Les savoir-faire mathématiques nécessaires en Physique-Chimie au Collège I) Un peu de vocabulaire Dans une expression mathématique on a deux membres, celui de droite et celui de gauche (par rapport au «=») Dans chaque membre on peut avoir différents termes, ils sont séparés par des «+» ou des «-». Un même terme peut être constitué de plusieurs facteurs. Ceux-ci intervenant sous forme de multiplication ou de division. Exemple : Considérons une moto qui fait deux trajets, l un à vitesse V 1 pendant une durée T 1 et l autre à vitesse V 2 pendant une durée T 2. On s intéresse à la distance totale D, parcourue par la moto, qui est donnée par : D = V 1 *T 1 + V 2 *T 2 Membre de gauche, 1 seul terme Membre de droite, 2 termes. Pour chaque terme on a deux facteurs, V et T. Car on sait que «distance = vitesse * temps» II) Savoir manipuler une expression : En physique, on nous demande souvent de faire des calculs pour obtenir des valeurs numériques à partir d expressions mathématiques. Mais les expressions mathématiques ne donnent pas toujours accès directement à la bonne grandeur, il faut parfois manipuler ces expressions. Pour faire passer un terme d un membre à l autre il suffit de changer son signe (un «+» devient un «-» et un «-» devient un «+»). Si on à égalité entre deux termes (et donc un terme par membre), pour faire passer un facteur d un membre à l autre, c est facile : S il était au numérateur du membre de gauche, il passe au dénominateur du membre de droite. S il était au dénominateur du membre de gauche, il passe au numérateur du membre de droite. Exemple 1 : Une moto réalise deux trajets dont on connait la distance totale D et la distance du premier trajet D 1.On veut connaitre D 2 la distance parcourue lors du deuxième trajet. Mais on sait D = D 1 + D 2
que : Mais nous voulons exprimer D 2, c'est-à-dire écrire : «D 2 =..», et on écrit donc : D D 1 = D 2 que l on peut réécrire : D 2 = D D 1 Exemple 2 : Il existe un modèle permettant de décrire les gaz, appelé modèle du gaz parfait, caractérisé par une relation mathématique reliant la pression du gaz ( P ), sa température ( T ), le volume qu il occupe ( V ), le nombre de molécules qu il contient ( N ) et un nombre ( k ). Cette relation est la suivante : Exprimons la pression seule : Exos : Exprimer le volume seul, puis la température seule. Exemple 3 : on rappel que «distance = vitesse * temps», en notant D la distance, V la vitesse et T le temps que dure le déplacement à vitesse V, écrire cette relation sous forme mathématique de trois manière différentes en isolant d abord D, puis V puis T. III) Quelles mathématiques pour quelles questions? Quand on aborde un exercice de physique, il arrive souvent qu il faille traduire sous forme mathématique le raisonnement qui permet d arriver à la réponse. Il est donc primordial de tirer toutes les informations contenues dans l énoncé pour ensuite utiliser, pour chaque question, les informations pertinentes. Nous allons distinguer deux types de questions : Les questions ne faisant pas appel à des connaissances de cours. Elles feront appel à la «logique physique». Par exemple (1) «Donner la longueur d un train en connaissant la longueur d un wagon et le nombre de wagons» ou (2) «Donner le nombre de wagons connaissant la longueur du train et la longueur d un wagon». Ces deux questions se ressemblent mais font pourtant intervenir des raisonnements différents, l un fait appel à la multiplication, l autre à la division. Je m explique : Analyse de la première question : Informations : Le nombre de wagon, la longueur d un wagon. Question : La longueur du train. La logique : «Un train, ce sont des wagons mis bout à bout.» Rappel : Faire une multiplication c est ajouter un certain nombre de fois une quantité pour obtenir la quantité totale.
