Salah Khalfallah nalyse des structures hyperstatiques : recueil d exercices résolus
Dédicace ma mère et ma femme, Nour El Yakine, nnes et youb, Mohamed et mina,
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vant-propos e présent ouvrage est principalement adressé aux étudiants de grade licence en génie civil, génie mécanique, génie maritime, génie aéronautique,, comme, il peut être consulté par les étudiants en Master I et Master II des spécialités citées ci-dessus. ouvrage présenté est un recueil d exercices résolus par plusieurs méthode d analyse des structures hyperstatiques, telles que : la méthode des trois moments et ou de Clapeyron, la méthode des forces, la méthode des rotations, la méthode de distribution des moments et la méthode matricielle de rigidité. Vu l importance de la méthode matricielle de rigidité, elle est répartie en trois distinctes chapitres suivant la nature de la structure. Donc, il s agit de structures réticulée, de structures poutres et les structures portiques. a conception primordiale de cet ouvrage a pour objet d appréhender la connaissance d utilisation des méthodes d analyse des structures hyperstatiques à travers l établissement des exercices et des problèmes des structures hyperstatiques. Pour atteindre ce but, nous avons sélectionné un ensemble d exercices largement utilisés et qui ont été résolus par les différentes méthodes d analyse des structures hyperstatiques. objet de cette procédure est de présenter la mise en œuvre des méthodes d analyse des structures hyperstatiques. Dans ce concept, le manuscrit est divisé en huit chapitres distincts pouvant être regroupés en deux parties principales. a première partie, soient les chapitres à 5, présente les méthodes classiques d analyse des structures hyperstatiques, telles que la méthode des trois moments ou de Clapeyron, la méthode des forces, la méthode des rotations et la méthode de distribution des moments. a deuxième partie composée de chapitres 6 à 8, est particulièrement consacrée à la méthode matricielle de rigidité. Cette dernière est appliquée respectivement à l analyse des structures réticulées, aux poutres et enfin aux portiques. e chapitre premier est consacré à une introduction générale d analyse des structures hyperstatiques. Ce chapitre montre le calcul de paramètres, tels que les 5
rotations, les déplacements, les constantes mécaniques, le degré d hyperstaticité d une structure et les degrés de liberté d une structure qui semblent assez nécessaire à l analyse des structures hyperstatiques. e deuxième chapitre expose l analyse des structures hyperstatiques par la méthode des trois moments (cas d une poutre hyperstatique à une seule travée) et la méthode de Clapeyron (cas de poutres continues). application successive de la méthode de Clapeyron conduit à l analyse des poutres continues par la méthode des foyers. e troisième chapitre expose l application de la méthode des forces à l analyse des poutres ou des portiques présentant un ou plusieurs degrés de liberté. Dans cette série d exercices, nous présentons l application de la méthode des forces à l analyse des structures usuelles, telles que : les poutres simples et continues, les portiques et les systèmes réticulés. Dans cette méthode, la détermination du degré d hyperstaticité joue un rôle primordial, pour cette raison, une importance particulière est donnée au calcul de ce coefficient. Dans le même concept, le chapitre quatre présente l application de la méthode des rotations à l analyse des poutres et des portiques avec et sans dénivellations d appui. Dans ce chapitre, il est nécessaire