Epreuve commune de TIPE Session 2012 Ariel SHEMTOV - 25269 VOITURE ELECTRIQUE : LA CHARGE SANS CONTACT I. PRESENTATION DU MONTAGE ETUDE THEORIQUE 1) Dispositif, lois physiques régissant son fonctionnement 2) Circuit électrique équivalent 3) Fonction de transfert II. CALCUL THEORIQUE DES CONSTANTES 1) Calcul de la pulsation de résonance, de la résistance 2) Calcul des flux propres (inductances propres) 3) Calcul des flux couplés (inductance mutuelle) III. RESULTATS EXPERIMENTAUX COMPARAISON AUX RESULTATS THEORIQUES ATTENDUS 1) Expérience : présentation, résultats et comparaison à la théorie 2) Calcul du temps nécessaire à la recharge d'une batterie 3) électrique (22 kwh) 1
I. PRESENTATION DU MONTAGE ETUDE THEORIQUE 1) Dispositif, lois physiques régissant son fonctionnement (1/2) Batterie Circuit 2 Circuit 1 C2 Vers secteur B 1 C1 Loi de Biot et Savart Champs créés par C1 et C2 : B 1 (M) = µ 0n 1 i 1 (P) PM 4π dl PM 3 P C1 B 2 (M) = µ 0n 2 i 2 (P) PM 4π dl PM 3 P C2 Notations : I 1 (M) = dl (P) PM P C1 PM 3 (M) = dl (P) PM P C2 PM 3 I 2 Loi de Lenz-Faraday Force électromotrice e2 induite dans C2 : e 2 = d 2 dt où 2 est le flux de B à travers C 2 Phénomène d induction permettant la recharge de la batterie. 2
I. PRESENTATION DU MONTAGE ETUDE THEORIQUE 1) Dispositif, lois physiques régissant son fonctionnement (2/2) Paramétrage Repère : centré en O, centre de C1. Centre de C2 : O2 (x2,0,h) Paramètres : a1 et a2 (rayons de C1 et C2) n1 et n2 (nombres de spires de C1 et C2) x2 h Critères du cahier des charges Temps de charge T < 12 h Hauteur de référence h = 5 cm. En pratique : 3 cm < h < 12 cm. 3
I. PRESENTATION DU MONTAGE ETUDE THEORIQUE 2) Circuit électrique équivalent I 1 M R 1 R 2 I 2 L 1 V 1 V 2 L 2 Z u 4 phénomènes d induction Notations : 1 = 21 + 11, 2 = 12 + 22 L1, L2, M / 11 = L1i1, 22 = L2i2, 12 = Mi2, 21 = Mi2 Zu impédance de la batterie. Données constructeur : Zu = 0,080. 3) Fonction de transfert Equations du circuit di 1 V 1 = R 1 i 1 + L 1 dt + M di 2 dt Fonction de transfert V 2 + M di 1 dt + R 2i 2 + L 2 di 2 dt = 0 V 2 = Z u i 2 H(jω) = V 2 V 1 = 1 ( L 1 M L 1R 2 + L 2 R 1 Z u M ) + (R 1 M R 1R 2 Z u M ) 1 jω + (M Z u L 1L 2 Z u M )jω D où H(jω) = K 1+ ω 1 jω jω ω 2 Avec K = M L 1 L 1R2+L2R1 Zu ω 1 = R 1 R 2 R 1 Z u (L 1 R 2 +L 2 R 1 ) L 1 Z u ω 2 = (L 1R 2 +L 2 R 1 ) L 1 Z u L 1 L 2 M² 4
II. CALCUL THEORIQUE DES CONSTANTES 1) Calcul de la résistance, de la pulsation de résonance Conductivité - Modèle de Drude γ = γ 0 1+i Effet de peau avec = m α et < 10-2 << 1, soit γ γ 0 Epaisseur de peau : = 2. Pour a <<, propagation sur une surface µ 0 γ 0 S~2πaδ. Tracé pour a = 1 mm : Pulsation de résonance 0 Existe si et seulement si 1 et 2 de même signe. Alors : ω 0 = ω 1 ω 2 = R 1R 2 R 1 Z u L 1 L 2 M² f 0 ~10 4 Hz. Effet de peau négligeable. 5
