intégrale, équation diérentielle) Signal Processing : traitement de signal (ltrage, analyse spectrale) System Identication et Control System : automatique (identication, correcteur) Image Processing : traitement d'image Le système interactif MATLAB comporte 5 parties : Environnement de développement (fenêtres de commandes) Bibliothèque de fonctions mathématiques (algèbre, trigonométrie, transformées) Langage (contrôles de ux, fonctions, structures) Commandes graphiques (visualisation 2-D et 3-D) API de communication avec le C et le Fortran 8.1.2 Environnement de travail 8.1.2.1 Session MATLAB licence PC sous Windows (jetons) double-cliquer sur l'îcone MATLAB pour lancer une session fenêtre de commande : pour saisir des variables, écrire des instructions, lancer des programmes (après le prompt () de l'interpréteur Matlab), et voir des résultats en mode texte fenêtre d'éditeur : pour écrire des chiers.m fenêtre graphique (Figure) : pour visualiser des courbes répertoire de travail par défaut : work (modiable dans startup.m) 8.1.2.2 Contrôle de session CTRL C : interruption de programme

54 exit/quit : n de session : rappel de commande précédente! : redonner la main au système d'exploitation help <nom de fonction> : aide en ligne (très utile!) who/whos : liste des variables en mémoire clear : libération de la mémoire vive (très utile!) clc : eace la fenêtre de commande. 8.1.3 Langage de programmation 8.1.3.1 Principe de la syntaxe MATLAB est un langage d'expression, i.e. interprété (pas de compilation nécessaire). Il interprète et évalue en ligne les instructions tapées au clavier. Une instruction peut être : tapée directement dans la fenêtre de commande pour exécution en ligne. insérée dans un programme exécutable (chier.m) insérée dans une fonction externe (chier.m) Une instruction est constituée de variables, nombres, opérateurs et fonctions. Elle est de la forme : variable=expression; ou simplement : expression; Séparateurs : une instruction se termine par un point-virgule ( ;) sauf si l'on veut voir à l'écran tous les calculs intermédiaires auquel cas on utilise à la place le simple retour chariot (<RET>) ou la virgule (,). % : séparateur qui annonce un commentaire dans un chier MATLAB. 8.1.3.2 Exemples d'instructions formation d'un vecteur-ligne t contenant des instants d'échantillonnage espacés d'une période T e : t=0:te:t; %vecteur-temps échantillonné extraction des n premiers échantillons : t(1:n); génération d'un vecteur x contenant les échantillons d'une sinusoïde : x=a*sin(2*pi*f*t); A, π, f étant des scalaires, x récupère la dimension de t (aucune déclaration de type ou de dimension n'est nécessaire). transposition pour former le vecteur colonne correspondant : y=x'; formation d'une matrice M de taille 3 3 : M=[a11 a12 a13 ; a21 a22 a23 ; a31 a32 a33]; extraction du premier coecient de la matrice : coeff1=m(1,1); 8.1.3.3 Opérateurs et constantes + - * / ^ '.*./.^.' == ~= > < <= >= pi i j Inf NaN

55 8.1.3.4 Contrôle de ux de données for : répétition d'instuctions un certain nombre de fois. Syntaxe : for variable=scalaire1:scalaire2 instruction; end if : exécution conditionnelle d'instructions. Syntaxe : if expression1 instruction1; elseif expression2 instruction2; end où expression1 et 2 utilisent les tests d'égalité, diérence ou inégalité. while : répétition d'instructions un nombre indéni de fois. Autres instructions conditionnelles classiques : switch, continue, break 8.1.3.5 Création d'une fonction externe L'instruction function sert à dénir une nouvelle fonction externe qui étend ainsi le vocabulaire de Matlab. Les instructions constituant la fonction sont écrites dans un chier d'extension.m et de même nom que la fonction. La première ligne du chier contient la dénition de la syntaxe de la fonction. Par exemple dans un chier newfun.m, la 1ère ligne : function [out1, out2] = newfun(in1) dénit une nouvelle fonction appelée newfun qui calcule à partir d'une matrice d'entrée in1, deux matrices de sortie out1 et out2. L'appel à cette nouvelle fonction dans un autre programme se fait par : [z,y] = newfun(x); 8.1.4 Bibliothèque de fonctions 8.1.4.1 Fonctions graphiques axis : pour spécier les limites des axes d'une gure. gure : ouvre une nouvelle fenêtre graphique (Figures No. 2, 3, etc...) qui devient la fenêtre graphique courante. On peut spécier le numéro de la fenêtre : gure(1). grid : ajoute un quadrillage en pointillé sur une gure. hold on/o : maintien ou non du tracé précédent dans la fenêtre graphique (pour superposer des courbes). plot : tracé de courbes dans la fenêtre de visualisation. Syntaxe : plot(x, y, 'type', x1,y1,'type1',...); où x est le vecteur des abscisses (facultatif), y le vecteur des ordonnées, 'type' le type ou la couleur du trait (facultatif). On peut spécier en option l'échelle des axes, les légendes, la grille de façon très souple. print : impression de la gure sur l'imprimante : print -ddeskjet ou -dlaserjet impression de la gure dans le presse-papier : print -dmeta ou -dbitmap impression de la gure dans un chier Postscript : print nom_fich -deps subplot(m,n,p) : division d'une Figure en m x n rectangles et tracé dans le p-ième rectangle. title : ajoute un titre sur une gure. xlabel, ylabel : ajoute une légende sur l'axe horizontal (resp. vertical) d'une gure. zoom on/o/out : pour dilater une courbe à l'aide des boutons de la souris.

56 8.1.4.2 Interaction utilisateur disp : achage de texte ou matrices dans la fenêtre de commande. Intérêt : commentaires à l'exécution. echo on/o : contrôle l'achage à l'écran des commandes des chiers d'extension.m lors de leur exécution. Intérêt : pour debugger ou pour un programme de démonstration. input : après l'achage d'un message, attente d'une entrée au clavier avec retour chariot. Syntaxe : x = input('message','s'); où x récupère la valeur ou la chaîne de caractères entrée au clavier. On rajoute 's' dans le cas où l'entrée au clavier est une chaîne de caractères (string). isempty(x) : retourne 1 si l'élément est vide, 0 sinon. Utile pour spécier une valeur par défaut lors d'une entrée au clavier avec input. pause : arrêt temporaire de l'exécution jusqu'à la frappe d'une touche quelconque au clavier. Cela permet de s'arrêter pour voir à l'écran un graphique. 8.1.4.3 Interaction chiers externes Transfert matrice <-> chier ASCII : load/save Entrée/sortie chier : fopen, fclose, fread, fwrite, fseek, fprintf... Accès image externe : imread, imwrite... 8.1.4.4 Manipulation de matrices length(x) où x est un vecteur : donne la dimension d'un vecteur. [m n]=size(a) : récupère les dimensions m et n d'une matrice donnée A. min(x) : recherche du minimum du vecteur x. 8.1.4.5 Fonctions mathématiques abs : valeur absolue (resp. module) des éléments d'une matrice réelle (resp. complexe). log(x), log10(x) : logarithme népérien ou à base 10 des éléments de x. autres fonctions de base : sqrt, exp... 8.1.4.6 Signaux de base randn : génère un bruit aléatoire normal de moyenne nulle et de variance 1. Syntaxe : randn(size(a)) pour avoir un vecteur de nombres aléatoires de même taille que A. y=sin(x) : fonction sinus (qui opère élément par élément dans le cas d'une matrice). où x est un scalaire, un vecteur ou une matrice. y recupère la même dimension que x. square(t,duty) : génère un signal carré de rapport cyclique variable (fait partie du toolbox Signal Processing) où t est le vecteur-temps et duty le rapport cyclique exprimé en % de la période où le signal est positif (par défaut : duty=50 %). 8.2 TP - Transformée de Fourier 8.2.1 Rappels Dénition : T F [f(t)] = F (ν) = + N.B. En prenant f(t) causale et p = iω = i2πν, alors on a : TF=TL Convolution : T F [f 1 (t) f 2 (t)] = F 1 (ν).f 2 (ν) Translation : T F [f(t t 0 )] = exp ( i2πνt 0 )F (ν) Modulation : T F [exp (i2πν 0 t)f(t)] = F (ν ν 0 ) f(t) exp ( i2πνt)dt (8.1)

57 Peigne de Dirac (Formule de Poisson) : T F [ + n= δ(t n)] = 8.2.2 TF Discrète : Analyse spectrale + n= exp ( i2πνn) = + n= La TFD est fréquemment utilisée pour l'analyse spectrale des signaux numériques. On fournit trois fonctions : sinus, carre, spectre et un programme : tfd0. Help : t, abs, square, log10 δ(ν n) (8.2) 8.2.2.1 Etude du théorème de Shannon 1. Générer le signal SIN1 ; calculer son spectre échantillonné avec une fenêtre rectangulaire (Porte) de longueur 1024 points ; tracer le spectre en db sur [0; F e /2]. 2. Idem pour SIN2. 3. Comparer et interpréter par rapport à la théorie. 4. Tracer le spectre échantillonné du signal CAR3. Calculer la décroissance des harmoniques. Interpréter en se reportant à la décomposition en série de Fourier d'un signal carré. 5. idem pour les signaux CAR1 et CAR2. Interpréter. 8.2.2.2 Inuence de la troncature temporelle Calculer la TFDT (obtenue par FFT avec zero-padding sur 1024 points qui donne une approximation ne du spectre continu) du signal SIN1 pour une fenêtre temporelle Rectangulaire de 128 points puis 64 points. Etudier le spectre de SOM1. Quels commentaires peut-on faire à propos de la résolution fréquentielle (c'est-à-dire la capacité à distinguer deux signaux de fréquences proches) et de la résolution dynamique (c'est-à-dire la capacité à distinguer deux signaux d'amplitudes très diérentes) de la fenêtre rectangulaire? 8.2.2.3 Etude de l'écrêtage Le programme tfd0 permet d'étudier l'inuence spectrale de l'écrêtage d'un signal en choisissant un seuil s. Générer un signal sinusoïdal tel que : A = 1, f = 10Hz, T = 1s, F e = 200Hz, s = 0.3. Interpréter le spectre obtenu en comparant au spectre de la sinsuoïde pure. 8.2.3 Annexes 8.2.3.1 Signaux tests Table 8.1 Signaux tests Nom Type de signal Durée Fe Fréq. 1 Amplitude 1 Fréq. 2 Amplitude 2 unité (s) (Hz) (Hz) (Hz) SIN1 sinusoïdal 7 256 100 1 - - SIN2 sinusoïdal 7 160 100 1 - - CAR1 carré 1 1408 128 1 - - CAR2 carré 1 1024 88 1 - - CAR3 carré 1 5000 100 1 - - SOM1 somme 1 256 100 1 104 1

z 1 est l'opérateur retard. La fonction de transfert d'un ltre numérique est dénie par une fraction rationnelle en z 1. 58 8.2.3.2 Fonctions internes t : calcul de la transfomée de Fourier discrète (TFD) avec l'algorithme rapide de FFT (Fast Fourier Transform) si le nombre de points est une puissance de 2. Sinon, le calcul utilise un algorithme plus lent de DFT (Discrete Fourier Transform). C'est pourquoi on a intérêt à choisir un nombre N de points qui est une puissance de 2. Syntaxe : z=fft(x,n); où x est le vecteur contenant les échantillons du signal, N le nombre de points sur lequel on veut calculer la FFT et z est le vecteur de sortie (a priori complexe) récupérant les échantillons de la TFD. Signalons que N n'est pas nécessairement égal au nombre d'échantillons du signal. Si N est supérieur au nombre d'échantillons de signal disponibles, le calcul de la TFD se fait après l'ajout automatique du nombre nécessaire d'échantillons nuls en queue de signal pour compléter les échantillons manquant et obtenir au total N points. Cet artice de calcul, qui s'appelle zeropadding, est intéressant pour avoir un spectre discret (TFD) (évidemment, puisqu'on travaille sur ordinateur!) qui est une approximation très ne du spectre continu (TFDT). Typiquement, on prend N = 1024. Cela rajoute sur le spectre échantillonné d'origine des points intermédiaires qui réalisent une interpolation en sinus cardinal (donc exacte) entre les points originels, au lieu de l'interpolation linéaire (donc fausse) faite par l' il. On améliore ainsi la visualisation du spectre, mais cela n'ajoute évidemment pas d'information utile d'un point de vue mathématique. abs : calcul de la valeur absolue (resp. du module) des éléments d'une matrice réelle (resp. complexe). Par exemple, si l'on veut le spectre Sxx du signal x, on prend le module au carré de sa TFD z : Sxx = abs(z).^2; 8.2.3.3 Fonctions externes sinus : génération d'une sinusoïde. Syntaxe : [x,t] = sinus(fe,t,f,a) Cette fonction requiert 4 paramètres d'entrée : la fréquence d'échantillonnage F e, la durée T (en secondes), la fréquence f et l'amplitude A. Elle donne en sortie 2 vecteurs de même dimension : x contient les échantillons du signal sinusoïdal et t contient les instants d'échantillonnage. carre : génération d'un signal carré. Syntaxe identique à sinus. spectre : calcul d'un spectre. Syntaxe : [Sxx,freq]=spectre(Fe,x,N,dB) Cette fonction requiert 4 paramètres d'entrée : la fréquence d'échantillonnage F e, le vecteur des échantillons du signal x, le nombre de points de calcul N et une chaîne de caractères db (n/o) qui spécie l'échelle désirée (linéaire ou en db). Elle donne en sortie 2 vecteurs de dimension N : Sxx contient les échantillons du spectre et freq contient les fréquences discrètes correspondantes (de 0 à F e ). 8.3 TP - Transformée en Z 8.3.1 Rappel sommaire La TZ est l'équivalent de la TL pour des signaux échantillonnés : x(t) = x(kt e ) = x(k) = x k. Elle s'obtient à partir de la TL par changement de variable complexe : z = exp (pt e ). Elle est dénie par : F (z) = + k=0 f(k)z k (8.3)

