LA CONSTRUCTION DU NOMBRE EN MATERNELLEE

ANIMATION PEDAGOGIQUE MATHEMATIQUES 25 Janvier 2006 LA CONSTRUCTION DU NOMBRE EN MATERNELLEE INTRODUCTION Le nombre est une entité complexe. Il permet d exprimer certains caractères d une quantité. Ainsi le nombre peut être une collection, une désignation, une durée, un prix, un pourcentage et bien d autres choses encore. Les instructions officielles de 1995 plaçaient les mathématiques dans «découverte du monde» Le nombre est alors un outil pour résoudre des situations et on lui donne du sens en le faisant fonctionner. Les instructions officielles de 2002 placent les mathématiques dans «découvrir le monde» Les activités mathématiques vont structurer le monde qui entoure l enfant. On va lui demander d être acteur et de construire le nombre. Il ne regarde pas le monde, il agit sur lui. Pour construire le nombre l enfant doit savoir dénombrer, dire les nombres dans une suite logique et faire des correspondances terme à terme. Il doit aussi intégrer - le principe cardinal c'est-à-dire savoir que le dernier nombre énoncé correspond à toute la quantité - le principe d abstraction c'est-à-dire comprendre qu on va éliminer toutes les qualités des choses pour ne retenir que le fait qu elles existent. - le principe d ordre c'est-à-dire l attribution d un rang comme dans la chanson «3 poules vont aux champs.» Pour mettre en œuvre la construction du nombre l enseignant propose à l enfant des situations problèmes permettant l introduction de variables, des comptines numériques et une interaction avec les autres enfants et l adulte. Une situation problème qu est-ce que c est? Régine Douady a défini les caractéristiques d une situation problème : - l élève doit pouvoir s engager dans la résolution du problème. Il ne doit pas être «sec» - les connaissances de l élève sont insuffisantes pour résoudre immédiatement le problème. - La situation permet à l élève de contrôler s il a trouvé ou non. - La connaissance que l on désire voir acquérir est l outil le plus adapté à ce niveau pour résoudre le problème. 1

En résumé il y a situation problème si le problème est source d apprentissage. Par ailleurs l enseignant a pour rôle d observer l enfant dans sa démarche et dans ses réponses afin de pouvoir faire les ajustements nécessaires lors des mises en commun et de procéder à des réinvestissements par l apport de variables. INSTRUCTIONS OFFICIELLES Découvrir le monde Compétences relatives aux quantités et aux nombres La construction du nombre s appuie sur 4 volets complémentaires. 1) Connaître la comptine numérique orale et dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus. 2) Comparer des quantités en utilisant des procédures numériques ou non numériques, ce qui revient à la correspondance terme à terme. 3) Réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non proche ou éloignée) en utilisant des procédures numériques ou non, oralement ou à l aide de l écrit. 4) Reconnaître globalement et exprimer des petites quantités organisées en configuration connue : doigts de la main, constellation du dé (disposition, reproduction, représentation de configuration). LES JEUX 1) Les serpents non décorés et décorés PS MS Objet d apprentissage Classement rangements permettant d approcher quantités et nombres (1) Correspondance terme à terme (2) Situation Il faut remplir sa piste avec des objets, un objet par case selon les indications d un dé. Matériel 1 dé à 6 faces avec une couleur par face. 1 réserve de petits carrés des mêmes couleurs que les faces du dé. Les carrés et la piste sont équipés de scratch 2

Serpents non décorés Une piste serpent représentant une suite de 5 à 20 cases blanches à remplir. Activité Les enfants ont chacun une piste serpent et la placent devant eux en respectant une même orientation (tête à gauche). Sur la table ils disposent de la réserve collective de petits carrés. Activité 1 Un meneur lance le dé et tous les enfants placent le carré de la réserve défini par la face supérieure du dé sur une case blanche. On peut ici imposer ou non un sens de remplissage. Une autre possibilité serait de dicter aux enfants ce qu ils doivent poser : vous mettez un carré rouge puis un carré vert puis. Activité 2 (plus long et plus difficile pour les PS) Un sens de rotation est choisi, chacun son tour joue. La partie se poursuit jusqu à ce que tous les serpents soient remplis. Il n y a ni gagnant ni perdant sauf si on remplace une face du dé par une face blanche. Activité 3 La partie se joue en 2 phases. Les enfants jouent à tour de rôle puis quand le serpent est rempli on continue mais cette fois en enlevant les objets. Dans ce cas il y a toujours un gagnant car il peut arriver qu en fin de partie il n y ait plus d objet correspondant sur le serpent. Serpents décorés Même niveau et même objet d apprentissage, même situation. La piste de jeux change, ici elle est décorée avec des formes, rond, carré ou triangle correspondant à la réserve. Piste décorée Activité Un meneur lance le dé, tous les enfants placent simultanément l objet défini par le dé. Si tous les serpents sont identiques il n y a pas de gagnant, s ils sont différents, il y aura un gagnant. 3

