UERSTE PARS-SUD ETRE D'ORSAY L3 Physique et Applications Partiel de physique des composants AEE 01-013 8 février 013 orrigé - hoix de matériaux semiconducteurs Afin de répondre aux questions suivantes, faites référence au tableau ci-dessous (T=300 K). GaAs Si E g (e); énergie de gap 1,4 1,1 c (cm 3 ); densité effective 4,7x10 17,5 x10 19 d états dans la bande de conduction v (cm 3 ); densité effective 7x10 18 10 19 d états dans la bande de valence n i (cm 3 ); densité de porteurs intrinsèque 1,8x10 6 10 10 n (cm 1 s 1 ); mobilité de 8500 1500 l électron h (cm 1 s 1 ); mobilité du 400 450 trou m e /m o ; masse effective 0,067 1,18 (électrons) m t /m o ; masse effective 0,45 0,81 (trous) 1- ous souhaitons réaliser un dispositif optoélectronique. ous avons à notre disposition du Si et du GaAs a) Lequel des deux matériaux choisiriez-vous? Expliquez. GaAs, car gap direct. Afin de conserver la quantité de mouvement/ moment cristallin, il faut que le haut de la bande de valence et le bas de la bande de conduction se trouvent à la même valeur de, le vecteur d onde d un électron. b) Dessinez schématiquement un diagramme de bande (énergie d un électron en fonction de son vecteur d onde) et montrez clairement quelle propriété vous a mené à votre choix. 1
Energie 10 8 6 4 E g Direct! 0 - - -1 0 1 (vecteur d'onde) - ous souhaitons fabriquer un transistor à haute vitesse. a) Lequel des deux matériaux choisiriez-vous? Expliquez. GaAs. La mobilité des électrons dans le GaAs est très élevée. Donc pour un champ appliqué donné, les électrons dans le GaAs iront à une vitesse plus élevée par rapport aux porteurs dans le Si. b) hoisiriez-vous des électrons ou des trous comme porteurs majoritaires dans votre dispositif? Expliquez. Des électrons. Leur masse effective est plus faible et donc leur mobilité est plus élevée que pour les trous. c) Dessinez schématiquement un diagramme de bande (énergie d un électron en fonction de son vecteur d onde) et montrez clairement quelle propriété vous a mené à votre choix.
Energie 10 8 6 4 0 ourbure plus serrée pour les électrons => masse effective plus petite - - -1 0 1 (vecteur d'onde) 3- ous souhaitons fabriquer un dispositif électronique qui fonctionne à haute température. Lequel des deux matériaux serait le meilleur choix? Expliquez. Le GaAs, car sa bande interdite est plus grande. De ce fait, la plage de température où les concentrations des porteurs sont constantes (régime d épuisement) sera plus grande, avant que le semiconducteur commence à se comporter comme un semiconducteur intrinsèque. 4- Le silicium est le semiconducteur le plus utilisé dans la microélectronique. Donnez deux raisons le justifiant. Deuxième élément le plus abondant dans la croûte terrestre. orme un oxyde de très bonne qualité (SiO ) - oncentrations en électrons et en trous Soit un alliage semiconducteur du type n 0,53 Ga 0,47 As non dégénéré. On définit les niveaux d'énergie suivants : le minimum de la bande de conduction, le maximum de la bande de 3
valence et le niveau de ermi. La relation énergie-vecteur d onde dans la bande de conduction peut être assez bien décrite par. On supposera de même pour les m e trous de la bande de valence que. Dans ce cas, les densités d'états dans les m bandes de conduction et de valence sont données respectivement par n () = 3 / 3 / m e m t 8 h et n () = 8. h 0 / On rappelle que x x s rime sous la forme dx 1 f 1 ( ) 1 n. t et que la fonction de distribution des électrons 1- Exprimer la concentration n d'électrons libres en fonction de la densité d'états dans la n bande de conduction et de la fonction de distribution des électrons. sup n ( )f n ( )d