59 8.3.2 Synthèse de Filtre RII On s'intéresse à un ltre numérique dont la fonction de transfert est du type : H(z) = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z 2 a 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 (8.4) On peut le caractériser par ses pôles p i = r i e iθ i et zéros zj = r j e iθ j, ceci à une constante multiplicative près (facteur de gain qu'on prendra par défaut égal à : k = 1). On supposera que la fréquence d'échantillonnage vaut : F e = 10kHz. Pour chacun des systèmes ci-dessous, on tracera : le position des pôles et zéros dans le plan complexe (help : pzmap, zgrid, conj) la fonction de transfert (help : zp2tf, freqz) la réponse impulsionnelle sur 256 points (help : lter, zeros) 1. Système avec 2 pôles complexes conjugués : r i = 0.99 et θ i = ±10. 2. idem pour r i = 0.99 et θ i = ±30. Commenter l'inuence de θ i. 3. idem pour r i =.96 et θ i = ±10. Commenter l'inuence de r i. 4. idem pour r i = 1 et θ i = ±10. Commenter la réponse impulsionnelle. 5. idem pour r i = 1.01 et θ i = ±10. Commenter la réponse impulsionnelle. 6. Ajouter au système 1) une paire de zéros : r j = 0.99 et θ j = ±30. Commenter l'inuence des zéros. 7. Ecrire l'équation aux diérences qui régit le système (expression de l'échantillon de sortie en fonction des échantillons d'entrée et de sortie précédents). 8.3.3 Annexe théorique pour le TP TZ Cas d'une paire de pôles complexes conjugués : H(z) = H(z) = H(z) = A + A z p 0 z p = Az 1 0 1 p 0 z 1 + A z 1 1 p (8.5) 0 z 1 b 1 z 1 + b 2 z 2 a 0 + a 1 z 1 + a 2 z avec : 2 b 1 = 2R[A] et : b 2 = 2R[Ap 0] (8.6) [ ] Ap n 0 z n + A p n 0 z n z 1 (8.7) n=0 h(n) = h 0 (n 1) (8.8) h 0 (n) = Ap n 0 + A p n 0 = 2R[Ap n 0 ] pour : n 0 (8.9) Si l'on pose : p 0 = r exp(jθ) et A = a exp(jφ), il vient : Correspondant au système analogique : h 0 (n) = 2a.r n cos[nθ + φ] (8.10) h(n) = 2a.r n 1 cos[(n 1)θ + φ] pour : n 1 (8.11) h 0 (t) = 2a.r t/te cos[ θ T e t + φ] (8.12) H 0 (p) = 1 1 + 2 ζ ω p + (8.13) 1 2 p 2

60 Et les relations entre paramètres analogiques et numériques : ω p = θ T e (8.14) exp( ζω n t) = r t/te ζω n = Log(r) (8.15) T e 1 Q = 2ζ (8.16) 1 ζ 2 ω r = ω n 1 2ζ 2 (8.17) ω p = ω n 1 ζ 2 (8.18)

Troisième partie LaboREM : TP à distance

Chapitre 9 Rappels des Prérequis : Filtres Passifs et AOP 9.1 Prérequis et Objectifs du TP Les prérequis du module ENA1 sont donnés dans le Tab. 9.1 et les objectifs du module sont donnés dans le Tab. 9.2. Dans ce cours en ligne, vous allez faire un TP distant sur les Filtres Actifs, qui sont l'aboutissement du module ENA1 : cela signie la maîtrise de notions de base en traitement du signal (ltrage) en d'électronique analogique (AOP). Table 9.1 Prérequis Module MATH ELEC1 ELEC2 ENA2 Domaine Complexes Loi d'ohm Réponse fréq diode fréquentiel Trigonométrie (R,L,C) des ltres TBJ- TEC intégration Bode Ampli Domaine dérivation Transitoire impéd Z puissance temporel EDLCC 1er ordre RC Circuit passif Filtrage Signaux : τ passe-bas redresst période T échelon sinusoïde circuit actif fréq f = 1/T e x Vmoy adapt Z puls. ω = 2πf e x Ve rendement phase Φ ζ, ω c = 1/τ distorsion 2eO RLC saturation Systèmes Signaux Circuits Filtres Composants Périodic Linéaires Linéaire Non linéaire 9.2 Vérication des Acquis (30mn) 9.2.1 Filtre RC et RLC (cf. QCM) K Un ltre RC est caractérisé par [8, 9] : sa fonction de transfert : 1+τp (où la variable symbolique p vaut p = jω ) et sa réponse indicielle à un échelon d'entrée : s(t) = A[1 exp ( t/τ)]. Un ltre RLC K série est caractérisé par :. 1+2ζτp+τ 2 p 2 1. Pour le ltre RC, que vaut τ? 2. Quel est le lien avec la réponse harmonique (écrire la fonction de transfert complexe en jω)? 3. Quel est le type du ltre (passe-haut, bas)? Est-ce du type Dérivateur, Intégrateur? 4. Que valent ω c, G 0, et la pente?

64 F.LUTHON,2014 Table 9.2 Objectifs ENA1 : AOP Contre-réaction application savoir faire théorie Quadripôles théorie Filtre actif mesure mise en uvre grand principe Oscillateur dépannage montage classique CR>0, CR<0 Régulateur appareils AOP idéal améliorations montages AOP test circuit Z, BP, stabil (4TP) FILTRE Connaître/concevoir Caract Caract Spécif Actif ACTIF : 5 ltres fréquentielle temporelle limites NL satur quoi PH,PB,PBd,CB,Déph tracé FT Bode eets Adaptation Z pourquoi rappel : 2eO P.bas ζ mesure Q, BP, signal sortie transfert Puiss ω r, pente, G 0 APPLI élimine 50Hz, bruit HF extraire élimine harmonic signal audio Filtre Compens Q = ω R ω résolution modulation (BE) Test/mesure Correcteurs Ana.Spectral Distorsion ltre parole 5. Tracer l'allure de la fct de transfert (Gain et phase) et la réponse indicielle 6. Pour le ltre RLC, que valent ζ et ω 0? Allure des courbes de Bode et indicielle? 7. Placer les pulsations ω c, ω r sur la courbe de gain, ω 0 sur la courbe de phase, et ω p sur le réponse indicielle. 9.2.2 AOP idéal (cf. QCM) 9.3 Rappels : Passe-bas, Passe-haut, Passe-Bande On rappelle ici les expressions des réponses harmoniques (forme canonique) des systèmes du 2ème ordre : PB, PBd, PH 1 ) ) 2 ; 1 + 2ζ (j ω + (j ω ω0 ω0 ) 2ζ (j ω ω0 ) ) 2 ; 1 + 2ζ (j ω + (j ω 1 + 2ζ ω0 ω0 (j ω ω0 ) 2 ) ) 2 (j ω + (j ω ω0 ω0 Réjecteur, Déphaseur ) 2 1 + (j ω ω0 ) ) 2 ; 1 + 2ζ (j ω + (j ω ω0 ω0 ) 1 2ζ (j ω ω0 1 + 2ζ (j ω ω0 ) + ) 2 + (j ω ω0 ) 2 (j ω ω0 Rappel des ltres du 1er ordre : PBas, PH et Réjecteur (on pose pour simplier : x = ω ω 0 1 1 + jx ; jx 1 + jx ; 1 jx 1 + jx 9.4 Annexe 1 : Courbes Canoniques du 2eme Ordre Voir courbes de Bode : gain et phase en fonction de la fréquence, Fig. 9.1.

F.LUTHON,2014 65 Figure 9.1 Courbes de Bode d'un système du 2e ordre canonique : a) Gain ; b) Phase. (où w n dénote la pulsation propre du système et z le coecient d'amortissement).

66 F.LUTHON,2014

Sallen-Key 4Y : un ltre de Sallen-Key passe-bande est représenté Fig. 10.2. Chapitre 10 CM - Théorie des ltres actifs 10.1 Principe Un ltre actif d'ordre 2 est basé sur un AOP idéal et le choix de 2 quadripôles Q1 et Q2 faits de R et C uniquement. Alimenté en tension (±V CC ), l'aop fonctionne en mode linéaire (donc avec un rebouclage de la sortie sur l'entrée ). Il permet ainsi, comme un ltre LC résonnant, une amplication de l'entrée et une réponse pointue, mais sans usage de L. Ceci est souhaitable car une bobine a des défauts notables : encombrante, chère, non idéale (résistance série, capacité distribuée dans le bobinage), non-linéaire, sensible à l'induction magnétique. Un autre avantage essentiel résulte de la grande impédance d'entrée de l'aop, qui permet de solutionner les problèmes de l'adaptation d'impédance. Une limitation du fonctionnement linéaire résulte des saturations haute et basse liées aux tensions d'alimentation. Un ltre actif d'ordre 2n s'obtient en cascadant n ltres d'ordre 2. 10.2 Notion de Gabarit Un ltre est caractérisé par son gabarit, qui dénit graphiquement : bande passante, bande coupée, pentes, ondulation, atténuation (Fig 10.1). Figure 10.1 Gabarit 10.3 Filtres les plus usuels

où ε est une constante et C n est le polynôme de Tchebychev. Bessel : donne une phase linéaire (retard le plus constant possible). 68 F.LUTHON,2014 Figure 10.2 Filtre de Sallen-Key : passe-bande du 2e ordre. Typ. on prend pour les résistances des valeurs de l'ordre de : R i = 10kΩ et pour les condensateurs : C i = 10µF/f 0 C 10nF pour f 0 = 1kHz. En posant p = jω, on trouve : H(p) = V s(p) V e (p) = A.p B.p 2 + C.p + D A = R 2.R 4.C 3 B = R avec : 1.R 2.R 4.C 3.C 4 C = (R 1 + R 2 )R 4 C 4 + (R 1 + R 4 )R 2 C 3 D = R 1 + R 2 Rauch [10] : ce sont des ltres multiboucles avec 5Y (Fig. 10.3). On montre que leur fct de transfert s'exprime par : V s V e = Y 1 Y 2 Y 2 Y 4 + Y 5 (Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ) Suivant les valeurs des admittances Y i (résistif ou capacitif), on obtient un passe-bas, passe-haut ou passe-bande du 2e ordre. Figure 10.3 Rauch Butterworth cf. Fig 10.4 : ce ltre d'ordre 2n donne la bande passante la plus plate Tchebychev : donne une pente raide V s V e = V s V e = 1 1 + (f/fc ) 2n 1 1 + ε 2 C 2 n(f/f c )

F.LUTHON,2014 69 Figure 10.4 Comparaison des ltres Butterworth, Bessel et Tchebychev : a) fonctions de transfert ; b)réponses indicielles Figure 10.5 Double T ponté Filtre de réjection en Double T ponté (avec 2 AOP), cf. Fig 10.5. Il existe d'autres types : ltre programmable à 3 (biquad), voire 4 AOP, ltre à gyrateur (qui simule les inductances), ltre à capacités commutées 10.4 Filtrage par quadripôle actif 10.4.1 Exemple introductif : Filtre passe-bande simple Le ltre actif de la Fig. 10.6 [11] comporte un amplicateur opérationnel idéal et deux dipôles D 1 = (R 1, C 1 ) et D 2 = (R 2, C 2 ). En désignant par Z 1 et Z 2 les valeurs complexes des impédances de D 1 et D 2, on a : I e = V e Z 1 = V s Z 2 (10.1) T = V s V e = Z 2 Z 1 (10.2)

70 F.LUTHON,2014 Figure 10.6 Passe-bande actif 10.4.2 Généralisation : Filtres actifs du second ordre On considère la famille des ltres associant quadripôles et amplicateur opérationnel [12]. Le schéma général de cette famille de ltres est donné à la Fig. 10.7. Figure 10.7 Schéma de principe des ltres actifs du second ordre. Les sorties des deux quadripôles Q et Q' sont reliées à l'entrée inverseuse de l'amplicateur opérationnel. Soient respectivement Y ij et Y' ij (1 ( i, j ) 2) les paramètres admittance des deux quadripôles. A partir des équations : I 2 = Y 21.V 2 + Y 22.V I = 2 Y 21.V 1 + Y 22.V V = 0 I 2 = I 2, il vient : T = V 2 = Y 21 V 1 Y 21 Compte tenu de cette relation, et par un choix judicieux des quadripôles Q et Q', il est possible de synthétiser une fonction de transfert. 10.4.3 Filtre passe-bas Le schéma du ltre passe-bas est donné à la Fig. 10.8. On identie aisément les quadripôles Q et Q'. Les caractéristiques de l'ampli. op. utilisé sont données en annexe 2. Un calcul simple donne : Y 21 = I 2 1 V 1 = R(2+jωRC 1 ) De même, en constatant que Q' résulte de la mise en parallèle de Q avec C 2, on obtient : Soit : Y 21 = I 2 V = 1+2jωRC 2+(jωR C1 C 2) 2 Y 21 = Y 21 jωc 2

F.LUTHON,2014 71 La fonction de transfert du ltre vaut donc : 1 Si l'on pose : A = 1 ; ω n = R C 1 C 2 et : ζ = on obtient : T = 1 + 2jζ Figure 10.8 Schéma du ltre passe-bas 1 T = 1 + 2jωRC 2 + ( jωr ) 2 C 1 C 2 C2 C 1, A ( ) ω + ωn (j ω ωn ) 2 qui est bien l'expression générique d'un ltre passe-bas du deuxième ordre. A est le gain du ltre, ω n la pulsation caractéristique et ζ le coecient d'amortissement. Le facteur de surtension du ltre passe-bas du deuxième ordre vaut : Q = 1 2ζ 1 ζ 2 On veut : ζ = 0, 2 et f n = 3 khz. On prend : R = 10kΩ ; C 1 = 22 nf ; C 2 = 1 nf. 10.4.4 Filtre passe-bande Le schéma du ltre passe-bande est donné à la Fig. 10.9. On identie aisément les quadripôles Q et Q'. Un calcul simple donne : Y 21 = I 2 V 1 Figure 10.9 Schéma du ltre passe-bande = jωc (1+jω2R 1 C) R1 R 2) 2 De même, on montre que : Y 21 = I 2 V 2 = 1+2jωR 1C+(jωC R 2 (1+jω2R 1 C) La fonction de transfert du ltre vaut donc : ( T = R ) 2 2jωR 1 C 2R 1 1 + 2jωR 1 C + ( jωc ) 2 R 1 R 2 Si l'on pose : ω n = 1 ; ζ = R1 R et : A = R 2 2R = 1 2ζ 2,

72 F.LUTHON,2014 on obtient : ( ) 2jζ ω ωn T = A ( ) ) 2 1 + 2jζ ω + (j ω ωn ωn qui est bien l'expression générique d'un ltre passe-bande du deuxième ordre. A est le gain du ltre, ω n la pulsation caractéristique et ζ le coecient d'amortissement. La bande passante à -3 db du ltre est donnée par : F = 2ζ f n Si f r est la fréquence de résonance, le facteur de qualité vaut : Q = fr F On veut : ζ = 0, 2 et f n = 5 khz. On prend : R 1 = 2, 7kΩ ; 2R 1 = 5, 6kΩ ; R 2 = 68kΩ ; C = 2, 2nF.

