CRPE epreuves d'admissibilite_concours 170x240 mercredi30/10/13 11:46 Page387 L ANALYSE DE DOSSIER MÉTHODOLOGIE : UN EXEMPLE DE CORRIGÉ SUIVI (TROISIÈME PARTIE DU SUJET ZÉRO) Analyse d exercices proposés à des élèves et de productions d élèves relevant de la proportionnalité Cette partie vise l analyse mathématique de plusieurs situations mettant en œuvre le concept de proportionnalité. Pour répondre aux différentes questions, le candidat pourra se référer s il le souhaite à l extrait du document d accompagnement des programmes de collège présenté dans l annexe 1. I. Situation A Le problème ci-après a été donné en évaluation à des élèves de cycle 3. Énoncé A : À chaque saut, une sauterelle avance de 30 cm. Combien de sauts doit-elle faire pour parcourir 15 mètres? 1. Dans cet énoncé, qu est-ce qui indique que la situation est une situation de proportionnalité? 2. Le problème a été proposé à quatre élèves, E1, E2, E3 et E4 dont les productions sont données en annexe 2. Pour chacun des quatre élèves. a) Expliquer, en argumentant à partir des traces écrites de l élève, si la procédure qui semble avoir été utilisée témoigne d une mise en œuvre correcte des propriétés mathématiques de la proportionnalité. b) Émettre une hypothèse sur la cause des erreurs éventuelles. 387
CRPE epreuves d'admissibilite_concours 170x240 mercredi30/10/13 11:46 Page388 MATHÉMATIQUES 3. D un point de vue théorique, cette situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire du nombre de sauts. a) Expliciter cette fonction. b) Donner la réponse attendue en utilisant cette fonction. II. Situation B Le problème ci-après a été donné à des élèves à l entrée en sixième. Énoncé B : 6 objets identiques coûtent 150 euros. Combien coûtent 9 de ces objets? 1. Dans cet énoncé, qu est-ce qui indique que la situation est une situation de proportionnalité? 2. D un point de vue mathématique, qu est-ce qui différencie cet énoncé du précédent? 3. Proposer trois méthodes possibles pour résoudre cet exercice en cycle 3, et pour chacune expliciter les propriétés mathématiques utilisées. III. Situation C En classe de CM2, un professeur propose le travail suivant aux élèves. Énoncé C : Un pavé droit a pour base un carré de côté 2 cm. On fait varier sa hauteur et on s intéresse à son volume. 1. Complète le tableau de valeurs suivant. Hauteur du prisme droit 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 10 cm Volume du prisme droit 2. Place sur la feuille les six points correspondant aux six colonnes du tableau (le professeur a distribué une feuille de papier quadrillé sur laquelle les deux axes gradués d un repère orthogonal ont été tracés. Sur l axe des abscisses il a indiqué : hauteur du pavé droit, et sur celui des ordonnées : volume du pavé droit). 388
CRPE epreuves d'admissibilite_concours 170x240 mercredi30/10/13 11:46 Page389 L ANALYSE DE DOSSIER 3. Que constates-tu? Vérifie avec ta règle. 1. Citer une nouvelle caractérisation de la proportionnalité mise en évidence dans cet exercice. 2. Dans cet énoncé, c est la hauteur du pavé droit qui varie. Si le professeur avait choisi de faire varier la longueur du côté du carré de la base, qu est-ce que cela aurait changé? Justifier. IV. Situation D Dans le document ressource «Le nombre au cycle 3», on trouve, au chapitre proportionnalité, les lignes suivantes. Le terme de «proportionnalité» apparaît dans les programmes 2008 [BO2008] au cycle 3 [ ] mais la notion de proportionnalité est présente dans les situations mathématiques depuis la maternelle. En effet, les jeux d échange sont déjà des problèmes relevant de la proportionnalité. Exemple : Une bille bleue vaut deux billes rouges. Si je te donne trois billes bleues, combien me donnes-tu de billes rouges? 1. En quoi le problème ci-avant est-il un problème de proportionnalité? 2. Expliciter une procédure de résolution envisageable en grande section de maternelle. Annexe 1 Extrait du document : Ressource pour les classes de 6 e, 5 e, 4 e, 3 e de collège. La proportionnalité au collège EDUSCOL Niveau Cadres Type de nombres Procédures de résolution Cycle 3 Grandeurs Naturels Décimaux simples (rapport scalaire ou coefficient du type 1, 5 ou 2, 5 ) Raisonnement proportionnel, utilisant : propriété additive ; propriété d homogénéité ; passage par l unité ; coefficient de proportionnalité «simple». 389