où sup est le haut de la bande de conduction (bc). - Démontrer que la densité d'électrons dans la bande de conduction d'un semiconducteur non dégénéré peut se mettre sous la forme : n On précisera soigneusement les hypothèses faites. alculer la valeur numérique de. Données numériques : B = 8,617 10-5 e.k -1 ; h = 6,6 10-34 J.s = 4,136 10-5 e.s ; et m e = 0,041 m 0, où m 0 = 9,1 10-31 g est la masse de l'électron au repos dans le vide. Pour toute énergie de bc, si le bas de la bc est supérieur d'au moins 3 B T à, E alors E f n (E) (cas d'un semiconducteur non dégénéré). omme généralement sup est en général bien supérieur à 3 B T, on a donc n 8 m h e 3/ d. 4
Après un changement de variable du type x = ( )/ B T et sachant que 1/ x xdx, on obtient finalement n où 0 3 / m e h. Pour n 0,53 Ga 0,47 As, l application numérique à T = 300 K conduit à =,1 10 17 cm -3. 3- Exprimer la concentration p de trous libres en fonction de la densité d'états dans la bande de valence et de la fonction de distribution des électrons. Simplifier l ression obtenue dans le cas d un semiconducteur non-dégénéré. Sans refaire tous les calculs, montrer par analogie que la concentration en trous dans la bande de valence peut se mettre sous la forme : p v alculer la valeur numérique de pour m t = 0,41 m 0. E On a p n (E)(1 f inf E n (E)) de et 3/ t B B m p 8 d h T T et par un raisonnement similaire au cas précédent on obtient 3 / m t h, E E p où soit à 300 K, = 6,6 10 18 cm -3 4- Qu appelle-t-on un semiconducteur intrinsèque? Dans un tel semiconducteur, rimer le produit de la concentration en électrons et en trous. En déduire les concentrations en électrons et en trous à l équilibre thermodynamique. alculer leurs valeurs numériques à T = 300 K avec comme énergie de bande interdite (ou gap) G = 0,74 e Un semiconducteur est dit intrinsèque quand il est pur. 5
On a de plus à l'équilibre np Dans un semiconducteur intrinsèque, n = p = n i, soit ici n i = 7, 10 11 cm -3. v c G n i. 5- Exprimer le niveau de ermi intrinsèque i en fonction de,, et. alculer numériquement la position de i par rapport à. On peut déduire de n = p que le niveau de ermi intrinsèque est donné par G i ln soit encore i ln, soit ici i = 0,46 e. (On peut remarquer que dans le cas d un semiconducteur à gap relativement faible comme n 0,53 Ga 0,47 As et avec une grande dissymétrie entre masses de densité d états de la bc et de la bv, l écart entre la position du niveau de ermi intrinsèque et le milieu de la bande interdite (0,09 e ici) commence à ne pas être négligeable.) - nterprétation des diagrammes de bandes (énergie d un électron en fonction de la position) Un dispositif en silicium à 300 K est caractérisé par le diagramme de bande ci-dessus. E c est l énergie du bas de la bande de conduction, E v est l énergie du haut de la bande de valence. E g est l énergie du gap ou de la bande interdite et E est l énergie de ermi. L est la longueur du dispositif selon la direction x. Utilisez le diagramme de bande ci-dessus afin de répondre aux questions suivantes : 6
1. aites un schéma montrant la variation du potentiel électrostatique () en fonction de x dans le dispositif.. aites un schéma montrant la variation du champ électrique (E) en fonction de x dans le dispositif. E 7