Donner ses fréquences de coupure et son coecient d'amortissement. Donner sa fréquence de résonnance, sa bande passante et son facteur de qualité Q. Chapitre 11 TD - Filtres Actifs 11.1 Les ltres de Sallen-Key Les 3 ltres de Sallen-Key du 2e ordre sont donnés Fig. 11.1. Figure 11.1 Filtres de Sallen-Key du 2e ordre : a) passe-bas b) passe-haut c) passe-bande 11.1.1 Passe-bas de Sallen-Key Montrer que la fonction de transfert du ltre passe-bas de Sallen-Key vaut : H(p) = k 1 + [(1 k)r 1 C 1 + (R 1 + R 2 )C 2 ]p + R 1 R 2 C 1 C 2 p 2 Donner son gain statique, sa constante de temps, sa fréquence propre et son coecient d'amortissement. 11.1.1.1 Correction G 0 = k ; τ = R 1 R 2 C 1 C 2 ; f 0 = 1 2π R 1 C 1 R 2 C 2 A.N. R 1 = R 2 = 10kΩ, C i = 10nF, R = 47kΩ, k = 2. Voir courbe de gain g. 11.2. 11.1.2 Passe-haut de Sallen-Key Montrer que la fonction de transfert du ltre passe-haut de Sallen-Key vaut : H(p) = kr 1 R 2 C 1 C 2 p 2 1 + [R 1 (C 1 + C 2 ) + R 2 C 2 (1 k)]p + R 1 R 2 C 1 C 2 p 2

74 F.LUTHON,2014 Figure 11.2 Filtres de Sallen-Key du 2e ordre : a) passe-bas 11.1.2.1 Correction Hypothèse AOP idéal (i + = i = 0 ; ε 0), pont diviseur en sortie, ltre passe-haut en entrée R 2 C 2, n ud de courant en entrée, dénition de la fonction de transfert. 4 inconnues (V 1, U, V S, V e ), 4 équations : V S = U kr R = k (11.1) U R 2 = V 1 R 2 + 1 C 2 p (11.2) I e = I 1 + I 2 (V e V 1 )C 1 p = V 1 V S V 1 + R 1 R 2 + 1 C 2 p (11.3) A.N. R 1 = R 2 = 10kΩ, C i = 10nF, R = 47kΩ, k = 2. Voir courbe de gain g. 11.3. H = V S V e (11.4) Figure 11.3 Filtre de Sallen-Key du 2e ordre : passe-haut 11.1.3 Passe-bande de Sallen-Key Montrer que la fonction de transfert du ltre passe-bande de Sallen-Key vaut : H(p) = ( 1 + R 1 R 2 + [R 3 C 1 1 + R 1 R 2 (1 k) kr 3 C 1 p ) ( + R 3 C 2 ) 1 + R 1 R 2 + R 1 C 1 ] p + R 1 R 3 C 1 C 2 p 2

F.LUTHON,2014 75 Donner l'expression de H dans le cas particulier où k = 1. 11.1.3.1 Correction H(p) = R 2 R 3 C 1 p (R 1 + R 2 ) + [(R 1 + R 2 )R 3 C 2 + (R 1 + R 3 )R 2 C 1 ]p + R 1 R 2 R 3 C 1 C 2 p 2 A.N. R 1 = R 2 = 10kΩ, C i = 15nF, R = 47kΩ, k = 2. Voir courbe de gain g. 11.4. Figure 11.4 Filtre de Sallen-Key du 2e ordre : passe-bande 11.2 TD Filtre universel La structure est présentée Fig. 11.5. 1. Exprimer les 3 fonctions de transfert V 1 /V e, V 2 /V e et V 3 /V e. On appelera α le rapport R 1 /(R 1 + R 2 ) pour alléger les expressions. 2. Dénir le type de ltre correspondant à chacune des trois sorties. Figure 11.5 Filtre actif universel

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Chapitre 12 Liste des ltres précâblés pour TP distant 12.1 Filtres passifs 12.1.1 Passe-bas passif ordre 1 R = 8.2kΩ, C = 10nF ltre : code 00 (entrée E0 ) 12.1.2 Passe-haut passif ordre 1 R = 8.2kΩ, C = 10nF ltre : code 01 (entrée E1) 12.1.3 Passe-bande Wien passif R = 15kΩ, C = 10nF (cf. Fig. 12.1a) ltre : code 02 (entrée E2) Caractéristique : passe-bande f r = 1kHz ; G max = 10dB 12.1.4 Double Té ponté Réjecteur passif R = 15kΩ, C = 10nF (cf. Fig. 12.1b) ltre : code 03 (entrée E3) Caractéristique : réjecteur f ar = 1kHz Figure 12.1 a) Filtre de Wien passe-bande ; b) Double Té ponté (réjecteur) ; c) Circuit congurable 12.1.5 Circuit passif congurable (via un Robot de placement) Choix de deux impédances Z 1 et Z 2 (cf. Fig. 12.1c) parmi quatre composants passifs : R 1 = 1kΩ, R 2 = 680Ω, C 1 = 22nF, C 2 = 100nF ltre : code 05

78 F.LUTHON,2014 12.2 Filtres actifs 12.2.1 Passe-bas Sallen-Key ltre : code 10 (entrée E6) cf. Fig. 11.1a) Caractéristique : f c = 1kHz ; G max = 6dB 12.2.2 Passe-haut sallen-key ltre : code 12 (entrée E5) cf. Fig. 11.1b) Caractéristique : f c = 1kHz ; G max = 6dB 12.2.3 Passe-bande actif ordre 2 ltre : code 08 (entrée E4) cf. Fig 10.9, paragraphe 10.4.4 Caractéristique : cf Fig. 12.2 courbes vertes : f r = 6kHz ; G max = 20dB Figure 12.2 Courbes de Bode a) échelle semi-log ; b) échelle linéaire 12.2.4 Passe-bande sallen-key ltre : code 14 (entrée E7) cf. Fig. 11.1c) Caractéristique : passe-bande f r = 1kHz ; G max = 3dB

F.LUTHON,2014 79 12.3 Courbes expérimentales obtenues Les Fig. 12.3 et Fig. 12.4 donnent les courbes de Bode expérimentales des 8 ltres du TP obtenues avec un programme d'instrumentation piloté sous LabVIEW. Il faudra comparer ces courbes à celles que vous obtenez et interpréter les résultats. Figure 12.3 Courbes de Bode expérimentales des 4 ltres passifs ; de haut en bas et de gauche à droite : passe-bas, passe-haut, Wien, double Té réjecteur

80 F.LUTHON,2014 Figure 12.4 Courbes de Bode expérimentales des 4 ltres actifs ; de haut en bas et de gauche à droite : SallenKey passe-bas, SK passe-haut, passe-bande actif 2e ordre, SK passe-bande

Grâce à des mesures automatiques programmées par ordinateur, on peut étudier et comparer ecacement plusieurs ltres (ici au moins cinq), en traçant leurs courbes de Bode : Chapitre 13 TP - Manipulation à distance 13.1 Expérience 1 - Caractérisation fréquentielle 13.1.1 Etude de fonctions de transfert 13.1.1.1 Courbes de gain et de phase Les ltres actifs sont alimentés en ±15V =. Le signal est fourni par le générateur. La sortie est envoyée sur la voie 2 de l'oscilloscope. Tracer les courbes de gain et de phase des ltres. 13.1.1.2 Mesures précises des caractéristiques Utiliser les curseurs pour mesurer précisément les paramètres caractéristiques des deux ltres : fréquences de résonance, fréquences de coupure à -3 db... bandes passantes, pentes, facteur de surtension, valeurs de gain et de phase aux points intéressants... Faire des mesures en absolu, en relatif, zoomer, dilater, centrer les parties intéressantes... Déduire de ces mesures le facteur de qualité et le coecient d'amortissement. Comparer tous les résultats à la théorie en justiant les écarts. 13.1.2 Caractérisation rapide (30mn) Par un balayage manuel des fréquences, on peut rapidement caractériser un ltre inconnu. On se propose ici de caractériser au choix : un passe-bas F 0 (le plus simple pour réviser les notions fondamentales), un passe-haut F 1 ou un ltre inconnu F?. 1. Choisir un de ces 3 ltres et faire 5 ou 6 points de mesures manuelles à l'oscillo (gain = rapport d'amplitudes ; déphasage = décalage temporel) en balayant les fréquences du générateur de signaux. Conditions de mesures par défaut (à ajuster) : V e pp = 2V, f m = 10Hz, f M = 1MHz. Formaliser la stratégie de mesure. 2. Tracer alors sommairement les courbes de Bode du ltre. 3. En déduire les paramètres caractéristiques : f c, G max, BP, BC et les pentes en db/oct. 4. Interprétation : faire une identication/caractérisation qualitative du ltre, 13.1.3 Etude exhaustive (30mn)

Saturation, distorsion harmonique : Appliquer au ltre No.10 un signal sinusoïdal (f=1500hz ; Vpp=10V). Observer le signal en sortie du ltre et son spectre. Commenter. 82 F.LUTHON,2014 1. Tracer les courbes de Bode (gain en db et phase en en fonction de la fréquence exprimée en log 10 ) d'au moins 5 ltres parmi la batterie de ltres disponibles (ltres F 2 à F 16). Conditions de mesures par défaut (à ajuster) : V e pp = 2V, f m = 10Hz, f M = 1MHz, Ne = 20 points. 2. Pour chacun des 5 ltres, déterminer d'après les courbes de Bode tous les paramètres pertinents : fréquences de coupure f c en Hz, Gain statique G 0 (en db et en linéaire), gain maxi, BP à -3dB, pentes en db/oct, 3. Interpréter la nature des 5 ltres étudiés : ordre, actif/passif, eet sur la gamme de fréquences (passe-bas, haut etc.) 4. Comparaison : Actif/Passif 5. Inuence des paramètres R et C? 13.2 Expérience 2 - Caractérisation Temporelle (30mn) 13.2.1 Eets linéaires sur le signal Appliquer au ltre No.10 (code LAB3-Niv.1) un signal carré (f=1500hz, Vpp=2V). Observer le signal en sortie et son spectre. Commenter l'eet du ltrage. 13.2.1.1 Atténuation/Amplication Lié au Gain 13.2.1.2 Décalage temporel Lié au Déphasage 13.2.2 Eet non linéaire : saturation Saturation, distorsion harmonique : Appliquer au ltre No.10 un signal sinusoïdal (f=1500hz ; Vpp=10V). Observer le signal en sortie du ltre actif et son spectre. Commenter. Augmenter l'amplitude du signal d'entrée. Observer la sortie du ltre actif. Commenter la saturation (cf. analyse spectrale du signal : harmoniques, emploi d'un distorsiomètre... 13.3 Spécicité de l'actif (30mn) L'objet de cette partie est de mettre en évidence les spécicités du ltre actif (AOP+RC) comparé au ltre passif (RC seul). 13.3.1 Transfert de puissance : Amplication 13.3.2 Adaptation d'impédance Cascader 2 ltres et voir le résultats 13.3.3 Non-linéarités

F.LUTHON,2014 83 13.4 Application Audio (30mn) On applique le ltre inconnu F? (PH ou Réject) de la question 13.1.2 à un signal audio, constitué d'une fréquence de voyelle, entachée d'un bruit à 50 Hz. 13.4.1 Etude du spectre Comparer les spectres du signal initial, bruité puis ltré. Commentaire. Mesurer la fréquence principale de la voyelle. 13.4.2 Visualisation du signal Observer le signal de parole. 13.4.3 Ecoute du son Comparer le son pur, bruité et ltré. 13.5 Synthèse (30mn) 13.5.1 Interprétation 13.5.2 Conclusion 13.5.3 Evaluation QCM nal 13.6 TP Hands-on : tableau des mesures voir Tab. 13.1 Table 13.1 Tableau pour Evaluation Filtres actifs Fréq f0 fc3min fc3max fr far fc20 f(0db) fharmo Fe mesu : Gain G 0 G max G 1 G 1 db Q db Qlin MG db G0lin Gmin static (f 1 =1k) (à f 1 ) mesu : Phase Φ(f 0) Phi0 ΦHF Φ PHi(f1) DT(f1) MPhi (à 0dB) mesu : Carac pente pente ordre zeta tau w0 BPinf BPsup Gutil BF HF mesu : Temp D ind oscille satur ampli atténu retard avanc décal rapid précis distord écrê (%) rép : Type PBas PHaut Pbande coupe déphas très stable instabl Bande stable rép :

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Chapitre 14 Déroulement et timing indicatif du TP 14.1 QCM3 : AOP idéal (15mn) 14.2 QCM4 : Filtrage (30mn) 14.3 Lecture des docs de cours Filtres actifs (30mn) 14.4 Manip à distance (2h30) 14.4.1 Courbes de Bode Filtres passifs (60mn) 14.4.2 Courbes de Bode Filtres actifs (60mn) 14.4.3 Etude des signaux temporels et spectres en sortie des Filtres (30mn) 14.5 Questionnaire Enquête sur LaboREM (70 questions) (10mn) 14.6 Evaluation synthétique de l'application LaboRem (5mn) (mettre une note de 0 a 20)

86 F.LUTHON,2014

Quatrième partie BASES THEORIQUES

En traitement du signal, on préfère la TF à la TL car : Chapitre 15 TRAITEMENT DE SIGNAL ANALOGIQUE 15.1 Introduction 15.1.1 Dénitions Un signal est le support physique (véhicule) de l'information (onde lumineuse, son, signal électrique). Mathématiquement, on le représente par une fonction (du temps t, de l'espace) dont on étudie les variations (dans le domaine temporel ou fréquentiel ν). On s'intéresse ici au cas de signaux monodimensionnels f(t) (une seule variable). Si la variable est continue, on parle de signal analogique. Si la variable est échantillonnée (t = nt e ), on parle de signal discret. Si l'amplitude est également discrète (pas de quantication q), on parle de signal numérique [13, 1]. Physiquement, on aura toujours aaire à de bonnes fonctions : bornée, à support borné, continue dérivable ou satisfaisant les conditions de Dirichlet (discontinuités de 1ère espèce uniquement), intégrable, d'énergie nie ou de puissance moyenne nie, voire distributions tempérées (f(t) t n ). 15.1.2 Systèmes analogiques Un système de communication consiste en la formation (émission), la transmission et la détection (réception) d'un signal. Ces trois étapes sont sujettes à des bruits. On caractérise un système par le rapport signal sur bruit (SNR en anglais) et la bande passante BP (cf. caractéristiques en automatique : précision, vitesse et stablitié). On considèrera ici un sytème de traitement et transmission d'information (ltre) qui est linéaire, continu, stationnaire : a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t) a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t) (15.1) x(t) = lim n(t) n y(t) = lim n(t) n (15.2) x(t τ) y(t τ) (15.3) On le caractérise au choix par : sa réponse impulsionnelle h(t) sa fonction de transfert de Laplace : H(p) = T L[h(t)] sa fonction de transfert de Fourier : H(ν) = T F [h(t)] sa réponse harmonique H(jω) avec p = jω = j2πν e(t) s(t) = h(t) e(t) (15.4) δ(t) s(t) = h(t) δ(t) = h(t) (15.5) e jωt s(t) = H(jω).e jωt (15.6) E(p) S(p) = H(p).E(p) (15.7) E(ν) S(ν) = H(ν).E(ν) (15.8)

90 F.LUTHON,2014 la fréquence ν a une interprétation physique contrairement à la variable symbolique p la TL ne s'applique qu'aux fonctions causales (étude des régimes transitoires) alors que la TF s'applique aussi aux signaux permanents. Figure 15.1 Boîte noire 15.2 Signaux analogiques 15.2.1 Typologie des signaux signal d'énergie nie ou signal de puissance moyenne nie signal périodique ou signal à support borné signal large bande ou signal à bande étroite signal réel ou signal complexe (signal analytique). NB : x(t) R X( ν) = X (ν) signal certain (déterministe) ou signal aléatoire (probabiliste, avec probabilité p(x)) signal ergodique : moyenne temporelle f[x(t)] = moyenne d'ensemble E[f(x)] (espérance mathématique) 15.2.2 Energie et Puissance 1 f[x(t)] = lim T T E[f(x)] = + T/2 T/2 f[x(t)]dt (15.9) f(x)p(x)dx (15.10) Le principe de conservation de l'énergie se traduit par des relations temps-fréquence : pour les signaux d'énergie nie, on peut intégrer par rapport à t ou ν sur tout R : x(t).y (t)dt = X(ν).Y (ν)dν (15.11) E = R R P dt = R R P x(t) 2 (15.12) x(t) 2 dt = X(ν) 2 dν (15.13) R DSE = X(ν) 2 (15.14) pour les signaux de puissance moyenne nie, on calcule une moyenne temporelle sur un intervalle ni T puis passage à la limite : 1 P moy = lim x(t) 2 dt = x(t) T T 2 (15.15) 15.2.3 Corrélation La corrélation mesure la ressemblance entre signaux : si τ, γ xy (τ) = 0 alors les signaux x(t) et y(t) sont non corrélés. [T ]

