Cours 6º et 5º - Partie ALGÈBRE

Cours 6º et 5º - Partie ALGÈBRE Xavier MALEVILLE 10 de junio de 2010 Índice 1. LES NOMBRES ET LES OPÉRATIONS 3 1.1. Nomre décimal....................................... 3 1.2. Additions, soustractions et multiplications de décimaux................. 3 1.2.1. Vocaulaires..................................... 3 1.2.2. Effectuer une addition ou une soustraction.................... 3 1.2.3. Multiplication et division par 10; 100; 1 000................... 3 1.2.4. Multiplications par 0,1, par 0,01 et par 0,001................... 3 1.3. Division........................................... 4 1.3.1. Division euclidienne................................. 4 1.3.2. Multiples et diviseurs................................ 4 1.3.3. Division décimale.................................. 4 1.3.4. Valeur approchée et arrondie............................ 4 1.3.5. Critères de divisiilité............................... 4 1.4. Règles de calcul - Identifier une expression - Distriutivité............... 4 1.4.1. Règles de calcul................................... 4 1.4.2. Identifier une expression.............................. 5 1.4.3. Distriutivité.................................... 5 2. LES FRACTIONS 5 2.1. Rappels -Fractions décimales et ordre.......................... 5 2.1.1. Écriture fractionnaire d un quotient........................ 5 2.1.2. Décomposition standard des nomres décimaux................. 5 2.1.3. Quotients égaux................................... 5 2.1.4. Ascisse d un point sur une droite graduée.................... 6 2.1.5. Comparer - Ranger - Encadrement........................ 6 2.1.6. Comparaison de deux nomres en écriture fractionnaire............. 6 2.1.7. Multiplier un nomre par une faction....................... 6 2.2. Addition et soustraction - Multiplication......................... 7 2.2.1. Addition et soustraction.............................. 7 2.2.2. Multiplication.................................... 7 1

Sixième-Cinquième 2010 Dr Xavier MALEVILLE 2 3. Quotients et pourcentage 8 3.1. Quotients.......................................... 8 3.2. Pourcentage......................................... 8 4. Gestion de données 8 4.0.1. Statistiques..................................... 8 4.1. Représentations graphiques................................ 8 4.2. Repérage du plan - Coordonnées d un point....................... 8 4.3. Proportionnalité....................................... 9

Sixième-Cinquième 2010 Dr Xavier MALEVILLE 3 1. LES NOMBRES ET LES OPÉRATIONS 1.1. Nomre décimal Un nomre décimal, appartenant à l ensemle noté D est la somme d un nomre entier et d un certain nomre de dixièmes, de centièmes, de millièmes... Les nomres décimaux s écrivent avec les chiffres de 0 à 9, séparés par une virgule. Tout nomre décimaux peut s écrire : partie entière + décimale. Remarques : * un dixième s écrit 0,1. * un centième 0,01. Partie entière Partie décimale classe des mille classes des unités unité de mille Centaine Dizaine Unité dixième centième millième 1.2. Additions, soustractions et multiplications de décimaux 1.2.1. Vocaulaires Définitions : * Le résultat d une addition s appelle une somme. Pour le calcul d une somme, l ordre des termes n a pas d importance. On peut regrouper des termes pour faciliter le calcul. * Le résultat d une soustraction s appelle une différence. * Le résultat d une multiplication s appelle un produit de facteurs. Dans le calcul d un produit, l ordre des facteurs n a pas d importance. On peut regrouper des facteurs pour faciliter le calcul. 1.2.2. Effectuer une addition ou une soustraction * En colonnes : On écrit les chiffres en colonnes avec les unités sous les unités. * En lignes : On additionne d aord les centièmes, puis les dixièmes, puis les unités et ainsi de suite en faisant attention aux retenues. 1.2.3. Multiplication et division par 10; 100; 1000 Pour multiplier par 10, 100, 1000, il faut déplacer la virgule de 1, 2, ou 3 rangs (ou rajouter des zéros) vers la droite. Pour diviser par 10, 100, 1000, il faut déplacer la virgule de 1, 2, ou 3 rangs vers la gauche. 1.2.4. Multiplications par 0,1, par 0,01 et par 0,001 * Pour multiplier par 0,1, par 0,01 et par 0,001, il faut déplacer la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche. * Multiplier par 0,1, c est diviser par 10. Multiplier par 0,01, c est diviser par 100. Multiplier par 0,001, c est diviser par 1 000.

