tablor.sty La machine à créer des tableaux de signes et de variations Guillaume Connan http://tehessin.tuxamily.org/ avec l eicace participation de Jean-Michel Boucart Forum d aide : http://gconnan.ree.r/punbb/upload/index.php 9 avril 9 - Version 4.4-d I - Ça sert à quoi? Il s agit d obtenir rapidement un tableau de signe ou un tableau de variation en entrant un minimum de commandes. II - Nouveautés a. Changements depuis la version. Attention! À partir de la version 4. de tablor, il est nécessaire d avoir la nouvelle version de tableauvariation.mp (la. datant de décembre ) mais pour l instant elle n est pas présente sur CTAN! Récupérez plutôt le ichier à l adresse http ://download.tuxamily.org/tehessinmath/les_sources/tableauvariation.mp. Cela ne posera de problèmes que si vous utilisez l environnement TVZ. La version 4. n est malheureusement plus compatible avec les versions antérieures car une option supplémentaire a été ajoutée pour traiter les onctions trigonométriques. Une possibilité a de plus été ajoutée pour réduire la taille des tableaux. Les tableaux de signes courts (TSc) ont un argument de plus pour traiter les valeurs interdites (version 4.). Une extension pour une compilation via XeTEX a été créé : tablor xetex.sty (version 4.) ne onctionnant que sous unix. Un environnement TVPC a été créé pour traiter les onctions prolongeables par continuité (version 4.).
Une possibilité a été ajoutée pour donner un nom à une onction nécessitant l emploi d une macro L A TEX (version 4.b). Les rontières des zones interdites sont assorties de doubles barres si nécessaire. (version 4.) Un nouvel environnement TVIex est créé pour avoir les racines des valeurs intermédiaires sous orme exacte quand c est possible.(version 4.4) Un bug dans tous les TVI est corrigé.(version 4.4). Un bug dû à une mise à jour de XCAS (version 4.4-b compatible avec les précédentes). Des bugs dans TVapp et TVIapp corrigés (version 4.4-c... puis 4.4-d). b. Proessor.sty tablor.sty a ait des petits... Grâce à une eicace collaboration avec Denis LE FUR, vous disposez à présent de toute une panoplie d outils similaires pour tracer des courbes, des histogrammes, des arbres de probabilités, des graphes probabilistes, des lissages par moyennes mobiles et j en passe et des meilleures... Allez découvrir ces trésors sur http ://mathsp.tuxamily.org/spip.php?rubrique46. c. Plugin TeXmacs Emmanuël Corcelle a écrit un plugin pour que les utilisateurs de TeXmacs puissent eux aussi proiter de tablor et proessor. Pour cela visitez le site http ://corcelle.wordpress.com/ III - Comment ça marche? a. Principe général On entre une instruction qu on envoie via L A TEX à XCAS qui eectue un certain nombre de calculs (résolution d équations, calcul de limites). XCAS renvoie un résultat sous la orme d un script MetaPOST qui est compilé. Un tableau est créé et ensuite inséré dans le document tex. b. Rentrons dans les détails En utilisant un environnement tablor, de nombreux ichiers sont créés dans le répertoire courant puis eacés par la commande nettoyer si vous le souhaitez : des ichiers d extension.cxx : il s agit du ichier le plus important. C est le programmexcas qui «abrique» le tableau. Vous pouvez l utilisez tel quel dans une session XCAS ou giac. des ichiers d extension.giac qui regroupent des instructions lues et exécutées par giac. Il est très court : maple_mode(); / / a u c a s o ù c e r t a i n s t r a v a i l l e r a i e n t e n m o d e m a p l e, m u p a d o u t i read("conig.cxx"); / / p o u r c o n i g u r e r l a è r e c o l o n n e ( s i g n e d e o u s i g n o e t c. ) read("xcastv.cxx"); / / g i a c c h a r g e l e p r o g r a m m e read("xcastv.user"); / / g i a c l i t l e s p a r a m è t r e s r e n t r é s d a n s l e s o u r c e tex et abrique à la volée le source MetaPOST.