de connaître le calcul des moments d encastrement parfait. Ces moments qui se naissent aux extrémités de chaque barre d une structure dépendent de la nature de la charge y appliquée. a deuxième partie de cet ouvrage montre des séries d exercices où les concepts de base de la méthode matricielle de rigidité ont été appliqués. e chapitre six présente la mise en œuvre de la méthode matricielle de rigidité à l analyse des structures réticulées tandis que les chapitres sept et huit montre respectivement la mise en application de la méthode matricielle de rigidité à l analyse des poutres et des portiques. Chaque chapitre illustre la formulation de la matrice de rigidité locale, la matrice de transformation ou de passage du repère local aux coordonnées globales, la technique d assemblage des matrices de rigidité de tous les éléments de la structure, la formulation du vecteur des forces extérieures et enfin la résolution de l équation fondamentale de la méthode de rigidité. a détermination des degrés de liberté actifs permet d une manière générale à l analyse de la structure donnée. Pour approfondir les connaissances et la mise en application des méthodes d analyse des structures, nous avons choisi un ensemble d exercices à la fin de chaque chapitre. Enfin, nous espérons que notre démarche à travers la publication de cet ouvrage répondra aux besoins des étudiants qui s intéressent à cette matière scientifique ou technique. Néanmoins, nous sommes très conscients que le travail présenté n est pas exempté d erreurs. Pour cette raison, nous accueillerons avec gratitude toutes les 6
corrections et les remarques en vu d améliorer cet ouvrage dans les prochaines éditions. es remarques ou les suggestions peuvent être adressées via les adresses électroniques suivantes : www.freewebs.com/khalfallah/index.htm Khalfallah Salah 7
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Série I Introduction à l analyse des structures hyperstatiques Objectifs analyse des structures hyperstatiques nécessite le recours au calcul des rotations (la méthode des rotations) et au calcul des déplacements (méthode des forces). e calcul des constantes mécaniques joue aussi un rôle important pour établir la méthode des trois moments et la méthode de Clapeyron. Dans le même concept, la détermination du degré d hyperstaticité (la méthode des forces) et le degré de liberté (la méthode matricielle de rigidité) ont une importance primordiale en analyse des structures hyperstatiques. eurs déterminations permettent à l identification du nombre des inconnues et le nombre d équations correspondant. Pour cette raison, nous avons présenté cette série pour servir à l analyse des structures hyperstatiques. e but de ce chapitre est de familiariser l étudiant à manipuler le calcul des déformations des structures isostatiques. Exercice 1.1 : Calcul des rotations Calculer les rotations aux points et B des poutres suivantes. a rigidité flexionnelle () est supposée constante. P E, I @/ B, q B a P E, I b B E, I M 0 @/ B E, I, B B 9
Cas 1 : Poutre sous une force appliquée au milieu a poutre à étudier est symétrique, la réaction à chaque appui est : V = V B = 1 P Pour calculer les rotations en et B de la poutre, on utilise l équation différentielle de la déformée de la ligne élastique ; soit : Pour 0 x '' M( x) Px y( x) = = intégration première de l équation différentielle s écrit : ' P x y ( x) = ( + c) où c est une constante d intégration qu on la détermine en utilisant les conditions aux limites. On a : ' y ( x= ) = 0 Donc, la constante d intégration c est : c= 8 expression de la rotation de la ligne élastique le long de la poutre est : ' P x² y ( x) = ( ) 8 Particulièrement, les rotations aux extrémités de la poutre sont : ' '' 1 P ω = ωb = 16 a déformée de la poutre est donnée par la figure suivante. Cas : Poutre sous une charge uniforme a poutre à étudier est ainsi symétrique, la réaction à chaque appui est : 1 V = V B = q 10