Sixième-Cinquième 2010 Dr Xavier MALEVILLE 4 1.3. Division 1.3.1. Division euclidienne Effectuer la division euclidienne (ou entière) d un nomre entier, appelé le dividende, par en nomre entier différent de zéro, appelé le diviseur, revient à trouver deux nomres entiers, appelés le quotient et le reste vérifiant : Dividende = diviseur x quotient + reste soit D = dq + r avec 0 r < d 1.3.2. Multiples et diviseurs * On dit qu un nomre entier a est un multiple d un nomre entier différent de zéro lorsque le reste de la division euclidienne du nomre a par est égale à 0. * On dit aussi que est un diviseur de a ou que a est divisile par. 1.3.3. Division décimale Lorsque l on effectue une division décimale, on otient une valeur approchée du quotient tant que le reste n est pas nul. Le quotient est dit exact lorsque le reste est nul. 1.3.4. Valeur approchée et arrondie Ex : 14, 9 6 = 2, 483 Valeur approchée par défaut (ou tronquée) au dixième : 2,4 Valeur approchée par excès au dixième : 2,5 Valeur approchée arrondie au dixième : 2,5. 1.3.5. Critères de divisiilité * Un nomre est divisile par 2 si son chiffre des unités est pair (2, 4, 6, 8) ou 0. * Un nomre est divisile par 3 si la somme de ses chiffres est aussi divisile par 3. * Un nomre est divisile par 4 si le nomre formé des deux derniers chiffres (à droite) est divisile par 4. * Un nomre est divisile par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. * Un nomre est divisile par 9 si la somme de ses chiffres est aussi divisile par 9. 1.4. Règles de calcul - Identifier une expression - Distriutivité 1.4.1. Règles de calcul Pour calculer une expression comportant uniquement des additions ou uniquement des multiplications, on peut effectuer les opérations dans l ordre que l on veut. Pour calculer une expression sans parenthèses ne comportant que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite. Pour calculer une expression sans parenthèses, il faut effectuer les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Sixième-Cinquième 2010 Dr Xavier MALEVILLE 5 Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d aord les calculs entre parenthèse, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. 1.4.2. Identifier une expression Pour identifier une expression, on repère la dernière opération à effectuer. Dernière opération à une addition une soustraction une multiplication une division effectuer L expression est... une somme une différence un produit un quotient 1.4.3. Distriutivité Propriétés : k, a et désignent des nomres : k(a + ) = ka + k = (a + )k k(a ) = ka k = (a )k On dit que la multiplication est distriutive par rapport à l addition et à la soustraction. 2. LES FRACTIONS 2.1. Rappels -Fractions décimales et ordre 2.1.1. Écriture fractionnaire d un quotient Définitions : * Le quotient de a par différent de zéro se note a est une écriture fractionnaire où a s appelle le numérateur et le dénominateur. * Lorsque a et sont deux entiers naturels, étant différent de zéro, l écriture fractionnaire est appelée fraction. * Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10, ou à 100... Propriété : L écriture fractionnaire a peut être égale : * soit à un nomre décimal (entier ou non entier), * soit un nomre qui n est pas décimal. Remarque : Un nomre décimal (ou entier) peut toujours s écrire sous forme de fractions. 2.1.2. Décomposition standard des nomres décimaux Dans la décomposition standard, la partie décimale est une somme de fractions décimales dont les numérateurs sont à un chiffre. Exemple : 23, 251 = 23 + 2 10 + 5 100 + 1 1000 2.1.3. Quotients égaux Le quotient de deux nomres ne change pas si l on multiplie ou si l on divise numérateur et dénominateur par un même nomre différent de zéro. k a k = a (1)

Sixième-Cinquième 2010 Dr Xavier MALEVILLE 6 Exemple : 12 20 = 3 4 4 5 = 3 5 Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits. Lorsqu une fraction ne peut pas être simplifiée, on dit qu elle est irréductile. Une proportion est représentée par une égalité entre deux quotients. 2.1.4. Ascisse d un point sur une droite graduée Sur une droite graduée, chaque point peut être repéré par un nomre appelé l ascisse de ce point. L axe des ascisses est l axe horizontal. 2.1.5. Comparer - Ranger - Encadrement * Comparer deux nomres, c est montrer qu ils sont égaux, ou que l un d eux est plus grand que l autre. * Ranger des nomres dans l ordre croissant, c est les ranger du plus petit au plus grand. * Ranger des nomres dans l ordre décroissant, c est les ranger du plus grand au plus petit. * Encadrer un nomre, c est donner à ce nomre une valeur inférieure et une valeur supérieure. Exemple : 23,251 * à l unité près : 23 < 23, 251 < 24 * au dixième près : 23, 2 < 23, 251 < 23, 3 * au centième près :23, 25 < 23, 251 < 23, 26 2.1.6. Comparaison de deux nomres en écriture fractionnaire Lorsque deux nomres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur. Lorsque deux nomres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, le plus petit est celui qui a le plus grand dénominateur. La fraction est strictement supérieure à 1 si le numérateur est strictement supérieur au dénominateur et elle est strictement inférieure à 1 si le numérateur est strictement inférieur au dénominateur 2.1.7. Multiplier un nomre par une faction (2) Pour multiplier une fraction a par un nomre k donné différent de zéro, on peut : soit multiplier ce nomre k par a puis diviser le résultat par : k a soit diviser ce nomre k par puis multiplier le résultat par a : k a soit effectuer la division de a par puis le résultat sera multiplié par k (la moins utilisée)