des ichiers d extension.user qui sont créés par L A TEX grâce à l environnement VerbatimOut de l extension ancyvrb : il s agit en ait de la commande qui se trouve par exemple entre \begin{tv} et \end{tv}. c. Code XCAS Toutes les procédures suivent le même principe : la plus grande partie s occupe de créer les lignes du tableaux à l aide de nombreux tests et boucles ; ensuite, on regroupe ces lignes dans une variable MetaLc; on exporte le tableau à l aide des trois dernières lignes : sortie:=open("xcasmpc.mp"); / / o n c r é e u n i c h i e r X C a s m p c. mp print(sortie,unquoted,metalc); / / o n y m e t M e t a L c close(sortie); / / o n e r m e X C a s m p c. mp Autres collaborations XCAS/L A TEX On peut suivre ce même principe pour créer d autres associations de vos outils préérés. Voir par exemple : http ://gconnan.ree.r/?page=5 et http ://melusine.eu.org/syracuse/giac/ IV - De quoi a-t-on besoin? Conseils en lignes N hésitez pas à explorer la page suivante : http ://mathsp.tuxamily.org/spip.php?article6 surtout si vous êtes sur XP :-) De nombreux problèmes ont été réglés sur le orum : http ://gconnan.ree.r/punbb/upload/index.php MikTeX et TeXLive tablor est présent sur MikTeX et TeXLive. tableauvariation.mp est sur MikTeX mais la version n est pas à jour (à la date du 7 évrier 9). Il aut avoir installé XCAS, logiciel multi-plateorme de calcul et de programmation : http ://www-ourier.uj-grenoble.r/%7eparisse/giac_r.html ; il aut avoir le ichier de macros MetaPOST tableauvariation.mp de Frédéric Mazoit : http ://download.tuxamily.org/tehessinmath/les_sources/tableauvariation.mp;
Pour ceux qui sont guère habitués àmetapost, cela ne pose aucun problème car les scripts et compilations MetaPOST se ont automatiquement. Il suit de créer dans son texm personnel une arborescence du style :./texmperso/metapost/tablor/ et d y placer tableauvariation.mp puis un rehash. C est exactement la même démarche que pour installer une nouvelle extension L A TEX. il aut être en mode shell escape pour autoriser les sorties de la compilation tex. Pour emacs, on rajoute en in de ichier%%% LaTeX command: "latex shell escape" ***; pour les autres éditeurs, il aut modiier la commande de compilation. Sinon, on peut modiier le ichier texm.cn pour que le mode soit automatisé en modiiant la ligne suivante : shell escape t mais ce n est pas recommandé car il aut activer le shell-escape le moins possible et toujours sous contrôle ; shell-escape sur KILE On peut créer une compilation en allant dans les menus de coniguration, l associer à un raccourci clavier et hop, quand on veut une compil rapide c est acile. On va dans coniguration>kile>outils>nouvel outil On l appelle par exemple shellescape et on le base sur LateX Ensuite en commande on met latex (ou pdlatex) et en option shell escape interaction=nonstopmode %source et on clique sur OK. Ensuite on va dans coniguration>raccourci clavier > rechercher sh. On tombe sur shellescape. On clique sur personnaliser et on choisi un raccourci, par exemple la touche windows et s (S-s en langage emacs...) Et voilà : quand on veut compiler un document appelant tablor, on appuie sur windows+s. shell-escape sur TeXnicCenter Pour les utilisateurs de TeXnicCenter, observez cette explication du paramétrage du shell escape. On peut par exemple mettre : enable write shell escape src interaction=nonstopmode "%Wm". Sur TeXmaker, c est latex enable write shell escape interaction=nonstopmode %.tex. Pour aire comprendre à Microsot Windows XP où trouver giac, vous pouvez modiier le path en suivant ces instructions : Demarrer->Panneau de coniguration->système onglet Avancé->Variable d environnement. Il aut cliquer sur la ligne PATH puis sur le bouton modiier et là il aut ajouter ;C:\repertoire_d installation_de_xcas (Merci à Gaëtan et à Daniel). il aut avoir à disposition les extensions ancyvrb, ilecontents, ithen et ipd; pour ceux qui compilent avecpdl A T E X, il n y a aucun problème et rien à aire cartablor contient déjà ce qu il aut pour s adapter : \ipd \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \i il aut installer le ichier tablor.sty dans son texm personnel. Pour ceux qui ont une version récente de MiKTeX ou TeXLive, tablor est déjà installé. Pour les utilisateurs de Unix, vous 4
devez savoir comment aire... Par commodité, vous pouvez en proiter pour installer la version Unix de MiKTeX package manager. J ai ait un petit script pour vous y aider ici : http ://gconnan.ree.r/?page=5 il aut installer le ichier de coniguration tablor.cg dans le même répertoire de tablor.sty ce qui est ait automatiquement soit par décompression d une archive tablor.zip soit par l intermédiaire des distributions MikTeX et TeXLive. Conlit d extensions L extension ancybox rentre en conlit avec ancyvrb qu utilise tablor car elles déinissent toutes deux diéremment l environnement VerbatimOut. Commandes créées Huit nouvelles commandes sont crées : \tv, \tvbis, \nettoyer, \initablor, \dresse, \dressetoile, \executgiacmp. Attention aux conlits si de tels noms existent quelque part dans vos ichiers personnels. V - Comment l utiliser? Faut-il savoir utiliser MetaPOST et XCAS? Non! Tous les appels à ces logiciels se ont sans aucune intervention de l utilisateur. a. Préambule Les ECM donnés en exemple ne dépendent pas du moteur de compilation : L A T E X+dvi+dvips ou pdl A T E X conviennent. Le préambule sera toujours : \documentclass{article} \usepackage{graphicx} \usepackage[rench]{babel} % o r e u n o z e r l a n g o u a g e \usepackage[xcas]{tablor} % x c a s e n o p t i o n : c p l u s l o i n b. L option xcas On metxcas si l on a installégiac/xcas sur son ordinateur et on ne met rien sigiac/xcas n est pas installé ou (et) que l on a récupéré un ichier tex avec les ichiers sources MetaPOST; Ainsi, tablor ne era pas appel à giac/xcas et se contentera de compiler les ichiers MetaPOST. 5
c. Fichier de coniguration tablor.cg Contenu %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % F i c h i e r d e c o n i g u r a t i o n d e t a b l o r. s t y % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % La m i s e à j o u r d e c e i c h i e r p e r m e t d a d a p t e r c e r t a i n s p a r a m è t r e s du p a c k a g e t a b l o r. s t y % au p o s t e d e t r a v a i l e t a u x h a b i t u d e s d e s u t i l i s a t e u r s. %======================================== % I C o n i g u r a t i o n du p r é a m b u l e MetaPOST %======================================== \begin{ilecontents*}{entetemp.cg} input tableauvariation; verbatimtex %& l a t e x \documentclass{article} \usepackage[upright]{ourier} % ou m a t h p a z o, l m o d e r n, e t c. ou r i e n! \usepackage{amsmath} \renewcommand\mbox[]{ # } % p o u r l e s mbox i n t e m p e s t i s d e x c a s \renewcommand\cdot{ } % i d e m p o u r l e s c d o t \begin{document} \catcode \@= % p o u r u t i l i s e r l e @ etex \end{ilecontents*} % ===================================== % I I D é c l a r a t i o n du s y s t è m e d e x p l o i t a t i o n : % ===================================== % S i v o u s u t i l i s e z w i n d o w s, dé c o m m e n t e z l a l i g n e s u i v a n t e : % \ s e t b o o l e a n { w i n d o w s } { t r u e } %================================= % I I I D é c l a r a t i o n d e l é d i t e u r u t i l i s é % ================================ % % R e m p l a c e z " k i l e " p a r l a commande q u i l a n c e un a u t r e e d i t e u r q u e % v o t r e é d i t e u r a v o r i p o u r a i c h e r l e s t a b l e a u x a m o d i i e r. 6
% L a i s s e z u n e e s p a c e a v a n t d e e r m e r l a c c o l a d e. \newcommand{\editeur}{kile } %================================= %IV e r e c o l o n n e %================================= % % p e r m e t d e c o n i g u r e r l e s t e r m e s d a n s l a p r e m i e r e c o l o n n e d e s % t a b l e a u x : " s i g n e d e " ou " s i g n o " ou " " e t c. % \begin{verbatimout}{conig.cxx} // POUR LES TV, TVI,TVZ,TVapp,TSq,TSa // pour la ligne signe lsic:=" newlignesignes(btex $\\hbox{ }\\atop{\\displaystyle "; // POUR LES TV, TVI,TVZ,TVapp // pour la ligne variation lvic:=" newlignevariations(btex $\\hbox{ }\\atop{\\displaystyle "; \end{verbatimout} %% y o u may p r e e r % \ b e g i n { V e r b a t i m O u t } { c o n i g. c x x } % / / FOR TV, TVI, TVZ, TVapp, TSq, TSa % / / o r t h e s i g n s % l s i c : = " % n e w L i g n e S i g n e s ( b t e x $ \ \ h b o x { S i g n o } \ \ a t o p { \ \ d i s p l a y s t y l e " ; % / / POUR LES TV, TVI, TVZ, TVapp % / / o r t h e v a r i a t i o n s % l v i c : = " % n e w L i g n e V a r i a t i o n s ( b t e x $ \ \ h b o x { V a r i a t i o n s o } \ \ a t o p { \ \ d i s p l a y s t y l e " ; %\ e n d { V e r b a t i m O u t } 7
%% ou s i v o u s p r é é r e z q u e n i s i g n e n i v a r i a t i o n n a p p a r a i s s e n t % \ b e g i n { V e r b a t i m O u t } { c o n i g. c x x } % / / POUR LES TV, TVI, TVZ, TVapp, TSq, TSa % / / p o u r l a l i g n e s i g n e % l s i c : = " % n e w L i g n e S i g n e s ( b t e x $ { \ \ d i s p l a y s t y l e " ; % / / POUR LES TV, TVI, TVZ, TVapp % / / p o u r l a l i g n e v a r i a t i o n % l v i c : = " % n e w L i g n e V a r i a t i o n s ( b t e x $ { \ \ d i s p l a y s t y l e " ; % \ e n d { V e r b a t i m O u t } Vous le placerez dans la même arborescence que tablor.sty et le modiierez si besoin est. Rôle La première partie permet de conigurer le préambule tex qui sera utilisé par MetaPOST pour créer les tableaux. La ligne contenant l extension des ontes est en particulier optionnelle : vous pouvez la modiier, voire la supprimer selon vos choix de ontes ; si vous utilisez Microsot Windows, il audra décommenter la ligne spéciiée ain que les commandes unix soient remplacées automatiquement par des commandes dos; l éditeur sera appelé dans certains cas pour modiier l aspect des tableaux dans les ichiers sources MetaPOST. Il audra choisir un éditeur comme par exemple emacs, xemacs, texmaker, vi, winshell, notepad, vim, kate, gedit, textmate,texshop, kile, etc. Pour éviter certains problèmes, choisissez un autre éditeur que celui que vous utilisez pour L A TEX ain que la enêtre s ouvre sans problème. Voir aussi le paragraphe XI - ; par déaut, on voit apparaître dans la première colonne des tableaux «signe de» ou «variations de». Vous pouvez modiier ces réglages ici comme indiqué ; deux exemples sont donnés : en anglais ou en n écrivant que les expressions. d. Initialisation de tablor et préixe des tableaux Les ichiers MetaPOST des tableaux sont regroupés dans un ichier de suixe.tab.mp. Le préixe est par déaut celui du ichier tex appelant tablor. Il est possible, pour des raisons de classement personnel, de modiier ce préixe à la suite du \begin{document} en entrant : \initablor si l on veut avoir comme préixe le préixe courant (obtenu par \jobname) ou bien :