F.LUTHON,2014 91 15.2.3.1 Autocorrélation Si énergie nie : c x (τ) = + x(t)x (t τ)dt (15.16) c x ( τ) = c x(τ) (15.17) c x (τ) c x (0) = x(t) 2 dt = X(ν) 2 dν = E (15.18) R T F [c x (τ)] = C x (ν) = X(ν) 2 (15.19) L'Eq. (15.18) constitue le théorème de Parseval. Si puissance moyenne nie, on utilise des moyennes temporelles : R γ x (τ) = x(t)x (t τ) (15.20) γ x ( τ) = γx(τ) (15.21) γ x (τ) γ x (0) = x(t) 2 = P moy = Γ x (ν)dν (15.22) X T (ν) 2 T F [γ x (τ)] = Γ x (ν) = lim T T où X T (ν) dénote la TF du signal tronqué : x T (t) = x(t). T (t). Γ x (ν) est la DSP moyenne (ne se calcule jamais directement mais par la TFD). R (15.23) 15.2.3.2 Corrélateur analogique Principe du corrélateur analogique pour signaux de P moy nie : cf. TD 945A Exemple : cas de x(t) = A cos 2πf 0 t) (démonstrateur Matlab T945.m) 15.2.3.3 Intercorrélation Si énergie nie : c xy (τ) = + x(t)y (t τ)dt (15.24) c xy ( τ) = c xy(τ) (15.25) T F [c xy (τ)] = X(ν)Y (ν) (15.26) Si puissance moyenne nie : γ xy (τ) = 1 lim x(t)y (t τ)dt = x(t)y T T (t τ) [T ] (15.27) γ xy ( τ) = γxy(τ) (15.28) X T (ν)yt T F [γ xy (τ)] = Γ xy (ν) = lim (ν) T T (15.29) La correspondance temps-fréquence donnée par l'eq. (15.29) constitue le théorème de Wiener-Khintchine. Γ xy (ν) est la DSP croisée. 15.2.4 Dualité temps-fréquence Soit un signal réel x(t) d'énergie nie E.

92 F.LUTHON,2014 15.2.4.1 Durée utile - Support borné La puissance instantanée vaut : x 2 (t). On dénit la durée utile T u équivalentes : = t 1 t 0 de deux façons t 1 t 0 x 2 (t)dt = (1 ɛ)e (où typ. ɛ = 10%) (15.30) t t < t 0 ou t > t 1, x 2 (t) < max t R x 2 (t) 2 Pour un signal de P moy nie, T u =. Le cas d'un signal à support borné correspond à ɛ = 0 dans l'eq. (15.30). (atténuation de puissance de -6dB)(15.31) 15.2.4.2 Spectre utile - Spectre borné On dénit F u = F max F min (avec F min = F max ) tel que : F max X(ν) 2 dν < ɛ 2 E F max F min X(ν) 2 dν (1 ɛ)e (15.32) Pour un signal de P moy nie, on dénit F u avec la DSP Γ x (ν). Cas d'un signal à spectre borné : si X(ν) est négligeable pour ν / [F min, F max ], c'est-à-dire : M, F max F min X(ν) dν = M (15.33) alors toutes les dérivées du signal sont bornées (théorème de Bernstein) : x (n) (t) (2πF max ) n M. Figure 15.2 a) Durée utile ; b) Spectre utile. 15.2.4.3 Principe d'incertitude On a la relation : F u T u 1 π 15.2.5 Signal à bande étroite 15.2.5.1 Dénition Signal x(t) réel tel que : X(ν) = 0 au voisinage de ν = 0. On dénit le spectre utile ν au voisinage de F 0 (intérêt si ν F 0 ) Spectre : X(ν) = 1 2 [X +(ν) + X (ν)] = 1 2 [X +(ν) + X +( ν)]

F.LUTHON,2014 93 Figure 15.3 Spectre d'un signal à bande étroite. 15.2.5.2 Signal analytique On montre qu'on peut écrire : x(t) = R[x + (t)] = 1 2 [x +(t) + x +(t)] x + (t) = x 0 (t)e j2πf 0t : signal analytique (HF) X + (ν) = X 0 (ν) δ(ν F 0 ) = X 0 (ν F 0 ) x 0 (t) = m(t)e jφ(t) est l'enveloppe BF complexe de x(t) e j2πf 0t est la porteuse x(t) = m(t) cos[2πf 0 t + φ(t)] : signal modulé en amplitude par m(t) R + et en phase par φ(t) 15.3 Filtres Analogiques 15.3.1 Convolution 15.3.1.1 Calcul de la sortie d'un ltre La sortie s(t) d'un ltre est la convolution de l'entrée e(t) par la réponse impulsionnelle h(t) : s(t) = h(t) e(t). Un produit de convolution est une intégrale compliquée : x(t) y(t) = + x(u)y(t u)du. Interprétation graphique : retournement et décalage d'une des fonctions, produit avec l'autre fonction et sommation des aires sous la courbe produit. La transformée H(ν) de la réponse impulsionnelle s'appelle la fonction de transfert du ltre. Intérêt principal : un produit de convolution se transforme en produit simple : S(ν) = H(ν).E(ν) 15.3.1.2 Chaînage de Filtres La convolution est commutative donc l'ordre des ltres est indiérent, mais attention aux impédances (solution : étages séparateurs ou même impédance caractéristique). s(t) = [h 1 (t) h 2 (t) h n (t)] e(t) = h(t) e(t) (15.34) S(ν) = [H 1 (ν).h 2 (ν) H n (ν)]e(ν) = H(ν) E(ν) (15.35) Exemple : pour obtenir la réponse impulsionnelle h(t) d'un ltre, on peut mettre en entrée un échelon (dit de Heaviside) e(t) = H(t) puis dériver la sortie : s(t) = h(t) H(t) s (t) = [h(t) H(t)] δ (t) = h(t) H (t) = h(t) δ(t) = h(t) } {{ } s(t) 15.3.2 Réponse Impulsionnelle et Fonction de Transfert Un ltre est caractérisé soit par sa réponse impulsionnelle h(t) soit par ses fonctions de transfert (en module et en argument) : H(p) (pour les signaux causaux uniquement) ou H(ν) = H(ν) exp[jφ(ν)]. Il produit une distorsion linéaire du signal : si H(ν) cte, on a une distorsion d'amplitude

94 F.LUTHON,2014 si Φ(ν) kν avec k =cte, on a distorsion de phase ( il sensible à la distorsion de phase contrairement à l'oreille). ltre à phase minimum : ni pôle, ni zéro avec R(p) > 0 ltre sans distorsion linéaire si : e(t) s(t) = Ae(t τ) = e(t) [Aδ(t τ)]. Donc : h(t) = Aδ(t τ) H(ν) = Ae j2πτν 15.3.2.1 Filtre réalisable Il doit respecter le principe de causalité (Fig. 15.4a). CNS : h(t) = 0 pour t < 0 H(p). 15.3.2.2 Filtre stable Toute entrée bornée doit donner une sortie bornée : e(t) < M s(t) < M. CNS : R h(t) dt H(ν) borné et H(p) borné avec pôles tels que R(p) < 0 (Fig. 15.4b). Figure 15.4 a) causalité ; b) stabilité. 15.3.2.3 Filtres idéaux Ampli : réalisable et stable Retard pur : réalisable et stable s(t) = A.e(t) = e(t) [Aδ(t)] h(t) = Aδ(t) = H(ν) = A s(t) = e(t τ) = e(t) δ(t τ) h(t) = δ(t τ) = H(ν) = e j2πτν Passe-bas : pas stable, pas réalisable H(ν) = 2Fc (ν) = h(t) = 2F c sinc(2πf c t) Approximation possible avec 0 < ε 1 et n 1 : Dérivateur : réalisable mais pas stable Intégrateur : réalisable mais pas stable s(t) = t 1 H(ν) = ) n 1 + ε (j ν Fc s(t) = e (t) = e(t) δ (t) h(t) = δ (t) = H(ν) = j2πν e(u)du = e(t) H(t) h(t) = H(t) = H(ν) = 1 j2πν + 1 2 δ(ν)

Puis on ltre passe-bande centré sur F 0 + F L. On obtient alors en sortie du ltre : w(t) = z 1 (t). F.LUTHON,2014 95 Figure 15.5 Filtre passe-bas. 15.3.3 Relations Fondamentales des Filtres Le ltre (conçu, donc forcément d'énergie nie!) est caractérisé par sa fonction d'autocorrélation et sa DSE : c h (τ) = h(t)h (t τ)dt (15.36) Alors la sortie est caractérisée par les relations suivantes : Si le signal d'entrée est d'énergie nie : R T F [c h (τ)] = H(ν) 2 (15.37) c s (τ) = c h (τ) c e (τ) (15.38) S(ν) 2 = H(ν) 2. E(ν) 2 (15.39) E s = c s (0) = H(ν) 2. E(ν) 2 dν = S(ν) 2 dν (15.40) Si le signal d'entrée est de puissance moyenne nie : 15.3.4 Filtre à bande étroite 15.3.4.1 Dénition R γ s (τ) = c h (τ) γ e (τ) (15.41) T F [γ s (τ)] = Γ s (ν) = H(ν) 2.Γ e (ν) (15.42) P s moy = H(ν) 2.Γ e (ν)dν (15.43) Filtre dont la réponse impulsionnelle est un signal à bande étroite. h(t) = R[h + (t)] = R[h 0 (t)e j2πf 0t ] H(ν) = 1 2 [H +(ν) + H (ν)] = 1 2 [H 0(ν F 0 ) + H 0 ( ν F 0)] Le ltre passe-bande idéal n'est pas réalisable : H(ν) = ν (ν F 0 ) + ν (ν + F 0 ) relation entrée-sortie : s(t) = h(t) e(t) avec e(t) à BE S(ν) = 1 4 [E +(ν) + E (ν)][h + (ν) + H (ν)] = 1 2 [S +(ν) + S (ν)] S + (ν) = 1 2 E 0(ν F 0 )H 0 (ν F 0 ) = 1 2 E 0(ν)H 0 (ν) δ(ν F 0 ) S 0 (ν) = 1 2 E 0(ν)H 0 (ν) spectre de la sortie : S(ν) = 1 2 [S 0(ν F 0 ) + S 0 ( ν F 0)] le signal de sortie est à BE : s(t) = R[s 0 (t)e j2πf 0t ] 15.3.4.2 Principe du Changement de fréquence On multiplie un signal à BE x(t) = R[x 0 (t)e j2πf 0t ] avec un oscillateur local y(t) = cos(2πf L t). On a en sortie du multiplieur : z(t) = αx(t)y(t) Z(ν) = Z 1 (ν) + Z 2 (ν) Avec : Z 1 (ν) = α 4 [X 0(ν (F 0 + F L )) + X 0 ( ν (F 0 + F L ))] z 1 (t) = α 2 R[x 0(t)e j2π(f 0+F L ) ] Et : Z 2 (ν) = α 4 [X 0(ν (F 0 F L )) + X 0 ( ν (F 0 F L ))] z 2 (t) = α 2 R[x 0(t)e j2π(f 0 F L ) ] R R

96 F.LUTHON,2014 Figure 15.6 Changement de fréquence. 15.3.4.3 Ampli sélectif accordable Utilisation d'un ltre passe-bande centré en F I (fréquence intermédiaire) et de BP ν. On fait varier F L alors que F I =cte. Seuls passent les signaux x i (t) tels que : F i F L = F I F i = F I + F L. Utilisé dans les récepteurs radio hétérodynes. 15.3.4.4 Multiplexage en fréquence Le signal de parole est un signal à bande étroite. Application aux signaux téléphoniques : BP : [f min = 300Hz; f max = 3400Hz] On multiplie chaque Figure 15.7 Spectre du signal de parole. signal par un oscillateur local de fréquence diérente ( F L. ) On ajoute un ltre passe-bande centré en ± F L + fmax+f min 2 et de largeur : ν = fmax f min. Pour mélanger plusieurs signaux, on utilise plusieurs fréquences locales F K bien choisies. Pour que les spectres soient disjoints : F K + f max < F L + f min F L F K > f max f min = ν = 3.1kHz En fait, on prend une marge de sécurité : standard des PTT : F L F K = 4kHz. Sur un câble téléphonique, il passe 2700 voies. Le signal multiplexé est l'ensemble des signaux. Le spectre s'étale jusqu'à 12MHz. Restitution : on remultiplie par le même oscillateur local adhoc et on ltre passe-bas pour éliminer la fréquence double 2F L. 15.4 Applications 15.4.1 Filtrage Intérêt : Débruitage, Extraction de signaux 15.4.1.1 Passe-bas (Intégrateur) Exemple du ltre RC 1er ordre (voir Fig. 15.8a)

F.LUTHON,2014 97 15.4.1.2 Passe-haut (Dérivateur) Exemple du ltre CR 1er ordre (voir Fig. 15.8b) Figure 15.8 Réponse impulsionnelle : a) Passe-bas ; b) Passe-haut. 15.4.1.3 Passe-bande voir Signaux à bande étroite. 15.4.2 Modulation Les signaux qui transportent l'information ont un spectre limité : f min < ν < f max. Pour envoyer plusieurs signaux dans la même direction (même câble ou radio), on rend les spectres disjoints en faisant des signaux à BE concentrés autour de diérentes porteuses F 0 f max. Intérêt : Porter de l'info. 15.4.2.1 Modulation d'amplitude Un signal modulé en amplitude s'exprime par : s(t) = [1 + Km(t)] p(t) (15.44) où : K est le taux de modulation variable de 0 à 100% (typ. K = 50%) m(t) est le signal BF modulant contenant l'information (où ν < f max ). p(t) est la porteuse HF : p(t) = A p cos 2πf p t (où f p f max ). Prenons ici le cas d'école : m(t) = cos 2πf m t Alors : s(t) = R[A p (1 + K cos(2πf m t))e j2πfpt ] On obtient trois raies fréquentielles : f p, f p f m et f p + f m. Figure 15.9 Spectre en modulation d'amplitude.