utilisation de l équation différentielle de le déformée de la ligne élastique permet d écrire : '' ( x) q y ( x) = µ = ( x. x²) intégration première de l équation différentielle s écrit : ' q x² x y ( x) = ( + c1) où c 1 est une constante d intégration. On a : ' y ( x= ) = 0 Donc, la constante d intégration c est : c= 1 expression de la rotation de la ligne élastique est : ' q x² x y ( x) = ( ) 1 En particulier, les rotations aux extrémités de la poutre sont : q ' '' 1 ω = ωb = 4 a déformée de la poutre est donnée par la figure suivante. q ' ω = - q 4, '' ω B= q 4 B Cas : Poutre sous une force concentrée appliquée à. 0 x a, l expression du moment de flexion dans cette région est : ( ) Pb M1 x = x équation différentielle de la ligne élastique est : '' Pb. y( x) = x 1 ' Pb. y( x) = x² + c 1 1 11
Pb. y ( x) = x + c 1 1x+ c 6 De la même manière : a x ( ) (1 x M ) x = Pa '' x. y( x) = Pa(1 ) ' x². y( x) = Pa( x ) + c x² x. y( x) = Pa( ) + cx+ c4 6 Pour déterminer les constantes d intégration c i (i=1 : 4), il est nécessaire d utiliser les conditions aux limites et les conditions de continuité des déformations, soient : y ( x= 0) = 0 : c = 0 1 y ( x= ) = 0 : Pa² + c+ c4 = 0 ' ' y( x= ) = y 1 ( x= ) : Pb a a + c 1 = Paa ( ) + c y( x= ) = y 1 ( x= ) : Pb a² a a + ca 1 = Pa( ) + ca + c4 6 6 a résolution de ce système d équations conduit à : Pb c1 = ( ² b²) 6 Pa c = ( ² + a²) 6 Pa c 4 = 6 es formules donnant les rotations le long de chaque tronçon sont : 0 x ' Pb y1 ( x) = ( x² ( ² b²)) 6 ' ' Pour x=0 : ( 0) Pab ω ( ) = y1 x= = + b 6 x 1
' Pa y ( x) = (6x x² ( ² + a²)) 6 '' ' Pour x = : ( ) Pab ω ( ) B = y x= = + a 6 a déformée de la poutre est donnée par la figure ci-dessus. P B ' Pab ω = ( + b ) 6 '' Pab ω B = ( + a ) 6 Cas 4 : Poutre sous l effet d un couple M 0. es réactions d appui sont : M0 V = et VB =- M0 M0 0 x : M 1 (x) = x x : M (x) = 0 (1 x M ) On utilise la méthode de Maxwell-Mohr pour calculer les rotations aux points et B. / ' M0 x x x(1 ) dx M0(1 )² dx 0 = 0 / 4 ω = / '' 0 0 B ² 0 / M M x² ω = xdx ² ( x ) dx + M 4 = 0 a déformée de la poutre est donnée par : M Cas 5 : Poutre sous l effet d une dénivellation d appui a poutre donnée est supposée soumise à une dénivellation d appui ; un tassement de l appui B d une quantité comme le montre la figure. appui 1
garde sa position initiale. tgβ = angle β est très petit, cela permet d écrire que : β = Pour respecter la convention de signes utilisée dans ce manuscrit, les rotations aux points et B sont : β = βb = βb = Exercice 1. : Calcul des déplacements Calculer le déplacement au point et déduire le déplacement maximum des poutres suivantes. P q E, I @/, @/ P M 0 a E, I b E, I @/ Cas 1 : Poutre sous une force appliquée au milieu On a déjà démontré dans l exercice (1.1) la formule de la rotation le long de la poutre, d où l expression de la déformée (le déplacement) peut être obtenue par une simple intégration de l expression de la rotation. Pour 0 x expression de la rotation de la ligne élastique est : ' P x² y ( x) = ( ) 8 intégration de cette expression est : P x y ( x) = ( x+ α) 6 8 α est une constante d intégration. On a : 14