3. Le dispositif est-il à l équilibre? Expliquez. Oui, car le niveau de ermi (E ) est constant (continu et horizontal) dans toute la structure. 4. Y a-t-il une région où le semiconducteur est dégénéré? Si oui, donnez les valeurs approximatives de x dans cette région. Oui, le semiconducteur est dégénéré près de x=l, car le niveau de ermi est proche de E. 5. Le dispositif est-il dopé uniformément? Expliquez. on, car la quantité E -E varie avec position. 6. Quel est le type de dopant (dominant) à x= x? Justifiez votre réponse. Le dopant dominant est de type p car E est plus proche de la bande de valence que de la bande de conduction. 7. Quelle est la densité des trous dans la bande de valence p à x=x? En utilisant l équation [] de la question nous avons p v avec E G 1,1 p 10 5x10 cm 3 30, 06 19 1 3 A ~p 8. aisons l hypothèse qu il n existe qu un seul type de dopant présent en x=x. Quelle est la densité des impuretés en x=x? Merci de lire attentivement les questions suivantes avant de répondre : 9. Quelle est la valeur de J n (x 1 ), c est-à-dire combien vaut la densité de courant électronique total en x=x 1? Evaluez-la pour L=1 µm. J n (x 1 )=0 car à l équilibre!!! 8
J e pe P 10. Quelle est la valeur de J p,dérive (x 1 ) c est-à-dire la densité de courant de dérive des trous en x=x 1? Evaluez-la pour L=1 µm. p Trouver le champ électrique : Donc J P ~ 4 A/cm d 1 de 1 EG E= dx e dx e L 6 1,1 x10 / m 11. La région autour de x=x est éclairée par de la lumière. a. Quelle est la condition devant être satisfaite pour que le semiconducteur puisse absorber la lumière incidente? E photon =h>=e g Donnez la caractéristique limite pour le cas du silicium. Est-ce que cette limite changera avec le dopage? max (µm)=1.4/e g (e)=1,1µm (Si) eci ne change pas avec le dopage. b. Si cette condition est bien satisfaite, commentez sur les densités des trous dans la bande de valence et des électrons dans la bande de conduction par rapport à leurs valeurs sans éclairage, dans le cas de «faible injection» (c est-à-dire, le cas où l intensité de lumière incidente est faible). Les trous sont des porteurs majoritaires. Leur concentration change très peu par rapport à leurs valeurs sans éclairage, dans le cas de «faible injection». Par contre, la concentration des électrons, porteurs minoritaires, change d une façon importante par rapport à sa valeur sans éclairage, dans le cas de «faible injection». - Dopage et température On considère un substrat de Si à l équilibre sous une température T (en Kelvin) variable. Des atomes d ndium (n, dans la colonne de la classification périodique) ont été implantés dans le réseau cristallin de Si. La concentration de telles impuretés placées en sites substitutionnels est. Elle est suffisamment faible pour qu on puisse considérer que le Si est 9
un semiconducteur non dégénéré. La constante de Boltzmann est B = 1,38 10-3 J.K -1. L énergie de bande interdite du Si est 1,1 e. Toutes les réponses aux questions doivent être justifiées. 1. Quel type de dopage peut être obtenu par implantation d atomes d n dans un cristal de Si? Justifiez votre réponse. L n a un électron de valence de moins que le Si (colonne ), c est donc un dopant P.. Un atome d n en site interstitiel (c est-à-dire placé entre des atomes de Si) peut-il être considéré comme un dopant actif? Justifiez votre réponse. Un atome d n en site interstitiel ne peut pas être considéré comme un dopant actif puisqu il n est pas lié par des liaisons de covalence aux atomes du cristal. l ne peut donc pas échanger d électron avec lui. 3. Si l on considère pour cette question uniquement un réseau cristallin de GaAs, quel type de dopage est obtenu par substitution d atomes de Ga par du Si? Pourquoi? Le Ga est également dans la colonne de la classification périodique, le Si qui le remplace est donc un dopant de type. 4. La concentration en impuretés d n ionisées en fonction de T,, et du niveau d énergie dû aux n en site substitutionnel est donnée par l ression ionisé. où - = 0,16 e. ndiquer le signe des impuretés 1 ionisées. Les impuretés d n ionisées sont chargées négativement. 