On peut imposer un sens de remplissage ou non. Si oui, le jeu devient beaucoup plus long. Dans ce cas il faut des petites pistes et 2 faces joker sur le dé. Il est possible de laisser les enfants jouer à tour de rôle mais le jeu devient beaucoup plus long et, en tout cas en PS, peu conseillé. Ces 2 variantes d un même jeu permettent aux enfants de travailler à la construction du nombre, d effectuer un travail sur les couleurs ainsi que sur les formes, d apprendre à se déplacer sur une piste et à lire un dé. 2) Bandes aux carrés de couleurs PS MS Objet d apprentissage Rangements et reconnaissance de propriétés. (1) Correspondance terme à terme. (2) Situation Il faut coller une suite de carrés de couleur sur une bande quadrillée en suivant une bande modèle. Matériel Des bandes modèles de 6 à 9 cases avec dans chaque case un carré de couleur Une réserve de carrés de couleurs correspondants aux bandes modèles Des bandes quadrillées vierges de même longueur que le modèle. 2 exemples de bandes Activité 1 : reproduction d un modèle proche Chaque enfant dispose d une bande blanche vierge fixée sur la table et d un modèle, ainsi que de petits carrés de couleur. Tous les modèles sont différents. L enfant voit le modèle et la bande qu il réalise, la vérification est immédiate. Cette activité très simple va permettre à l enfant de comprendre l activité suivante. Activité 2 : reproduction d un modèle éloigné Cette fois les modèles sont installés loin de la table d atelier afin que les enfants soient obligés de se déplacer pour les voir. L enfant peut faire autant de voyages qu il veut, mais doit laisser sa bande sur sa table et le modèle là où il est. 4

Il est impossible ici d opérer par correspondance terme à terme ANIMATION PEDAGOGIQUE MATHEMATIQUES Analyse de la situation L enfant pour résoudre le problème, doit repérer la couleur du premier carré sur le modèle, revenir à sa place coller ce carré au bon endroit, puis repartir voir la couleur du carré suivant etc. Il mobilise la notion d ordre avec le vocabulaire associé : d abord avant après ensuite. Ce vocabulaire n intervient pas explicitement pendant le jeu mais intervient dans une discussion en cas d erreur, dans un débat collectif d explication de stratégies gagnantes, dans une communication orale qui sont des aides à l apprentissage. Après les ateliers de reproduction d un modèle éloigné il est important d organiser un débat ou de permettre aux enfants qui ont gagné de dire comment ils ont fait. Variante intéressante Proposer des modèles avec par exemple 3 rouges 2 bleus 1 vert, 3 jaunes. En changeant la variable didactique l enfant doit à nouveau modifier ses stratégies. Il ne suffit plus de dire qu il y a du rouge puis du bleu, il faut compter les carrés pour gagner. Avec un modèle proche, l enfant apprend à mieux maîtriser la correspondance terme à terme. Avec un modèle éloigné, il est obligé de mémoriser en une seule fois la suite des carrés par une image mentale ou par un nombre. Pour gagner, il faut tenir compte de l ordre des carrés et du nombre de carrés. 3) Jeu des maisons et des jardins PS MS GS Objet d apprentissage Les premiers nombres dans leur aspect cardinal (1) Construction de collections équipotentes (3) Reconnaissance globale de petites collections (4) Situation Il faut construire en une seule fois une collection équipotente (équivalente) à une collection donnée, les 2 collections sont visibles simultanément lors de la vérification mais pas lors de la construction. Matériel Une réserve de petites maisons (style jeu de Monopoly) ou de voitures miniatures. Une collection de petits cartons représentant des jardins (des places de parking) où les maisons (voitures) seront posées. Il faut un carton par maison ou voiture. Eventuellement on peut prévoir des barquettes pour transporter les maisons. 5