y( x= 0) = 0 Ce qui permet de déterminer α = 0 P x y ( x) = ( x) 6 8 Particulièrement, la déformée au point (milieu de la poutre) est : P δ = y ( ) = 48 a déformée de la poutre est donnée par : P δ δ max P = δ= 48 Cas : Poutre sous une charge uniforme expression de la rotation au long de la poutre est donnée par la relation suivante : ' q x² x y ( x) = ( ) 1 expression de la déformée de la ligne élastique est : 4 q x x y ( x) = ( x+ c1) 6 1 1 On détermine la constante d intégration c 1 en utilisant la condition aux limites suivante : y( x= 0) = 0 Donc, c 1 = 0 D où : 4 q x x y ( x) = ( x) 6 1 1 pour x = / 4 5q δ = y ( x= ) = 84 15
q δ 16 δ max 4 5q = δ = 84 Cas : Poutre sous une force concentrée appliquée à. 0 x a expression de la rotation est : ' Pb y1 ( x) = ( x² ( ² b²) 6 ( ) Pb ( y ( ² ²) ) 1 x = x b x 6 Pba ² ² Pour x = a : δ = y1( x= a) = P δ Cas 4 : Poutre sous l effet d un couple M 0. es moments de flexion dus à l effet de M 0 sont : M0 0 x : M 1 (x) = x x : M (x) = 0 (1 x M ) es moments de flexion dus à une force unitaire appliquée au point milieu de la poutre sont : 1 0 x : m1( x) = x 1 x : m( x) = x On utilise la méthode de Maxwell-Mohr pour calculer le déplacement vertical au point. / δ = M0 x x x x dx M0 dx = 0 / (1 )( ) 0
M 0 δ Exercice 1. : Calcul des constantes mécaniques Calculer les constantes mécaniques des poutres suivantes. E,I, / E,I, / E/, I, / E, I, / E,I, / E,I, I 0 E, I 0 D une façon générale, les expressions des constantes mécaniques sont données par : x x x x (1 ) (1 ) ( ) a= dx, b= dx et c= dx 0 0 vec : est la longueur de la poutre et () est la rigidité flexionnelle de la barre, tels que I est l inertie de la poutre et E est le module de l élasticité longitudinale de la barre étudiée. Cas 1 : x x /(1 ) (1 ) 7 5 a= dx+ dx = + = 4 48 16 0 / x x x x /(1 )( ) (1 )( ) b= dx+ dx = + = 1 4 8 0 / x x /( ) ( ) c= dx+ dx = 0 / 7 + = 4 48 16 0 17
Cas : x x / (1 ) (1 ) a= dx + dx 0 / 0 / 17 = + = 6 4 7 x x x x / (1 )( ) (1 )( ) b dx 5 = + dx = + = 18 1 6 x x / ( ) ( ) 7 c= dx+ dx = + = 6 4 7 0 / Cas : x x /(1 ) /(1 ) a dx 47 5 7 = + dx = + = 108 4 45 0 / x x x x /(1 )( ) /(1 )( ) b dx 7 5 = + dx = + = 108 7 4 0 / x x /( ) /( ) c dx 17 = + dx = + = 54 54 0 / Cas 4 : On définit la loi de variation de l inertie au long de la poutre. On suppose que l inertie varie d une manière linéaire le long de la poutre. Cela permet d écrire que : I( x) = α + α ( x) 0 1 On applique les conditions aux limites. I( x= 0) = I 0 Et : I( x= ) = I 0 D où, l expression de l inertie à toute section est donnée par : I0 I( x) = I0 + x es expressions des constantes mécaniques de la poutre sont : x x (1 ) (1 ) 9 0.6 a= dx= dx = ( ln 1) = ( x) x 0 0 0 8 0 0(1 + ) 18
x x x x (1 ) (1 ) 1 0.088 b= dx= dx ( x) = ( ln) = x 0 0 0 8 0 0(1 + ) x x ( ) ( ) 0.17 c= dx= dx ( x) = ln = x 8 0 0 0 0 0(1 + ) Exercice 1.4 : Degrés d hyperstaticité Déterminer le degré d hyperstaticité des structures suivantes. O e nombre d inconnues, r = e nombre d équations de la statique, e = a structure est isostatique. e degré d hyperstaticité peut être déduit par la formule suivante : f = (b + r) (n + k) avec : b est le nombre de barres r est le nombre d inconnues n est le nombre de nœuds k est le nombre de conditions supplémentaires. f = (*1 + ) (* + 0) = 0 e nombre d inconnues, r =4 e nombre d équations de la statique, e = a structure est une fois hyperstatique. e degré d hyperstaticité peut être déduit par la formule définie ci-dessus : f = (b + r) (n + k) f = (*1 + 4) (* + 0) = 1 O O f = (* + 6) (*4 + 0) = 19
O f = (* + 8) (*4 + 0) = 5 f = (* + 8) (*4 + ) = O f = (* + 4) (*4 + 0) = 1 f = (* + 5) (*4 + 0) = f = (* + 6) (*4 + 0) = O f = (*6 + 5) (*6 + 0) = 5 f =(*6 + 6) (*6 + 0) = 6 f = (*6 + 7) (*6 + 0) = 7 0