Ici on «met» les wagons bout à bout pour reconstituer le train. On ajoute donc la longueur d un wagon un nombre de fois égal au nombre de wagons. On est dans le cas où il faut faire une multiplication : Analyse de la deuxième question : Informations : La longueur du train, la longueur d un wagon. Question : le nombre de wagons. La logique : «Un train, ce sont des wagons mis bout à bout.» Rappel : Faire une division c est soustraire une quantité plusieurs fois de la quantité totale. Le résultat est le nombre maximal de soustractions que l on peut réaliser. Ici, on retire les wagons du train un à un et on compte combien de fois on peut le faire. On soustrait donc la longueur d un wagon à la longueur du train autant de fois que possible pour obtenir le nombre de wagons. On est dans le cas où il faut faire une division : Les idées que nous venons de voir dans le cas de longueur (une dimension :1D), sont applicables à l étude des surfaces (2D)(on considèrerait par exemple un puzzle avec des pièces identiques au lieu d un train) et à l étude des volumes (3D)( un sac rempli de billes identiques) Les questions faisant appel à des connaissances de cours. On peut considérer deux cas. Celui où il faut utiliser un savoir et celui où on fera appel à une formule mathématique. Certaines questions peuvent aussi faire appel aux deux. 1) Utiliser un savoir : Il faudra dans ces cas apporter des connaissances en plus des données du problème pour le résoudre. On déduira des connaissances appliquées au problème une relation mathématique pour déduire la réponse ou obtenir cette réponse directement. Par exemple : Question : «L atome d Argon possède 18 électrons, quelle est la charge de son noyau?» Savoir : L atome est électriquement neutre. On déduit directement que la charge du noyau devant compenser la charge totale des électrons, celle-ci est égale à +18. Question : «On nous propose le schéma de montage suivant, le générateur délivre une tension E continue aux bornes d une lampe L 1 en série de deux autres (L 2 et L 3 ) en dérivation. Donner la relation liant U 2 et U 3 puis calculer U 1 sachant que E=5V et U 3 =3V.» Savoir : La tension aux bornes de deux dipôle en parallèle est identique, loi d additivité des tensions. Réponses : On déduit directement que U 2 =U 3. + E U 1 L 1 U 2 U 3 L 2 L 3
La loi d additivité des tensions permet d écrire la relation mathématique suivante : 2) Utiliser une formule mathématique : é : 5 3 2 Remarquons tout d abord que certaines formules mathématiques sont très intuitives si les concepts de division et de multiplication sont bien assimilés. Par exemple : La masse volumique, caractérisant la lourdeur d un matériau et définie par la masse divisée par le volume, ce qui donne donc la masse d une unité de volume (de 1 cm 3 par exemple). On la not souvent et elle a donc pour expression : Les relations liant temps, distance et vitesse. On a tous déjà pris la voiture et on sait que la distance parcourue est égale au temps multiplié par la vitesse. On exprime l un des trois en fonction de la question posée grâce aux manipulations des expressions mathématiques (cf. II) Relation entre période ( T ) et fréquence ( f ). Pour un phénomène qui se répète dans le temps, on parle de période pour qualifier la durée du phénomène (La période de la rotation de la Terre autours du Soleil est de 1 an, celle de rotation de la Lune autours de la Terre est d environ 27 jours). A une période on associe une fréquence qui caractérise le nombre de fois que le phénomène s est répété par unité de temps (donc l unité de la fréquence est le par seconde, par minute, par heure ou par an.). Par exemple la fréquence cardiaque est le nombre de pulsation du cœur par minute. On a la relation : 1 Par exemple, si T est en secondes, l unité de la fréquence sera le «par secondes». Mais ce n est pas le cas de toutes les formules. Certaines font intervenir des grandeurs physiques qui nous sont moins familières ceci rendant les formules peu intuitives : La loi d Ohm en est un exemple. ô, : : é 3) Et des fois il faut les deux, des savoir et des connaissances. Reprenons l exercice précédent d électricité : I 1 U 1 + E I 2 U 2 L 2 L 1 U 3 L 3 I 3
«On nous propose le schéma de montage suivant, le générateur délivre une tension E continue aux bornes d une lampe L 1 en série de deux autres (L 2 et L 3 ) en dérivation. Donner la relation liant U 2 et U 3 puis calculer U 1 sachant que E=5V et U 3 =3V.» On avait : U 2 =U 3 et U 1 =2V. On rajoute: Question : «L 2 et L 3 sont deux lampes identiques de résistance 10 Ω. Calculer le courant traversant L 2, celui traversant L 3. En déduire le courant traversant L 1 puis la résistance de la lampe L 1.» Savoir : La loi des nœuds (ou additivité des courants) Formule : Loi d Ohm : U=R*I Réponse : 3 10 0,3 3 0,3 10 La loi des nœuds permet d écrire : 0,3 0,3 0,6 Sachant que U 1 = 2V, la loi d ohm appliquée aux bornes de la lampe L 1 permet d écrire : 2 3,333. Ω 0,6 : 3,33Ω