Petites maisons et jardins de carton Activité Chaque enfant reçoit des jardins. Il doit aller chercher en une seule fois ce qu il faut de maisons pour pouvoir poser 1 maison sur un jardin. Il gagne si chaque jardin a une maison il n y a pas de jardin sans maison s il n a plus de maison dans la main. Quand un enfant gagne, on lui donne plus de jardins. S il perd on le fait recommencer et s il n y arrive toujours pas, on lui donne moins de jardins. Analyse de l activité En ce qui concerne la consigne les mots que l on utilise sont importants. En effet il faut éviter de donner la réponse aux enfants en utilisant des mots tels que «autant que» «tu comptes» «combien» «le même nombre» Les enfants n ont pas, au départ, conscience d une propriété fondamentale qui dit que 2 collections qu on peut mettre en correspondance terme à terme ont le même nombre d éléments. Ce jeu est une situation d apprentissage fondamentale qui lui permet d apprendre à construire la notion de nombres dans son aspect cardinal. L enfant va découvrir que c est le dénombrement de la collection de jardins et le dénombrement de la collection de maisons qui lui permet de gagner. 2 variables didactiques La taille de la collection en est une. On commence par des petites collections qu on augmente au fur et à mesure. L autre variable consiste en la possibilité ou non de pouvoir agir sur la collection de jardins. Ainsi on peut donner à l enfant des jardins mobiles en pile ou des jardins fixes collés sur une feuille. 6

Collections fixes de jardins Les aides à l apprentissage Une aide pour des enfants qui n y arrivent vraiment pas est de disposer tout sur une table devant eux et de leur dire : «tu prépares les maisons qu il te faut dans ta barquette et tu en mets une sur chaque jardin pour voir si tu as gagné.» On renouvelle l opération avec 3 ou 4 maisons avant de re-proposer l éloignement. Une autre aide est d organiser un débat collectif à propos du jeu, une fois que tous les enfants sont passés à l atelier. Ceux qui ont gagné expliquent aux autres comment ils ont fait. En général il y a toujours un enfant qui a compris et qui va expliquer aux autres et faire la démonstration. Ensuite l enseignant peut institutionnaliser. En effet dans ce jeu compter ne suffit pas, il faut - connaître la comptine numérique - être capable de pointer correctement les objets - dire les mots de la comptine numérique en même temps que l on pointe. - S arrêter au nombre adéquat. 4) Objets sur bande quadrillée MS GS Objet d apprentissage Rangements, premiers nombres, reconnaissance de propriétés (1) Correspondance terme à terme (2) Situation Une suite d objets alignés étant donnée comme modèle de référence, il s agit de la reconstituer à partir d objets identiques. Matériel Des collections d objets à coller : images d objets ou d animaux. Des suites modèles de 6 à 20 objets collés sur bande quadrillée. Des bandes vierges représentant une suite de cases blanches avec autant de cases que le modèle. 7

Bande à 6 objets Activité 1 : reproduction d un modèle proche Il s agit de reproduire la suite modèle sur une bande blanche, le modèle étant juste devant l enfant. Bande à 13 objets Consigne : «voici un modèle et une bande de cases blanches. Tu dois coller les objets sur ta bande comme sur le modèle. Si tu fais tout juste, tu as gagné.» Analyse Aucun problème particulier ne se pose ici pour un enfant normalement attentif (elle peut même convenir à un enfant de PS) Cette activité prépare la suivante. La validation se fait avec l enfant, tout de suite. Choix des différents types de suites - Avec des objets tous différents. - Suites algorithmiques ABABAB ou ABCABCA. Ce sont les plus faciles car il y a peu d objets à reconnaître. - Suites avec plusieurs objets identiques telles que ABBBCBBDB. - Suites dans lesquelles on remplace ACD par des cases blanches. 8