98 F.LUTHON,2014 15.4.2.1.1 Démodulation : On utilise un détecteur d'enveloppe (circuit Diode + RC). Un bon fonctionnement correspond à une valeur de constante de temps τ = RC telle que : Démonstration cf TD 15.4.2.2 Modulation de fréquence 1 τ 1 f p f max 15.4.2.2.1 Fréquence instantanée : Soit s(t) = A cos φ(t). On appelle fréquence instantanée : F (t) = 1 dφ(t) 2π dt. Un signal est modulé en fréquence si : F (t) = F 0 + F.m(t) où m(t) est le signal modulant et F l'excursion en fréquence. Dans le cas d'école où : m(t) = cos ωt = cos 2πft, alors : φ(t) = 2πF 0 t + F f sin 2πft. m = F f est l'indice de modulation. 15.4.2.2.2 Spectre : Le spectre n'est pas borné, mais fait intervenir les fonctions de Bessel J n (m). (NB : lim J n(m) = 0) n ν = 2(f max + F ) On prend en général : m min = F f max > 2 (typ. m min = 5). Signal musical monophonique : 30Hz < f < 15kHz F = 75kHz. Donc ν = 180kHz (prend plus de place qu'en AM.) 15.4.2.2.3 Réalisation : oscillateur commandé en tension (VCO) fait avec une diode varactor (cf. oscillateur LC accordé à : ω = 1/ C(t)L) 15.4.2.2.4 Démodulation : détecteur quadratique, détecteur de Foster-Seeley. 15.4.3 Analyse spectrale 15.4.3.1 But Extraire de l'info sur les fréquences (et les énergies correspondantes) présentes dans un signal. 15.4.3.2 Principe Filtrer le signal à travers un ltre passe-bande très sélectif et accordable (i.e. dont on fait varier la fréquence centrale). Cas d'un ltre passe-bande idéal centré en F 0 et de bande étroite ν : H + (ν) = ν (ν F 0 ). Des relations des ltres Eq. (15.39) et (15.42), on déduit que : E s = 2 Si E(ν) cte = E(F 0 ) sur ν, alors : 0 H(ν) 2. E(ν) 2 dν = 2 F 0 + ν/2 F 0 ν/2 E(ν) 2 dν (15.45) E s 2 ν E(F 0 ) 2 (15.46) P moy 2 νγ e (F 0 ) (15.47)

Un signal radar s(t) est constitué d'un train d'impulsions rectangulaires qui module en amplitude une porteuse K cos(2πf p t) de fréquence f p. F.LUTHON,2014 99 15.4.3.3 Mise en uvre Accord F 0 = F I F L par changement de fréquence : oscillateur local F L variable, et ltre sélectif fonctionnant à fréquence intermédiaire xe F I =cte (0 < F L < F I ). On peut ainsi analyser dans la gamme de fréquences : 0 < ν < F I. 15.4.3.4 Résolution fréquentielle 15.4.3.4.1 Pouvoir de résolution : La précision augmente quand ν diminue. F 0 F < ν < F 0 + F F = ν 2 15.4.3.4.2 Troncature temporelle : La mesure à la fréquence ν = F 0 se fait sur une durée d'observation T : x T (t) = x(t). T (t) Si T F 0 1 et si l'on néglige les lobes secondaires du sinus cardinal, alors on obtient : En général, on choisit 1/T ν/2. F = 1 T + ν 2 (15.48) Figure 15.10 Troncature temporelle. 15.4.3.4.3 Exemple des audio-fréquences (ν < 20kHz) : on veut une précison de F = 100Hz T min = 20ms. Nb de points de mesure : N = 20kHz 100Hz = 200 Temps de mesure : T obs = 200T min = 4sec Si on réduit le temps de mesure à T min /10 alors F = 500Hz déplorable. 15.5 Signaux aléatoires : caractérisation et ltrage Variable et fonction aléatoires, Fonction de répartition, Densité de probabilité, Fonction caractéristique, Moments, Processus stationnaires, ergodiques, faiblement stationnaires. 15.6 Bruit Bruit blanc, Bruit thermique, Facteur de bruit. 15.7 Filtrage optimal et détection 15.8 TD1 - Signal Radar

100 F.LUTHON,2014 L'impulsion rectangulaire de base, centrée, de largeur T, vaut : x(t) = A T (t). Soit f r la fréquence de répétition des impulsions qui forment le train inni d'impulsions noté y(t). 1. Calculer la fonction d'autocorrélation c x (τ) de x(t) et donner les transformées de Fourier respectives C x (ν) et X(ν). 2. Donner l'expression du train d'impulsions y(t) et de sa TF Y (ν). 3. Dans le cas d'une seule impulsion modulante x(t), donner l'expression d'un signal radar s 0 (t) et de sa TF S 0 (ν). 4. Même question dans le cas du train d'impulsions y(t) qui module la porteuse pour former le signal complet s(t). On notera S(ν) sa transformée. 5. A la réception, on ne dispose du signal radar que sur une durée d'observation limitée D. C'est-àdire qu'on reçoit le signal z(t) = s(t). D (t). Calculer d'abord et représenter la fonction spectrale W (ν) correspondant au signal modulant tronqué : w(t) = y(t). D (t). En déuire la TF Z(ν) correspondant au signal radar tronqué z(t). 15.9 TD2 - Corrélateur analogique Soit x(t) un signal réel de puissance moyenne nie dont on veut estimer la fonction d'autocorrélation γ x (τ). 1. Donner le schéma de principe d'un corrélateur analogique. NB : on appelera y(t) le signal en sortie du multiplieur et z(t) le signal après l'intégrateur. 2. L'intégrateur est un ltre RC passe-bas élémentaire. Calculer sa fonction de transfert H(ν) et sa réponse impulsionnelle h(t). 3. On considère maintenant le cas où : x(t) = A cos(2πf 0 t). Calculer alors γ x (τ). 4. Calculer la tension z(t) en sortie du corrélateur. La comparer à γ x (τ). 5. A quelle condition (portant sur la fréquence de coupure f c du ltre intégrateur) la uctuation de z(t) par rapport à sa moyenne est-elle inférieure à ɛγ x (0), où ɛ 1? A.N. : f 0 10Hz et ɛ = 1% 6. On veut déterminer le temps de mesure nécessaire pour obtenir une bonne approximation de γ x (τ). Le signal x(t) est appliqué pour t > 0. La partie oscillante de z(t) est supposée d'amplitude négligeable (par suite du ltrage). Exprimer la réponse z 1 (t) du ltre à la partie apériodique y 1 (t) de y(t). 7. Déterminer le temps T tel que pour t T : (1 ɛ)γ x (τ) z 1 (t) < γ x (τ) 8. A.N. : f 0 = 10Hz ; le retard maximal étant τ M = 1/f 0, calculer T pour que l'erreur relative soit inférieure à ɛ = 1% si f c = f 0 /50.

Si l'on prend en compte T e, alors l'intégration se fait sur la période principale : [ F e /2, F e /2]. On appelle spectres d'amplitude, de phase et d'énergie resp. X(ν), arg[x(ν)] et X(ν) 2. Chapitre 16 TRAITEMENT DE SIGNAL NUMERIQUE 16.1 Introduction 16.1.1 Généralités On s'intéresse au cas d'un signal numérique monodimensionnel et causal (suite numérique d'échantillons x(nt e ) pour n 0). La variable temporelle est échantillonnée t = nt e (période d'échantillonnage T e ) et l'amplitude est quantiée (avec un pas de quantication q). Sans perte de généralité, on prend souvent T e = 1 dans l'étude théorique pour normaliser les échelles. Evidemment, dans la pratique, la valeur de T e est une caractéristique essentielle d'un système puisqu'elle dénit sa cadence de fonctionnement. Entre deux instants d'échantillonnage, le signal n'est pas nul : il est non déni. On notera indiéremment un signal numérique : x(t) = x(nt e ) = x(n) = x n. On présente ici les opérations de base sur les signaux numériques, les outils d'analyse et de synthèse des signaux et ltres numériques (TFDT, TFD, TZ et corrélation), les problèmes liés à l'arithmétique utilisée (quantication et cycles limites), enn les systèmes de traitement et leurs applications (ltrage et analyse spectrale) [13, 1, 14, 2, 3]. 16.1.2 Outils mathématiques 16.1.2.1 Transformée de Fourier discrète dans le temps TFDT et spectre La transformée de Fourier décompose le signal sur la base des exponentielles complexes : X(ν) = + n= Cette série converge pour tout signal d'énergie nie : x(n) exp( j2πnν) (16.1) + n= x(n) 2 (16.2) X(ν) est périodique de période unité (ou période F e = 1 T e si non normalisé). Son DSF donne la transformée inverse : +1/2 x(n) = X(ν) exp(+j2πνn)dν (16.3) 1/2

102 F.LUTHON,2014 16.1.2.2 TFD et Transformée en Z N.B. : Sur le cercle unité z = exp(j2πν), la TZ s'identie à la TFDT normalisée. Calcul de la TZ inverse : x(n) X(z) développement en fractions partielles et utilisation des tables développement en série de puissance de z 1 développement par division théorème des résidus N.B. : Propriété complémentaire de la TZ : x( n) X(1/z) 16.1.3 Systèmes numériques 16.1.3.1 Equation aux diérences On s'intéresse aux systèmes linéaires (principe de superposition). Cas particulier de système linéaire régi par une équation aux diérences (cf. équation diérentielle) : N M a i (n)s(n i) = b j (n)e(n j) (16.4) i=0 j=0 16.1.3.2 Produit de convolution discret Le signal de sortie se calcule par convolution discrète : s(n) = + k= e(k)h(n k) (16.5) S(ν) = E(ν)H(ν) (16.6) s(n) = e(n) h(n) S(z) = E(z)H(z) (16.7) 16.1.3.3 Fonction de Transfert H(z) = T Z[h(n)] = h(n)z n (16.8) Converge dans un anneau du plan complexe z (cf. critère de Cauchy). n=0 16.2 Signaux numériques 16.2.1 Les 4 opérations de base 1. somme de signaux numériques 2. produit de signaux 3. multiplication d'un signal par une constante 4. décalage d'un signal (retard ou avance) : y(n) = x(n n 0 ) A partir de ces lois, on exprime un signal numérique comme une somme pondérée d'impulsions décalées : f (t) = f(t)δ(t nt e ) = f(nt e )δ(t nt e ) (16.9) n=0 n=0

F.LUTHON,2014 103 16.2.2 Signaux élémentaires et typologie impulsion unité d(n) = 1 si n = 0 (0 sinon) (cf. symbole de Kronecker) échelon unité H(n) = d(n) n=0 porte ou fenêtre rectangulaire N (n) sinusoïde exponentielle x(n) = a n exponentielle complexe x(n) = exp[(α + j2πν)n] signal périodique : x(n + N) = x(n) signal à durée limitée ou illimitée 16.2.3 Corrélation Mesure la similitude entre signaux : φ xy (k) = x(n)y(n + k) = n= + n= x(n k)y(n) = φ yx ( k) (16.10) T F [φ xy (k)] = Φ xy (ν) = X (ν)y (ν) (16.11) φ xx (0) = n= x 2 (n) = φ xy (k) Φ xy (z) = n +1/2 1/2 x(n)z n m Φ x (ν)dν (16.12) y m z m = X(1/z)Y (z) (16.13) 16.2.4 Echantillonnage L'échantillonnée idéale à la fréquence F e = 1/T e est donnée par : v(t) = x(t) + δ(t kt e ) = + k= k= x(kt e )δ(t kt e ) (16.14) Figure 16.1 Echantillonnage idéal. 16.2.4.1 Théorème de Shannon Le théorème de Shannon stipule qu'il faut respecter la condition : F e > 2F max. On peut alors reconstituer le signal x(t) par un ltrage passe-bas idéal de fréquence de coupure f c = F e /2 (interpolation). Dans le cas contraire, on a repliement de spectre (cf. ŸTFD). 16.2.4.2 Echantillonnage naturel w(t) = x(t) + [ τ (t kt e ) = x(t). τ (t) + k= δ(t kt e ) ] (16.15)

cf. TD 104 F.LUTHON,2014 16.2.4.3 Echantillonneur bloqueur w(t) = + x(kt e ) τ (t kt e ) = + k= k= x(kt e ) τ (t) δ(t kt e ) = τ (t) v(t) (16.16) Figure 16.2 a) Echantillonnage naturel ; b) Echantillonneur-bloqueur. 16.2.5 Quantication L'inuence de la quantication est modélisée par une source de bruit additif. On traite l'erreur de quantication par arrondi comme une variable aléatoire de densité de probabilité uniforme 1/q sur l'intervalle des erreurs possibles [ q/2, +q/2] : x(n) = Q[x(n)] + b(n) (16.17) µ b = 0 (16.18) σ 2 b = q2 12 On dénit le rapport signal sur bruit de quantication : (16.19) ρ = 10 log 10 P 2 x σ 2 b Pour une quantication sur m bits, on montre que ρ 6m db. On voit donc qu'avec un nombre de bits susant, on peut négliger le bruit de quantication. Par contre, le phénomène des cycles limites peut être très gênant : solution périodique en l'absence de signal d'entrée, due notamment aux conditions initiales du ltre. 16.3 Filtres numériques 16.3.1 Causalité et stabilité + n=0 k s(k) = e(n)h(k n) (16.20) n=0 h(n) < (16.21)

F.LUTHON,2014 105 16.3.2 Système SLIT Un système linéaire invariant dans le temps (SLIT) a pour fonction de transfert une fraction rationnelle en z dont les pôles sont à l'intérieur du cercle unité : H(z) = B(z) A(z) = M b j z j j=0 (16.22) N a i z i Il est donc régi dans le domaine temporel par une équation de récurrence linéaire (cf. théorème du i=0 retard) : Figure 16.3 Critère de stabilité. N M a i s(n i) = b j e(n j) (16.23) i=0 Un ltre causal et stable est déni par sa réponse impulsionnelle h(n) ou sa fonction de transfert en z H(z) ou par sa TFD H(k) : s(n) = N 1 k=0 j=0 e(k)h(n k) pour n N 1 (16.24) S(z) = H(z).E(z) (16.25) S(k) = H(k).E(k) (16.26) Les Eq. ci-dessus permettent de dénir trois méthodes diérentes de réalisation d'un ltre numérique : structure récursive (Eq. 16.23), structure transversale (16.24) ou gabarit fréquentiel (16.26). Les circuits comportent des sommateurs, des multiplieurs par une constante et des retards. 16.3.3 Synthèse d'un ltre RIF Un ltre à Réponse Impulsionnelle Finie a pour fonction de transfert un simple polynôme : H(z) = B(z). On utilise souvent la réalisation transversale (canonique directe) ou une structure en cascade résultant de la factorisation de H(z) en polynômes de deuxième degré : H(z) = Les méthodes de synthèse sont [15] : (N 1)/2 m=1 ( 1 + am1 z 1 + a m2 z 2) (16.27)

106 F.LUTHON,2014 synthèse par série de Fourier : calcul de h(n) à partir de H(ν) (cf. Eq. 16.3) méthode d'échantillonnage en fréquence (emploi de la TFD, mais phénomène de Gibbs) optimisation linéaire : algorithme de Remez (contraintes de degré minimal et de phase linéaire, meilleure approximation au sens de Tchebyche) Exigence de ltrage : gabarit sur l'aaiblissement (ou le gain) : passe-bas, passe-bande, passe-haut, coupe-bande déphasage linéaire : retard de groupe τ = dφ/dω = cte. La fonction de transfert vérie : H(e jω ) = G(ω)e j[φ(0)+τω] (16.28) H(z 1 ) = ±z N 1 H(z) (16.29) Donc les zéros apparaissent par paires complexes conjuguées : z 0, z 0, z 1 0, z 1 0. 16.3.4 Synthèse d'un ltre RII 1. Transposition analogique (TL) numérique (TZ) : correspondance z p équivalence de la dérivation : y(n) = x(n) x(n 1) T e (16.30) p = 1 z 1 T e (16.31) L'axe imaginaire p = jω se transforme en le cercle de centre z 0 = 1/2 et de rayon R = 1/2. L'équivalence n'est satisfaisante qu'au voisinage de z = 1 (suppose une valeur de F e élevée). équivalence de l'intégration (règle trapézoïdale) dite transformation bilinéaire : y(n) = y(n 1) + 1 p f a = x(n) + x(n 1) T e 2 (16.32) = T e 1 + z 1 2 1 z 1 (16.33) 1 tan(πf d T e ) πt e (16.34) L'image de l'axe imaginaire en p est le cercle unité en z (compatible avec l'échantillonnage, mais loi non linéaire entre fréquence analogique f a et fréquence numérique f d ). échantillonnage de la réponse impulsionnelle : H(p) = N j=1 α j p p j H(z) = N j=1 α j 1 exp(p j T e )z 1 2. Algorithmes complexes d'optimisation par ordinateur : minimisation de l'erreur d'approximation entre ltre désiré et ltre réalisable. 16.4 Filtrage 16.4.1 Linéaire Exemple du ltre passe-bas moyenneur : y(n) = 1 N N 1 k=0 x(n k) impossible de supprimer une impulsion tout en conservant dèlement un échelon.