\initablor[waouh] si l on veut que le ichier MetaPOST des tableaux s appelle Waouh.Tab.mp Si tout s est bien passé, on doit supprimer les ichiers log demetapost et clore le ichier.tab.mp en entrant juste avant \end{document} la commande : \nettoyer ou bien, selon les cas : \nettoyer[waouh] En résumé, notre ichier tex aura cette ossature : \documentclass{article} \usepackage{graphicx} \usepackage[rench]{babel} % o r e u n o z e r l a n g o u a g e \usepackage[xcas]{tablor} % o p t i o n s m o d i i a b l e s \begin{document} \initablor... \nettoyer \end{document} VI - Facteur de réduction Si vous trouvez le tableau trop grand, vous pouvez utilisez la commande\ech{nombre} où nombre représente le coeicienr de réduction ou d agrandissement du tableau. Par exemple, comparez : \begin{tv} TV([,+ininity],[,],"g","t",x^/(x^ ),,n,\tv) \end{tv} t g (t) g 99 + + et 9
\ech{.7} \begin{tv} TV([,+ininity],[,],"g","t",x^/(x^ ),,n,\tv) \end{tv} \ech{} t g (t) g 99 + + Remise à l échelle N oubliez pas de remettre à l échelle en entrant à la suite de l environnement \ech{} VII - Nom des onctions et commandes L A TEX Si vous voulez donner un nom de onction nécessitant l emploi d une commande L A TEX, il audra utiliser le caractère @ au lieu de \. Par exemple, pour nommer une onction ϕ, il audra entrer @varphi : \begin{tsq} TSq("@varphi",[ 45*x 7],[ x],[ ininity,+ininity],n,\tv) \end{tsq} x 5 + (45x) 7 + + x + ϕ(x) + VIII - Utilisation du moteur XeL A TEX On peut à présent compiler via XeL A TEX en utilisant l extension dédiéetablor xetex.sty qui ne onctionnera que dans un environnement UNIX puisqu elle utilise un script shell pour convertir les sorties MetaPOST en pd : \ixetex \begin{ilecontents*}{convert mp pd.sh} #!/bin/sh
mpost interaction nonstopmode $ ; cat>$.tex<<eof \documentclass{article} \usepackage[t]{ontenc} \usepackage[renchb]{babel} \usepackage{graphicx} \usepackage{pst eps} \thispagestyle{empty} \begin{document} \begin{textoeps} \includegraphics{$.} \end{textoeps} \end{document} EOF latex $ dvips o $.eps E $.dvi epstopd $.eps; ## Fin de convert mp pd.sh \end{ilecontents*} %$>> \immediate\write{chmod 775./convert mp pd.sh} \i Il n y a rien à aire. Cette version peut même être utilisée avec pdl A TEX ou pdtex! IX - Tableaux des variations a. Tableau standard L environnement s appelle TV. On utilise une commande au ormat XCAS : TV([borne in,borne sup],[valeurs interdites],"nom onction","nom variable",expression en onction de x,lignes,trigo,\tv) [borne in,borne sup] désigne les bornes de l ensemble de déinition. On note : +ininity et : ininity. N oubliez pas les crochets! [valeurs interdites] désigne la liste des valeurs interdites ; "nom onction" désigne la lettre représentant la onction telle que vous voulez qu elle apparaisse :, g, ϕ, etc. "nom variable" : même chose pour la variable, selon que vous voulez la désigner par x, t, etc. N oubliez pas les guillemets!
expression en onction de x désigne l expression de la onction. Attention! Utilisez ici toujours x pour désigner la variable ; le paramètre lignes est à remplacer par si vous voulez voir apparaître une ligne avec le signe de la dérivée, par si vous ne voulez pas de cette ligne et par si vous ne voulez que le signe de la dérivée ; le paramètre trigo est à remplacer par t si la onction étudiée est trigonométrique et par tout autre symbole sinon ; on termine par \tv, une commande permettant de numéroter les tableaux en interne. Voyons à présent quelques exemples.. Le tableau de variation sans signe de la dérivée de la onction : x x sur [ 5; 7]. On obtient : x 5 7 5 49 après avoir entré : \begin{tv} TV([ 5,7],[],"","x",x^,,n,\tv) \end{tv}. Si on veut la même onction sur R avec le signe de la dérivée : \begin{tv} TV([ ininity,+ininity],[],"","x",x^,,n,\tv) \end{tv} x (x) +. Avec la même onction sur R avec uniquement le signe de la dérivée : \begin{tv} TV([ ininity,+ininity],[],"","x",x^,,n,\tv) \end{tv} x (x) + 4. Voici ce que cela donne pour g : t t sur [ ; [ : t