II. CALCUL THEORIQUE DES CONSTANTES 2) Calcul de l inductance mutuelle 12 = Mi1 12 = n 2 B 1. ds 2 = µ 0n 1 n 2 4π φ 12i 1 S2 avec φ 12 = I 1 (M). ds 2 M S2 Calcul de φ 12 : utilisation de Maple. 3) Calcul de L1 et L2 Formulation du problème 11 = L1 i1, 22 = L2i2 11 = n 1 B 1. ds 1 S1 22 = n 2 B 2. ds 2 S2 Solution Fils conducteurs de longueur d, de rayon R. L = L i + L e Calcul de Li E m = V B i(r)² 2µ 0 dτ = 1 2 L ii², B i (r) = µ 0I(r) 2πr = µ 0r 2πR² I L i = µ 0d 8π Calcul de Le (pour une spire) Inductance mutuelle de 2 spires en prenant h = 0, a1 = a et a2 = a R. Calcule avec Maple : φ p = φ 12 (h = 0, x 2 = 0, a 1 = a, a 2 = a R) Ecriture de L Approximation pour n spires L = n². µ 0 4π (d 2 + φ p ) 6
III. RESULTATS EXPERIMENTAUX COMPARAISON AUX RESULTATS THEORIQUES ATTENDUS 1) Expérience : présentation, résultats et comparaison à la théorie (1/3) Données/Valeurs expérimentales Calculs théoriques (Maple) a 1 = 15, 0 cm a 2 = 15, 5 cm R = 0, 5 mm n 1 = n 1 = 4 L 1 = 14, 3 µf L 2 = 14, 7 µf R 1 = R 0 + R C1 = 5, 20 (R 0 = 5 ) R 2 = 0, 19 L 1 = 11,028 µf L 2 = 11,503 µf R C1 = 0,2013 R 2 = 0,2081 Fréquence utilisée pour les mesures : f = f 0 = 79,0 khz Calcul (seulement théorique) de M (h = 5 cm, x2 = 0) : M = 3,8238 µf 7
III. RESULTATS EXPERIMENTAUX COMPARAISON AUX RESULTATS THEORIQUES ATTENDUS 1) Expérience : présentation, résultats et comparaison à la théorie (2/3) Variation de V2 en fonction de h (entrefer) 0,7 0,6 0,5 V2 efficace (V) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 h (cm) f=f0 donc V2 est proportionnel à M. On compare V2(h) et M(h) : 8
III. RESULTATS EXPERIMENTAUX COMPARAISON AUX RESULTATS THEORIQUES ATTENDUS 1) Expérience : présentation, résultats et comparaison à la théorie (2/3) Variation de V2 en fonction de x2 (écart entre les axes) 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 V2 (efficace) (V) 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 5 10 15 20 25 x2 (cm) 9
III. RESULTATS EXPERIMENTAUX COMPARAISON AUX RESULTATS THEORIQUES ATTENDUS 2) Calcul du temps nécessaire à la recharge d'une batterie électrique (22 kwh) (1/2) Caractéristiques du réseau domestique V1 = 220 V, V1 eff = 220/ 2 Puissance moyenne fournie (pour f=f0) < P >=< V 2 i 2 >= V 2 eff ² Z u = k² Z u V 1 eff ² = M² Z u (L 1 L 1R2+L2R1 Zu < P >= αv 1 eff ² avec α = α(h, x 2, a 1, a 2, n 1, n 2 ) = Calcul du temps de charge (sous Maple) )² V 1 eff² M² Z u (L 1 L 1R 2 + L 2 R 1 Z u )² Dans les conditions idéales (h=5 cm, x2=0), avec les données de l expérience : α = 0,09344-1 soit < P > = 2,261 kw et T = 9,73 h Influence de a 1, a 2, n 1, n 2 : problèmes rencontrés - conséquences Pour a 1 = a 2 = 10 cm, n 1 = n 2 = 4, Influence de h T = 5,35 h 10
III. RESULTATS EXPERIMENTAUX COMPARAISON AUX RESULTATS THEORIQUES ATTENDUS 2) Calcul du temps nécessaire à la recharge d'une batterie électrique (22 kwh) (2/2) Influence de x2 11