Activité 2 : reproduction d un modèle éloigné Chaque enfant dispose de la réserve d objets et d une bande blanche fixée sur la table. Les modèles sont installés loin de la table de façon à ce que de sa place les enfants ne puissent pas les voir. Consigne : «le modèle est là bas tu peux aller le voir autant de fois que tu veux et tu dois coller les images comme sur le modèle» Analyse Pour reproduire le modèle l enfant repère le premier objet, revient, place l objet sur sa bande, repart pour repérer sur le modèle l objet suivant etc. Il fait un raisonnement du type suivant : «j en suis à l auto, sur le modèle il y a un bol après l auto, donc je cherche le bol et je le colle après l auto» Il organise 2 par 2 la succession des objets en tenant compte de leur ordre. L éloignement du modèle empêche la correspondance terme à terme, l enfant doit mobiliser un nouveau procédé de résolution : reconnaître les relations d ordre entre les objets du modèle et les reproduire. Cette reconnaissance de l ordre est implicite quand l enfant travaille seul et elle devient explicite lors du débat organisé après que chaque enfant soit passé à l atelier. Ce débat permet à ceux qui ont gagné d expliquer leurs stratégies gagnantes et d en faire profiter tout le monde. Choix des différents types de suites - suites où tous les objets sont différents. En général elles nécessitent autant de déplacements que d objets différents. Elles demandent une grande attention. - Suites algorithmiques. Elles se ramènent à une reproduction du premier motif dès que l enfant l a reconnu. On peut cacher le modèle dès que l algorithme a été reproduit 2 ou 3 fois. - Suites du type ABBBBCBBDB. Ces suites mobilisent la reconnaissance des objets, leur ordre et leur nombre. 5) Les trains MS GS Objet d apprentissage Les premiers nombres dans leur aspect ordinal (1) Situation Une suite d objets tous différents et alignés est donnée comme modèle. Il s agit de reconstituer cette bande à partir d objets identiques proposés dans un certain ordre. Matériel Une suite d images à découper de droite à gauche Une suite modèle d objets collés sur une bande quadrillée Une bande vierge représentant une suite d autant de cases que le modèle. Une paire de ciseaux 9

Train à 7 cases Train à 13 cases Activité Chaque enfant a une suite de cases blanches et une suite d images. Il doit découper l image la plus à droite, aller voir où cette image est placée sur le modèle qui est éloigné de sa table puis revenir et coller cette image au bon endroit. Ensuite il découpe à nouveau l image la plus à droite et refait le même cheminement. La validation se fera en rapprochant le modèle de la bande construite par l enfant. On marquera d une croix les bonnes réponses. Analyse La différence fondamentale ici par rapport au jeu des objets sur bande quadrillée est que les objets sont proposés dans un ordre que l enfant doit respecter. Il faut repérer la position de l image, c'est-à-dire rechercher le rang de l image et donc utiliser le nombre dans son aspect ordinal. L enfant a 2 problèmes à résoudre - sur le modèle il cherche la case de l image et lui associe un nombre - sur sa bande il associe à ce nombre une case vide où il colle l image. 10

Aides à l apprentissage Lorsque tous les enfants sont passés à l atelier on organise un débat collectif où ceux qui ont gagné expliquent leur stratégie. Certains enfants ne comprennent pas qu il faut compter. Certains raisonnent ainsi : «sur le modèle le bol que j ai en main est à côté de la voiture» ils reviennent à leur bande vierge et bien sûr ne s en sortent pas. Pour organiser le débat, il faut mettre les enfants en situation. Une bande modèle d un côté une bande blanche de l autre et à chaque essai on explique ce qui permet de gagner. Quelles sont les compétences en jeu? - il faut compter les cases sur le modèle et sur la bande blanche - il faut savoir réciter la comptine - il faut pointer une fois et une seule chaque case - il faut associer chaque case avec les mots de la comptine - il faut s arrêter sur la case qui correspond au rang trouvé. 7) La bésette PS MS GS Objet d apprentissage Dénombrement et lecture de nombres dans leur aspect cardinal (1) Mise en œuvre de la correspondance terme à terme (2) Association collections nombres (3) Reconnaissance globale de petites collections (4) Situation Jeu sur piste avec des dés, des cartes constellations classiques, des cartes constellations non classiques et des cartes avec chiffres. Matériel Des jetons ou des pions de 2 couleurs. Des dés Des pistes de 12 cases (plus ou moins suivant les possibilités des enfants) Activité1 : la bésette avec dé On peut y jouer de façon individuelle ou sous forme de jeu collectif chacun son tour. Chaque enfant a une piste et un dé. Il lance le dé et pose les pions correspondants. A la fin de la partie il faut parfois lancer le dé plusieurs fois avant d obtenir le bon chiffre. On peut remplacer les pions par un coloriage des cases de la piste afin d en garder un trace. 11