\begin{tv} TV([,+ininity],[,],"g","t",x^/(x^ ),,n,\tv) \end{tv} t g (t) g 99 + + 5. Pour la onction x sin(x) + on n oublie pas le paramètre t : \begin{tv} TV([ pi,pi],[],"g","t",sin(x)+/,,t,\tv) \end{tv} ( ) t g (t) g + 6. Il y aura des problèmes pour des équations ¼ (x) = que XCAS ne saurait pas résoudre de manière ormelle. Il audrait alors utiliser une résolution numérique et remplacer resoudre par solve. Mais dans les études demandées au Bac, l étude des signes de la dérivée est possible ormellement. Dans les cas plus exotiques, on peut aire le tableau «à la main». b. Tableau de variation avec «zone(s) interdite(s)» Pour certaines onctions, tout un (ou plusieurs) intervalle(s) est(sont) exclu(s) de l ensemble de déinition. Par exemple, la onction x Ô x est déinie sur ] ; ] [; [. On utilise alors l environnement TVZ (Z comme zone...). \begin{tvz} TVZ([ ininity,+ininity],[],[[,]],"@varphi","x",sqrt(x^ ),,n,\tv) \end{tvz} x ϕ (x) ϕ +
Listes des intervalles interdits Le troisième argument est une liste d intervalles : la liste des «zones interdites» qui peut éventuellemnt se réduire à un seul intervalle comme dans l exemple précédent. Voici un exemple comportant plusieurs zones interdites : x ln (x 5) + ln x \begin{tvz} TVZ([ ininity,+ininity],[,,4,6],[[,],[4,6]],"","x",ln((x 5) ^ )+ln(x^ ),,n,\tv) \end{tvz} x (x) 5 4 6 + + ln ( ) 44 6 c. Tableau des variations avec théorème des valeurs intermédiaires Si l on veut mettre en évidence les solutions de l équation (x) = a, on utilise l environnement TVI. La syntaxe est : TVI([borne in,borne sup],[valeurs interdites],"nom onction","nom variable",expression en onction de x,t,a,trigo,\tv) Les paramètres sont les mêmes que pour TV mais on ajoute la valeur a bien sûr. Par exemple, pour : x x et l équation (x) = on entre : x \begin{tvi} TVI([,+ininity],[,],"","x",x^/(x^ ),,,n,\tv) \end{tvi} et on obtient : x α α (x) 99 + + + Les solutions sont notées α, α, etc. Si l équation est plutôt (x) = : \begin{tvi} TVI([,+ininity],[,],"","x",x^/(x^ ),,,n,\tv) \end{tvi} 4
et on obtient : x α α (x) 99 + + + d. Tableau des variations avec théorème des valeurs intermédiaires et racines sous orme exacte Si l on veut mettre en évidence les solutions de l équation (x) = a et qu on veut aire apparaître les racines sous orme exacte et pas seulement sous orme d α i, on utilise l environnement TVIex. La syntaxe est la même que TVI : TVIex([borne in,borne sup],[valeurs interdites],"nom onction","nom variable",expression en onction de x,t,a,trigo,\tv) Les paramètres sont les mêmes que pour TV mais on ajoute la valeur a bien sûr. Par exemple, pour : x x et l équation (x) = on entre : x \begin{tviex} TVIex([,+ininity],[,],"","x",x^/(x^ ),,,n,\tv) \end{tviex} et on obtient : x (x) ( ( ) ) + + + 99 Si l équation est plutôt (x) = : \begin{tviex} TVIex([,+ininity],[,],"","x",x^/(x^ ),,,n,\tv) \end{tviex} et on obtient : x (x) 99 ( ( ) ) + + + 5
Avec une équation trigonométrique : \begin{tviex} TVIex([ pi,pi],[],"@cos","x",cos(x),,/,t,\tv) \end{tviex} x cos (x) cos ( ) + + / / Racines ormelles non calculables XCAS peut ne pas pouvoir trouver une expression exacte des racines et aichera un message barbare du style : Unable to isolate x in... Le tableau ne sera alors pas construit et vous aurez un message d erreur. e. Tableaux de variations avec approximation des zéros de la dérivée Il n est parois pas possible d obtenir une valeur ormelle des zéros de la dérivée. On est donc amené à rechercher une approximation numérique de ces zéros. Cela est possible grâce à la commande solve de XCAS utilisée à bon escient. On appelera les environnements TVapp et TVIapp ainsi que leurs associés étoilés. Voyons sur un exemple. Exemple Soit g la onction x ln(x) xe x. Avec les élèves, on étudie d abord la onction x g ¼ (x) : \begin{tviapp} TVIapp([,+ininity],[],"g ","x",di(ln(x) x*exp( x),x),,,\tv) \end{tviapp} x α.76 α.74554 g (x) g + +.555.5446 On en déduit le tableau suivant : 6
\begin{tvapp} TVapp([,+ininity],[],"g","x",ln(x) x*exp( x),,\tv) \end{tvapp} x.54.5465 g (x) g + +.94.944 TVapp et TVIapp ne sont pas inaillibles!! Chercher toutes les approximations des racines de la dérivées c est se lancer dans la théorie du tout c est-à-dire concilier la recherche de solutions approchées pouvant être extrêmement proches sur des intervalles pouvant être extrêmement étendus. Un concepteur de logiciel de calcul ormel s y reuse. Je devais m y coller par souci d eicacité. Normalement, le code devrait onctionner pour la plupart des cas étudiés par des pros pas trop sadiques. Ça ralentit légèrement la compilation. Le balayage se ait avec une précision de,. C est sûr qu on peut trouver de nombreux exemples qui ne onctionneront pas mais plus on veut resserrer les mailles du ilet, plus on passe de temps à les tricoter sau dans le cas des onctions polynomiales grâce à XCAS. Se pose aussi le problème des images et des tests de signes et de leurs approximations. Par exemple \begin{tvapp} TVapp([,+ininity],[],"g","x",/*x^.5*x^+e 6*x,,\tv) \end{tvapp} renvoie un tableau curieux car les images des racines de la dérivées sont de l ordre de. x.. g (x) g. + + +.. Ça peut s arranger en donnant en argument supplémentaire le nombre de chires aichés. Cela rendrait les diérentes versions incompatibles et le jeu n en vaut pas orcément la chandelle.. Tableaux de variations de onctions prolongeables par continuité On peut avoir prolongée une onction par continuité et donc ne plus avoir de double barre sur la ligne des variations mais toujours une sur la ligne du signe de la dérivée. On entre trois listes : 7
