ADDITION ET SOUSTRACTION DANS N I. Addition dans l ensemble des entiers naturels 1. Définitions Définition à partir de la notion d ensemble Soit deux ensembles disjoints A et B, de cardinal fini respectivement égal à a et b 1. Le procédé qui, au couple (a ; b) associe le cardinal de la réunion de A et de B, définit une loi de composition interne 2 sur V appelée addition sur V. A Card(A) = a et Card(b) = b B Si a + b est le résultat de l'opération, on a alors a + b = Card(A B). On a calculé la somme de a et de b. Si A compte 7 éléments et B en compte 9 et si A et B n'ont pas d'éléments en commun, la réunion de A et de B possède 16 éléments. On peut alors écrire 7 + 9 = 16 et définir ainsi la somme de 7 et de 9. Autre définition Soit un nombre entier naturel a et son successeur immédiat 3 noté a 1. On passe de a à a 1 en avançant d une unité sur la droite numérique. 1 Ce qui signifie que a et b sont deux nombres entiers naturels, éventuellement égaux à zéro, que A possède a éléments et que B possède b éléments. 2 Etant donné un ensemble de nombres noté E, on appelle loi de composition interne sur E ou opération, un procédé qui à tout couple de E x E, associe un élément de E. 3 C'est-à-dire le plus petit nombre entier strictement supérieur à a. Addition et soustraction dans N 1 / 8
Soit un autre entier naturel b. Si l'on avance de b unités sur la droite numérique, on atteint un nombre entier s. On peut alors définir une loi de composition interne sur V en associant au couple (a ; b) ce nombre s, obtenu en effectuant b sauts de une unité à partir de a sur la droite numérique. Par définition, on dira que s est la somme de a et de b : a + b = s. 1 1 1 b sauts a a1 s Si a = 7 et b = 9, lorsque l'on avance de 9 unités sur la droite numérique, à partir de 7, on arrive sur le nombre 16. On définit ainsi la somme de 7 et de 9 et on écrit 7 + 9 = 16. Addition et somme L addition désigne l'opération. La somme désigne le résultat de l'opération appliquée à un couple de nombres particulier. 2. Propriétés L addition dans V est associative : (a + b) + c = a + (b + c). Elle est commutative : a + b = b + a. Elle possède 0 comme élément neutre : a + 0 = 0 + a = a. Elle est compatible avec la relation d ordre. Cela signifie que si a, b et c sont trois entiers naturels tels que a b, alors a + c b + c. Par conséquent, si d est un autre entier naturel et si a b et c d, alors a + c b + d 4. Elle est régulière. Cela signifie que si a, b et c sont trois entiers naturels et si a + c b + c, alors a b. Sur l'ensemble V, dont tous les éléments sont positifs, seul le nombre 0 dispose d'un symétrique (lui-même). Cela signifie, par exemple, qu'il n'existe pas de nombre n dans V tel 3 + n = 0. 4 On dit que l'on peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens. Addition et soustraction dans N 2 / 8
3. Technique opératoire Sans retenue Le calcul de la somme de 254 et de 32 est posé de la manière suivante : + 3 2 Cette présentation en colonnes revient à aligner verticalement les chiffres des unités, puis les chiffres des dizaines, puis les chiffres des centaines des deux nombres. Les calculs sont alors effectués de la droite vers la gauche. Les unités sont ajoutées entre elles, puis les dizaines, puis les centaines. Dans l exemple, lorsque l'on ajoute 4 unités et 2 unités, on obtient 6 unités. Le chiffre des unités de la somme sera donc un 6, que l'on aligne, au résultat, avec le chiffre des unités des deux termes de la somme. On passe ensuite au rang des dizaines. De la même manière, 5 dizaines et 3 dizaines font 8 dizaines. Enfin, au rang des centaines, tout se passe comme si on ajoutait 2 centaines (pour 254) et zéro centaine (pour 32). + 3 2 2 8 6 Remarque Le calcul en colonnes de la somme de 254 et de 32 revient à calculer la somme de 200 + 50 + 4 et de 30 + 2 de la manière suivante : (200 + 50 + 4) + (30 + 2) = (2 + 4) + (50 + 30) + 200. Avec retenue Pour le calcul de la somme de 254 et de 48, la présentation du calcul ne change pas. Une différence apparaît lorsque l'on ajoute les 4 unités de 254 aux 8 unités de 48. Addition et soustraction dans N 3 / 8
En effet, le résultat (12 unités) est strictement supérieur à 9 unités. Dans ce cas, avec ces 12 unités, une dizaine est constituée. Elle sera reportée, dans le calcul, au rang des dizaines. Seules les deux unités restantes sont conservées au résultat. Cette dizaine reportée est appelée retenue. 1 + 4 8 Au rang des dizaines, en ajoutant 5 dizaines de 254 avec 4 dizaines de 48 et une dizaine de retenue, on obtient 10 dizaines. Ces 10 dizaines sont regroupées en une centaine qui est reportée au rang suivant dans le calcul. Le chiffre des dizaines du résultat sera alors un zéro puisqu'il ne reste plus de dizaine isolée. 2 1 1 + 4 8 0 2 Enfin, le chiffre des centaines est trouvé en ajoutant aux deux 2 centaines de 254 la centaine de retenue provenant du rang des dizaines. 1 1 + 4 8 3 0 2 La technique opératoire utilise donc : - la décomposition des nombres en centaines, dizaines et unités (en milliers, centaines, dizaines et unités ou au-delà pour les nombres plus grands) ; - le principe de groupement par 10 des unités d'un rang donné et d'échange d'un groupement contre une unité du rang supérieur, cette unité du rang supérieur prenant le nom de retenue. La technique opératoire décrite s'étend à une somme ayant plus de deux termes. Addition et soustraction dans N 4 / 8