Bésette avec dés Activité 2 : la bésette avec cartes constellations classiques L enfant joue de la même manière mais les dés sont remplacés par des cartes constellations classiques (comme sur le dé) Les cartes sont posées à l envers sur la table et chaque joueur tire une carte, la pose devant lui et met sur sa piste le nombre de pions correspondant. Cette configuration de jeu permet une vérification même sans rester constamment à l atelier. Bésette cartes classiques Activité 3 : la bésette avec cartes constellations non classiques L enfant joue de la même manière avec des cartes aux constellations libres. 12

Bésette cartes non classiques Activité 4 : bésette avec cartes nombres Le jeu reste le même mais cette fois sur les cartes figurent les nombres. Bésette avec nombres Analyse L activité 3 est la plus riche, car elle permet à la fois la correspondance terme à terme et le dénombrement. Dans l activité 4 il s agit d une lecture de nombres. L enfant associe à ce nombre une collection de pions. Aide à l apprentissage L enfant qui n arrive pas à associer nombre de points et pions à poser, peut poser les pions directement sur le dé ou sur la carte pour vérifier sa collection. Dans l activité 4 l enfant peut s aider de la bande numérique. Evaluation L enfant dispose d une piste de 20 cases et, soit du dé, soit des cartes classiques ou non soit des cartes chiffres. Il a un crayon de papier et 2 crayons de couleur différente. L enfant choisi une carte ou lance le dé, il dessine la face du dé ou la carte puis colorie avec une couleur le nombre de cases correspondant au tirage. Ensuite il recommence et colorie avec l autre couleur. 13

Ce travail, suivant les choix faits par l enseignant permet une évaluation du dénombrement, du dessin des constellations, de l écriture des chiffres et de la constitution d une collection équipotente. Modèle possible d évaluation 8) Jeu des cartes et jetons MS GS CP Objet d apprentissage Les premiers nombres dans leur aspect cardinal (1) Construction de collections équipotentes (3) Situation Construire en une seule fois une collection équipotente à une collection donnée, les 2 étant visibles lors de la vérification mais pas lors de la construction. Matériel Une réserve de jetons. Des cartes collection de 2 à 20 éléments. Une barquette pour le transport des jetons. Exemples de cartes collection Activité Les cartes collection sont au centre de la table, la réserve de jetons est éloignée. Les enfants doivent se déplacer. Chaque enfant choisit une carte collection et va chercher en une seule fois exactement ce qu il lui faut pour gagner. S il n y arrive pas on va lui proposer une carte plus facile. Celui qui gagne prendra une carte plus difficile. Cette activité fait suite aux maisons et jardins mais ici une des collections est toujours fixe. 14

Réserve de jetons Consigne Tu vas chercher les jetons qu il te faut pour ta carte. Quand tu reviens tu poses un jeton sur un rond (ou carré) et tu continues avec le jeton suivant. Quand tu as fini, si tu n as plus de jetons dans la main et si tous les ronds(ou carrés) sont couverts avec un jeton tu as gagné! Certains enfants n imaginent pas qu il faut compter, ils prennent des jetons au hasard. Ils n ont pas conscience de la propriété qui dit que 2 collections qu on peut mettre en correspondance terme à terme ont le même nombre d éléments. Paramètres - la disposition des objets : dans la réserve les jetons sont en désordre et mobiles. Sur les cartes ils sont fixes et en constellation ou alignés ou en désordre. Certains sont très espacés d autres serrés. - Le nombre d objets varie de 2 à 20. Entre 2 et 5 objets l enfant peut réussir sans pointage, au-delà il doit apprendre à maîtriser l énumération et la comptine numérique. Aides à l apprentissage Donner des jetons à l enfant devant lui sur sa table. «Tu prépares ce qu il te faut de jetons puis tu les poses.»reproduire ce jeu avec 3 ou 4 jetons plusieurs fois avant de re-proposer l éloignement. Lorsque tout le monde est passé à l atelier, réaliser un débat collectif où les enfants qui ont réussi expliquent leurs stratégies gagnantes. BIBLIOGRAPHIE BO 02/02 horaires et programmes d enseignement à l école primaire. - Vers les mathématiques : Quel travail en maternelle? www.eduscol.education.fr - Apprentissages mathématiques : jeux en maternelle Francette Martin scéren CRDP Aquitaine - CD rom HATIER apprentissages mathématiques en maternelle - Site Internet du CRDP 68 - Evaluations GS : découvrir le monde www.banqoutils.education.gouv.fr 15