. les bornes de l intervalle d étude, comme toujours;. les valeurs où la onction sera prolongée par continuité ;. les valeurs où la onction n est pas dérivable. Cela donne pour x e /x : \begin{tvpc} TVPC([ ininity,+ininity],[],[],"g","t",e^( /x^),,n,\tv); \end{tvpc} t g (t) g + g. Tableaux de variations et courbes paramétrées On peut obtenir le tableau de variations correspondant à des courbes paramétrées déinies par un système du type : La syntaxe est la suivante : { x = (t) y = g(t) \begin{tvp} TVP(IE,VI,["x","y"],"t",[x(t),y(t)],a,trigo,n,\tv) \end{tvp} avec IE l intervalle d étude, VI la liste des listes de valeurs interdites respectives pour les deux onctions, a pour avoir un tableau complet ou partiel comme dans les autres "TV", enin trigo qui vaut t si interviennent des onctions trigonométrqiues, autre chose sinon. Version de XCAS L utilisation de TVP implique l utilisation d une version de XCAS d une date postérieure au 4 juin! vii. Cas des onctions trigonométriques Étudions par exemple sur ; { x(t) = cos(t) y(t) = sin(4t)
\begin{tvp} TVP([,pi/],[[],[]],["x","y"],"t",[cos(*t),sin(4*t)],,t,\tv) \end{tvp} t x (t) x y (t) y ( sin ( cos ( ) )) + sin ( ) ( cos ( )) + 4 + + 4 ( ( ) ) vii. Les autres cas Étudions par exemple sur ] ; [ { x(t) = t (t+)(t ) y(t) = t (t+) t+ \begin{tvp} TVP([ ininity,+ininity],[[,],[ ]],["x","y"],"t",[t^/((t+)*(t )),t^*(t+)/(t+)],,n,\tv) \end{tvp} t 4 x (t) x y (t) y + + 9 64 9 + 44 9 + 6 X - Tableaux de signes a. Cas du produit de deux acteurs aines Pour étudier le signe de ( x + )( x + 5) sur R, on entre : 9
\begin{tsa} TSa(,,,5,\tv); \end{tsa} On obtient : x 5 x+ + x+ 5 + + ( x+ )( x+ 5) + + b. Cas du produit d un nombre quelconque de acteurs quelconques sur un intervalle quelconque Nouveauté à partir de la version. Par souci de cohérence avec l environnement TSq, on doit rajouter maintenant en premier argument le nom de la onction produit dans l environnement TS. Certains cas pathologiques ne vont pas onctionner, mais sinon, pour étudier le signe de ( x + )(x )(x + )(x )(x ) on entre cette ois les expressions sous cette orme en précisant l intervalle d étude : \begin{ts} TS("P",[ *x+,x^,x^+,x,x^ ],[ ininity,+ininity],n,\tv); \end{ts} On obtient : x ( ) (x)+ x x + x x P(x) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ou bien, sur un intervalle borné : \begin{ts} TS("",[x,x+],[ 5,],n,\tv) \end{ts}
x 5 x x+ (x) + + c. Signe d un quotient On entre dans deux listes diérentes les acteurs du numérateur et du dénominateur : \begin{tsq} TSq("nom du quotient",[liste des acteurs du numérateur],[liste des acteurs du dénominateur],[in,sup],trigo,\tv) \end{tsq} Par exemple, pour étudier le signe de ( x+)( 4x+5) (x 6)(x ) sur R : \begin{tsq} TSq("Q",[ *x+, 4*x+5],[x^ 6,x ],[ ininity,+ininity],n,\tv) \end{tsq} x 4 (x)+ (4x)+5 x 6 x Q(x) 5 4 4 + + + + + + + + + + + + Sur un intervalle borné : \begin{tsq} TSq("Q",[x,x 5],[x+,x+],[,],n,\tv) \end{tsq} x 5 x x 5 x+ x+ Q(x) + + + + + + +
d. Signe d une seule expression On utilise l environnement TSc comme Tableau de Signe court en précisant l expression étudiée, l intervalle considéré et les valeurs interdites : \begin{tsc} TSc((x )*(x+5),[,],[],n,\tv) \end{tsc} x 5 (x )(x+ 5) + avec valeurs interdites : \begin{tsc} TSc((x+)/((x 5)*(x )),[,5],[,5],n,\tv) \end{tsc} x 5 (x+ ) (x 5)(x ) + valeurs interdites et onction trigonométrique : \begin{tsc} TSc(tan(x),[,*pi],[pi/,*pi/],t,\tv) \end{tsc} x tan(x) + + XI - Comment modiier les tableaux à partir des ichiers Meta- POST? a. Tableau par tableau Il est impossible de prévoir toutes les requêtes des diérents utilisateurs. Le style du tableau produit peut néanmoins vous déplaire. Vous pouvez le modiier en intervenant directement sur le ichier MetaPOST créé pour chaque tableau. Pour cela, il suit d ajouter une étoile au nom de l environnement utilisé et de donner un numéro à votre nouvelle igure pour qu elle ne soit pas écrasée par les compilations suivantes. Numérotez à partir de par exemple. Si vous tapez :
\begin{tv*}{} TV([,+ininity],[],"","x",x ln(x+),,n,\tv) \end{tv*} l éditeur que vous avez mis en option (voir le paragraphe b. ) est directement lancé et le ichier MetaPOST correspondant à votre tableau qui portera le numéro est aiché. Vous pouvez alors le modiier, taper sur Ctrl + S pour l enregistrer et Ctrl + Q pour ermer l éditeur. La compilation s achève alors automatiquement comme pour un environnement non étoilé. Choix de l éditeur Évitez de choisir votre éditeur habituel : sur Linux prenez par exemple gedit ou kate, sur Windows prenez wordpad, etc. Par exemple, je tape : \begin{ts*}{} TS("F",[*x+,5*x^ ],[ 5,5],n,\tv) \end{ts*} et apparaît une enêtre de l éditeur (ici TEXmaker) avec le ichier correspondant au tableau. Je le modiie à volonté : Je tape sur Ctrl + S puis Ctrl + Q et la compilation reprend automatiquement pour m aicher le tableau voulu : Ces combinaisons de touches correspondent à la plupart des éditeurs mais ne sont pas universelles : vériiez pour celui que vous avez choisi.