CRPE epreuves d'admissibilite_concours 170x240 mercredi30/10/13 11:46 Page390 MATHÉMATIQUES Niveau Cadres Type de nombres Procédures de résolution Sixième Grandeurs Naturels Décimaux simples Quotients (plus le nombre π) Raisonnement proportionnel, utilisant : propriété additive ; propriété d homogénéité ; passage par l unité ; coefficient de proportionnalité. Cinquième Grandeurs Numérique Naturels Décimaux Quotients (plus le nombre π) Formulation et utilisation des propriétés : propriété additive ; propriété d homogénéité ; passage par l unité ; coefficient de proportionnalité. Quatrième Grandeurs Numérique Graphiques Naturels Décimaux Quotients (plus le nombre π) Utilisation des propriétés travaillées en 6 e et 5 e Égalité de quotients et produits en croix Caractérisation graphique (sans justification) Troisième Grandeurs Numérique Graphiques Naturels Décimaux Quotients (plus les nombres π, 2, 3 ) Modélisation et traitement à l aide d une fonction linéaire Les procédures envisagées antérieurement restent disponibles 390
CRPE epreuves d'admissibilite_concours 170x240 mercredi30/10/13 11:46 Page391 L ANALYSE DE DOSSIER Annexe 2 Production de quatre élèves en réponse à l exercice A Élève Elève E1 Élève Elève E2 Élève Elève E3 Élève Elève E4 391
CRPE epreuves d'admissibilite_concours 170x240 mercredi30/10/13 11:46 Page392 MATHÉMATIQUES Exercice 1 Temps imparti : 10 minutes La première étape de ce travail consiste en une lecture avec un crayon pour souligner, encadrer à même les documents et prendre des notes référencées sur un brouillon à côté ; cela permettra de vous aider pour une lecture plus fine au fil de la résolution des questions. On peut constater que ce dossier est constitué de trois feuilles. On peut relever trois documents de natures différentes : un document correspondant aux consignes mêmes que vous devrez satisfaire (feuille 1 et première moitié de la feuille 2) ; un document intitulé Annexe 1 qui expose la progression du cycle 3 à la 3 e de la notion de proportionnalité ; un document intitulé Annexe 2 qui expose la production de quatre élèves en réponse à un exercice. Il n y a pas de page de manuel scolaire (seulement des énoncés d exercices). Replaçons les différents documents de ce dossier et mettons-les en perspective par rapport au plan d analyse. Le premier document (feuille 1 et première moitié de la feuille 2) : on y trouve une alternance entre les consignes et quatre situations notées A/B/C/D. Ces situations correspondent au point «Analyser des énoncés d exercices et de problèmes» (dans les différents registres déjà cités). La situation A est en lien avec les points «Analyser des énoncés d exercices et de problèmes» (dans les différents registres déjà cités) et «Analyser des productions d élèves», et avec l annexe 2 qui présente ces productions. La situation B est en lien avec le point «Analyser des énoncés d exercices et de problèmes» (dans les différents registres déjà cités). La situation C est en lien avec les points «Analyser des énoncés d exercices et de problèmes» (dans les différents registres déjà cités) et «Analyser une séance de classe». 392
CRPE epreuves d'admissibilite_concours 170x240 mercredi30/10/13 11:46 Page393 L ANALYSE DE DOSSIER Les situations A/B/C font appel à des fondements théoriques mathématiques (que vous devez connaître et repréciser), et des niveaux de procédures que vous trouverez en utilisant l annexe 2. La situation D est un peu particulière car c est à vous de l expliquer et de la mettre en œuvre. On vous place en position professionnelle de réflexion et de pratique. Vous pouvez saisir habilement une opportunité de mettre à profit votre expérience de stage en observation et en responsabilité. Cette situation n est pas placée en dernier par hasard ; elle permet d élargir l étendue du concept de proportionnalité en démontrant que c est un long processus qui se construit progressivement dès l