Des algorithmes des moindres carrés permettent d'estimer les paramètres du modèles (coecients a i et b j ). Le problème crucial est le choix de l'ordre du processus (degrés du numérateur B(z) et du dénominateur A(z)). Intérêt : Meilleure résolution fréquentielle. F.LUTHON,2014 107 16.4.2 Non-linéaire Exemple du ltre médian à l'échelle N : y(n) = med[x(n N), x(n N + 1),, x(n + N)] où med[...] représente le nombre qui se trouve au milieu après avoir ordonné les 2N + 1 valeurs par ordre croissant. Intérêt principal du ltrage non-linéaire : le ltrage par la valeur médiane élimine complètement une impulsion unité et laisse passer un échelon sans modication. En pratique, on combine souvent ltre médian et ltre linéaire pour proter des avantages des deux types de ltres. 16.5 Analyse spectrale 16.5.1 Autocorrélation Le spectre d'un signal s(n) est la TF de la fonction d'autocorrélation φ s (n) du signal : S(ν) 2 = Φ s (ν) = + n= φ s (n)e j2πνn (16.35) La fonction d'autocorrélation de la sortie d'un système est le produit de convolution des fonctions d'autocorrélation de l'entrée et de la réponse impulsionnelle : φ s (n) = + k= φ e (n k)φ h (k) (16.36) Φ s (z) = H(z)H( 1 z )Φ e(z) (16.37) cf. TS analogique : Φ s (ν) = H(ν) 2 Φ e (ν) (16.38) La technique dite du corrélogramme est donc un moyen de calculer le spectre d'un signal. 16.5.2 Méthode non-paramétrique Méthode du périodogramme moyenné : la DSE est approximée par ˆΦ(k) = 1 N 1 2 nk j2π x(n)e N N n=0 (16.39) On calcule donc le module au carré de la TFD du signal (avec l'algorithme rapide de FFT). Attention : troncature temporelle choix de fenêtres de pondération (Hanning, Hamming, Blackman) Limite de Résolution fréquentielle Echantillonnage temporel Périodisation du spectre Risque de repliement de spectre 16.5.3 Méthode paramétrique On modélise le signal comme la sortie d'un ltre RII dont l'entrée est un bruit blanc de variance σ 2. On parle alors de processus ARMA (autoregressive - moving average) : ˆΦ(ν) = B(ν) 2 A(ν) 2 σ2

108 F.LUTHON,2014 16.6 TD3 - Synthèse d'un ltre RII Pour élaborer un ltre numérique, on peut exploiter la théorie et les techniques de synthèse des ltres analogiques. Une méthode couramment utilisée pour passer de la fonction de transfert analogique H A (p) à la fonction de transfert numérique H N (z) est la transformation bilinéaire : p = K z 1 z + 1 Cette transformation a notamment pour avantage de conserver les propriétés essentielles du ltre analogique, dont la stabilité. Par ailleurs, lorsqu'on utilise H N (z) pour ltrer un signal numérique issu de l'échantillonnage d'un signal analogique avec une fréquence d'échantillonnage F e, la fonction de transfert équivalente vis-à-vis du signal analogique est : H(f) = H N (e jθ ) où θ = 2πf/F e. 1. Montrer que pour la transformation dénie ci-dessus, lorsque p = j2πν avec ν variant de à +, la trajectoire de z est le cercle unité z = e jθ dans le plan z. En déduire la relation entre la fréquence numérique f et la fréquence analogique ν. En donner une représentation graphique. 2. On dénit le ltre numérique par H N (z) = H A (K z+1) z 1. En déduire l'allure de H(f) en fonction de celle de H A (j2πν). Application : On veut synthétiser un ltre numérique réjecteur à partir d'un ltre analogique (Fig. 16.4) dont la fonction de transfert de Laplace est : H A (p) = 1 (2πν 0 ) 2 + p 2 2 (2πν 0 ) 2 + 2ζ(2πν 0 )p + p avec : 2 2πν 0 = 1 et : ζ = R C LC 4 L 3. Donner schématiquement la variation de H A (j2πν). 4. Déterminer la constante K pour avoir H(f) = 0 pour f = ±F e /4. 5. Montrer que H N (z) correspond à un ltre récursif dont on donnera le diagramme de calcul. 6. Vérier que ce ltre est réalisable. 7. A quelle condition le ltre numérique est-il stable? Figure 16.4 Filtre RLC réjecteur.

Chapitre 17 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE 17.1 Introduction [1] Par abus de langage, on emploie souvent indiéremment les deux termes spectre et transformée de Fourier, sans se soucier de la phase de la transformée de Fourier. Mais en toute rigueur, le spectre d'un signal est le module au carré de sa transformée de Fourier. L'analyse spectrale d'un signal analogique déterministe par une technique numérique comporte deux étapes essentielles : la conversion analogique-numérique du signal : c'est l'échantillonnage, le calcul de la transformée de Fourier discrète : TFD. Ces deux étapes génèrent des distorsions qui peuvent perturber l'analyse. Pour interpréter correctement les spectres obtenus, il faut connaître l'origine et les conséquences de ces distorsions, ainsi que les techniques permettant de les minimiser. On étudiera d'abord les conséquences de l'échantillonnage temporel d'un signal, puis on mettra en évidence les problèmes posés par le recours à la TFD. 17.2 Conversion analogique-numérique 17.2.1 Échantillonnage et quantication La conversion d'un signal analogique en une séquence de valeurs numériques, ou signal numérique, se divise en deux phases : la prise d'échantillons du signal à intervalles de temps réguliers dont la durée est appelée période d'échantillonnage T e. Cet échantillonnage temporel peut induire des distorsions gênantes si les conditions du théorème de Shannon ne sont pas vériées (Ÿ 17.2.2). la quantication des valeurs des échantillons ainsi prélevés, avec un écart maximal entre la valeur réelle et la valeur stockée qui dépend du nombre de bits dont dispose le convertisseur analogique-numérique. Si le signal a un spectre susamment étendu, on assimile les conséquences de cette quantication à la superposition d'un bruit blanc sur le signal d'origine. Si le nombre de bits du calculateur est susant et si l'amplitude du signal à analyser est assez forte, on peut considérer que le rapport signal sur bruit de quantication est très grand, et négliger les eets de la quantication. 17.2.2 Echantillonnage temporel Considérons un signal analogique x a (t) de transformée de Fourier X a (f). Notons x e (t) le signal résultant de l'échantillonnage de x a (t) à la fréquence F e = 1/T e. Il est déni par : { xe (t) = x a (t) = x n si t = nt e x e (t) = 0 sinon (17.1)

Par contre, si F e < 2F m ou bien si le signal n'est pas à spectre borné, il y a recouvrement ou repliement de spectre (Fig. 17.2) Les deux spectres X e (f) et X a (f) ne coïncident plus sur l'intervalle ] -F e /2 ; F e /2 [ : on a un rehaussement d'énergie en bouts de bande autour de ±F e /2. La distorsion liée à la périodisation spectrale est alors telle que l'analyse de Fourier du signal échantillonné ne permet pas d'avoir une bonne description du spectre du signal analogique. On ne pourra pas reconstituer correctement le signal analogique à partir de ses échantillons. 110 F.LUTHON,2014 On peut écrire : x e (t) = x a (t).e(t) (17.2) où e(t) est le peigne de Dirac de période T e : e(t) = Soit E(f) la transformée de Fourier de e(t) : E(f) = F e + n= + k= δ(t nt e ) (17.3) δ(f kf e ) (17.4) La transformée de Fourier X e (f) de x e (t) est donnée par le produit de convolution : soit : X e (f) = X a (f) E(f) = X a (f) F e X e (f) = F e + k= + k= δ(f kf e ) (17.5) X a (f kf e ) (17.6) Le spectre du signal échantillonné correspond donc, au facteur multiplicatif F e près, à la périodisation à période F e du spectre X a (f) du signal analogique. Nous allons voir que cette périodisation spectrale peut introduire une distorsion du spectre dans la bande de fréquences considérée, à savoir ] F e /2; F e /2[. Supposons d'abord que X a (f) = 0 pour f > F m où F m est la fréquence maximale du signal. Selon le théorème de Shannon, si x a (t) est un signal d'énergie nie, on peut retrouver sans distorsion le signal x a (t) à partir du signal échantillonné x e (t) si et seulement si : F e 2F m. (17.7) Dans ce cas (Fig. 17.1), les spectres X a (f) et X e (f) coïncident parfaitement sur l'intervalle ] F e /2; F e /2[, et la périodisation spectrale liée à l'échantillonnage temporel n'a pas de conséquence sur l'analyse spectrale du signal étudié. Figure 17.1 Respect du théorème de Shannon : aucune distorsion dans la bande ] F e /2; F e /2[.

F.LUTHON,2014 111 Figure 17.2 Recouvrement de spectre : distorsions dans la bande ] F e /2; F e /2[. 17.3 Transformée de Fourier Discrète 17.3.1 TFDT d'un signal causal Le signal x e (t), échantillonnée idéale de x a (t), peut s'écrire d'après (17.2) : x e (t) = + n= x n δ(t nt e ) (17.8) Donc la transformée de Fourier X e (f) du signal échantillonné x e (t) s'exprime par : X e (f) = + n= x n exp( j2πnft e ) (17.9) Le signal x e (t) étant déni par une séquence discrète de valeurs x n dans le temps, X e (f) est appelée Transformée de Fourier Discrète dans le Temps (TFDT). Notons que dans cette expression, le temps est discrétisé tandis que la fréquence reste continue. Si le signal x e (t) est causal, c'est-à-dire que x n = 0 pour n < 0, alors l'expression de la TFDT se simplie : X e (f) = + n=0 x n exp( j2πnft e ) (17.10) Nous supposerons dans la suite que nous traitons toujours un signal causal. 17.3.2 Troncature temporelle Pour une fréquence f donnée, le calcul sur ordinateur de la TFDT ci-dessus est possible si le signal est de durée nie (x n est nul à partir d'un certain indice n = N). Par contre, si le signal est de durée a priori innie, la TFDT n'est pas calculable sur ordinateur (somme innie). Pour y remédier, il faut faire l'hypothèse qu'à partir d'un certain indice n = N, les échantillons x n sont négligeables. Alors, l'expression de la TFDT X e (f) devient : X e (f) = N 1 n=0 x n exp( j2πnft e ) (17.11) Cette démarche consistant à assimiler un signal de durée innie à un signal de durée nie est appelée troncature temporelle. Elle peut avoir des conséquences spectrales fâcheuses si l'hypothèse sur la

112 F.LUTHON,2014 faiblesse de l'amplitude des x n pour n N est fausse. Du point de vue mathématique, la troncature revient à multiplier le signal x e (t) par une porte causale π T (t) de largeur T = N.T e, qu'on appelle aussi fenêtre rectangulaire, dénie par : { πt (t) = 1 si t [0; (N 1)T e ] (17.12) π T (t) = 0 sinon En d'autres termes, on assimile le signal x e (t) à un signal x T (t) déni par : x T (t) = x e (t).π T (t) (17.13) Ceci revient à assimiler la TFDT X e (f) à la TFDT X T (f), résultat de la convolution : où Π T (f) est la transformée de Fourier de la porte de largeur T : X T (f) = X e (f) Π T (f) (17.14) Π T (f) = T sin(πft ) πft exp( jπf T ) (17.15) N.B. L'exponentielle complexe exp( jπft ), terme de déphasage dû au fait que la porte est causale centrée en T/2, ne modie en rien le module de la transformée de Fourier. Cette convolution par un sinus cardinal induit des distorsions caractérisées par un élargissement spectral et l'apparition d'ondulations dans le voisinage des zones de transition du spectre 1 (zones de fréquences où est concentrée l'énergie) : c'est ce que l'on appelle le phénomène de Gibbs (Fig. 17.3). Figure 17.3 Phénomène de Gibbs pour le spectre d'un sinus représenté sur l'intervalle [0; F e /2]. 17.3.3 Pondération temporelle Pour diminuer les incidences spectrales de la troncature temporelle, on peut pondérer le signal échantillonné par une fonction qui laisse inchangés les échantillons situés au centre de la fenêtre, et qui atténue plus ou moins les échantillons situés sur les bords de cette fenêtre. Cela revient à calculer la TFDT pour un signal multiplié non plus par une fenêtre rectangulaire de durée T (Eq. 17.13), mais par une fenêtre de pondération temporelle de même durée, appelée aussi fenêtre d'apodisation. 1. Classiquement, on ne représente le spectre que dans l'intervalle [ 0 ; Fe/2 ] car on sait que pour les signaux réels, le spectre est symétrique par rapport à f = 0 : X( f) = X (f), où dénote le complexe conjugué.