x 5 5 5 x+ 5x F(x) + + + + + + + + 5 5 5 Une ois la modiication aite, on ne vous redemandera pas d eectuer de modiications, sau si vous changez le numéro de la igure. b. Traitement global dans un unique ichier MetaPOST Un ichier préixe.tab.mp est créé où sont copiés les sources de chaque tableau. Vous pouvez ainsi retravailler globalement sur les tableaux si besoin ou les transmettre à une personne n ayant pas installé XCAS. Voir le paragraphe d. pour plus de détails. XII - Merci... à Frédéric Mazoit pour son ichier tableauvariation.mp; à Yves Delhaye pour ses idées sur le shell escape à Bernard Parisse pour XCAS; à Jean-Michel Boucart pour ses précieuses et eicaces améliorations de la partie L A TEX du code. XIII - Erreurs habituelles Avez-vous rendu possible le shell escape? Avez-vous installé toutes les extensions listées en début de ce document? Est-ce que XCAS est dans votre PATH? La première chose est d analyser le ichier log. En cas de problème, n hésitez pas à me contacter à l adresse indiquée sur mon site en joignant le ichier log. XIV - Tablor et Emacs Pour les heureux utilisateurs de tempo, voici quelques lignes pour aciliter votre vie à rajouter dans un ichier latex tempo : ;; ;; TABLOR ;;; ;cas tableau de variation ("TV" (& > "\\begin{center}"n> "\\begin{tv}" n> "TV(["(p "debut de l intervalle:")","(p "in de l intervalle:")"]," "["(p "liste de valeurs interdites (,) :")"]," 4
"\""(p "nom de la onction :")"\"," "\""(p "nom de la variable :")"\"," ""(p "expression de la onction (utiliser x) :")"," ""(p "type de tableau (:complet, :sans signe, :que le signe) :")"," ""(p "trigo? (t:oui, n:non) :")"," "\\tv)" n> "\\end{tv}" n> "\\end{center}" > % ) ) ;cas TVI ("TVI" (& > "\\begin{center}"n> "\\begin{tvi}" n> "TVI(["(p "debut de l intervalle:")","(p "in de l intervalle:")"]," "["(p "liste de valeurs interdites (,) :")"]," "\""(p "nom de la onction :")"\"," "\""(p "nom de la variable :")"\"," ""(p "expression de la onction (utiliser x) :")"," ""(p "type de tableau (:complet, :sans signe, :que le signe) :")"," ""(p "trigo? (t:oui, n:non) :")"," ""(p "(x)=l pour la valeur l :")"," "\\tv)" n> "\\end{tvi}" n> "\\end{center}" > % ) ) ;cas signe produit ("TS" (& > "\\begin{center}"n> "\\begin{ts}" n> "TS(\""(p "nom du produit :")"\"," "["(p "liste des acteurs (,) :")"]," "["(p "debut de l intervalle:")","(p "in de l intervalle:") "]," ""(p "trigo? (t:oui, n:non) :")"," "\\tv)" n> "\\end{ts}" n> "\\end{center}" > % ) ) ;cas signe quotient ("TSq" (& > "\\begin{center}"n> "\\begin{tsq}" n> "TSq(\""(p "nom du quotient :")"\"," "["(p "liste des acteurs du numerateur (,) :")"]," "["(p "liste des acteurs du denominateur (,) :") "]," "["(p "debut de l intervalle:")","(p "in de l intervalle:") "]," ""(p "trigo? (t:oui, n:non) :")"," "\\tv)" n> 5
"\\end{tsq}" n> "\\end{center}" > % ) ) ; Tableau signe court ("TSc" (& > "\\begin{center}"n> "\\begin{tsc}" n> "TSc("(p "expression :")",""[" (p "debut de l intervalle:")"," (p "in de l intervalle:")"],""[" (p "liste de valeurs interdites (,) :")"],""" (p "trigo? (t:oui, n:non) :")"," "\\tv)" n> "\\end{tsc}" n> "\\end{center}" > % ) ) ;cas tableau de variation avec zone interdite ("TVZ" (& > "\\begin{center}"n> "\\begin{tv}" n> "TVZ(["(p "debut de l intervalle:")","(p "in de l intervalle:")"]," "["(p "liste de valeurs interdites (,) :")"]," "["(p "liste des zones interdites ([,],[,]) :")"]," "\""(p "nom de la onction :")"\"," "\""(p "nom de la variable :")"\"," ""(p "expression de la onction (utiliser x) :")"," ""(p "type de tableau (:complet, :sans signe, :que le signe) :")"," ""(p "trigo? (t:oui, n:non) :")"," "\\tv)" n> "\\end{tv}" n> "\\end{center}" > % ) ) ;cas TVP ("TVP" (& > "\\begin{center}"n> "\\begin{tvi}" n> "TVP(["(p "debut de l intervalle:")","(p "in de l intervalle:")"]," "[["(p "liste de valeurs interdites de x(t)(,) :") "]," "["(p "liste de valeurs interdites de y(t)(,) :") "]]," "[\""(p "nom de la onction x :")"\"," "\""(p "nom de la onction y :")"\"]," "\""(p "nom de la variable :")"\"," "["(p "expression de la onction x (utiliser t) :") "," ""(p "expression de la onction y (utiliser t) :") "]," 6
""(p "type de tableau (:complet, :sans signe, :que le signe) :")"," ""(p "t si onctions trigo, n sinon :")"," "\\tv)" n> "\\end{tvp}" n> "\\end{center}" > % ) ) Merci à Phil Pham. XV - Galerie Voici quelques exemples de tableaux : \begin{tvi} TVI([,+ininity],[ ],"","x",x^/sqrt(x+),,,n,\tv) \end{tvi} x α α (x) + + \begin{tvi} TVI([ /,+ininity],[],"","x",x^,,,n,\tv) \end{tvi} x (x) α 4 + + \begin{tvi} TVI([,+ininity],[],"@ln","x",ln(x),,,n,\tv) \end{tvi} x α ln (x) ln + + 7