II. Soustraction dans l ensemble des entiers naturels 1. Définitions Définition à partir de la notion d ensemble Soit deux ensembles A et B de cardinal fini respectivement égal à a et à b tels que B soit inclus dans A, c'est-à-dire que tout élément de B soit élément de A. Alors A possède au moins autant d'éléments que B : a b. Soit C l'ensemble constitué par les éléments de A qui ne sont pas éléments de B, l'ensemble C est appelé complémentaire de B dans A. B C A Le procédé qui, au couple (a ; b), associe le cardinal de C est appelé soustraction sur V. Ce procédé ne définit pas une loi de composition interne sur V puisqu'il ne permet pas d'associer un nombre entier naturel à un couple (a ; b) pour lequel a < b. Lorsque les nombres a et b sont tels que a b, le résultat du procédé défini ci-dessus peut être noté a - b. On a donc a - b = Card(C). On a calculé la différence de a et de b. On peut remarquer que Card(B) + Card(C) = Card(A). La différence de a et de b est donc le nombre qu'il faut ajouter à b pour trouver a. Si A compte 12 éléments et B en compte 5, le nombre d'éléments du complémentaire de B dans A est 7. On peut alors écrire 12-5 = 7 et définir ainsi la différence de 12 et de 5. Addition et soustraction dans N 5 / 8
Autre définition Soit un nombre entier naturel a supérieur ou égal à 1 et son prédécesseur immédiat 5 noté a 1. On passe de a à a 1 en reculant d une unité sur la droite numérique. Soit un autre entier naturel b inférieur ou égal à a. Si l'on recule de b unités sur la droite numérique, on atteint un nombre entier d positif ou nul. On peut alors associer au couple (a ; b) ce nombre d et écrire a b = d. Le procédé défini ici n'est pas une loi de composition interne sur V, puisqu'il ne fonctionne que pour a b. Lorsque cette condition est respectée, on dira que d est la différence de a et de b : a - b = d. 1 1 1 b sauts d a1 a Si a = 12 et b = 5, lorsque l'on recule de 7 unités sur la droite numérique, à partir de 12, on arrive sur le nombre 5. On définit ainsi la différence de 12 et de 5 et on écrit 12 5 = 7. Soustraction et différence La soustraction désigne l opération. La différence désigne le résultat de l'opération appliquée à un couple de nombres particulier. Dans l'expression «la différence de 12 et de 5», les nombres 12 et 5 sont appelés termes de la différence. 2. Propriétés La soustraction dans V n est pas associative : (7-4) - 2 7 - (4-2). Elle n est pas commutative : 7-4 4-7. Elle n a pas d élément neutre. 0 a un statut particulier : pour tout nombre n, n - 0 = n et n - n = 0. Elle est compatible avec la relation d ordre. Cela signifie que si a, b et c sont trois entiers naturels tels que c a, c b et a b, alors a - c b - c. 5 C'est-à-dire le plus grand nombre entier strictement inférieur à a. Addition et soustraction dans N 6 / 8
La soustraction possède la propriété dite des différences égales. On ne modifie pas une différence en ajoutant un même nombre à ses deux termes. 12-5 = (12 + 3) - (5 + 3) = 15-8 ou bien 12-5 = (12-3) - (5-3) = 9-2. 3. Technique opératoire Le calcul de la différence de 224 et de 38 est posé de la manière suivante : 2 2 4-3 8 Cette présentation en colonnes revient à aligner verticalement les chiffres des unités des deux nombres, puis les chiffres des dizaines, puis les chiffres des centaines. Les calculs sont alors effectués de la droite vers la gauche. Les unités sont retranchées entre elles, puis les dizaines, puis les centaines. Au rang des unités, il s'agit de soustraire 8 unités de 38 à 4 unités de 224. Cela est impossible. On utiliser alors la propriété des différences égales de la manière suivante : on ajoute 10 unités aux 4 unités de 224 (ce qui donne 14 unités) et afin de ne pas modifier le résultat final du calcul, on ajoute une dizaine aux 3 dizaines de 38. Deux retenues apparaissent dans le calcul : une au niveau du 4 de 225 ; une au niveau du 3 de 38. Ces deux retenues n ont pas la même signification : celle qui affecte le 4 représente les 10 unités qui ont été ajoutées à ce 4 ; celle qui affecte le 3 traduit la dizaine qu'il faut ajouter aux 3 dizaines de 38. On peut alors soustraire les 8 unités aux 14 unités. 2 2 1 4-3 1 8 6 Addition et soustraction dans N 7 / 8
Au rang des dizaines, la situation est identique. C'est 3 + 1, soit 4 dizaines qu'il faut soustraire à 2 dizaines, ce qui est impossible. On ajoute donc 10 dizaines aux 2 dizaines de 224 et afin de ne pas modifier le résultat du calcul, on ajoute une centaine à 38. 2 1 2 1 4-1 3 1 8 1 8 6 Comme pour l'addition, la technique opératoire de la soustraction sur V utilise la décomposition des entiers naturels en centaines, dizaines et unités (voire milliers et au-delà). Elle utilise également la propriété des différences égales pour les situations à retenue. Addition et soustraction dans N 8 / 8