école maternelle. Elle vous permet également de faire la synthèse sur les différents aspects théoriques et pédagogiques que vous devez mettre en œuvre en tant qu enseignant. Cette situation est introduite par un extrait issu d un document ressource : «Le nombre au cycle 3» ; ce document est téléchargeable gratuitement sur le site http ://eduscol.education.fr, nous vous le conseillons ainsi que «Le nombre au cycle 2» ; document également téléchargeable sur le même site. Un document intitulé Annexe 1 Extrait du document : ressources pour les classes de 6 e, 5 e, 4 e, 3 e de collège La proportionnalité au collège EDUSCOL (nous vous conseillons également de le télécharger). Cette annexe est présentée comme un document d accompagnement des programmes de collège. Il est écrit que «pour répondre aux différentes questions, le candidat pourra (s y) référer s il le souhaite». Nous vous invitons à le faire bien évidemment, mais de façon judicieuse ; avant de l utiliser nous devons en faire une lecture analytique. Il se présente sous la forme d un tableau à double entrée. On peut s étonner d y voir figurer une ligne cycle 3 alors qu il s agit d un document destiné au collège. Il faut y voir la continuité école/collège en général et cycle 3/collège et plus particulièrement CM2/6 e. Il est d ailleurs question, dans le projet de refondation de l école, de la refonte des cycles ; ainsi, le cycle 1 concernerait les classes de petite section, moyenne section et grande section ; le cycle 2 concernerait les classes de CP, CE1 et de CE2 ; le cycle 3 concernerait les classes de CM1, CM2 et 6 e ; le cycle 4 concernerait les classes de 5 e et de 4 e (physiquement, la classe de CM2 reste dans les locaux de l école élémentaire et la 6 e dans ceux du collège.). Cette refonte marque la volonté d une cohésion, d une continuité entre l école et le collège ; elle se matérialise déjà par exemple par l instauration depuis cette année de «PPRE passerelle», c està-dire un document permettant de synthétiser les aides internes et externes qui sont ou ont été apportées à un élève. 393
CRPE epreuves d'admissibilite_concours 170x240 mercredi30/10/13 11:46 Page394 MATHÉMATIQUES Revenons à cette annexe 1 : en parallèle au cycle 3, on trouve donc les quatre classes du collège. On fait correspondre à chacune d elles les cadres (registres : grandeurs, numérique, graphique), les types de nombres (les groupes), les procédures de résolution. On constate que progressivement, le cadre s élargit, le type de nombres (les groupes) augmente et les procédures de résolution se complexifient vers plus d abstraction, même s il est écrit au niveau de la classe de 3 e que «les procédures envisagées antérieurement restent disponibles». Un document intitulé Annexe 2 Production de quatre élèves en réponse à l exercice A. Ce document doit donc être utilisé pour répondre aux questions posées dans la situation A. Nous vous conseillons de faire l exercice juste avant d analyser plus en détail ce document : cela vous placera dans le même état d esprit que ces élèves, à la différence près que vous devriez être plus à l aise et posséder une résolution «experte». Proposition de corrigé Il convient de passer le plus de temps sur la situation A, car une annexe entière lui est dédiée : l annexe 2 regroupant la production de quatre élèves de cycle 3. Résolution à votre niveau du problème soumis à ces quatre élèves de cycle 3 (le niveau de classe n est pas précisé). Énoncé A : À chaque saut, une sauterelle avance de 30 cm. Combien de sauts doit-elle faire pour parcourir 15 mètres? La mesure de la longueur d un saut est exprimée en centimètres : 1 saut = 30 cm. La mesure de la distance à parcourir est exprimée en mètres : 15 mètres. Soit on convertit la longueur d un saut en mètres : 1 saut = 30 cm = 0, 3 m ; soit on convertit la distance à parcourir en centimètres : 15 m = 15 100 = 1 500 cm Nous utiliserons plutôt cette dernière conversion pour éviter de manipuler des nombres décimaux. La résolution experte de ce problème revient à diviser la distance totale à parcourir par la valeur d un saut ; c est-à-dire 1 500/30 = 50 394