F.LUTHON,2014 113 Il existe de nombreux types de pondérations. Toutes ont comme objectif de réduire l'amplitude des ondulations et l'élargissement spectral associés au phénomène de Gibbs, mais elles ont des propriétés spéciques diérentes. Nous limiterons notre étude à trois fenêtres de pondération, dont les propriétés sont représentatives des grandes catégories de pondérations possibles : la fenêtre de Hanning, d'expression temporelle : { [ ( )] w h (t) = 0.5 1 cos 2πt (N 1)T e si t [0; (N 1)T e ] (17.16) w h (t) = 0 sinon la fenêtre de Hamming, d'expression temporelle : { ( w H (t) = 0.54 0.46 cos 2πt w H (t) = 0 (N 1)T e ) la fenêtre de Blackman, d'expression temporelle : { ( ) ( ) w B (t) = 0.42 0.50 cos 2πt (N 1)T e + 0.08 cos 4πt (N 1)T e w B (t) = 0 si t [0; (N 1)T e ] sinon si t [0; (N 1)T e ] sinon (17.17) (17.18) Quelle que soit la fenêtre de pondération temporelle, le module de sa transformée de Fourier est constitué d'un lobe central ou principal d'amplitude unité et de largeur variable selon la pondération, et d'une succession de lobes secondaires dont l'amplitude relative à celle du lobe principal décroît plus ou moins vite selon la pondération. Ces diérentes propriétés sont résumées dans le Tab. 17.1. Table 17.1 Caractéristiques des fenêtres de pondération. Fenêtre Atténuation (en db) Largeur (en Hz) Vitesse d'atténuation du premier lobe secondaire du lobe principal des lobes secondaires Rectangulaire -13 2F e/n Lente Hanning -31 4F e/n Rapide Hamming -41 4F e/n Lente Blackman -57 6F e/n Très rapide L'intérêt de chaque pondération dépend à la fois des objectifs recherchés et du type de signal analysé : signal à spectre continu, signal périodique, signal à large spectre, signal à spectre étroit... 17.3.4 Echantillonnage fréquentiel - TFD Pour une fréquence f donnée, on peut calculer la TFDT et contrôler dans une certaine mesure les distorsions liées au phénomène de Gibbs grâce aux fenêtres de pondération. Mais le calcul sur ordinateur de l'ensemble du spectre, autrement dit de la TFDT pour f [0, F e /2], n'est évidemment possible que pour un nombre ni de valeurs de la fréquence. Il faut donc échantillonner en fréquence la TFDT sur cet intervalle. Compte tenu du théorème de Shannon, la durée du signal temporel analysé étant égale 2 à T = N.T e, il sut d'échantillonner la TFDT à une "fréquence" égale à N.T e, ce qui revient à prendre un échantillon spectral tous les F e /N. Le spectre ainsi échantillonné, représentation spectrale discrète d'un signal discret dans le temps, est appelé Transformée de Fourier Discrète (TFD). La TFD est alors donnée par les valeurs X k dénies par : X k = N 1 n=0 x n exp( j 2πnk N ) (17.19) NB : Pour le calcul de la formule (17.19) sur ordinateur, il existe un algorithme rapide appelé FFT (Fast Fourier Transform) : FFT 1-D pour les signaux et FFT 2-D pour les images. 2. N est le nombre d'échantillons du signal sans zero-padding (cf. commentaire sur la t en annexe).

114 F.LUTHON,2014 Notons que dans cette expression, le temps et la fréquence sont échantillonnés. Cet échantillonnage fréquentiel peut avoir une inuence notable sur l'allure du spectre. En eet, considérons le cas simple d'une cosinusoïde de fréquence f 0, échantillonnée à la fréquence F e et observée sur une fenêtre de durée T = N.T e, où N représente le nombre d'échantillons du signal. Son spectre continu théorique sur [0; F e /2] correspond à un sinus cardinal dont le maximum est centré en f 0, et dont les zéros sont espacés de 1/T car : 1 2 δ(f f 0) T sin(πft ) 2 πft = K sin π(f f 0)T ) 2 π(f f 0 )T (17.20) Or on a justement : 1 T = 1 NT e = Fe N c'est-à-dire que l'espacement entre les zéros du sinc est le même que l'espacement entre les points du spectre échantillonné. Ainsi, si f 0 = k.f e /N (avec k entier), les échantillons du spectre tombent exactement sur les zéros du sinc (Fig. 17.4a). Alors le phénomène de Gibbs, bien que présent, n'apparaît pas à la visualisation du spectre échantillonné (raie spectrale ne). Il est masqué par l'échantillonnage fréquentiel. Par contre, si f 0 = (k + 1/2).F e /N, les échantillons du spectre tombent sur les maxima des lobes secondaires du sinc (Fig. 17.4b). Alors le phénomène de Gibbs est le plus apparent (raie spectrale très large). L'échantillonnage fréquentiel révèle clairement le phénomène, dit de fuite d'énergie (leakage en anglais), où l'amplitude de la raie fréquentielle est diminuée. Figure 17.4 Inuence de l'échantillonnage fréquentiel : a) Echantillonnage passant par les zéros du sinc ; b) Echantillonnage passant par les maxima du sinc. On peut résumer cette discussion en calculant le rapport : r = f 0 f avec f = F e N c'est-à-dire r = Nf 0 F e = T f 0 = T T 0 (17.21) où T 0 représente la période du signal sinusoïdal. Selon la valeur de r, on sera dans un cas d'échantillonnage fréquentiel induisant plus ou moins de fuite d'énergie, les cas extrêmes correspondant respectivement à r demi-entier et r entier. Tous les cas intermédiaires sont bien sûr possibles. En pratique évidemment, on ne peut pas maîtriser ce paramètre r sans connaissance a priori sur le signal (il faudrait connaître f 0... ce qui est justement le but de l'analyse spectrale!) Il faudra donc toujours se méer du phénomène de fuite d'énergie éventuelle avant d'interpréter un spectre... Dans le cas d'une analyse avec une fenêtre rectangulaire, on peut aboutir à des représentations spectrales très diérentes pour des signaux de même type (cf. Fig. 17.5 pour le cas d'une sinusoïde) soit parce que l'on a modié légèrement la fréquence d'échantillonnage ou le nombre de points acquis, soit parce que la fréquence du signal est légèrement diérente. Là encore, le recours aux pondérations décrites au Ÿ 17.3.3 peut s'avérer utile. Signalons pour nir que l'on peut également interpréter ce phénomène de fuite d'énergie d'un point de vue temporel. L'échantillonnage fréquentiel se traduit en eet par une périodisation temporelle à la période T = N.T e du signal analogique original. Le spectre échantillonné de x e (t) correspond donc en fait au spectre d'un signal périodique de période T, dont une période correspond aux N premiers échantillons de x e (t). Si le rapport T/T 0 n'est pas entier, le signal périodisé présentera des discontinuités aux raccordements des tranches de signal, qui se traduiront par des distorsions spectrales

F.LUTHON,2014 115 plus ou moins importantes selon la nature de ces discontinuités. Comme T = N.T e, on comprend que cette interprétation temporelle revient exactement à l'interprétation fréquentielle précédente où on calculait le rapport : r = Nf 0 F e = T f 0 = T T 0. (17.22) Figure 17.5 Spectres discrets (TFD sur [0; F e /2]) de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très proches (64 Hz et 63.125 Hz) pour une même fréquence d'échantillonnage F e = 256 Hz et un même nombre d'échantillons N=64.

116 F.LUTHON,2014

Cinquième partie ANNEXE MATHEMATIQUE

De même : δ(x a) f(x) = f(x a) On en déduit les intégrales : Chapitre 18 RECAPITULATIF SUR LES TRANSFORMEES 18.1 Rappel sur les distributions Dénition On appelle distribution T, une fonctionnelle sur D où D est l'ev des fonctions ϕ(t) à valeurs complexes dénies sur R, indéniment dérivables et à support borné. T : D ϕ C < T, ϕ > Exemple : < T F, ϕ > = + F (t) ϕ (t) dt < δ, ϕ > = < T δ, ϕ > = + δ (t) ϕ (t) dt = ϕ (0) f (t) = f (t) δ (t nt ) = n=0 f (nt ) δ (t nt ) NB. Distribution : pas de sens au sens des fonctions (intégrale de Riemann). Distribution de Dirac Dénie par une limite : δ(x) = lim I ɛ (x) où I ɛ (x) est une impulsion inniement courte (durée ɛ) ɛ 0 et inniement haute (amplitude 1/ɛ) : On en déduit : la parité : δ(x) = δ( x) et δ(x a) = δ(a x) l'intégrale : + δ(x)dx = 1 Produit simple : distribution pondérée par la valeur de la fonction : δ(x a)f(x) = δ(x a)f(a) cas particulier où a = 0 : δ(x)f(x) = δ(x)f(0) Elément neutre de la convolution (preuve par la TL : H(p) = 1) : + δ(x u)f(u)du = + n=0 δ(u)f(x u)du = δ(x) f(x) = f(x)

120 F.LUTHON,2014 + + δ(x)f(x)dx = f(0) δ(x a)f(x)dx = f(a) Dérivée : f (x) = f(x) δ (x) Dérivée nième : f(x) δ (n) (x) = f (n) (x)

F.LUTHON,2014 121 18.2 Développement en Série de Fourier Soit une fonction f(t) : périodique de période T dénie dans un intervalle [θ, θ + T ], satisfaisant les conditions de Dirichlet (discontinuités de 1ère espèce). Alors : avec : On peut poser : Terminologie f(t) = a 0 + k=1 a 0 = 1 T a k = 2 T b k = 2 T a k cos 2πkt T θ θ+t θ θ+t { ak = A k cos ϕ k b k = A k sin ϕ k f(t) = a 0 + θ θ+t f(t) dt + b k sin 2πkt T f(t) cos 2πkt T dt f(t) sin 2πkt T dt { A k = k=1 a 0 représente la composante continue A 1 représente l'amplitude du fondamental A k représente l'amplitude de l'harmonique de rang k ϕ k représente le déphasage ν = 1/T représente la fréquence fondamentale ω = 2πν = 2π/T représente la pulsation de base. Formule de Bessel-Parseval On a conservation de l'énergie : 1 T θ+t θ [f (t)] 2 dt = a 2 0 + 1 2 a 2 k + b2 k ϕ k = Arctg b k a k ( ) 2π kt A k cos ϕ k T ( a 2 k + b 2 k) k=1 } {{ } A 2 k Dénition de la valeur ecace V eff = [ 1 T θ+t θ [f (t)] 2 dt] 1/2 C'est-à-dire : V 2 eff = < [f (t)] 2 > valeur moyenne DSF Exponentiel f(t) = + k= c k exp ( ) j2πkt T avec Pour un signal réel, on a c k = c k d'où : c k = F (k) = 1 T θ+t θ ( f(t) exp j2πkt T ) dt a 0 = c 0 (18.1) a k = 2R[c k ] (18.2) b k = 2I[c k ] (18.3)

122 F.LUTHON,2014 18.3 Tableau récapitulatif de la TL T L Domaine du temps t R Domaine de fréquence généralisée p C où t > 0 T L 1 avec Re(p) = σ > σ o f(t) + F (p) = f(t)e pt dt f(t) df/dt pf (p) f(0 + ) f(t) g(t) F (p).g(p) f(0 + ) = lim pf (p) p f( ) = lim pf (p) p 0 f(t t 0 ) e pt 0 F (p) e at f(t) F (p + a) a.f(at) F (p/a) f (n) (t) p n F (p) p n 1 f(0) p n 2 f (0)... f (n 1) (0) ( 1) n t n f(t) F (n) (p) δ(t) 1 δ (n) (t) p n H(t) = 1 t>0 1/p t 1/p 2 t n /n! 1/p n+1 e at 1/(p + a) sin ωt ω/(p 2 + ω 2 ) cos ωt p/(p 2 + ω 2 ) sinh at a 0 p 2 a 2 p p 2 a 2 cosh at e at t n /n! 1/(p + a) n+1 e at sin ωt ω (p+a) 2 +ω 2 p+a (p+a) 2 +ω 2 e at cos ωt e bt sinh at a e bt cosh at [(b a)t + 1]e at (p b) 2 a 2 p b (p b) 2 a 2 e at e bt 1 a b (p a)(p b) ae at be bt p a b (p a)(p b) p+b (p+a) 2 2ωp t sin ωt (p 2 +ω 2 ) 2 p t cos ωt 2 ω 2 (p 2 +ω 2 ) 2 sin(ωt) ωt cos ωt 2ω 3 1 (p 2 +ω 2 ) 2

F.LUTHON,2014 123 18.4 Tableau récapitulatif de la TF Domaine du temps continu Domaine des fréquences t R T F 1 ν R ( ω = 2πν) + f(t) = F (ν)e +j2πνt + dν F (ν) = f(t)e j2πνt dt + T F f( t) F ( ν) f(t/a) a F (aν) f(t) g(t) F (ν).g(ν) f(t).g(t) F (ν) G(ν) f(t t 0 ) e j2πt0ν F (ν) e j2πν0t f(t) F (ν ν 0 ) f (n) (t) (j2πν) n F (ν) ( j2πt) n f(t) F (n) (ν) f(t) F ( ν) δ(t) 1 1 δ(ν) δ(t t 0 ) e j2πt 0ν e j2πν 0t δ(ν ν 0 ) δ (n) (t) (j2πν) n (j2πt) n ( 1) n δ (n) (ν) T (t) T sinc(πνt ) sin(πt)/(πt) 1 (ν) T (t) (T/2)sinc2 (πνt/2) δ(ν) H(t) 2 j 2πν sign(t) j πν 1 cos 2πν 0 t 2 [δ(ν + ν 0) + δ(ν ν 0 )] sin 2πν 0 t j 2 [δ(ν + ν 0) δ(ν ν 0 )] exp( πt 2 ) exp( πν 2 ) e t H(t) 1/(1 + j2πν) e t 2/(1 + 4π 2 ν 2 ) te πt2 iνe πν2 + + + δ(t nt 0 ) F 0 = 1 T 0 F 0 δ(ν nf 0 ) δ(t n) T 0 = 1 + δ(ν n) δ(t n) = + e j2πnt Formule de Poisson + δ(ν n) = + e j2πnν

124 F.LUTHON,2014 18.5 Tableau récapitulatif de la TZ Domaine du temps échantillonné t = nt e f(t) = f(nt e ) = f(n) f(nt e ) = 1 f 1 (t) f 2 (t) = j2π C 0 T Z T Z 1 Domaine des fréquences F (z) z = e pte C F (z) z z n dz F (z) = + n=0 f(n)z n f(t kt e ) = f(n k) z k F (z) f(t + kt e ) = f(n + k) z k F (z) k 1 z k n f(nt e ) t/t e=n k=0 n=0 f 1 (kt e )f 2 (t kt e ) F 1 (z).f 2 (z) f(0) = lim F (z) z f( ) = lim(z 1)F (z) = lim(1 z 1 )F (z) z 1 z 1 f(t)e at F (ze ate ) f(t)a t F ( z a ) Te tf(t) T e zf (z) δ(t) 1 δ(t kt e ) z k H(t) z/(z 1) e at z/(z e ate ) a t z/(z a Te ) t T e z/(z 1) 2 t 2 Te 2 z(z + 1)/(z 1) 3 te at T e ze ate /(z e ate ) 2 e at t 2 /2 zt 2 e e at e 2(z e ate ) 2 + zt 2 e e 2aT e (z e ate ) 3 sin ωt z sin ωt e /(z 2 2z cos ωt e + 1) cos ωt z(z cos ωt e )/(z 2 2z cos ωt e + 1) e at sin ωt ze ate sin ωt e /(z 2 2ze ate cos ωt e + e 2aTe ) e at cos ωt z(z e ate cos ωt e )/(z 2 2ze ate cos ωt e + e 2aTe ) sinh ωt z sinh ωt e /(z 2 2z cosh ωt e + 1) cosh ωt z(z cosh ωt e )/(z 2 2z cosh ωt e + 1)