5. Expliquer comment déterminer le niveau de ermi à une température donnée en utilisant un raisonnement graphique, la relation établie à la question précédente, et les équations (1) et () de la question. Pour calculer cette concentration en dopants ionisés et déterminer, on peut résoudre graphiquement l'équation de neutralité électrique pour d'abord trouver la 1 position du niveau de ermi puis de la densité de trous p. En fonction de la température, on peut aboutir aux trois situations schématisées ci-dessous : 10
(6) oncentrations en échelle log p T grande T intermédiaire T faible ln(p) ln(p) ln(p) ln(n) n ln(n) ln(n) ln( - ) p ln( - ) ln( - ) p 6. Utilisez des schémas pour décrire qualitativement 3 régimes possibles pour l évolution de la densité de trous à température faible (T < T min ) ; intermédiaire (T min < T < T max ) ; et haute (T > T max ). T<T T min <T<T max Energie du niveau de ermi T>T négligeable négligeable dominant 7. alculer l ression de la densité de trous et celle du niveau de ermi en fonction de,,,,, et B T pour les 3 régimes possibles. Pour T < T min, p d'où ln et p. Pour T min < T < T max,. p et donc ln 11
Enfin pour T > T max, p n d'où ln et p = n i. () 8. Démontrer que En T = T min, on a T min et B ln p T max. B ln d'où min T min. (1) B ln En T = T max, p d'où max G T max. (1) B ln 9. Quelle condition sur, et est-elle requise pour que l approximation de semiconducteur non dégénéré soit valable? On notera que dans Si, =,5 10 19 (T/300) 1,5 cm -3 et = 10 19 (T/300) 1,5 cm -3. Pour que l approximation de semiconducteur non dégénéré soit valable, il faut que - >3 B T. On doit donc avoir <.(-3) /0. 10. Tracer l allure des variations de ln(p) en fonction de 1/T et celles de E en fonction de T. Si nous ne connaissons pas les caractéristiques du semiconducteur dopé, telles que l énergie du gap et l écart -, comment peut-on les extraire du relevé érimental de la première courbe? L allure des variations de ln(p) en fonction de 1/T et celles de en fonction de T sont données sur les figures suivantes. Le relevé érimental de la première courbe permet d extraire les valeurs de l énergie de bande interdite G et de l écart - entre le niveau accepteur de l n et le haut de la bande de valence. 1
Energie (e) lnp Régime intrinsèque pente G B Pente = B ln( / )/ ln( ) Saturation onisation pente B B ln( / ) 1 Tmax 1 Tmin 1 T B ln( / )/ T min T max T 11. Déterminer T min et T max grâce à la figure suivante, obtenue pour = 10 16 cm -3. 1, 1 0,8 0,6 - B Tln( / ) 0,4 0, B Tln( / ) - 0 0 00 400 600 800 1000 Température (K) On obtient T min (resp. T max ) quand la courbe B T.ln( / ) (resp. B T.ln( / )) croise l énergie - (resp. - ). Pour = 10 16 cm -3, on a ainsi T min 75 K et T max 775 K. (4) 1. alculer T min et T max en utilisant les formules de la question 9 et les valeurs numériques de et obtenues à T = 300 K. omparer les résultats avec ceux de la question précédente. ommentaires? Avec valeurs numériques de et obtenues à T = 300 K, on obtient T min = 70 K et T max = 880 K. L erreur commise en prenant pour évaluer T min la valeur de à 300 K est vraiment très faible. (L énergie B T.ln( / ) évolue comme 1,5.T.ln(T/T 0 ) mais T min est suffisamment proche de 300 K pour l écart entre les deux évaluation de cette température soit faible. Pour ce qui est de T max, elle est plus éloignée de 300 K, l évolution de B T.ln( / ) en 3T.ln(T/T 0 ) privilégie un peu moins le terme en T et l erreur commise en prenant pour et leurs valeurs à l ambiante est plus grande.) 13
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