Sixième-Cinquième 2010 Dr Xavier MALEVILLE 7 2.2. Addition et soustraction - Multiplication 2.2.1. Addition et soustraction a,, c et d sont des nomres relatifs avec et d différents de zéro. * Les dénominateurs sont les mêmes : Pour calculer la somme ou la différence de deux nomres en écriture fractionnaire de même dénominateur : - on additionne ou soustrait les numérateurs, - on garde le même dénominateur. a + c = a + c et a c = a c avec 0 (3) Exemple : 2 5 + 1 5 = 2 + 1 = 3 5 5 et 2 3 7 3 = 2 7 = 5 3 3 * Les dénominateurs sont différents : On réduit les quotients au même dénominateur (dénominateur commun) puis on applique les règles précédentes. (4) Exemple : 1 9 + 1 6 Méthode 1 : Dénominateur commun : Pour pouvoir effectuer 9 il faut un 3 et un 3, et pour 6 un 3 et un 2. De ce faît, le dénominateur commun noté D.C est 3 3 2 = 18 1 9 + 1 6 = 2 18 + 3 18 = 5 18 Méthode 2 : Décomposition en facteurs premiers : Pour cette méthode, on utilise la liste des nomres premiers et les critères de divisiilité Donc : 6 = 2 3 et 9 = 3 3 9 3 6 2 3 3 3 3 1 1 1 Méthode 3 : Multiples des dénominateurs : Pour cette technique, il faut écrire la liste des multiples de chaque nomre : Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24,... Multiples de 9 : 9, 18, 27, 36,... Le dénominateur commun est donc 18. Remarque : On donnera toujours le résultat sous la forme la plus simplifiée (fraction irréductile). 2.2.2. Multiplication Pour calculer le produit de deux nomres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. a c d = ac d avec 0 et d 0 (5)

Sixième-Cinquième 2010 Dr Xavier MALEVILLE 8 Remarques : * Avant de multiplier, on pensera toujours à simplifier. * Prendre une fraction de fraction, c est multiplier ces deux fractions entre elles. Ex : 3 25 5 9 = 3 5 5 5 3 3 = 1 15 3. Quotients et pourcentage 3.1. Quotients On considère deux nomres n et d. Le quotient de n par d est un nomre noté n. Si on le multiplie par d d on trouve n : d n d = n. 3.2. Pourcentage On considère un nomre a : a% = a 100 = a 100 Un pourcentage est une situation de proportionnalité. * Exemple : Prendre 20 % d un nomre revient à multiplier ce nomre par 20 = 0, 2. 100 4. Gestion de données 4.0.1. Statistiques Une étude statistique consiste à rassemler des données sur différents phénomènes. On présente les résultats sous forme de graphiques ou de taleaux. 4.1. Représentations graphiques * Les diagrammes en âtons, ou en arres (ou en rectangles) : On peut représenter les réponses par des segments dont la longueur est proportionnelle au nomre d élèves (effectif) de chaque catégorie. * Les diagrammes circulaires ou semi-circulaires : On peut représenter les réponses par catégorie, l angle au centre est proportionnel au nomre d élèves correspondants. * Les graphiques cartésiens : Chaque couple de valeurs est représenté par un point. Les points peuvent être reliés par des segments. 4.2. Repérage du plan - Coordonnées d un point * Deux droites graduées perpendiculaires (droites qui forment un angle droit (90 )) de même origine O constituent un repère du plan. L axe horizontal est l axe des ascisses, l axe vertical est l axe des ordonnées. * Chaque point du plan peut être repéré par deux nomres appelés les coordonnées du point. Les coordonnées d un point s écrivent entre parenthèses. La première coordonnée, lue sur l axe horizontal, s appelle

Sixième-Cinquième 2010 Dr Xavier MALEVILLE 9 l ascisse du point; le seconde, lue sur l axe vertical, s appelle l ordonnée du point. On met toujours l ascisse avant l ordonnée. 4.3. Proportionnalité Deux grandeurs sont proportionnelles si l on peut calculer l une en multipliant (ou en divisant) l autre par un nomre, toujours le même, appelé coefficient de proportionnalité.