F.LUTHON,2014 125 18.6 Tableau synthétique des transformées Transformée Liens Directe Inverse + TF ω = 2πν F (ν) = f(t)e j 2π ν t + dt f(t) = F (ν)e +j 2π ν t dν énergie nie TFDT t = nt e X(ν) = + échantillonné F e = 1/T e n= TFDT u = ν F e X(u) = + fréq. réduite (F e = 1) TFD (FFT) ν = kfe N n= X k = N 1 durée tronquée T = NT e DSF ν k = k T 0 C k = 1 T 0 n=0 [T 0 ] x n exp( j2πνnt e ) x n = x n exp( j2πnu) x n = F e/2 F e/2 1/2 1/2 x n exp( j 2πnk N ) x n = N 1 n=0 X(ν) exp(j2πνnt e )dν X(u) exp(j2πnu)du X k exp(+j 2πnk N ) ( ) f(t) exp j 2πkt T 0 dt f(t) = + ( ) C k exp j 2πkt T 0 k= périodique période T 0 TL p = jω Φ(p) = f(t)e pt dt f(t) = 1 analogique C = 0 causal 0 C+j j2π C j Φ(p)e pt dp TZ z = e pte F (z) = f(nt e )z n f(nt e ) = 1 j2π z n 1 F (z)dz n=o C 0 numérique t = nt e = Résidu [ z n 1 ] F (z) ; z = p i i C 0 cercle U

126 F.LUTHON,2014

AUTRES RELATIONS : Chapitre 19 RAPPEL DE PREREQUIS 19.1 Trigonométrie RELATION FONDAMENTALE : sin 2 θ + cos 2 θ = 1 PARITE : sin ( θ) = sin (θ) cos ( θ) = cos (θ) SYMETRIE : sin ( π 2 θ) = sin ( π 2 + θ) = cos θ cos ( π 2 θ) = cos ( π 2 + θ) = sin θ tan ( π 2 θ) = cot θ cot ( π 2 θ) = tan θ cos (π θ) = cos (π + θ) = cos θ sin (π θ) = sin (π + θ) = sin θ ADDITION : } { sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a + tan b = sin(a+b) cos a cos b sin (a b) = sin a cos b cos a sin b tan a tan b = sin(a b) cos a cos b cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b tan a+tan b tan a tan b tan (a + b) = 1 tan a tan b tan (a b) = 1+tan a tan b cot (a + b) = cot (a b) = cot a cot b 1 cot a+cot b 1+cot a cot b cot b cot a ANGLE DOUBLE : sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos 2 a sin 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 sin 2 a cos 2 1+cos 2a a = 2 sin 2 1 cos 2a a = 2 tan 2a = 2 tan a 1 tan 2 a sin a + sin b = 2 sin ( ) ( a+b 2 cos a b ) 2 sin a sin b = 2 sin ( ) ( a b 2 cos a+b ) 2 cos a + cos b = 2 cos ( ) ( a+b 2 cos a b ) 2 cos a cos b = 2 sin ( ) ( a+b 2 sin a b ) 2 sin (a + b) sin (a b) = cos 2 b cos 2 a cos (a + b) cos (a b) = cos 2 b sin 2 a SOMME-DIFFERENCE-PRODUIT : sin a sin b = 1 2 [cos (a b) cos (a + b)] sin a cos b = 1 2 [sin (a + b) + sin (a b)] cos a cos b = 1 2 [cos (a b) + cos (a + b)] cos a sin b = 1 2 [sin (a + b) sin (a b)] tan a tan b = cos(a b) cos(a+b) cos(a b)+cos(a+b) tan a tan b = sin(a+b)+sin(a b) sin(a+b) sin(a b)

128 F.LUTHON,2014 1 cos 2 θ = 1 + tan2 θ 1 sin 2 θ = 1 + cot2 θ soit : t = tan a 2 cos a = 1 t2 1+t 2 sin a = 2t 1+t 2 tan a = 2t 1 t 2 ANGLES REMARQUABLES : cot a = 1 t2 2t 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin 0 1/2 2/2 3/2 1 cos 1 3/2 2/2 1/2 0 tan 0 1/ 3 1 3 + cot 3 1 1/ 3 0 RELATIONS ENTRE FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES : sin cos tan cot sin x = sin x ± 1 cos 2 x ± tan x 1+tan 2 x cos x = ± 1 sin 2 x cos x 1 ± 1+tan 2 x tan x = sin x cot x = ± ± 1 sin 2 x 1 sin 2 x sin x 1 ± 1+cot 2 x ± cot x 1+cot 2 x ± 1 cos 2 x cos x tan x 1 cot x cos x ± 1 cos 2 x 1 tan x cot x arctan x + arctan 1 x = π 2 DERIVEES : fonction sin x cos x tan x cot x arcsin x arccos x arctan x dérivée cos x sin x 1 cos 2 x = 1 sin 2 x = 1 1 x 2 1 + tan 2 x 1 cot 2 x 1 1 x 2 1 1+x 2 LIMITES ET INTEGRALES USUELLES : lim x 0 sin x x = 1 et + 0 sin x x = π 2 FORMULES D'EULER : cos θ = exp(iθ)+exp( iθ) 2 et sin θ = exp(iθ) exp( iθ) 2i

F.LUTHON,2014 129 19.2 Développements limités usuels au voisinage de zéro lim ε (x) = 0 x 0 (1 + x) r = 1 + rx 1! a x = 1 + x ln a 1! + + r(r 1)x2 2! e x = 1 + x 1! + x2 2! + + xn n! + xn ε (x) (x ln a)2 2! + + + + (x ln a)n n! r(r 1) (r p + 1)xp p! +x n ε (x) + x n ε (x) car a x = exp (x ln a) + + 1 1 + x = 1 x + x2 x 3 + x 4 x 5 + ( 1) n x n + x n ε (x) 1 1 x = 1 + x + x2 + x 3 + x 4 + x 5 + x n + x n ε (x) ln (1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + ( 1)n 1 x n n + xn ε (x) ln (1 x) = x x2 2 x3 3 x4 4 xn n + xn ε (x) sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)n x 2n+1 + x 2n+2 ε (x) (2n + 1)! sinh x = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! + + x2n+1 (2n + 1)! + x2n+2 ε (x) cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + + ( 1)n x 2n + x 2n+1 ε (x) (2n)! cosh x = 1 + x2 2! + x4 4! + x6 6! + + x2n (2n)! + x2n+1 ε (x) tan x = x + x3 3 + 2x5 15 + 17x7 315 + x8 ε (x) tanh x = x x3 3 + 2x5 15 17x7 315 + x8 ε (x) cot x = 1 x x 3 x3 45 + x4 ε (x) arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + + ( 1)n x 2n+1 + x 2n+2 ε (x) 2n + 1 arg tanh x = x + x3 3 + x5 5 + x7 7 + + x2n+1 2n + 1 + x2n+2 ε (x) r(r 1) (r n + 1)xn n! arcsin x = x + 1 2 x3 3 + 1 3 2 4 x5 5 + 1 3 5 2 4 6 x7 1 3 5 (2n 1) x2n+1 + + 7 2 4 (2n) (2n + 1) + x2n+2 ε (x) arg sinh x = x 1 2 x3 3 + 1 3 2 4 x5 5 1 3 5 2 4 6 x7 7 + + ( 1)n 1 3 5 (2n 1) x 2n+1 2 4 (2n) (2n + 1) +x 2n+2 ε (x)

130 F.LUTHON,2014 19.3 Décomposition des fractions rationnelles : F (x) = P n(x) Q m (x) 1. CHERCHER LA PARTIE ENTIERE : si n m 2. POLE REEL SIMPLE : F (x) = P (x) (x a)q(x) avec Q (a) 0 Forme de la décomposition : F (x) = Autre méthode (si fraction compliquée) : 3. POLE REEL MULTIPLE : F (x) = A x a + où : A = (x a) F (x) x=a A = P (a) Q (a) P (x) (x a) k Q(x) avec Q (a) 0 Forme de la décomposition : F (x) = A 1 x a + A 2 + + A (x a) 2 k + (x a) k P 1(y) y k Q 1 (y). Poser y = x a F = On divise P 1 (y) par Q 1 (y) selon les puissances croissantes à l'ordre k 1. 4. POLES COMPLEXES CONJUGUES : p 2 4q < 0 P (x) F (x) = (x 2 + p x + q) k Q (x) avec (a, a) C 2 Q (a) 0 racines de x 2 + px + q (a) k = 1 On décompose dans C et on regroupe les 2 termes obtenus (car B = A) ( ) Forme de la décomposition : F (x) = A x a + B x a + = A 1x+B 1 x 2 +px+q + avec : A 1 = 2Re [A] et B 1 = 2Re [Aa] (b) k 1, Q simple On soustrait de F les éléments simples issus de Q nouvelle fraction simpliée. P On se ramène à : F 1 (x) = 1 (x). On divise P (x 2 +p x+q) k 1 par x 2 + px + q (selon les puissances décroissantes). Et on recommence. (c) k 2, Q moins simple Forme de la décomposition : F (x) = A 1x + B 1 x 2 + px + q + A 2 x + B 2 (x 2 + px + q) 2 + + A kx + B k (x 2 + px + q) k + On calcule : ( x 2 + px + q ) k F (x) P (a) x=a Q(a) = A ka + B k P (a) = Q(a) [A k a + B k ] or a 2 = pa q donc on remplace toutes les puissances de a par une combinaison linéaire de 1 et a. On obtient : a [expression n 1 en A k et B k ] + 1 [ expression n 2 en A k et B k ] = 0 { expression n Or 1 et a forment un système linéaire indépendant 1 = 0 expression n 2 = 0 On est donc ramené à résoudre un système linéaire en A k et B k. On forme ensuite : F (x) A kx+b k et on recommence pour avoir A (x 2 +px+q) k k 1 et B k 1... NB : inutile de déterminer a. 5. ISSUES DE SECOURS (a) donner à x des valeurs particulières ( 0 ; 1 ; -1...) (b) calculer lim xf (x) x (c) méthode d'identication générale avec coecients indéterminés (d) calculer (x a) k F (x) pour le terme de plus haut degré x=a (e) utiliser la parité. (f) faire une vérication a posteriori.

F.LUTHON,2014 131 19.4 Fonctions hyperboliques directes DEFINITIONS : cosh x = ex +e x 2 > 0 sinh x = ex e x 2 tanh x = sinh x cosh x coth x = 1 tanh x cos x = cosh (ix) cosh x = cos ( ix) sin x = i sinh (ix) sinh x = i sin (ix) DERIVEES : fonction sinh x cosh x tanh x coth x 1 dérivée cosh x sinh x cosh 2 x = 1 tanh2 1 x sinh 2 x = 1 coth2 x TRIGONOMETRIE HYPERBOLIQUE : cosh 2 x sinh 2 x = 1 cosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b cosh (a b) = cosh a cosh b sinh a sinh b sinh (a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b sinh (a b) = sinh a cosh b cosh a sinh b tanh (a + b) = tanh a+tanh b 1+tanh a tanh b cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x = 2 cosh 2 x 1 = 1 + 2 sinh 2 x sinh 2x = 2 sinh x cosh x tanh 2x = 2 tanh x 1+tanh 2 x 19.5 Fonctions hyperboliques réciproques DEFINITIONS y = arg sinh x x R y = arg cosh x x 1 y = arg tanh x 1<x<1 y = arg coth x x>1 (resp. x< 1) x = sinh y y R x = cosh y y 0 x = tanh y y R x = coth y y>0 (resp. y<0) EXPRESSIONS LOGARITHMIQUES ( x R, arg sinh x = ln x + ) x 2 + 1 ( x 1, arg cosh x = ln x + ) x 2 1 ( ) x < 1 arg tanh x = 1 2 ln 1+x ( 1 x) x > 1 arg coth x = 1 2 ln x+1 x 1 DERIVEES N.B : (arg sinh x) = 1 1+x 2 (arg cosh x) = 1 x 2 1 (arg tanh x) = 1 sur ] 1 ; +1 [ 1 x 2 (arg coth x) = 1 sur ] ; 1 [ ] 1 ; + [ 1 x 2 x ] ; 1 [ ] 1 ; + [, x R, x 1, x 1, ( ln x + ) x 2 1 = 1 ( ) 1 2 ln 1+x = 1 1 x 1 x 2 x 2 1

132 F.LUTHON,2014 19.6 Les coniques π θ π p Equation polaire : r = 1+e cos θ avec : p > 0 e > 0 Selon les valeurs de e, on obtient toutes les coniques : 1. ellipse : 0 < e < 1 2. parabole : e = 1 3. hyperbole : e > 1 Equations cartésiennes : Donc : r + e r cos θ = p r = p e x x = r cos θ y = r sin θ r 2 = x 2 + y 2 r 2 = (p e x) 2 ( 1 e 2) x 2 + y 2 = p 2 2p e x 1. si e = 1 : y 2 = p 2 2p x parabole 2. si e 1 : ( 1 e 2 ) ( x + p e 1 e 2 ) 2 } {{ } X +y 2 = p 2 + p2 e 2 1 e 2 = p2 1 e 2 ( 1 e 2 ) X 2 + y 2 = p2 X 2 1 e 2 p 2 (a) si 0 < e < 1 : on pose : a 2 = p2 (1 e 2 ) 2 b 2 = p2 1 e 2 d'où : X 2 a 2 + y2 b 2 = 1 ellipse (b) si e > 1 : on pose : a 2 = p2 (1 e 2 ) 2 b 2 = p2 e 2 1 d'où : X 2 a 2 y2 b 2 = 1 hyperbole + y2 p 2 (1 e 2 ) 2 (1 e 2 ) = 1

Bibliographie [1] M. Kunt. Techniques modernes de traitement numérique des signaux, volume 1, 2 et 3. Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1991. [2] M. Rivoire and J.L. Ferrier. Cours d'automatique : Traitement du Signal, Systèmes, volume 1. Eyrolles, Paris, 1995. [3] F. Cottet. Traitement des signaux et acquisition de données. Cours et exercices résolus. Dunod, Paris, 1997. ref. 621.3COT 25421. [4] F. Cottet. Aide-mémoire Traitement du signal, IUT Master Ecole d'ingénieur. Dunod, Paris, 2nd edition, 2011. 621.38COT55625. [5] E. Félice and P. Révilla. Qualité des réseaux électriques et ecacité énergétique. L'Usine Nouvelle. Dunod, Paris, 2009. Ref. 621.3FEL 50486. [6] P. Barrade. Electronique de puissance. Méthodologie et convertisseurs élémentaires. Presses polytechniques et universitaires romandes, EPFL Lausanne, 2006. ref.621.3bar49832. [7] Hewlett Packard, Loveland, Colorado USA. Spectrum Analyzer 3582A, Operating Manual, 1979. [8] L. Henry. Les fondements du génie électrique. Editions Tec & Doc. Lavoisier, Paris, 2007. [9] C. François. Génie électrique, Cours complet illustré IUT BTS CPGE. Ellipses Edition, Paris, 2004. [10] J.L. Gorgol, M. Lombart, and P. Mayé. Cours d'électronique. Eyrolles, Paris, 3e edition, 1994. [11] R. Merat, R. Moreau, L. Allay, J.P. Dubos, J. Lafargue, and R. Le Go. Electronique Analogique. Etapes. Nathan, Paris, 1992. [12] F. Manneville and J. Esquieu. Systèmes bouclés linéaires, de communication et de ltrage, volume 2 of Electronique. Dunod, Paris, 1990. [13] Jacques Max and Collaborateurs. Méthodes et techniques de traitement du signal et applications aux mesures physiques, volume 1 et 2. Masson, Paris, 4e edition, 1987. [14] M. Bellanger. Traitement numérique du signal. Théorie et pratique. Masson, Paris, 5e edition, 1996. [15] M. Najim. Synthèse de ltres numériques en traitement du signal et des images. Hermes, Lavoisier, Paris, 2004.