\begin{tv} TV([,+ininity],[]," @ln","x", ln(x),,n,\tv) \end{tv} x ln (x) ln \begin{tvi} TVI([ pi,pi],[],"@cos","x",cos(x),,/,t,\tv) \end{tvi} x α α cos (x) cos + + / / \begin{tv} TV([,*pi],[],"@cos","x",cos(x),,t,\tv) \end{tv} x cos (x) cos + \begin{tvi} TVI([,pi],[pi/],"@tan","t",tan(x),,7,t,\tv) \end{tvi} t α tan + + + (t) tan 7
\begin{tviex} TVIex([,pi],[pi/],"@tan","t",tan(x),,7,t,\tv) \end{tviex} t atan(7) tan (t) tan + + + 7 \begin{tvi} TVI([,],[],"","x",( x)*sqrt( x^),,,n,\tv) \end{tvi} x α α + + (x) 4 \begin{tviex} TVIex([,],[],"","x",( x)*sqrt( x^),,,n,\tv) \end{tviex} x.97 (x) + + 4 \begin{tv} TV([,+ininity],[ ],"","x",ln(+x) (x x^/+x^/),,n,\tv) \end{tv} x (x) + 9
\begin{ts} TS("G",[ *x+,x,x+,x^+*x+],[,+ininity],n,\tv); \end{ts} x (x)+ x x+ x + x+ G(x) ( ( 5 ) ) ( 5 ) + + + + + + + + + + + + + + + + + + \begin{tvi} TVI([ ininity,+ininity],[],"","x",(x+)*exp(x ),,,n,\tv) \end{tvi} x α (x) + + ( e 4) \begin{tvi} TVI([ ininity,+ininity],[],"","x",+( *x+)*exp(*x),,,n,\tv) \end{tvi} x α (x) + \begin{tv} TV([,+ininity],[],"","x",ln(exp(x)+x) x,,n,\tv) \end{tv} x (x) + ( ) ln (e +) e
\begin{tvi} TVI([,pi],[],"","x",cos(x) x,,,n,\tv) \end{tvi} x α (x) \begin{tvi} TVI([,+ininity],[],"","x",ln(x) (ln(x))^,,,n,\tv) \end{tvi} x α e α (x) + + 4 \begin{tviex} TVIex([,+ininity],[],"","x",ln(x) (ln(x))^,,,n,\tv) \end{tviex} x (x) e ( ( 5)+) e e ( 5+) + + 4 \begin{tsc} TSc((x )*(x+),[,],[],n,\tv) \end{tsc} x (x )(x+ ) \begin{tvz} TVZ([ ininity,+ininity],[],[[,]],"","x",(sqrt(x^ ))*(x^ 4),,n,\tv) \end{tvz}
x ( ) (x) + + \begin{tvz} TVZ([ ininity,+ininity],[,],[[,]],"","x",ln(x^ ),,n,\tv) \end{tvz} x (x) + \begin{tvp} TVP([,pi/],[[],[]],["x","y"],"t",[cos(*t),sin(4*t)],,t,\tv) \end{tvp} t x (t) x y (t) y ( sin ( cos ( ) )) + sin ( ) ( cos ( )) + 4 + + 4 ( ( ) ) \begin{tvp} TVP([,*pi],[[],[]],["x","y"],"t",[t *sin(t), +*cos(t)],,t,\tv) \end{tvp}
t x (t) x y (t) y 5 + + (+ ) ( ) + (5+ ) + \begin{tvz} TVZ([ ininity,+ininity],[],[[,],[4,6]],"","x",sqrt((x 5)^ )+ sqrt(x^ ),,n,\tv) \end{tvz} x 4 6 (x) + + 5 5 5 5 \begin{tvp} TVP([,pi/],[[],[]],["","g"],"t",[(sin(*t)),(sin(4*t))],,t,\tv ) \end{tvp} t (t) g (t) g + cos ( sin ( ) ) 6 + ( cos ( )) ( sin ( )) 4 + + 4 \begin{ts} TS(" ",[cos(x) /,sin(x)+/],[,*pi],t,\tv) \end{ts}
x cos(x)+ sin(x)+ (x) 7 6 5 6 + + + + + + + + + \begin{tviapp} TVIapp([,+ininity],[,],"g ","x",di(ln(x+)/x^,x),,,\tv) \end{tviapp} x α g (x) g + 4
Table des matières I - Ça sert à quoi? II - Nouveautés a. Changements depuis la version........................... b. Proessor.sty....................................... c. Plugin TeXmacs..................................... III - Comment ça marche? a. Principe général..................................... b. Rentrons dans les détails................................ c. Code XCAS........................................ IV - De quoi a-t-on besoin? V - Comment l utiliser? 5 a. Préambule........................................ 5 b. L option xcas....................................... 5 c. Fichier de coniguration tablor.cg......................... 6 d. Initialisation de tablor et préixe des tableaux................... VI - Facteur de réduction 9 VII - Nom des onctions et commandes L A TEX VIII - Utilisation du moteur XeL A TEX IX - Tableaux des variations a. Tableau standard..................................... b. Tableau de variation avec «zone(s) interdite(s)»................... c. Tableau des variations avec théorème des valeurs intermédiaires........... 4 d. Tableau des variations avec théorème des valeurs intermédiaires et racines sous orme exacte e. Tableaux de variations avec approximation des zéros de la dérivée......... 6. Tableaux de variations de onctions prolongeables par continuité.......... 7 g. Tableaux de variations et courbes paramétrées.................... vii. Cas des onctions trigonométriques........................ vii. Les autres cas.................................... 9 X - Tableaux de signes 9 a. Cas du produit de deux acteurs aines........................ 9 b. Cas du produit d un nombre quelconque de acteurs quelconques sur un intervalle quelconque c. Signe d un quotient................................... d. Signe d une seule expression............................... XI - Comment modiier les tableaux à partir des ichiers MetaPOST? a. Tableau par tableau................................... 5
b. Traitement global dans un unique ichier MetaPOST................. 4 XII - Merci... 4 XIII - Erreurs habituelles 4 XIV - Tablor et Emacs 4 XV - Galerie 7 6